小學數(shù)學“常見數(shù)量關系與問題解決”的教學研究與案例評析

1、小學數(shù)學“常見數(shù)量關系與問題解決”的教學研究與案例評析在數(shù)學學習中，問題解決不僅能夠幫助學生鞏固、拓展所學的知識和技能，而且也有利于發(fā)展學生的實踐能力、激發(fā)學生的探究和創(chuàng)新精神。從 1949 年以來，我國大陸地區(qū)的小學數(shù)學課程一直把小學算術應用題的教學放在重要位置上。但在 20 世紀中葉以后，小學數(shù)學應用題教學發(fā)生了重大變化。1980 年，美國提出“問題解決（ problem solving ）”的教學模式。要求將純粹數(shù)學和應用數(shù)學的問題統(tǒng)一起來，形成統(tǒng)一的“問題解決”教學模式，認為解決非常規(guī)的數(shù)學問題，培育創(chuàng)新精神，是數(shù)學教育的主要追求，應貫穿到數(shù)學教育的每一個環(huán)節(jié)中。這種趨勢影響了各國的數(shù)

2、學教學，問題解決已被看做數(shù)學學習活動的核心。在 2001 年我國制定數(shù)學課程標準（實驗稿）中，為了使培養(yǎng)學生解決問題能力落到實處，單獨設立了解決問題這一目標維度，應用題不再成為獨立的教學內容，解決問題的要求被貫穿在四個基本的內容領域中。在數(shù)學課程標準（ 2011 版）中這個做法得到延續(xù)，并更加明晰。一、一些基本的觀點1. 問題與數(shù)學問題根據(jù)心理學大辭典，問題是指“在給定狀態(tài)與目標狀態(tài)之間存在某些障礙，需要加以克服的任務情境”。數(shù)學問題是指對人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒有現(xiàn)成方法、程序或算法可以解決的情境，或者說數(shù)學問題是指不能用現(xiàn)成的數(shù)學經驗和方法解決的一種情境狀態(tài)。數(shù)學問題有三個特別顯著的特點：

3、一是障礙性，二是可接受性，三是探究性。2 問題解決、應用題、應用問題(1) 問題解決數(shù)學問題一般分為兩類，一類是常規(guī)的，即背景簡單、條件明確、答案唯一、解決常見的問題，習題和考試中多半是這類題目。另一類是非常規(guī)的問題，這類問題設置的情景相對比較復雜、條件隱含、答案開放，沒有現(xiàn)成的解法可以套用，常稱為“具有挑戰(zhàn)性”的問題。而對于什么是問題解決，到現(xiàn)在沒有統(tǒng)一的解釋。但是無論如何問題解決從什么角度去理解，有一個觀點比較一致：所謂“問題解決”，專指解決“非常貴問題”。目的是為了培養(yǎng)學生的探究意識和創(chuàng)新精神。（ 2 ）問題解決與應用題問題解決不等于應用題。問題解決和應用題的區(qū)別如下：問題解決是學習的開

4、始，不是單純的應用；問題解決強調與現(xiàn)實緊密聯(lián)系，有開放性；問題解決的形式：提出問題、體驗、建構、形成創(chuàng)新意識；問題解決有交流和反思的空間。而解應用題的學習的終點，應用題人為編造的痕跡較為明顯，是封閉的；應用題的教學形式：找類型，記結語，套公式，形成“條件反射”；“條件 + 體型 = 問題答案”構成了應用題的因素，學生在解題過程中無需反思或較少反思。（ 3 ）問題解決與應用問題基于“問題解決”與“應用題”之間的“鴻溝”，有學者提出了“應用問題”的提法。與“問題解決”相比，問題解決中的“問題”是更具有實際意義的問題，它與學生的實際生活密切相關，往往需要考慮現(xiàn)實生活中的諸多因素，具有綜合性、開放性的

5、特點。而應用問題中的“問題”，盡管提倡要符合學生實際，并力求具有一定的開放性，但總體上來說，問題已經經過了一定的簡化，背景相對簡單，其中蘊含的數(shù)量關系也往往是學生所熟悉的。因此學生所做的工作主要是分析出其中的數(shù)量關系，并聯(lián)系所學的知識和方法加以解決。3 問題解決模式（ 1 ）波利亞數(shù)學問題解決四階段模式早在 1957 年，著名的數(shù)學教學家波利亞對數(shù)學問題解決的過程做了較為具體的分析和描述，他的研究構成了 20 世紀 80 年代以來數(shù)學問題解決研究的基礎。波利亞把數(shù)學問題解決劃分為如下四個階段：階段一：理解問題。你在尋找什么？在該問題中有哪些信息已經給出？畫出一個示意圖。階段二：制定計劃。你知道

6、類似的問題嗎？你知道一個更容易的問題嗎？你能重新表述該問題嗎？嘗試解決一個相關的問題，嘗試解決問題的一部分。階段三：執(zhí)行計劃。執(zhí)行解決的計劃，檢查每一步驟，你能夠證明每一步都是正確的嗎？階段四：回顧解答。檢查算式和結果，你能用不同的方法得出答案嗎？你能把這一結果用到另一個問題的解決上嗎？（ 2 ）新加坡小學數(shù)學問題解決四階段模式2000 年新加坡修訂的小學數(shù)學教學大綱附錄中給出了問題解決的基本模式，要求小學數(shù)學教師參照這一模式來實施問題解決的教學。該模式包含的問題解決的步驟是：理解問題。包括：找出給出的信息；具體化這些信息；組織這些信息；連接這些信息。設計計劃（選擇策略）。包括：描述、表達出它

7、；運用圖表和模型；做個系統(tǒng)的表格；尋找模式；退一步考慮；運用前后概念；猜測和檢驗；做個假設；換一種方式重述問題；簡化問題；解決問題的一部分。實施計劃。包括：運用計算技能；運用幾何技能；運用邏輯推理。反思。包括：檢驗解答；改進所用方法；探尋其他方法；擴展該方法到其他問題上。（ 3 ）現(xiàn)代認知心理學中的問題解決模式在現(xiàn)代認知心理學中，問題解決一直是一個異常活躍的研究領域，研究者提出的問題解決模式也層出不窮。概括起來，可以把數(shù)學問題解決相關的模式歸納為五個子過程：發(fā)現(xiàn)問題覺知問題的存在，其心理實質是察覺現(xiàn)有的狀態(tài)與欲想的狀態(tài)之間存在的差異。界定和表征問題確定地界定問題的性質、分析解決問題需要的條件以

8、及已有條件、明確問題解決的最終目標等。確定問題解決方案包括選擇解題方法，確定具體的解題步驟這兩個基本過程。執(zhí)行解題方案將前面制定的解題策略與計劃付諸實施，使問題達到目標狀態(tài)。評價問題解決的結果主動對自己求解的過程和結果進行檢驗與評價，判斷解題過程是否合理、結果是否正確。4. 數(shù)學課程標準（ 2011 版）中的問題解決無論是 2001 年出版的數(shù)學課程標準（實驗稿），還是數(shù)學課程標準（ 2011 版）中，都將問題解決作為貫穿我國數(shù)學課程的一條主線。（ 1 ）問題解決是理念在標準中，將解決問題不僅僅看成是課程內容，更是一種貫穿始終的理念，鼓勵學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題構建數(shù)學模型求解模型解

9、釋、應用和拓展的分析問題和解決問題的過程。（ 2 ）問題解決是目標數(shù)學課程標準（ 2011 版）中過程與方法目標分成：數(shù)學思考、問題解決。其中關于問題解決目標的具體描述如下：初步學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力。獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識。學會與他人合作交流初步形成評價與反思的意識。其中，創(chuàng)新意識和實踐能力在數(shù)學課程標準的其他目標部分并沒有出現(xiàn)，只是在問題解決的部分里出現(xiàn)。（ 3 ）問題解決是要求數(shù)學課程標準中提到的“經歷、體驗、探索、嘗試、表示、解釋、反思”等動詞，都伴隨著問題

10、解決，問題解決應滲透在每一個知識領域，滲透在數(shù)學教學的全過程中。二、“問題解決”的教育價值小學數(shù)學教學應該把培養(yǎng)學生解決問題能力作為重要任務，重視解決問題的價值。1. 解決問題能力是學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志PISA（經合組織進行的國際學生評價計劃）對數(shù)學素養(yǎng)的解釋是：“在當前或未來的生活中為滿足個人成為一個會關心、會思考的市民的需要而具備的知識，并理解數(shù)學在自然、社會生活中的地位的能力，做出數(shù)學判斷的能力，以及參與數(shù)學活動的能力。數(shù)學素養(yǎng)包括若干運用數(shù)學能力的水平層次，從標準數(shù)學運算到數(shù)學思維能力和觀察能力。它也要求學生理解和應用一定范圍內的數(shù)學知識，例如：概率、變化率、增長率、空間與形狀、定量

11、推理、不定性和從屬關系等。這些包括數(shù)學課程的特定范圍，比如：算數(shù)、代數(shù)和幾何?！痹?PISA 設計的八個方面的數(shù)學素養(yǎng)中，至少有三個方面與解決問題能力有直接的關系。（ 1 ）數(shù)學思考。（ 2 ）建立模型。（ 3 ）提出問題和解決問題的技能。2. 解決問題意識的提高使學生更能體會數(shù)學的價值學生會從分析問題和解決問題的過程中，體會數(shù)學在現(xiàn)實中的應用，了解自己身邊的數(shù)學問題，進而指導、理解和掌握數(shù)學知識能力的作用。有人把數(shù)學意識稱之為“用數(shù)學家的眼光看世界”。別人可能根本不會注意到的東西，在他看來確實饒有趣味的數(shù)學。在別人看來并不是數(shù)學背景的事情，他們可以從中看出數(shù)學問題，并用數(shù)學的思考認識和分析這

12、樣的問題。數(shù)學教育的一個重要功能就在于培養(yǎng)學生的數(shù)學意識，是學生學會用數(shù)學的眼光看世界。3. 促進對數(shù)學基本知識的理解和掌握數(shù)學課程標準規(guī)定的數(shù)學學習的四個領域，尤其是前三個領域，對于具體的知識技能，每個領域有特定的學習內容，各自的目標與任務。但通過各個領域的學習，其在培養(yǎng)學生解決問題的意識與能力、培養(yǎng)學生的情感與態(tài)度等方面是一致的。在學習各個內容領域的過程中應當把問題解決當做重要的任務，同時，問題解決能力的提高也會促進學生對各個領域內容的理解和掌握。4 解決問題是發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和實踐能力的重要途徑數(shù)學問題的解決往往都不能直接依賴于已有的知識和方法，只有通過對已掌握的知識和方法的重新組合并

13、生成新的策略和方法才能實現(xiàn)。因此解決數(shù)學問題的過程又是一個創(chuàng)新的過程。這一過程促使學生尋求新的途徑和方法，它不僅可以使學生獲得初步的創(chuàng)新能力，而且可以讓學生從小養(yǎng)成創(chuàng)新的意識和創(chuàng)新的思維習慣，為今后實現(xiàn)更高層次的創(chuàng)新奠定良好的基礎。三、“應用問題”中常見的數(shù)量關系分析對數(shù)量關系的分析，指向于教材中的“應用問題”。1. 基本的數(shù)量關系（ 1 ）四則運算：加法：加數(shù)加數(shù)和 和一個加數(shù)另一個加數(shù)減法：被減數(shù)減數(shù)差 被減數(shù)差減數(shù) 差減數(shù)被減數(shù)乘法：因數(shù) × 因數(shù)積 積 ÷ 一個因數(shù)另一個因數(shù)除法：被除數(shù) ÷ 除數(shù)商 被除數(shù) ÷ 商除數(shù) 商 × 除數(shù)被除

14、數(shù)（ 2 ）運算定律：加法交換律 a b b a加法結合律 a b c (a b) c a (b c) (a c)+b乘法交換律 ab ba乘法結合律 abc (ab)c a(bc) (ac)b乘法分配律 a(b c) ab ac（ 3 ）基本性質：減法的運算性質： a b c a (b c)除法的運算性質： a÷b÷c a÷(b×c)商不變的性質： a÷b (a×x)÷(b×x) (a÷x)÷(b÷x)(x0)分數(shù)的基本性質：比的基本性質： a:b (a×x):(b

15、5;x) (a÷x):(b÷x)(x0)比例的基本性質：因為 a:b c:d 所以 ad bc我國常規(guī)應用題的教學中，成績一直都很好。但課程和教學往往集中在為了教學而教學上，在提出問題、發(fā)展問題、靈活地處理應用性問題上，比起歐美諸國的教學，還有很多不足。2. 類型問題中的數(shù)量關系除了一些基本的數(shù)量關系蘊含在數(shù)學學習的各部分內容之中，原來我們還慣常按照問題情境將問題分類開展教學，并進行專門的訓練，強化這些類型問題的解題方法。但原來的課程和教學整體上較窄、較難、較偏。以下是原有的課程中曾經出現(xiàn)過的數(shù)量關系：價格問題、行程問題、工程問題、利息問題、利潤問題、折扣問題、百分數(shù)問題、

16、產量問題、比例尺問題、分數(shù)問題。當然，有的教材還出現(xiàn)過植樹、流水、盈虧、合倍、差倍、濃度、追及、平均數(shù)等問題類型。就上面列出的數(shù)量關系來看，其實有很多本質上是相同的。在數(shù)學課程標準（ 2011 版）修訂過程中，明確了小學需要學習的兩個基本數(shù)量關系：一個是物理模型中的“路程、時間和速度”關系；一個是經濟模型中的“總價、數(shù)量和單價”關系。這兩個關系不僅僅在生活中有著廣泛地應用，同時也是學生進一步學習（如學習微積分）的兩個重要的基本模型。四、教學策略在實際教學中，教師們可以將問題解決作為數(shù)學課程的基本理念和要求，在教學時把握“應用問題”和“綜合與實踐”兩個線索。“應用問題”重在對學生解決問題基本技能

17、、基本數(shù)量關系、數(shù)學基本思想的認識，而“綜合與實踐”更多地指向非常規(guī)問題和開放性問題。（一）“應用問題”教學策略1 關注對問題的設計問題本身的設計對問題的解決有著至關重要的作用。一個有趣的、值得探究的問題不僅有助于激發(fā)學生的問題解決動機、學習興趣，而且有助于學生獲得良好的問題解決策略以及促進學生解決真實數(shù)學問題的能力。盡管教師所使用的教材中，絕大部分問題是教材編寫者已經編好的，但這并不意味著教師不可以進行改造或重新編制問題。2 注重對于運算意義的理解為了解決問題，學生需要首先學習在什么實際背景下應用四則運算來解決問題，即四則運算的實際背景或四則運算的意義。（ 1 ）理解運算的背景和意義每種運算

18、的本質意義，都產生于相對特定的實際背景，也運用于相對特定的問題情境。確定“何種運算”的關鍵在于，兩種數(shù)量的關聯(lián)狀態(tài)，“暗合”了哪種運算的“實際背景”?！耙约臃ㄗ龊喜⒒蛞迫氲哪Ｐ?；以減法做拿走、比較、移出或加法逆運算的模型；以乘法做大小的變化、交叉相乘或比率因子的使用模型；以除法做比、率、比率除法、大小變化除法或乘法的逆運算的模型”。（摘自詹姆斯· T ·費撰寫數(shù)量一文）如“合并”“移入”，就是加法的實際背景。學生在解決問題的過程中，要先在頭腦中分析，這個情境對應了哪種運算，進而進行選擇和運用。但由于現(xiàn)在教材的編寫將運算的實際背景大多處理成“暗線”，所以需要教師對教材進行系統(tǒng)

19、的梳理，找到實際背景，并不斷擴充這條線索。（ 2 ）關注具體情境向運算意義的轉化過程以往我們在教學時往往采取“問題情境問題類型運算意義”的思路；這樣容易出現(xiàn)概念化、思維模式固定化的問題。所以提倡“問題情境經驗、操作、畫圖運算意義”的思路來進行教學，有助于學生更好地理解運算意義和問題實際意義。（ 3 ）鼓勵學生建構自己對運算的理解這里的總結和過去的“記關鍵詞、套題型”是不一樣的，不是要求用統(tǒng)一的程序化的語言來背誦運算意義。教師可以鼓勵學生完成類似下面的任務，建構自己對于運算的理解。舉生活中不一樣的例子，可以用加法、減法、乘法或除法來解決。畫圖表示一個情境，可以用加法、減法、乘法或除法來解決用自己

20、的語言說說什么是加法、減法、乘法或除法3. 關注對問題的表征和理解“ 問題表征”是指解題者基于已有的知識經驗，根據(jù)問題所提供的相關信息，構建屬于自己的“問題表象”并被“短時記憶”的過程。主體“解決問題”時的數(shù)學思考，通常依賴頭腦中“即時獲得”并“短時記憶”的“問題表象”而展開。（ 1 ）讀懂題目新課程提倡運用圖、文字、表格等多種形式呈現(xiàn)信息，這也給學生的閱讀帶來一定的困難。教師可以采取鼓勵學生多讀幾遍，嘗試完整地用自己的語言復述題意，采用情境表演等方式幫助學生理解。（ 2 ）有效地收集和選擇信息可以鼓勵學生面對眾多的信息，選擇若干信息提出可以用數(shù)學解決的問題；可以鼓勵學生回答，如果要解決某一問

21、題，需要收集哪些信息；可以根據(jù)實際的問題情境，鼓勵學生對問題進行選、判斷或補充。4 關注對數(shù)量關系的分析在分析數(shù)量關系上，過去有一些好的方法。可以借鑒傳統(tǒng)“應用題”的教學經驗，將“分析法”、“綜合法”的思考方法“教”給學生。但問題在于很多教師往往“迫不及待”地將自己解題的方法或已經提煉出的方法告訴學生，導致學生再遇到問題時還是不會用。所以教師要留給學生獨立思考、探索策略的時間，對分析數(shù)量關系的總結一定是建立在學生思考、探究和充分的交流基礎上的。另外，小學階段需要學習的兩個數(shù)量關系一般在小學四年級左右開始引入，但教師應注意他們在小學數(shù)學中的學習線索，包括第一學段的引入正式學習高年級的進一步認識。

22、低年級雖然沒有正式學習，但學生借助生活經驗和對運算意義的理解，就能夠理解如“飛機每分鐘飛行 21 米 ， 60 分鐘飛行多少米”的問題，這可為后面的學習奠定基礎。另外，要注意這兩個基本數(shù)量關系的變式。5. 關注解決問題策略的學習問題解決教學的價值不僅在于解決了具體的問題，更重要的是學生在這個過程中獲得的發(fā)展，包括獲得分析、解決問題的基本策略。解決問題的策略，是人們長期解決問題經驗的總結，它對于解決特定問題有效，對于學生解決更多的非常規(guī)的、實際的問題時也將發(fā)揮作用。小學數(shù)學中所涉及到的具體解題策略有以下幾種：畫圖、簡化題目、嘗試和猜想、逆推、用方程解、用公式解等。學生的解決問題的策略不是先天形成

23、的，而是在解決問題的過程中逐步形成和發(fā)展起來的。對于分析問題和解決問題策略的教學，應注意以下幾個方面。第一，教學中要重視對學生分析問題和解決問題策略的指導，適時地將“隱性”的策略“顯性化”。如問題解決前，指導學生思考運用哪些策略；解決問題過程中，是否要調整策略；解決問題后，反思所使用的策略。第二，學生所采用的策略，在教師的眼中也許是有優(yōu)劣之分的，但在孩子的思考過程中并沒有好壞之分，都反映出學生對問題的理解和所作出的努力。第三，解決問題策略的教學應把解決問題的主動權教給學生，提供給學生更多的解釋和評價他們自己的思維結果的權利。第四，要注重策略的廣泛運用。在解決問題的過程中，要引導學生有意識的使用

24、所學過的策略解決問題。6. 關注對解決問題過程和結果的檢驗教學中應鼓勵學生對解決問題的結果加以檢驗，一方面檢驗結果是否正確，另一方面考察問題的結果是否符合實際，逐步形成評價和反思意識。事實上，驗證結果的合理性需要兩種基本的能力，首先需要對現(xiàn)實世界的數(shù)量及其關系有一定了解，如自行車的速度、汽車的速度等，這些是判斷問題結果合理性的重要背景知識；其次能對結果的數(shù)量級有準確的估計。這種能力并不是通過大量的訓練筆算就可以得到的，而是通過對位值的理解和對簡單的數(shù)的運算的靈活運用而得到的。常教學中，教師要有意引導學生將“所求答案”與“已知條件”相互“反串”，進行“二次解答”，從而確證原先解題的正確性。久而久

25、之，學生便會在教師的“用心”引領下形成“代入檢驗”的策略習慣。此外，為了發(fā)展學生的應用意識，還可以在解決問題之后，鼓勵學生將應用問題的情境與真實生活聯(lián)系起來，提出新的問題；并可以反思所使用的策略能否作為解決一類問題的重要方法，對不同策略進行比較，體會各自不同的特點與實用性等等。（二）“綜合與實踐”教學策略小學數(shù)學四個課程領域之一綜合與實踐，就指向了哪些來自實際的、非常規(guī)的、條件開放的、結論不確定的問題。數(shù)學課程標準（2011 ）“綜合與實踐”是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。在學習活動中，學生將綜合運用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”等知識和方法解決問題?！熬C合與實踐”

26、的教學活動應當保證每學期至少一次，可以在課堂上完成，也可以課內外相結合。1. 設計好問題對于“綜合與實踐”這個領域在實踐上還是很不成熟，反映在教材的編寫上，存在著對這個領域的內涵理解不一致、很多素材并不適合學生等現(xiàn)象，需要教師們積極研究，適當改進。教師可以因地制宜地收集、編制、改造適合學生使用的問題，同時鼓勵學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題。教師設計問題的時候，應注意以下一些基本原則：問題應能激起學生的興趣及探索、創(chuàng)造的愿望。這樣的問題來源于學生的現(xiàn)實，又是學生通過努力可以解決的。問題應具有一定的新穎性。問題應具有一定探索性和艱巨性問題應具有一定的綜合性問題應具有一定的彈性和開放性。問題應具有較為廣泛的

27、數(shù)學背景，具有連續(xù)學習探討的可能性，并從中提出進一步需要研究的問題。問題可以課內外結合。2. 組織學生自主參與和合作探索教師應作為學生的“參謀、同伴”參與到學生的解決問題活動中，作為他們的建議者、欣賞者，為學生營造一個寬松、民主的環(huán)境，提供充分實踐和思考的時間，鼓勵他們探索解決問題的方法；組織交流自己的成果，對于學生的困難給予適當?shù)膸椭椭笇?。切不可簡單地通過“示范”告訴學生應該怎么樣，這會造成學生失去自主解決問題的機會。3 鼓勵學生發(fā)展個性學生要解決的問題多數(shù)是開放的，答案和解決過程都是不唯一的，因此教師應當尊重與鼓勵學生富有個性和創(chuàng)造性的思考，并引導他們之間交流各自解決問題的方法，這對于培

28、養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識是非常重要的。4 引導學生及時反思活動過程反思自己是如何分析問題的？運用了哪些解決問題的策略？遇到了哪些困難？這些困難是如何克服的？別人的想法對自己是否有啟發(fā)？通過問題的研究自己有哪些收獲等。5 合理評價學生的表現(xiàn)對學生的評價要以過程性評估為主，主要評價兩個方面：一是學生參與活動的積極程度，包括是否積極思考、探索積極問題的方法；是否能與同伴良好合作；能否主動解決困難等。二是評價學生在活動中所表現(xiàn)出來的思考水平和策略等。案例導讀【案例信息】案例一名稱： 北師大版 實驗教材小學數(shù)學六年級上冊嘗試與猜測雞兔同籠案例二名稱： 北師大版 實驗教材小學數(shù)學三年級上冊買新書【導讀教師】王艷玲

29、（東北師大附小、小學高級教師）【導讀文本】在前面的講座中，主要針對問題解決的含義、教育價值等問題做了解讀，并辨析了問題、問題解決、應用題、應用問題等概念，希望幫助各位老師厘清一些模糊的觀念。在講座中，我們將問題解決作為數(shù)學課程的基本理念和要求，整理為“應用問題”和“綜合與實踐”兩個線索?！皯脝栴}”融合在“數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率”等領域之中，重在一些解決問題的基本技能、基本數(shù)量關系、基本思想的教學。而“綜合與實踐”指向開放性較強的、非常規(guī)的、指向實際生活的一些綜合運用數(shù)學知識解決的問題。為了幫助各位老師更好的理解關于問題解決的一些基本理念的前面講座中所介紹的一些策略，我們選擇了兩個教

30、學案例。一個是以四則運算為實際背景的常見數(shù)量關系的教學，是北師大版小學數(shù)學三年級上冊第六單元除法中第四節(jié)買新書的內容。另一個是老師們都比較熟悉的雞兔同籠問題的教學，選自北師大版小學數(shù)學五年級上冊嘗試與猜測這一部分。這兩節(jié)課的選擇，對應了前面講座中對“應用問題”，一個是探討基本的數(shù)量關系的教學；一個是探索類型問題的教學。由于“綜合與實踐”教學課例受時間、場地、上課形式或學習方式多樣化的制約，不容易展示出來，所以這里并沒有給各位老師提供這方面的教學案例。應該說，買新書和雞兔同籠這兩節(jié)課是 “應用問題”中比較有代表性的課。買新書一課是隱含了“教計算還是教解決問題”爭執(zhí)的代表；雞兔同籠一課是隱含了“求

31、結果還是教策略”爭執(zhí)的代表。這些實際教學中暴露出爭執(zhí)也一直是教師們共同關注的問題之一。就這兩個課例而言，買新書一課執(zhí)教教師教學的重點在于怎樣幫助學生分析問題和理解問題；雞兔同籠一課執(zhí)教教師的教學重點在于對用畫圖策略解決問題的漸漸深入。兩節(jié)課的重點都非常明確，而且教師執(zhí)教的過程中也緊緊圍繞著重點設計教學任務，展開教學。這個重點也應該是各位教師觀看案例時重點關注的問題。另外，各位老師都執(zhí)教過這兩節(jié)課，即便沒有教過這兩節(jié)課，但也都教過類似的“四則運算的數(shù)量關系、混合運算、多步應用題”和各版本教材中的類似“搭配、體育比賽中的數(shù)學、統(tǒng)籌、點陣”等關于解決問題策略的教學內容。所以老師們可以先回憶一下自己是

32、怎樣理解這些內容的重點難點，是如何開展教學的，有哪些獨特的做法落實重點難點，然后再和這兩個案例中的教學做對比，開展討論，在比較和交流中積累更好的經驗。但必須指出的是，這兩個課例都來自同一所學校，從課堂教學中更可以看到兩節(jié)課有一些一致的做法，比如提供學習指南，倡導學生自主學習、合作學習等，這與該所學校提倡的“從給教師的教轉向學生的學”的課堂教學改革有關，各位老師聽課的時候可以吸收借鑒一些做法。另外，這兩節(jié)課都是常規(guī)課，所以存在著很多的不足，比如雞兔同籠問題，大家可以和參考資料中提供的雞兔同籠的案例進行對比，批判地去辨析，吸收好的做法，商榷不足之處，以加深我們對問題解決教學的思考。案例展示一【案例

33、信息】案例名稱：北師大版 實驗教材小學數(shù)學六年級上冊嘗試與猜測雞兔同籠講課教師：王立生（東北師范大學附屬小學，小學高級教師）【教學設計】教學目標：1 使學生經歷嘗試與猜測的過程，理解“雞兔同籠”問題的數(shù)量關系，在探究的過程中提高學生分析問題解決問題的能力。2 學會用列表法解決問題，能 對數(shù)據(jù)進行再認識、再分析，優(yōu)化列表的過程，滲透化繁為簡的思想。3 在活動和學習中培養(yǎng)學生 的探究精神和合作意識，積累一定的數(shù)學活動經驗。教學重點 ：學會用列表的方法解決問題，優(yōu)化列表的過程。教學難點： 如何優(yōu)化列表過程。教學準備： 多媒體和信紙教學過程：一、創(chuàng)設問題情境師： 這是你們用的數(shù)學書嗎？（出示北師大版數(shù)

34、學書）生：是的。師：這是誰用的數(shù)學書？（出示 孫子算經）生：這是古人用的數(shù)學書。師：這書的內容可是非常古老的，大約有 1500 年的歷史了。古人的數(shù)學書里寫了些什么哪？想知道嗎？生：想。師：第 23 頁有這樣一個經典問題，老師對個別文字處理了一下：“ 今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？師：誰來給一讀下。生：師：這道題可挺有意思，每句都是 6 個字的，像古詩一樣。誰能像古人那樣再讀一遍。生：讀題。師：什么意思？挺難懂！誰來給解釋一下？生：雞兔在同一個籠子里，一共有 35 個頭， 94 條腿，求雞和兔各有多少只？師：雞兔同籠說明什么？生：籠子里有雞有兔。師：誰知道這是什么問題

35、？生：雞兔同籠問題。師：你們在哪見過這樣的問題？生：我在課外班學過。師： 1500 多年前的問題，現(xiàn)在還有人研究，說明這個問題一定挺有意思！這節(jié)課我們就來研究“雞兔同籠”問題好不好？板書（雞兔同籠）為了研究方便，我們先來研究一個簡單的雞兔同籠問題。設計意圖 ：從介紹數(shù)學書入手，使學生感到我國的數(shù)學文化是比較厚重的，利用他們的好奇心，激發(fā)他們求知的欲望。二、引入新課1 獨立嘗試出示問題 ：雞兔同籠，一共有 14 條腿，可能有幾只雞？幾只兔？讀題 ： 誰來給讀一下學習指南： 請選擇你自己喜歡的方法獨立解決問題，思考清楚自己的方法準備全班交流。2 匯報交流。師：誰愿意匯報一下自己的方法和結論？請到前

36、面來說一說。（卡片放在實物投影儀上，人對著屏幕說）生： 14 ÷ 4=3 （只） 2 （條）； 2 ÷ 2=1 （只）說明有 3 只兔子， 1 只雞。（師板書 3 只兔子， 1 只雞）。師：這位同學非常理性地通過計算給定了兔子的只數(shù)，然后再算出雞的只數(shù)。師：誰和他做的是一樣的？誰還有不同的方法？生：我是先給定 1 只兔子，然后算出有幾只雞，再給定 2 只兔子，算出有幾只雞，再給定 3 只兔子，看有幾只雞。兔 / 只123雞 / 只531腿 / 條141414師：他是怎么做出來的？生：試的。（師板書“試”）師：他是怎么試的？生：先給定一個答案，然后算出另一個。（板書：給定）師

37、：他的方法我明白了，先給定一個答案，然后再算出另外一個答案，再給定一個答案，再算出另一個答案，直到找出所有答案后，列成了表格。師：這是把什么過程列成表格了？生：試的過程。師：我們根據(jù)條件列成了幾欄？生：三欄。師：這三欄分別是腿、雞的只數(shù)和兔的只數(shù)師：對比兩種辦法你有什么想法？生：列表的方法更清楚，一目了然。師：既然列表法有這么多好處，現(xiàn)在我們就用列表的方法來解決 1000 多年前的經典雞兔同籠問題。（出示：籠子里有雞和兔，共有 20 個頭， 54 條腿，雞和兔各有多少只？）設計意圖 ：通過解決只有 14 條腿的雞兔同籠問題，對他們已有的知識經驗產生撞擊，促使他們想辦法，給定個答案試一試，逐步嘗

38、試與猜測，解決問題，產生列表的需要，感受到列表是有效的策略。三、自主探索與合作交流1 提出問題師： 這個問題和剛才已經解決的問題題有什么區(qū)別？生：給了總頭數(shù)。師： 20 個頭什么意思？生： 20 個頭說明雞兔一共有 20 只。師：如果我們列表的話，根據(jù)條件應該列出哪幾欄？生：四欄：雞、兔、頭和腿。師：如果讓你給定一個答案，你給幾只雞？師：老師給定 1 只雞，會有幾只兔子？（板書 1 ）生： 19 只，（師板書）師：怎么算出來的？生： 20 減 1 。（在兔的上面板書“ 20 ” ）師：如果給定 2 只雞，會有幾只兔子？生： 18 只兔子。（師板書）師：哪個答案對呢？應該再看什么？生：再看腿數(shù)是

39、不是 54 。師：第一組答案一共有多少條腿？怎么算？生： 1 × 2+19 × 4=78 （師板書）師：第二組答案一共有多少條腿？怎么算？生： 2 × 2+18 × 4=76 （師板書）師：哪組答案對呢？生：都不對。師：看來老師沒有找到答案。好了這個任務就交給你們了。能找到嗎？生：能。學習指南：運用列表的方法，獨立解決問題，并與小組同學交流，想清楚自己的方法，等待與全班交流?？梢杂美蠋煹姆椒ㄒ粋€一個的試下去，也可以用自己喜歡的數(shù)據(jù)去試。2 自主探索與合作交流小組可以討論一下自己的列表方法。3 匯報師：誰來匯報一下自己的成果？列表法生 1 ：我是這樣列表的

40、。（ 板書：表格）頭 / 個202020202020雞 / 只1234513兔 / 只19181716157腿 / 條787674727054師：請說一說每次給定答案算腿總數(shù)的算式。（再板書兩組算式）生：。師：邊填表，邊板書算式，板書幾個算式后，就只填表。師：我們終于找到答案了，給了 13 個答案，才找到結果。你很了不起！誰是這樣做的？師：這些腿數(shù)都是一個一個算完再填的嗎？生：不是。師：為什么？生：雞每增加一只，兔子的只數(shù)就減少一只，腿的總數(shù)就減少 2 只。雞越多，腿越少。設計意圖：通過逐一給定答案，使學生經歷一個完整列表的過程，從中感受因雞兔只數(shù)的變化，引起雞兔腿總數(shù)的變化規(guī)律，理解雞兔同籠

41、的數(shù)量關系，滲透函數(shù)思想。師：對這名同學的毅力我是肅然起敬，他能一個不落的逐個給定答案，試出最后的正確答案，很了不起！都哪個小組想?yún)R報這種方法，都哪個同學使用了這種方法？對這種方法你有什么感受？生：太麻煩了。師：誰試了幾次就找到答案了？生 2 ：我是這樣列的表（板書：表格）頭 / 個2020202020雞 / 只110151413兔 / 只1910567腿 / 條7860505254師：這種列法挺奇怪，你是怎么想的？生：先給 1 只雞， 19 只兔，腿是 78 條，發(fā)現(xiàn)腿多了，這是因為雞太少，所以，我便給 10 只雞和 10 只兔，腿是 60 條，結果腿少了，說明雞多了，但很接近了，減少雞的只

42、數(shù)，增加兔的只數(shù)，然后慢慢調出正確答案。師：我明白了，他是在給定答案后，在試的過程中，邊試邊調整，從而減少了試的次數(shù)。都哪個小組想?yún)R報這種方法，都哪個同學使用了這種方法？師：誰不是從 1 開始試的？生 3 ：我是這樣列表的。（板書：表格）頭 / 個20202020雞 / 只10151413兔 / 只10567腿 / 條60505254兩種動物先各給一半，發(fā)現(xiàn)腿多了，說明雞少了；然后增加雞的數(shù)量，雞 15 只，兔子 5 只；腿少了，說明雞多了，再往回調。最后就找到答案了。四、小結收獲師：這三個都是列表，你喜歡哪種？為什么？生：第一種，可以做到不重復不遺漏，但是比較煩瑣；第二種和第三種都能比較迅速

43、的找到答案，但是當條件不充分的時候，容易漏掉答案，就像只給 14 條腿一樣的時候。這三種方法各有優(yōu)勢，他們有什么共同之處呢？師：我們是怎么驗證我們給定的答案是否正確哪？生：看腿的條數(shù)是不是得 54師：我們看一下算式，有什么共同的特點？生：都是乘 4 和乘 2 。（師板書 4 ， 2 ）師：為什么？生：因為兔子有 4 條腿，雞有 2 條腿。師：什么乘 4 ？什么乘 2 ？生：兔子的只數(shù)乘 4 ，雞的只數(shù)乘 2 。師：如果用 X 表示雞的只數(shù)（在雞的只數(shù)上板書字母），兔子可以怎么表示哪？（指著表頭上的 20 ）生： 2 × x +4 ×（ 20 x ）師：等于多少呢？生： 54

44、 。師：我們給定一個答案，試來試去，找到了答案也就找到了方程的解。設計意圖：通過對不同列表方法的學習與評價，運用雞兔同籠的數(shù)量關系和變化規(guī)律，逐步優(yōu)化列表過程，向學生滲透化繁為簡的思想。通過方程關系的確定，滲透函數(shù)思想。師： 今天解決雞兔同籠的方法和你們在課外學的方法一樣嗎？生：不一樣，以前用的是假設法，今天的是列表法。生：以前都是列算式算出來的，今天是通過給定一個答案，試一試的辦法試出來的？五、歷史淵源簡介對于雞兔同籠問題，有著悠久的歷史。1. “ 雞兔同籠 ” 問題出自我國古代數(shù)學名著孫子算經一書中。距今已有 1500 多年，原書記載是： “ 今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞

45、兔各幾何 ？ ”其中的解法也是非常奇特。 94 ÷ 2=47 （只），這時，雞只有一條腿，兔也只有 2 條腿。 47 35=12 （只），這就是兔子的只數(shù)。 35 12=23 （只）這就是雞的只數(shù)。2 雞兔同籠問題傳入日本以后，日本對雞兔同籠問題也進行了研究，日本人稱這樣的問題為“龜鶴問題”。六、鞏固練習。師：在實際生活中還有很多類似雞兔同籠的問題，同學們有信心運用學到的知識來解決實際問題嗎？屋里有 3 條腿的桌子和 4 條腿的凳子共 14 個，一共有 51 條腿，桌子和凳子各有多少個？桌子和凳子總數(shù) / 個桌子 / 個凳子 / 個腿 / 條學習指南： 獨立完成卡片，然后請教師檢查。

46、合格的同學完成發(fā)展卡，不合格的同學，學會以后完成補充卡。七、發(fā)展提高除了列表法，你還有什么方法可以解決這個雞兔同籠問題，試著自己獨立解決它，并與同學交流，到答案區(qū)自己核對答案?！菊n后反思】對于“嘗試與猜測雞兔同籠”這節(jié)課，我進行教學設計時主要關注了以下幾個方面。第一，精心設計，明確思路。第一部分是引入部分。使學生在文化的氛圍中進入知識的學習，利用 14 條腿，使學生產生列表的需要，以及如何列表，并體驗到列表是一個不錯的解決問題的策略。第二部分是新授部分，使學生在列表解決問題的過程中如何利用表格解決問題，并對列表進行優(yōu)化。第二，滲透數(shù)學思想和方法，學出數(shù)學味道。使學生獲得一些基本數(shù)學思想，應該是

47、我們數(shù)學教師的較高的追求。在逐一列表過程中，理解雞兔同籠的數(shù)量關系，滲透了函數(shù)思想。在對列表學習和評價中，滲透了優(yōu)化思想。通過嘗試與猜測以及如何整理自己解決問題的過程，使學生獲得一些必要的解題策略。第三，從學生的實際出發(fā)，提高學生可持續(xù)發(fā)展能力。這部分內容不是僅僅使學生學會雞兔同籠問題，而是通過這種問題，使學生獲得解決問題的策略，滲透數(shù)學思想，影響數(shù)學觀念。假設法是特殊方法只對特殊問題有效，但是，并不是每個同學都能學會。我做過調查，大約有 45% 的學生學了這種方法；能夠用方程的方法解決這個問題的學生就只有 16% ；使用列表法解決這個問題，是 100% ?；诖?，從學生的身心水平來看，學習一

48、種解決問題的大策略列表，是必要的，也是能夠學會的策略。在學習過程中豐富兒童的數(shù)學活動經驗，獲得一些必要的數(shù)學思想方法，能在學習數(shù)學的道路上走地遠一些。同時也鼓勵學生在學會基本策略的同時，尋求其他策略方法，使不同的學生得到不同的發(fā)展。案例展示二【案例信息】案例名稱： 北師大版 實驗教材小學數(shù)學三年級上冊買新書講課教師： 石迎春（東北師范大學附屬小學，小學高級教師）【教學設計】教學內容：義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學（北師大版）三年級上冊第六單元除法第四節(jié)買新書（連除和乘除混合運算）。教學目標：1 理解連除或乘除應用問題中的數(shù)量關系，掌握解題思路，能夠解決簡單的兩步應用問題；在解決實際

49、問題的過程中理解連除、乘除混合運算的運算順序，能夠正確計算。2 在自主學習、合作探索中，經歷用畫圖策略分析問題解決問題的過程，培養(yǎng)分析推理能力。3 在獨立分析、解決問題的過程中，獲得成功的體驗，感受數(shù)學在實際生活中的應用。教學重點：掌握解題思路，提升分析能力。教學難點：理解數(shù)量關系。教學流程：一、創(chuàng)設情境、提出問題1 談話引入，創(chuàng)設情境。師：去過學校的圖書閱覽室嗎？想不想去看一看？（欣賞閱覽室的一組照片）。師：閱覽室里不僅有許多好看的圖書，其中還藏著數(shù)學問題呢，想不想去研究一下??！2 出示主題圖，提出問題。師：誰能讀一下題？（讀 2 遍）生：學校閱覽室買來 480 本書，放在 2 個書架上，每

50、個書架有 4 層，平均每層放了多少本書？師：在這個問題中有幾個已知的數(shù)學信息呢？生：已知數(shù)學信息是買來 480 本書， 2 個書架，每個書架有 4 層。師：這道題要求的什么？生：要求的是平均每層放了多少本書。二、學生自主解決問題1. 用畫圖的方法理解題意。師：我們這節(jié)課就要來解決這個問題，請看學習指南 1 。誰能讀一下？生：學習指南 1學習任務：理解題意1. 用畫圖的方法表示題中的已知信息和問題。（圖不能太復雜）2. 指著圖默默想一想題中每一句話是什么意思。（建議時間 3 分鐘 )師：同學的手中都有這樣的一張學習卡 1 ，在桌面上大家可以看一看，一會兒我們就按照學習指南 1 的要求完成學習卡

51、1 ，如果有需要的話，可以和你的同伴小聲交流一下。生：開始畫圖理解題意。師巡視指導。全班匯報。師：誰能到前面和大家說一說你是怎么畫的？你是怎么理解題中的每一句話的？生 1 ：匯報。師：都誰的畫法和他一樣？有沒有補充？還有沒有不一樣的畫法？生 2 ：匯報第二種畫圖的方法。2. 探索解決問題的思路方法。師：我們把題意弄明白之后，就要開始探索解決問題的思路和方法。請看學習指南 2 ，誰能讀一下？生：學習指南 2學習任務：探索解決問題的思路方法1. 可以從已知信息開始分析，確定先求什么，再求什么；也可以從問題開始分析，確定先求什么，再求什么。2. 用自己喜歡的方法列式計算。3. 小組內互相交流，分享各

52、自的想法。（建議時間 5 分鐘 )師：我們解決問題一般從這樣幾個角度入手。一種是從所給的數(shù)學信息開始，去思考哪兩個信息是有關系的，能解決一個什么問題，解決的這個問題和我們最終要解決的問題之間又有什么聯(lián)系，就這樣一步一步的往下去想，一直到我們把問題解決。這種方法就是從已知信息入手去思考問題。另一種思路是從所要解決的問題入手，去想我要解決這個問題，我都得需要哪些信息呢？哪些信息是已知的，題中直接給我的，哪些信息是未知的，題中沒有直接給我們，而是需要我們進一步去思考，去求的。這種方法就是從所求問題入手去思考的。師：都誰想從已知信息入手去思考問題？都誰想從問題入手呢？一會兒就用你們喜歡的策略解決問題。

53、師：請大家拿出學習卡 2 ，按照學習指南 2 的要求，把它完成。如果遇到困難了，可以求助你的同伴，也可以求助我。3 學生獨立探索、列式解決。教師巡視，給予相應的指導4 小組內交流、分享想法。教師巡視，給予相應的指導三、全班匯報、集體交流1 匯報“先求一個書架能放多少本書”的思路。學生匯報師：哪一個小組到前面來把你們的想法和大家說一說？這道題你是怎么想的？生：要求平均每層有多少本書，我要先求出一個書架能放多少本書，再把一個書架中的書平均分成了 4 份，每份就是一層有多少本書。師：你能不能結合你畫的圖，和大家詳細的說一說？師：都有哪些小組的想法和他們是一樣的？誰能再說一說。再找一個孩子到前面來和大

54、家說一說。師：這道題先求的是什么？再求的是什么？師：怎樣列式計算呢？誰能把這個分步算式改寫成綜合算式呢？第一步先算什么？再算什么？生： 480 ÷ 2 =240( 本 )240 ÷ 4 =60( 本 ) 480 ÷ 2 ÷ 4老師講解師：這個解決問題的思路就是先從已知的數(shù)學信息入手，把 480 本書平均分給 2 個書架，先算一個書架放多少本書。然后再根據(jù)另一個數(shù)學信息“每個書架有 4 層”，再算出一個書架一層放幾本書。我知道了其中一個書架每層放多少本書，那么另一個書架我也知道了。這種解決問題的思路其實是把 480 怎樣，再怎樣了？生：平均分成 2 份，再

55、平均分成 4 份，求其中的 1 份是多少。2 匯報“先求兩個書架一共有多少層”的思路。師：解決“平均每層放多少本書”還有其他不一樣的想法嗎？學生匯報生：要求一層有多少本書，就要先求 2 個書架一共有多少層，然后再把 480 本書按照總層數(shù)來平均分，每一份就是一層有多少本書。師：先求 2 個書架的層數(shù)，再求每層放的本數(shù)。師：怎樣列式計算呢？誰能把這個分步算式改寫成綜合算式呢？第一步先算什么？再算什么？生： 2 × 4=8( 層 )480 ÷ 8 =60( 本 ) 480 ÷（ 2 × 4 ）老師講解師：這種解決問題的方法就是從要求的問題入手。要想解決平均每

56、層放多少本書，我們就得指導書的總數(shù)和書架的總層數(shù)。書的總數(shù)題中已經告訴我們是 480 本，而書架的總層數(shù)沒有告訴我們，而是告訴我們有“ 2 個書架，每個書架有 4 層”。根據(jù)這兩個數(shù)學信息，我們就可以先求出 2 個書架一共有多少層。再把 480 本書平均放在 8 層書架上。這種解決問題的思路是把 480 平均分成 8 份，只不過沒有直接告訴是 8 份，需要我們先求出要分的份數(shù)。五、小結師：我們用了 2 種辦法幫助圖書館的老師解決了“書架每層平均放多少本書”，板書：買新書。誰誰能答一下。板書：平均每層放 60 本書。師：我們仔細觀察一下，這 2 種方法有什么不同呢？生 1 ：先求的不同。生 2 ：第一種是把 480 平均分成 2 分，再分成 4 分。第二種是先求總分數(shù)，再把 480 平均分成 8 份，師：我們這節(jié)課通過幫助閱覽室老師擺放新書，學會了解決生活中的一些問題的思路和方法。六、鞏固練習、形成能力師：老師給大家?guī)硪晃恍屡笥?/p>