高等數(shù)學第五講+黎曼積分

1、第五講 黎曼積分（正常積分）§4.1 定積分一、定積分產(chǎn)生的背景：計算曲邊梯形面積的代數(shù)和.二、定積分的概念和定義(一)定積分的概念首先用小的矩形的代數(shù)面積去近似地代替小的曲邊梯形的代數(shù)面積,然后用小的矩形的代數(shù)面積的和去近似地代替小的曲邊梯形的代數(shù)面積的和(曲邊梯形的代數(shù)面積),第三,讓每個小的矩形的代數(shù)面積的絕對值要多么小有多么小,則小的矩形的代數(shù)面積的和去準確地代替小的曲邊梯形的代數(shù)面積的和(曲邊梯形的代數(shù)面積),這樣我們就通過使用直邊圖形的面積公式得到曲邊梯形的代數(shù)面積.(二) 定積分的定義定義(): 函數(shù)在閉區(qū)間有定義，劃分把閉區(qū)間劃分成個小區(qū)間，其中， (分割的細度)，,

2、若極限存在，我們稱極限為函數(shù)在閉區(qū)間上定積分（Riemann積分），記作. 定義(): 函數(shù)在閉區(qū)間有定義，劃分把閉區(qū)間劃分成個小區(qū)間，其中， (分割的細度)，,若極限存在，我們稱極限為函數(shù)在閉區(qū)間上定積分（Riemann積分），記作.定義(微元法的定義): 函數(shù)在閉區(qū)間有定義，在上任取一點，按積分下限到積分上限的方向給點一個增量，的絕對值是要多么小有多么小的正數(shù)，用表示小曲邊梯形的代數(shù)面積（面積前加正或負號），用符號表示把閉區(qū)間上小曲邊梯形的代數(shù)面積累積起來的曲邊梯形的代數(shù)面積，如果的值存在，我們稱為函數(shù)在閉區(qū)間上定積分（Riemann積分）.由上述兩個定義可以看出(1); (2);(3)

3、. 由定義知:表示函數(shù)定義域（軸上的區(qū)域）上點處沿方向(從積分下限到積分上限)的增量,是絕對值要多么小有多么小的實數(shù);當時,當時,;表示,所圍成的曲邊梯形的面積(或)或面積的相反數(shù)(或)；函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)或有有限個間斷點，則極限存在，即函數(shù)在閉區(qū)間上Riemann可積；函數(shù)在閉區(qū)間上有界，則極限不一定存在，即函數(shù)在閉區(qū)間上不一定Riemann可積, 如狄利克雷函數(shù). 三、計算: (1)常規(guī)計算法牛頓-萊布尼茲公式法,其中. 或,其中,該式說明為什么函數(shù)的所有原函數(shù)叫做函數(shù)的不定積分,并且函數(shù)的不定積分用符號表示. 分步積分法 . 換元積分法 第一換元積分法 ，其中，。第二換元積分法.(2)對

4、稱性計算法:當函數(shù)在對稱閉區(qū)間上為奇函數(shù)()時,則;當函數(shù)在對稱閉區(qū)間上為偶函數(shù)()時,則.四、定積分計算的例題和習題例1 （上海大學2004年）給出有界函數(shù)在閉區(qū)間上Riemann可積的定義。試舉出一個在閉區(qū)間上有界但不可積的例子，并給出證明.證明: Riemann可積的定義: 設在閉區(qū)間上的有界函數(shù)為,對,存在,當時,有,其中是一個常數(shù), 為閉區(qū)間的任意分割, ,.在閉區(qū)間上有界但不可積的例子.存在,對,當時,有,其中的有理數(shù).故在閉區(qū)間上有界但不可積.例2(蘭州大學2005年)求.解: 首先判斷積分反常性。因為在上有間斷點，并且，所以積分是反常積分。.例3(華東師范大學2006年)求.解

5、: 因為在上有間斷點，并且所以積分是黎曼積分（正常積分）。因為，所以， 。進而 例4（南京理工大學2006年）.解: 因為在上有間斷點，并且所以積分是黎曼積分（正常積分）。因為，所以，進而.例5（陜西師范大學2003年）.解: 因為為奇函數(shù).所以.又因為, 所以.例6(山東科技大學2005年)計算.解: 因為,由于,所以.例7(上海大學2005年)求定積分.解:因為為奇函數(shù),為偶函數(shù),所以 例8 (北京交通大學2003年)求.解: .例9(北京交通大學2004年)求.解：令，則.例10(南京理工大學2004年)求.解：因為，所以令,進而.（1） 當時, 有.（2） 當時, 有練習:1 (中國科

6、學院武漢物理與數(shù)學研究所2004年)計算.（提示:利用降冪公式，答案：）.2 (中山大學2007年)計算.（提示: 根據(jù)積分的上下限作變量替換.答案：）.3 (湖南師范大學2005年)計算.（提示: 根據(jù)積分的上下限作變量替換.答案：）.4 (南京理工大學2006年)求.（作變量替換.答案：）5 (武漢理工大學2004年)計算,為正整數(shù). （提示: .答案：）6 (山東師范大學2005年)求.（答案：）.7 (上海理工大學2005年)計算定積分.（答案：）.8 (上海理工大學2003年)設函數(shù),計算定積分.（提示: 作變量替換. 答案：）.9 (遼寧大學2004年)設的一個原函數(shù)是,計算定積分

7、.（提示: 作變量替換.答案：）.10 (遼寧大學2005年)設,計算定積分.（提示: 用分部積分法. 答案：）.11 (山東科技大學2006年)設,證明: (對進行變量替換). 12 (上海理工大學2004年)設在上具有二階連續(xù)導數(shù),且,求(提示: 用分部積分法. 答案: ).五、定積分的應用1、函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，將函數(shù)的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為：.2、函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，將函數(shù)的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為：.3、 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，,將函數(shù)所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為：.4、計算旋轉(zhuǎn)體的表面積如果函數(shù)在上連續(xù), ,將函數(shù)的圖形繞軸

8、旋轉(zhuǎn)一周，則所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積為: .推導如下:在閉區(qū)間上任取一點,沿到的方向給點一個增量,是要多么小有多么小的正數(shù), 在點處做的平行平面與旋轉(zhuǎn)體邊界相交于一個圓,則改圓的周長為,小位微元的表面積為,由微元法知, 旋轉(zhuǎn)體的表面積.練習:1(復旦大學2001年)請計算由拋物線和軸所圍成的平面區(qū)域的面積.(答案:)2 (中山大學2005年)設,試確定參數(shù),使得曲線和它在點的法線方程,以及與軸所圍成區(qū)域的面積最小. (答案: , 最小面積為)3(中山大學2007年)在平面上,光滑曲線過點,并且曲線上任意一點處的切線斜率與直線的斜率之差等于,為常數(shù). (1)求曲線的方程;(2)如果曲線 與直線所圍

9、成的平面圖形的面積為,確定的值(答案: 曲線的方程,)4(山東科技大學2004年)求擺線,在一個拱形()繞橫軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的體積. (答案:).5(山東科技大學2004年)求對數(shù)螺線從點起變到點的弧長. (答案:)6(汕頭大學2003年)設,求星型線的全長. (答案:)7(湖南師范大學2005年)求曲線的弧長. (答案:)8(南京大學2003年)過點做拋物線的切線，求：（1）切線方程；（2）由拋物線、切線及軸所圍成的平面圖形的面積;(3)該圖形分別繞軸旋轉(zhuǎn)一周的體積. (答案: 切線方程:; 面積:;體積).9(河北大學2006年)設有兩條拋物線和,記它們交點橫坐標的絕對值為.(1)求這兩條拋物

10、線所圍成平面圖形的面積;(2)求級數(shù)的和.(答案: 平面圖形的面積; ).10 (北京航空航天大學2005年)設,求直線和拋物線所圍圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積. (答案:).11(浙江師范大學大學2005年) 求由拋物線與直線所圍圖形的面積. (答案:).12(浙江師范大學大學2005年) 求由拋物線與拋物線所圍圖形的面積. (答案:).13(重慶大學2003年)求圓柱體與所圍立體的體積. (答案:)14(中國科學院2006年) 求星型線繞直線旋轉(zhuǎn)所成的曲面的表面積. (答案:).15(東南大學2005年)設懸鏈方程為,它在上的一段弧長和曲邊梯形的面積分別記為.該曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得

11、旋轉(zhuǎn)體的體積、側(cè)面積和處的截面面積分別記為，證明：（1），；（2）；（3）.§4.2二重積分一、二重積分產(chǎn)生的背景: 曲頂柱體體積的代數(shù)和.二、二重積分的概念和定義(一) 二重積分的概念首先用小的長方體的代數(shù)體積去近似地代替小的曲頂柱體的代數(shù)體積,然后用小的長方體的代數(shù)體積的和去近似地代替小的曲頂柱體的代數(shù)體積的和(曲頂柱體的代數(shù)體積),第三,讓每個小的長方體的代數(shù)體積的絕對值要多么小有多么小,則小的長方體的代數(shù)體積的和去準確地代替小的曲頂柱體的代數(shù)體積的和(曲頂柱體的代數(shù)體積),這樣我們就通過使用直邊圖形的體積公式得到曲頂柱體的代數(shù)體積.(二) 二重積分的定義定義 函數(shù)在閉區(qū)域上有

12、定義，劃分把閉區(qū)域劃分成個小區(qū)域，用表示區(qū)域的面積， ，,若極限存在，我們稱極限為函數(shù)在閉區(qū)域上的二重積分（Riemann積分），記作.由定義知:分別表示定義域（面上的區(qū)域）中點處和軸正方向的增量(該變量更確切),都是要多么小有多么小的正數(shù)(不能為負);表示為頂，底為區(qū)域的曲頂柱體的體積()或體積的相反數(shù)()；函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)或有有限條間斷曲線，則極限存在；表示在積分區(qū)域面上長、寬分別是的小微元的面積, 即.定義(微元法的定義): 函數(shù)在閉區(qū)域有定義，在閉區(qū)域上任取一點，分別按軸的正向給點一個增量向量，是要多么小有多么小的正數(shù)，用表示曲頂柱體的代數(shù)體積（體積前加正或負號），用符號或表示把閉區(qū)

13、域上小曲頂柱體的代數(shù)體積累積起來的曲頂柱體的代數(shù)體積，如果(無限個實數(shù)的和)的值存在，我們稱或為函數(shù)在閉區(qū)域上的二重積分（Riemann積分）.三、二重積分的計算: 1、在直角坐標系下的計算(1) 矩形區(qū)域:.為什么矩形積分區(qū)域上的二重積分有兩種計算方法,原因是: 對矩形區(qū)域內(nèi)每個點,要使點布滿整個矩形區(qū)域,并且點沒有重復,我們有兩種科學有效的方法: (1)首先讓點沿軸移動, 起點為,終點為,即的取值范圍為,進而得到, 這是平行于軸的一條恒定長線段(和的取值無關), 然后讓點沿軸移動, 起點為,終點為,即的取值范圍為,這時點就布滿矩形區(qū)域, 進而得到矩形區(qū)域上的積分. (2) 首先讓點沿軸移動

14、, 起點為,終點為,即的取值范圍為,進而得到, 這是平行于軸的一條恒定長線段(和的取值無關), 然后讓點沿軸移動, 起點為,終點為,即的取值范圍為,這時點就布滿矩形區(qū)域, 進而得到矩形區(qū)域上的積分.(2) 型區(qū)域:.為什么一般的型積分區(qū)域上的二重積分有一種計算方法,并且要先積,原因如下: 對型區(qū)域內(nèi)每個點,要使點布滿整個型區(qū)域,首先讓點沿軸移動, 起點為,終點為,即的取值范圍為,進而得到, 這是平行于軸的一條非恒定長線段(和的取值有關), 然后讓點沿軸移動, 起點為,終點為,即的取值范圍為,這時點就布滿矩形區(qū)域, 進而得到矩形區(qū)域上的積分. 而對型區(qū)域內(nèi)每個點, 如果首先讓點沿軸移動, 起點為

15、,終點為,即的取值范圍為,進而得到, 這是平行于軸的一條恒定長線段(和的取值無關), 然后讓點沿軸移動,無論怎么確定起點和終點, 點所覆蓋的區(qū)域不能布滿型區(qū)域或超出型區(qū)域,所以對一般的型區(qū)域要先積.(3)型區(qū)域:.為什么對型區(qū)域要先積,請同學做出說明.2、在極坐標系下的計算（1）.,其中與軸的正向所成的角為.（2），為參數(shù)。,，。注意: 通過極坐標變換,把直角坐標系下的積分轉(zhuǎn)化成極坐標系下的積分,這種方法雖不能減少積分變量(一般情況下),但可改變被積函數(shù)的形式, 使被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為容易積分的被積函數(shù). 極坐標變換計算二重積分,一般被積函數(shù)同時含有項.通過極坐標變換計算二重積分,要特別注意,其中為

16、雅克比行列式的絕對值.3、對稱性計算法:(1)當積分區(qū)域關于軸對稱時,且函數(shù)時,則;當積分區(qū)域關于軸對稱時,且函數(shù)時,則,其中區(qū)域為的區(qū)域.(2)當積分區(qū)域關于軸對稱時,且函數(shù)時,則;當積分區(qū)域關于軸對稱時,且函數(shù)時,則,其中區(qū)域為的區(qū)域.四、二重積分計算的例題和習題例1 (遼寧大學2005年)求.解: .例2 (山東師范大學2006年)計算累次積分.解: .例3 (中國科學院2007年)設,是定義在上的二元函數(shù),且在點處可微,求.解: 例4 (上海理工大學2003年)設為連續(xù)函數(shù),證明:.證明: 因為所以.例5 (華中科技大學2005年)設在上有二階連續(xù)導數(shù)，證明.證明: 由分步積分法可得再

17、根據(jù)積分換序有所以.例6 (北京師范大學2006年)求,其中是由軸、直線及曲線圍成的平面區(qū)域.解: .例7 (西安電子科技大學2005年)求,其中.解: 例7 (大連理工大學2004年)計算積分,其中是由直線及拋物線所圍成的區(qū)域.解: .例8 (武漢理工大學2004年)計算,其中是橢圓區(qū)域.解: 作變量替換,Jacobi行列式為.例9 (華東師范大學2003年)已知，計算.解: 作變量替換,則.例10 (汕頭大學2004年)計算積分,這里.解:因為,所以做變量替換.練習1(南京航空航天大學2003年) 設平面區(qū)域由曲線圍成,其中.求.(答案:)2 (北京師范大學2004年). (答案:,提示:

18、 做變量替換).3 (電子科技大學2004年)計算,其中為,為常數(shù),常數(shù).(答案:,提示:做變量替換).4 (山東師范大學2005年)求,其中表示平面曲線,所圍成的有界區(qū)域.( 答案:,提示:做變量替換)5 (南京航空航天大學2004年)用二重積分計算由曲線,和所圍成的面積. ( 答案:,提示:做變量替換)6 (南京理工大學2004年)計算,其中7(湖南師范大學2004年)求二重積分,其中.(答案:).8 (北京工業(yè)大學2003年)計算二重積分,其中.(答案:).9 (華東師范大學2005年)求.(答案:).10 (上海理工大學2004年)求.(答案:).11 (北京理工大學2004年) .(

19、答案:).12 (北京師范大學2003年)計算二重積分,其中區(qū)域由曲線,和所圍成. (提示: 作變量替換. 答案:).13 (湖南師范大學2005年)證明不等式.(提示:首先證明不等式).14 (西安電子科技大學2004年)設連續(xù),求(提示:作變量替換. 答案: ).15 (北京理工大學2004年)求(提示: . 答案: ).16 (上海理工大學2004年) 設在上連續(xù),試證明:(提示: 將定積分化成二重積分,再交換和.).§4.3三重積分一、三重積分產(chǎn)生的背景:多面體狀物體的質(zhì)量. 二、三重積分的概念和定義1、三重積分的概念首先用均勻小的長方體的質(zhì)量去近似地代替小的多面體的質(zhì)量,然

20、后用小的長方體的質(zhì)量和去近似地代替小的多面體的質(zhì)量和,第三,讓每個小的長方體的代數(shù)體積的絕對值要多么小有多么小,則小的長方體的質(zhì)量和去準確地代替小的多面體的質(zhì)量和,這樣我們就通過使用直邊圖形狀物體的質(zhì)量得到多面體狀物體的質(zhì)量.2、三重積分的定義定義: 函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，劃分把閉區(qū)域劃分成個小區(qū)域，用表示區(qū)域的體積， ，,我們稱極限為函數(shù)在閉區(qū)域上的三重積分，記作.由定義知:分別表示定義域上點處、和軸正方向的增量,都是要多么小有多么小的正數(shù).表示積分區(qū)域內(nèi)小微元的體積.定義(微元法的定義): 函數(shù)在閉區(qū)域有定義，在閉區(qū)域上任取一點，分別按的正向給點一個增量，是要多么小有多么小的正數(shù)，用表示曲頂

21、柱體的代數(shù)體積（體積前加正或負號），用符號或表示把閉區(qū)域上小曲頂柱體的代數(shù)體積累積起來的曲頂柱體的代數(shù)體積，如果 (無限個實數(shù)的和)的值存在，我們稱或為函數(shù)在閉區(qū)域上的三重積分（Riemann積分）.三、計算:(1) 在直角坐標系下的計算，.(2)在球坐標系下的積分令.則其中向徑與軸的正向所成的角為,與軸的正向所成的角為.球坐標系可推廣為橢球坐標系, 其變量替換表達式為:,其中為參數(shù)，且大于等于零，. (3)在柱坐標系下的積分令.,則,其中向徑與軸的正向所成的角為.柱坐標變換的推廣令,其中參數(shù)。,(4)對稱性計算法:當積分區(qū)域關于面對稱時,且函數(shù)時,則;當積分區(qū)域關于面對稱時,且函數(shù)時,則;當

22、積分區(qū)域關于面對稱時,且函數(shù)時,則.四、三重積分計算的例題和習題例1(復旦大學2001年)計算三重積分,其中積分區(qū)域是由曲面和平面,以及所圍成.解: .例2(陜西師范大學2003年)求,其中.解: .例3(上海理工大學2004年)計算,其中:.解: 因為是關于的奇函數(shù),關于面對稱,所以.例4(中國地質(zhì)大學2004年)求,其中為.解:進行變量替換.例5(北京理工大學2004年)如果,其中是可微函數(shù),證明: .證明: 進行變量替換,則,進而.所以.例6(南開大學2006年)設函數(shù)在全空間上具有連續(xù)的偏導數(shù),且關于都是以為周期的,即對任意點有下式成立.則對任意實數(shù),有,其中.例7(北京大學2006年

23、)求,其中為與圍成的有界區(qū)域.解: 進行變量替換,則.例8(中國地質(zhì)大學2006年)求,其中由,所圍成.解: 進行變量替換,則.例9(山東科技大學2006年)計算下面的三重積分,其中是由和所圍成的區(qū)域.解: 進行變量替換, , 則.例10(中南大學2003年)計算三重積分,其中是由和所圍成的區(qū)域.解: 進行變量替換, , 則.練習:1 (北京師范大學2004年) 計算三重積分,其中是由和所圍成的區(qū)域.(提示:柱坐標變換. 答案:).2 (遼寧大學2004年) 計算三重積分,其中是曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面所圍成的區(qū)域.( 提示:柱坐標變換. 答案:).3 (武漢理工大學2004年)設連續(xù)

24、, 其中是曲面和平面所圍成的區(qū)域,求.(提示:柱坐標變換.答案: ).4 (北京師范大學2006年) 計算,其中是曲面和平面所圍成的區(qū)域.(提示:作變量替換. 答案:).5 (上海交通大學2003年)計算積分,其中是曲面和平面所圍成的區(qū)域.(提示: 進行變量替換.答案:).6 (復旦大學2000年) 求三重積分,其中是錐面和平面及坐標平面所圍成的區(qū)域.( 提示:作變量替換.答案:).7 (遼寧大學2005年)求三重積分,其中是區(qū)域.(答案:).8 (北京師范大學2005年)計算，其中為以為球心，以為半徑的兩個球體的公共部分. (提示:作變量替換,其中 , ,積分區(qū)域.答案:).9 (南開大學2006年)設在球上連續(xù)，令，證明：，.10 (上海理工大學2005年)求，其中是由和所圍成的區(qū)域.( 作變量替換. 答案:).五、重積分的應用1、計算平面圖形的面積如果平面區(qū)域的面積為,則.2、計算空間多面體的體積如果空間區(qū)域的體積為,則.3、計算旋轉(zhuǎn)體的表面積如果函數(shù)在上連續(xù), 將函數(shù)的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積為: .4、重心(1) 計算非均勻平面薄片的重心設有一平面薄片，占有面上的閉區(qū)域，在區(qū)域內(nèi)點處的面密度為，如果在上連續(xù)，則薄片重心的坐標為. 用微元法推導. 設平面薄片上的任意