數(shù)學核心素養(yǎng)和小學數(shù)學教學

1、數(shù)學核心素養(yǎng)和小學數(shù)學教學（一）史寧中（東北師范大學數(shù)學系教授，博士生導師）數(shù)學核心素養(yǎng)和小學數(shù)學教學，因為你們在討論常態(tài)的數(shù)學教學，后來張老 師讓我講核心素養(yǎng)，我就把這兩個放在一起了，“數(shù)學核心素養(yǎng)與小學數(shù)學教學” 我先講個前言就是小學數(shù)學教學和數(shù)學核心素養(yǎng)怎么能掛上鉤，我的第一個觀點你們一定不同意，但是我堅持我的想法。教無定法，絕對不能說哪種教學方法是 最好的辦法，教育教學是個藝術，藝術就是在不同的場合、不同的情況下會采取 不同的方式，所以根據(jù)你講課內容的不同，根據(jù)聽眾的不同，甚至根據(jù)你那天講 的心情的不同，你可以用不同的教學方法，比如一個新概念的引入，你可能會舉 一些例子來說明這個概念是

2、怎么回事；如果要是接續(xù)以前的概念，你可能就不要 引入很現(xiàn)實的例子，直接就講下去了，我認為都可以，教無定法，但是教書得有 一個基本的規(guī)則，所以我希望經過新常態(tài)的討論能定下一個原則，就是說課堂教 學應該遵循的原則是什么，或者說評價一堂課好或不好的標準是什么，教書是一 門藝術，藝術同科學的最大區(qū)別是什么？科學是無論是誰，無論在哪里，無論在 什么時候得到的結論都是一樣的，這就叫做科學。藝術是會隨著人的不同、時間 的不同、場合的不同有所改變，因此藝術的好壞有一個標準，基本標準就叫做價 值觀，由你的價值觀來判斷這個藝術是好或是不好，有人認為好，有人認為非常 不好。價值觀是什么，就是一堂課的評判標準是什么，

3、在此，中國的義務教育 法中，國家鼓勵學校和教師采用啟發(fā)式教育教學方法，提高教育教學質量，就 是不管你怎樣教書，采用怎樣的辦法，一定要啟發(fā)學生思考，啟發(fā)式教學，在法 律中只有這句話，因此在修改普通高中數(shù)學課程標準明確指出，數(shù)學教學活 動的關鍵是啟發(fā)學生學會數(shù)學思考，啟發(fā)學生思考是非常重要的?，F(xiàn)在在討論核心素養(yǎng)，核心素養(yǎng)就很難討論特別清楚，但是有一句話是非常 好的，就是培養(yǎng)一個孩子，這個孩子可能未來不從事數(shù)學，那培養(yǎng)的終極目標是 什么呢？終極目標就是學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，眼光、思維、語言，你在講課的過程當 中，在備課的過程之中，這個是

4、很重要的，我認為是終極目標。因此在這樣一個 終極目標下，我們好的教學質量應該是怎樣的呢？就是把握數(shù)學內容的本質，創(chuàng) 設合適的教學情境，在教師的啟發(fā)下，提一個好的情境、好的問題引發(fā)學生思考， 學生讓他自然而然的學會思考是很難的，教師的責任之一就是要他學會思考，敢 于思考，善于思考，這是教師的責任，讓學生在情境中掌握知識技能，感悟數(shù)學 內容的本質，積累數(shù)學思維的經驗，這就是課標說的四基：基礎知識、基本技能、 基本思想和基本活動經驗。孩子是否會想問題不是老師教會的，是自己領悟出來 的，是一種經驗的積累，所以老師要幫這孩子積累經驗，一個是思維的經驗：會 想問題；一個是做事的經驗：會做事情，這兩個經驗是

5、很重要的。最后加上一句 話，形成數(shù)學的核心素養(yǎng)。這樣的話你們就記住三件事情，第一個就是讓孩子們 掌握知識，這是必須的；第二個提高能力；第三個發(fā)展素養(yǎng)。素養(yǎng)是終極目標， 這樣我就把常態(tài)教學和核心素養(yǎng)結合在一起了，終極目標是最難實現(xiàn)的。下面我 來談三個問題，一、什么是數(shù)學核心素養(yǎng)；二、如何在小學數(shù)學教學活動中體現(xiàn) 數(shù)學核心素養(yǎng)；三、如何在小學數(shù)學教學評價中考查數(shù)學核心素養(yǎng)。什么是數(shù)學 核心素養(yǎng)，原來我不知道這個詞，所以在寫課標時寫的是核心概念，我們國家在 教育部文件教育部關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務中提到了 核心素養(yǎng)，并且要求修改課程標準，要把學科核心素養(yǎng)貫穿始終，“數(shù)學素養(yǎng)”我知道

6、，但是我不知道“數(shù)學核心素養(yǎng)”。學科核心素養(yǎng)的概念在這個文件中體 現(xiàn)出來的，這個標準出來之后，北師大組成專家團隊在研究核心素養(yǎng)，他們是這 樣定義的，是指學生應具備的、能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力，那么變成數(shù)學核心素養(yǎng)就是：具有數(shù)學基本特征的、適應個人終身發(fā) 展和社會發(fā)展需要的人的、具有數(shù)學特征的關鍵能力與思維品質。必備品質是比 較難理解的，在此我提出的核心素養(yǎng)供你們參考和理解。我理解的核心素養(yǎng)是后 天形成的，是在特定場合才能表現(xiàn)出來的，是跟人的行為有關的知識能力和態(tài)度。 涉及三方面：人與社會、人與自己、人與工具，這是我腦袋中想的，只供參考。 不是后天的，怎么還會在學校里？

7、學習時刻東西表現(xiàn)是本能，這不用你教，是特 定場合表現(xiàn)出來的，是和人的行為有關的，是思維習慣，是智商，說到底是一種 習慣，有點像修養(yǎng)式的一個習慣，是在特定場合表現(xiàn)人的行為有關的。我估計在 這個課標公布后都會討論，我是根據(jù)經合組織、科教文組織、歐盟組織等相關資 料，進行總結合并出這幾句話，你要是查原文的話，我建議去查經合組織和歐盟, 那是我歸攏總結出來的?，F(xiàn)在根據(jù)這個想法，我們高中階段的核心素養(yǎng)定了六個方面，最本質的是數(shù) 學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模，剩余的雖不是本質，但是高中階段表現(xiàn)的是直觀 想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析，在寫義教課標的時候給了八個核心詞，正好和義務 教育的數(shù)學核心素養(yǎng)剛好相應：數(shù)感和

8、符號意識正好對上數(shù)學抽象；數(shù)學抽象在 小學階段主要表現(xiàn)在符號意識和數(shù)感，推理能力及邏輯推理，模型思想及數(shù)學建 模，直觀想象在義務教育中體現(xiàn)的就是幾何直觀和空間想象，幾何直觀比較好建 立，代數(shù)直觀非常難建立，還有統(tǒng)計直觀更難建立。所以義教階段只提了幾何直 觀，我在會上提出過任何學科應該把這個學科的直觀作為培養(yǎng)終極目標，但是義 教階段是不能都建立起來的，把整個數(shù)學直觀都建立是很難的一件事情，所以只 強調幾何直觀，在高中時候就多了一點，在大學時候要都建立起來。數(shù)學的直觀 是看出來了的，不是證出來的。小學老師教直觀就是教孩子把結論看出來，是培 養(yǎng)這個直觀。這三個是很重要的：應用意識、創(chuàng)新意識和學會學習

9、。原來十個關鍵詞的時 候有應用意識和創(chuàng)新意識，在義教階段我不知道怎么樣，反正在高中階段學會學習是很重要的。那么為什么定這幾個核心詞呢？它的理由同我終極培養(yǎng)目標是有關的。剛才說會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，數(shù)學的眼光就是學過數(shù)學的人看世界同沒學過數(shù)學的人看世界有什么差異呢？學過數(shù)學的人看世界會抽象，會一般地看問題，因此就是抽象，包括直觀想象。其實抽象是看出來的，感情色彩很多是靠直觀想象的，那么引發(fā)的數(shù)學特征是什么？就是數(shù)學具有一般性，我們數(shù)學研究的東西不是個案的，是一般的。一定記住你反復做題時你培養(yǎng)技巧是不行的，技巧是個案的，你要培養(yǎng)技能，但是很多老師培養(yǎng)的是技巧，對這道題好使，數(shù)學培養(yǎng)的是對很多

10、題都好使。小學數(shù)學老師經常會碰到這樣的問題：3x+2=5,直接就看出X=1,直接就得出結論x=1,我說不行，你必須用解方程的方法一步步算，通信通法往往比你解一道題的方法更重要。第二個，數(shù)學的思維是什么？學過數(shù)學的人想問題和沒學過數(shù)學的人想問題的本質是什么，一般人都認為學過數(shù)學的人想問題有邏輯，這就是數(shù)學的邏輯，引發(fā)的數(shù)學特征就是數(shù)學的嚴謹性。數(shù)學的語言是什么？數(shù)學有直接應用，數(shù)學真正應用到化學和物理這些學科是靠模型，義教階段比較少，因為模型的原因，它引發(fā)數(shù)學的特征是數(shù)學的廣泛性?，F(xiàn)在我進入我要談的主要內容，在小學數(shù)學中如何教核心素養(yǎng)，主要談三件事情。第一如何教數(shù)學的抽象，我認為義教階段的符號意

11、識、數(shù)感甚至把幾何直觀和空間想象都歸到數(shù)學抽象；第二講邏輯推理，小學核心詞中提到的運算能力和推理能力；第三講數(shù)學模型的模型思想、數(shù)據(jù)分析觀念。先談數(shù)學抽象。什么是數(shù)學抽象？數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究的對象，數(shù)學研究對象來自兩點，一個是數(shù)量與數(shù)量關系，一個是圖形與圖形關系。你們記住這件事情，光記住概念是不夠的，也沒有什么意義的，得到概念的同時，要不得到概念的性質，要不得到概念的之間的關系，這是很重要的，舍去一切物理屬性，說起來容易，做起來并不是很容易。我們在講課的過程中經常會忘記這句話，課標上有一個例子：天安門城門是一個軸對稱圖形，有 的學生就提出不對，旗幟沒有對稱。對稱是

12、指什么呢，數(shù)學要抽象，主要是教材 有缺陷，其實應該把所有的物理屬性都剔除，就剩下輪廓同顏色也沒有關系，天安門城樓的輪廓是軸對稱圖形，所以數(shù)學應該是去除一切物理屬性的。抽象的對象，我現(xiàn)在就干一件事情就是把每件事情說得特別仔細，絕不含糊，我也不跟你云山霧罩，可能說得不全，容易讓人挑毛病，所以一般人都愿意說得云山霧罩，讓你挑不出毛病，但是對于小學老師則不行，我必須把話說透，所以我寫了書基本概念與運算法則30 問題 ，談得非常仔細。今天我也采取這塊原則，抽象的對象，一個是數(shù)量，一個是圖形。抽象之后得到了數(shù)學研究的對象，得到了概念、關系和規(guī)律?，F(xiàn)在我提出一個問題，就是在小學教學的過程當中，抽象大概要經過

13、哪幾個必要的步驟？我不是很清楚，這是你們的事，我就往下具體談了，義教階段先談數(shù)、再談運算和幾何。不僅小學數(shù)學，整個數(shù)學，抽象本質上兩種方法，第一個方法是對應的方法，第二個方法是內涵的方法。對應的方法的方法就是起個名字，但是這個起名字是極為重要的，我建議小學一、二年級用對應的方法，有的概念一開始引入得用對應的方法，然后用內涵的方法，現(xiàn)在我提第一個問題：數(shù)是什么？數(shù)的本質是什么？表示數(shù)的關鍵是什么？這個問題比較泛，我不知道，曾問過東北師范大學研究教育的一位老先生，他回答不上，我就比較著急，因為最根本的問題答不上，我就開始研究了。數(shù)是什么？關于理解它涉及到兩個素養(yǎng)，一個涉及符號意思，另一個涉及到數(shù)感

14、。數(shù)是符號，是對數(shù)量的抽象，光有概念不很重要，關系很重要，既然是從數(shù)量中抽象出來的，那么數(shù)的關系來自于數(shù)量的關系。你們仔細想想數(shù)量關系的本質是什么，數(shù)量關系的本質是多少。我講一個例子：來了一只狼，一只狗敢對付；來一群狼，狗是不是掉頭就跑。動物知道多還是少，所以動物知道就是本質的，最根本的。數(shù)量的本質是多和少，抽象到數(shù)就是大和小，數(shù)的大和小是數(shù)的本質。你光教數(shù)字“2”是沒有意義的，你要教2 比 3 小，比 1 大，怎么教呢？你們教科書上都是這樣教的：三個蘋果，三只雞對應三個小方塊，然后用一個拐彎的符號表示3， 就是這樣抽象出來的，所以 3 就是個符號，對不對？記住，這個叫做模式，三只雞、三個蘋果

15、對應三個小方塊這是重要的，這是一個開始的模式，因為有一個研究數(shù)學教育的老師曾經問我為什么有的孩子老也分不清楚 3 和 4，我就問他是不是講3 的時候講3個蘋果，講4的時候講4個梨呢，他說是。這就不行了，孩子小，他不知道你講的3 跟蘋果無關，你講的4 跟梨無關，他不知道這件事情。因此我同師大附小的老師說，基于孩子比較小，在一學期中你用小方塊就老用小方塊，別一堂課用小方塊，下堂課用圓，再下堂課用小長條，把孩子的腦袋搞亂了，要怎么簡潔怎么來，慢慢地就懂得了。關于負數(shù)，我都呼吁好幾次了，負數(shù)按我這么講，你們一般是加完等于0 的那個就是負數(shù)。我給你們講個故事，以后用這個故事講負數(shù)。在小學課本中是不是這樣

16、講的：負數(shù)最早出現(xiàn)于中國的九章算術。我干什么都比較較真，就把九章算術翻來了，方程篇第八題，它講這樣一個事：一個人賣馬賣牛掙的錢，之后又買羊交了錢，就出現(xiàn)了這么一個情況。文字形式有收入有支出，收入算正的，支出算負的，負數(shù)就是這么出來的。負數(shù)和正數(shù)是什么關系：數(shù)量相等、意義相反，因此負數(shù)也是對數(shù)量的抽象，如果你把掙的錢算正，交的錢就算負，往東算正，往西就算負，往上就算正，往下的就意義相反，數(shù)量相等這個事的意義很重要，因此絕對值是表示它的數(shù)量，這還談了中國傳統(tǒng)文化挺好。還有一個對數(shù)的認識是內涵的方法，內涵的方法是數(shù)，是一個個多起來的這個叫后繼數(shù)，這個是皮亞諾的算術工藝體系，數(shù)是一個個多起來的，一個個

17、多起來按+1 表示， 所以加法同時定義出來的，這是數(shù)學的公理，這是皮亞諾公理，是自然數(shù)公理。那么現(xiàn)在就有一個問題了，我有一次聽課說是講10000，那么10 個 1000 是 10000，我說十千為什么是一萬呢，后來我問我們附小，我們附小也是這樣講，課本上也是這樣講的，10個 1000是 10000， 是乘法， 那個時候教乘法了嗎？10000是怎么回事？在千以內最大的是9999， 如果又來一個數(shù)，我們怎么叫新的數(shù)呢？中國老祖宗出面起個名字叫萬，西方的老祖宗不是特別聰明就叫它10 千，一萬是起個名字，數(shù)是一 個個多起來的，這就是內涵的方法理解，所以一開始用對應的方法，然后用內涵的方法來教這個事情。

18、不管你怎么教符號，表達是一致的，所以符號表達很重要。讀數(shù)怎么讀，我也是聽一堂課。一開始我看孩子們上課前眼睛發(fā)光，聽完這堂課眼睛就迷離了，我說終于把孩子們講糊涂了。讀數(shù)有0 不好讀，是不是？后面有一個0 怎么辦？后面有兩個0 怎么辦？中間有一個0 怎么辦？中間有2 個 0怎么辦？一堂課下來孩子們都弄糊涂了。下課我就問老師你讀數(shù)就這么讀啊。老師回答說我不這么讀，我說你不這么讀你為什么讓孩子們這么讀，我說讀數(shù)的關鍵是什么，他說不知道，我說你們這么教書不行。我認為讀數(shù)的關鍵就兩條，一個是符號，0-9；第二個是數(shù)位，個位的2 和十位的2 是不一樣的。那么怎么讀呢？就用它的符號讀它的數(shù)位就完了，2002（

19、 2000 零百零10， 2 個） 就是這樣讀，你不嫌麻煩就這么讀，你要嫌麻煩就讀2002， 這堂課就講完了，還用講一堂課嗎？五分鐘肯定講完了。還有一件事情就是數(shù)位和數(shù)沒有分出來“十”個個是“十”，“十”個十是“百”， “十”個百是“千”， “十”個千是“萬”，是指數(shù)位，為什么是“十”呢？因為是十進制，數(shù)不是，數(shù)是一個個多起來的，所以萬是計數(shù)單位。運算也有兩個方法，我這邊講兩個最基礎的，再往下你們自己想去。加法怎么講？加法的本質怎么講？加法是最重要的，你們都這樣講的有3 個小方塊再加上 1 個小方塊，4 個小方塊，所以3+1+4，對不對？我說為什么等于4，他也說不出來，我說是不是4=3+1，所以3+1=4。是的，但是這里有兩個事情沒有說出來，什么叫加？什么叫等？他問我怎么講，我說你這么講，我們附小老師現(xiàn)在按我說的講：這頭有3 個小方塊，這頭有4個小方塊，問小孩哪頭多，小孩說那頭多，這頭再加上一個小方塊，問哪頭多，說一樣多，所以3+1=4。什么叫加得清楚？什么叫等要清楚？什