理論力學(xué)4-2 廣義坐標(biāo)形式的靜力學(xué)普遍方程

1、第第4章章獨(dú)立的虛位移數(shù)就是質(zhì)系的自由度自由度。3nNrs 例如：沿曲面運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)有 個(gè)自由度。兩純滾動(dòng)的圓柱有 個(gè)自由度。作純滾動(dòng)的球有 個(gè)自由度。三一思考題：1）純滾的圓盤有幾個(gè)自由度？ 2）自行車有幾個(gè)自由度？N 質(zhì)點(diǎn)總數(shù) r 完整約束的總數(shù)； s 非完整約束的總數(shù)；自由度數(shù)第第4章章能夠唯一地確定質(zhì)系可能位置的獨(dú)立參數(shù)稱為廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)數(shù)為：3kNr根據(jù)需要可以任選k個(gè)可以確定質(zhì)系可能位置的獨(dú)立參數(shù) 作為廣義坐標(biāo)，它們可以是距離、角度、面積等。1,.,kqq如果質(zhì)系只有完整約束，廣義坐標(biāo)的變化就不再受任何約束限制，廣義坐標(biāo)數(shù)與自由度相同。第第4章章:,AAq xy:q利用廣義坐標(biāo)描

2、述質(zhì)系運(yùn)動(dòng)幾何約束自然滿足幾何約束自然滿足tanCCyxtanCCyxN = 2r = 1n = k = 3OxyrlABN = 2r = 3n = k = 1k = 3s = 1n = 2OxyvC:,CCq xyOxyABl第第4章章12(, )iikq qq trr1kiijjjqqrr111NNkiiiijjiijWqqrFrF11kNiijjjiqq rF1kjjjQq1NijijiQqrFQj稱為對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo) qj 的廣義力廣義力。0W0jQ 具有完整理想約束的質(zhì)系，其平衡的充要條件是：所有的廣義力等于零所有的廣義力等于零。第第4章章O廣義力是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。O廣義力是主動(dòng)力

3、的某種代數(shù)表達(dá)式，但不一定具有力的量綱。廣義力和廣義坐標(biāo)變分的乘積一定具有功的量綱。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：WM第第4章章惰鉗機(jī)構(gòu)由六根長(zhǎng)桿和兩根短桿組成，長(zhǎng)桿長(zhǎng)2a，短桿長(zhǎng)a，各桿之間用鉸鏈相連。它在頂部受力P的作用，問(wèn)下部力Q的大小為多少才能使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。圖中 為已知角。PQQABC第第4章章PQQABCyxABCAP yQ xQ x cosCxasinCxa 7 sinAya7 cosAya( 7cos2sin )0PaQa 7cot2QPsinBxacosBxa 取為廣義坐標(biāo)第第4章章均質(zhì)桿OA和AB用鉸A連接，用鉸O固定。兩桿的長(zhǎng)度為 和 ，質(zhì)量為 和 。在B端作用一水平力 ，求平衡時(shí)兩桿與

4、豎直方向夾角? ?1l2l1m2mPS21BSAO第第4章章取、 為廣義坐標(biāo)112cosCylsinsin21llxB1212coscosDyllcoscos21llxB1212sinsinDyll 112sinCyl BSAOxyCD1l2lPP12CDBAP yP yP x第第4章章121122( 3sincos)( sincos)APlPl 212(cossin)QPl112(cos3sin)QPl13tantan1第第4章章首先取 0,0BrDr12sincosDBAP rP r 212(cossin)0QPl22BDrrl0Cr1tgBSAOxyCDPP第第4章章12BDCrrrls

5、insin1cos2CDBAP rP rP r 11(cos3sin)2QPl再取0, 01tan3BSAOxyCDPDrBrArCrP第第4章章已知： m1, m2, M, , , 且接觸面光滑。求：平衡時(shí)， m1, m2, M 的關(guān)系。 M1m2m1x3x2x第第4章章二自由度的平衡問(wèn)題選獨(dú)立的廣義坐標(biāo) x1, x2m2gm1g1xMg3x2x112:0,0Qxx求11111sin2Wm gxMgx 11111sin20WQm gMgx212:0,0Qxx求22221sin20WQm gMgxM1m2m1x3x2x第第4章章已知：曲柄處于水平位置。求：平衡時(shí)的M = ?第第4章章系統(tǒng)處于特殊位置，用幾何法求解。cossinBArr22tan/BArrrdld22(/)0MFrdld22FrdMld一個(gè)自由度系統(tǒng)，取 為廣義坐標(biāo)。0BMF rBrAr第第4章章如圖所示，圓柱重為W，擱置在傾斜平板AB上。B點(diǎn)用細(xì)繩拉在墻上。設(shè)各接觸點(diǎn)都是光滑的，求平衡時(shí)繩的拉力T。oDWEAB第第4章章oDWEAByxT所有約束都是理想的。解除繩的約束，代之以約束力T，作用在B處。取坐標(biāo)系A(chǔ)xy，主動(dòng)力的虛