壓縮感知技術(shù)研究進展分析

1、壓縮感知技術(shù)研究進展摘 要：信號采樣是聯(lián)系模擬信源和數(shù)字信息的橋梁.人們對信息的巨量需求造成了信號采樣、傳輸和存儲的巨大壓力. 如何緩解這種壓力又能有效提取承載在信號中的有用信息是信號與信息處理中急需解決的問題之一. 近年國際上出現(xiàn)的壓縮感知理論(Compressed Sensing,CS)為緩解這些壓力提供了解決方法. 本文綜述了CS 理論框架及關(guān)鍵技術(shù)問題, 并介紹了仿真實例、應(yīng)用前景, 評述了其中的公開問題,對研究中現(xiàn)存的難點問題進行了探討,最后對CS技術(shù)做了一下總結(jié)和展望.關(guān)鍵詞：壓縮感知；稀疏表示；觀測矩陣；編碼；解碼Advances in Theory and Applicatio

2、n of Compressed SensingAbstract：Sampling is the bridge between analog source signal and digital signal. With the rapid progress of information technologies, the demands for information are increasing dramatically. So the existing systems are very difficult to meet the challenges of high speed sampli

3、ng, large volume data transmission and storage. How to acquire information in signal efficiently is an urgent problem in electronic information fields. In recent year s, an emerging theory of signal acquirement. compressed sensing(CS) provides a golden opportunity for solving this problem. This pape

4、r reviews the theoretical framework and the key technical problems of compressed sensing and introduces the latest developments of signal sparse representation, design of measurement matrix and reconstruction algorithm. Then this paper also reviews several open problems in CS theory and discusses th

5、e existing difficult problems. In the end, the application fields of compressed sensing are introduced.Key words:compressed sensing;sparse representation; the observation matrix; coding;decoding一、 引言 在過去的半個世紀(jì)里，奈奎斯特采樣定理幾乎支配著所有的信號或圖像等的獲取、處理、存儲以及傳輸。它要求采樣頻率必須大于或等于信號帶寬的兩倍，才能不失真的重構(gòu)原始信號。在許多實際應(yīng)用中，例如高分辨率的數(shù)碼裝

6、置及超帶寬信號處理，高速采樣產(chǎn)生了龐大的數(shù)據(jù)，為了降低存儲，處理或傳輸成本，只保留其中少量的重要數(shù)據(jù)。由于采樣后得到的大部分?jǐn)?shù)據(jù)都被丟棄了，所以這種方式造成了采樣資源的嚴(yán)重浪費。設(shè)想如果在采樣的同時直接提取信號的少量重要信息，就可以大大降低采樣頻率，節(jié)約資源，提高效率而且仍能夠精確重構(gòu)原始信號或圖像。這就是Donoho、Candes以及Tao等人提出壓縮感知（Compressed Sensing、Compressive Sampling或Compressive Sensing，CS）理論的主要思想。壓縮感知理論指出：如果信號在某個變換域是稀疏的或可壓縮的，就可以利用一個與變換基不相關(guān)的觀測矩陣

7、將變換所得的高維信號投影到一個低維空間上，根據(jù)這些少量的觀測值，通過求解凸優(yōu)化問題就可以實現(xiàn)信號的精確重構(gòu)。 在傳統(tǒng)理論的指導(dǎo)下，信號X 的編解碼過程如圖1 所示：編碼端首先獲得X 的N 點采樣值，經(jīng)變換后只保留其中K 個最大的投影系數(shù)并對它們的幅度和位置編碼，最后將編得的碼值進行存儲或傳輸。解壓縮僅是編碼過程的逆變換。實際上，采樣得到的大部分?jǐn)?shù)據(jù)都是不重要的，即K 值很小，但由于奈奎斯特采樣定理的限制，采樣點數(shù)N可能會非常大，采樣后的壓縮是造成資源浪費的根本所在。 CS 很好的解決了這一問題，它將信號的采樣、壓縮及編碼合并在了同一步驟中，不經(jīng)過N 點采樣的中間過程而直接得到信號的表示，其編解

8、碼過程如圖2 所示?？蓧嚎s信號X 通過一個線性觀測過程獲得M個觀測值后直接進行存儲或傳輸。在滿足一定的條件下接收端可以根據(jù)這M 個觀測值通過一個非線性優(yōu)化過程恢復(fù)出原信號X。2、 壓縮感知的基本理論及核心問題假設(shè)有一信號，長度為，基向量為，對信號進行變換：顯然是信號在時域的表示，是信號在域的表示。信號是否具有稀疏性或者近似稀疏性是運用壓縮感知理論的關(guān)鍵問題，若(1)式中的只有個是非零值者僅經(jīng)排序后按指數(shù)級衰減并趨近于零，可認(rèn)為信號是稀疏的。信號的可稀疏表示是壓縮感知的先驗條件。在已知信號是可壓縮的前提下，壓縮感知過程可分為兩步：(1) 設(shè)計一個與變換基不相關(guān)的維測量矩陣對信號進行觀測，得到維的

9、測量向量。(2) 由維的測量向量重構(gòu)信號。2.1信號的稀疏表示文獻4給出稀疏的數(shù)學(xué)定義：信號在正交基下的變換系數(shù)向量為，假如對于和，這些系數(shù)滿足： 則說明系數(shù)向量在某種意義下是稀疏的文獻1給出另一種定義：如果變換系數(shù)的支撐域的勢小于等于，則可以說信號是項稀疏。如何找到信號最佳的稀疏域?這是壓縮感知理論應(yīng)用的基礎(chǔ)和前提，只有選擇合適的基表示信號才能保證信號的稀疏度，從而保證信號的恢復(fù)精度。在研究信號的稀疏表示時，可以通過變換系數(shù)衰減速度來衡量變換基的稀疏表示能力。Candes和Tao研究表明，滿足具有冪次(power-law)速度衰減的信號，可利用壓縮感知理論得到恢復(fù)。最近幾年，對稀疏表示研究的

10、另一個熱點是信號在冗余字典下的稀疏分解這是一種全新的信號表示理論：用超完備的冗余函數(shù)庫取代基函數(shù)，稱之為冗余字典，字典中的元素被稱為原子字典的選擇應(yīng)盡可能好地符合被逼近信號的結(jié)構(gòu)，其構(gòu)成可以沒有任何限制從從冗余字典中找到具有最佳線性組合的K項原子來表示一個信號，稱作信號的稀疏逼近或高度非線性逼近。目前信號在冗余字典下的稀疏表示的研究集中在兩個方面：(1)如何構(gòu)造一個適合某一類信號的冗余字典；(2)如何設(shè)計快速有效的稀疏分解算法這兩個問題也一直是該領(lǐng)域研究的熱點，學(xué)者們對此已做了一些探索，其中以非相干字典為基礎(chǔ)的一系列理論證明得到了進一步改進西安電子科技大學(xué)的石光明教授也對稀疏表示問題進行了認(rèn)真

11、研究，并基于多組正交基級聯(lián)而成的冗余字典提出一種新的稀疏分解方法。2.2信號的觀測矩陣用一個與變換矩陣不相關(guān)的測量矩陣對信號進行線性投影，得到線性測量值： 測量值是一個維向量，這樣使測量對象從維降為維。觀測過程是非自適應(yīng)的即測量矩陣少的選擇不依賴于信號。測量矩陣的設(shè)計要求信號從轉(zhuǎn)換為的過程中，所測量到的個測量值不會破壞原始信號的信息，保證信號的精確重構(gòu)。由于信號是是可稀疏表示的，上式可以表示為下式： 其中是一個矩陣。上式中，方程的個數(shù)遠小于未知數(shù)的個數(shù)，方程無確定解，無法重構(gòu)信號。但是，由于信號是K稀疏，若上式中的滿足有限等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property，簡稱

12、RIP)，即對于任意K稀疏信號和常數(shù)，矩陣滿足：則K個系數(shù)能夠從M個測量值準(zhǔn)確重構(gòu)。RIP性質(zhì)的等價條件是測量矩陣和稀疏基不相關(guān)。目前，用于壓縮感知的測量矩陣主要有以下幾種：高斯隨機矩陣，二值隨機矩陣(伯努力矩陣)，傅立葉隨機矩陣，哈達瑪矩陣，一致球矩陣等。2.3信號的重構(gòu)算法當(dāng)矩陣滿足RIP準(zhǔn)則時。壓縮感知理論能夠通過對上式的逆問題先求解稀疏系數(shù)，然后將稀疏度為K的信號從維的測量投影值中正確地恢復(fù)出來。解碼的最直接方法是通過范數(shù)下求解的最優(yōu)化問題：從而得到稀疏系數(shù)的估計。由于上式的求解是個NPHARD問題。而該最優(yōu)化問題與信號的稀疏分解十分類似，所以有學(xué)者從信號稀疏分解的相關(guān)理論中尋找更有效

13、的求解途徑。文獻10表明，最小范數(shù)下在一定條件下和最小范數(shù)具有等價性，可得到相同的解。那么上式轉(zhuǎn)化為最小范數(shù)下的最優(yōu)化問題： 最小范數(shù)下最優(yōu)化問題又稱為基追蹤(BP)，其常用實現(xiàn)算法有：內(nèi)點法和梯度投影法。內(nèi)點法速度慢，但得到的結(jié)果十分準(zhǔn)確：而梯度投影法速度快，但沒有內(nèi)點法得到的結(jié)果準(zhǔn)確。二維圖像的重構(gòu)中，為充分利用圖像的梯度結(jié)構(gòu)。可修正為整體部分(Total Variation，TV)最小化法。由于最小范數(shù)下的算法速度慢，新的快速貪婪法被逐漸采用，如匹配追蹤法(MP)和正交匹配追蹤法(OMP)。此外，有效的算法還有迭代閾值法以及各種改進算法。 三、壓縮感知仿真實例對256256大小的8bit

14、灰度lena圖像進行仿真計算，由于數(shù)據(jù)量過大，將圖像分為1616大小的分塊進行計算，稀疏矩陣采用DCT矩陣，觀測矩陣采用高斯隨機矩陣，重構(gòu)算法采用OMP（正交匹配追蹤）算法。 MATLAB代碼如下：在MATLAB R2001b中的計算結(jié)果如下： 原圖像 采樣率0.7 采樣率0.5 采樣率0.3采用均方誤差MSE評價重構(gòu)后的圖像質(zhì)量。不同采樣率下的計算時間與計算誤差如下圖所示：四、 CS 的應(yīng)用前景 能從少量的非相關(guān)觀測值中高效獲取可壓縮信號的信息，CS 的這一特點決定了其應(yīng)用的廣泛性。CS 的應(yīng)用領(lǐng)域涉及數(shù)據(jù)壓縮、模擬/ 信息的轉(zhuǎn)換、壓縮成像、信道編碼、信道估計、生物傳感、語音識別、雷達成像、

15、雷達遙感、學(xué)習(xí)理論及模式識別等諸多領(lǐng)域。 在壓縮成像方面，RICE 大學(xué)已成功研制了“單像素”壓縮數(shù)碼照相機，該相機不像傳統(tǒng)相機那樣獲取原始信號的N 個像素值，而是直接獲取M個隨機線性觀測值，在實踐中為取代傳統(tǒng)相機邁出了實質(zhì)性的一步。在通信領(lǐng)域，壓縮感知也有著強大的生命力，由于無線多徑信道一般情況下是稀疏的，即使在時延擴展很大時，大幅度的徑的個數(shù)也很少，因此利用少量的導(dǎo)頻就能獲取未知信道的頻域響應(yīng)估計。此外壓縮感知理論還可用于通信信道的錯誤檢測、傳感網(wǎng)絡(luò)的分布式信源編碼、認(rèn)知無線電中的頻譜感知等。五、 研究的公開問題5.1 p2范數(shù)優(yōu)化問題 壓縮感知理論在圖像壓縮編碼等方面也應(yīng)該有很廣泛的前景

16、, 但由于信號的恢復(fù)方法是建立在12范數(shù)意義下, 數(shù)據(jù)之間還有很大的冗余性沒有去除, 相比傳統(tǒng)的小波變換編碼, 壓縮感知理論應(yīng)用于圖像壓縮的效果還不理想. p2范數(shù)的優(yōu)化是提高基于壓縮感知理論的壓縮算法效果的必經(jīng)之路. p2范數(shù)的優(yōu)化方法是一個公開問題( open problem) , 對它的研究將推動壓縮感知理論在壓縮方面的應(yīng)用, 具有很深遠的意義. p2范數(shù)意義下的優(yōu)化問題是一個凸函數(shù)優(yōu)化問題, 目前已有一些成熟的算法, 但p2范數(shù)的優(yōu)化是一個非凸函數(shù)的優(yōu)化問題, 其中有很多數(shù)學(xué)問題有待解決. 有關(guān)p2范數(shù)非凸函數(shù)優(yōu)化問題, 也有一些學(xué)者開展研究. 如RickChartrand用典型的合成

17、數(shù)據(jù)做了一些實驗, 表明在一定的稀疏誤差范圍內(nèi), 可以得到最小值. 在文獻19中,他進一步給出了變換基空間內(nèi)的系數(shù)嚴(yán)格的等距條件(restricted isometry) , 由于有了嚴(yán)格的約束, 完全適合于大多數(shù)實際的信號. 筆者期望通過借用自然優(yōu)化計算以及將p2范數(shù)非凸函數(shù)轉(zhuǎn)換為近似凸函數(shù)優(yōu)化等方法, 提出一種新的求解p2范數(shù)范數(shù)的優(yōu)化問題, 以實現(xiàn)在p2范數(shù)意義下的壓縮感知理論的信號恢復(fù), 最大可能減少信號的冗余. 該思路正在研究之中.5.2 觀測矩陣與恢復(fù)性能關(guān)系 前面提到, 觀測矩陣與稀疏變換基的不相干特性是壓縮感知理論具有良好性能的基礎(chǔ). 由于隨機高斯分布的觀測矩陣具有與其它固定基

18、都不相關(guān)的特性而被廣泛采用. 但在實際的應(yīng)用中, 這種觀測矩陣存在存儲矩陣元素容量巨大、計算復(fù)雜度高的缺點 . 文獻20 提出一種部分傅立葉變換采樣的方法. 它首先對信號進行傅立葉變換再對變換系數(shù)進行隨機抽取. 這種隨機抽取使得各觀測值具有隨機不相關(guān)的特性. 由于變換時可以采用快速算法而使得計算量大大降低. 但由于傅立葉基僅與在空域稀疏的信號不相干, 故這種觀測矩陣的應(yīng)用范圍受到很大的限制. 此外, 采用隨機濾波器濾波 也是一種有效的觀測方法, 不過目前仍缺乏理論基礎(chǔ), 也缺少對其性能的詳細分析. 文獻 21將偽高斯矩陣和部分傅立葉方法巧妙的結(jié)合在一起,提出了一種結(jié)構(gòu)化的隨機觀測矩陣設(shè)計方法,

19、 這種觀測矩陣具有與所有基不相干的特性, 同時也有較快的計算速度. 總結(jié)以上的工作可以得出如下結(jié)論: 觀測矩陣的隨機不相關(guān)特性是正確恢復(fù)信號的一個充分條件, 觀測矩陣和信號的高度不相干是有效恢復(fù)信號的保證.但是, 現(xiàn)在仍然無法確定隨機不相關(guān)特性是否是最優(yōu)恢復(fù)信號的必要條件, 這仍是一個公開問題. 另外, 如何衡量觀測矩陣的不相干特性, 以及它們與恢復(fù)性能之間的關(guān)系也是一個尚未解決的問題. 另外, 自適應(yīng)的觀測矩陣設(shè)計也是觀測矩陣設(shè)計的一個重要方面. 在眾多有關(guān)壓縮感知理論的文獻中,大部分的觀測矩陣都是預(yù)先設(shè)計好的, 不需要根據(jù)觀測信號而自適應(yīng)變化. 實際上, 如果能夠進行自適應(yīng)的觀測, 壓縮感

20、知的壓縮性能可以得到進一步的提高. 在文獻 22 中, 作者用Bayes 估計的觀點對壓縮感知做出了一種全新的解釋. 在文獻中, 壓縮感知的解的可信度可以通過微分熵來衡量, 這樣在已有觀測的基礎(chǔ)上, 下一次最優(yōu)的觀測向量應(yīng)該使問題解的微分熵下降最快, 它可以由已有的觀測向量和觀測值唯一確定. 而且, 幸運的是這一特性在編碼端和解碼端是同樣的. 由于對觀測矩陣的最優(yōu)化設(shè)計,Bayesian CS 與使用普通的隨機觀測矩陣相比, 在同等觀測次數(shù)的情況下, 性能得到了很大的提高. 當(dāng)然這也付出了一定的代價, 計算最優(yōu)觀測向量需要很大的計算量, 所以能夠簡捷有效地確定最優(yōu)觀測向量仍是這方面的一個有待解

21、決的問題.5.3 分布式壓縮感知理論( Distr ibuted CompressedSensing, DCS) 目前, 針對單個信號的壓縮感知的研究和應(yīng)用已經(jīng)開展得比較深入, 但是對分布式信號的處理仍然研究得不夠. 例如, 對于一個包含大量傳感器節(jié)點的傳感器網(wǎng)絡(luò), 每個傳感器都會采集大量的數(shù)據(jù), 這些數(shù)據(jù)將會傳輸?shù)揭粋€控制中心, 也會在各個節(jié)點之間傳輸. 顯然, 在這種分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)中, 數(shù)據(jù)傳輸對功耗和帶寬的需求非常大, 那么, 如何對分布式信號進行壓縮以減少通信壓力成為非常緊迫的需求. 2006年,Haupt 和Nowak 將壓縮感知理論應(yīng)用到多個信號的環(huán)境中 , 然而他們的方法僅研究

22、了多個信號的互相關(guān)性, 卻沒有考慮單個信號的內(nèi)相關(guān)性. Baron等人在壓縮感知理論的基礎(chǔ)上提出了分布式壓縮感知(DCS) 18 , 進一步擴展了壓縮感知理論的應(yīng)用, 將單信號的壓縮采樣擴展到了信號群的壓縮采樣, 它著重研究如何利用信號內(nèi)相關(guān)性和互相關(guān)性對多個信號進行聯(lián)合重構(gòu). 這種聯(lián)合重構(gòu)的重要意義在于, 相對于壓縮感知, 分布式壓縮感知可節(jié)約相當(dāng)可觀的觀測數(shù)目. 文獻 18 中的實驗結(jié)果表明對于兩個相關(guān)的信號可節(jié)約的觀測數(shù)目大約為30%. DCS 理論建立在一個稱之為信號群的/ 聯(lián)合稀疏( JSM) 0概念上.它指出, 如果多個信號都在某個基下稀疏, 并且這些信號彼此有關(guān), 那么每個信號都

23、能夠通過利用另一個不相關(guān)基( 例如一個隨機矩陣) 進行觀測和編碼, 得到遠少于信號長度的編碼. 將每個編碼后的少量數(shù)據(jù)傳輸?shù)浇獯a端, 那么在適當(dāng)?shù)臈l件( 如JSM21)下, 解碼端利用接收到的少量數(shù)據(jù)就能夠精確重建每一個信號. 文獻 18 系統(tǒng)地闡述了DCS 理論及其應(yīng)用, 提出了相應(yīng)的壓縮感知方法及恢復(fù)算法, 并采用稀疏的隨機投影矩陣作為觀測矩陣, 詳細分析了分布式壓縮感知理論的觀測過程, 而文獻 23 則從重構(gòu)誤差估計的角度對分布式壓縮感知理論進行了研究. DCS 理論為分布式信號的處理提供了新的方法, 目前的熱點和難點主要集中在如何將其應(yīng)用到各種復(fù)雜的實際傳感器網(wǎng)絡(luò)中. 在某種意義上,

24、DCS 是一種分布式信源壓縮的框架, 它在很長時間內(nèi)都將是一個具有挑戰(zhàn)性的公開難題.六 總結(jié)與展望 壓縮感知理論利用了信號的稀疏特性, 將原來基于奈奎斯特采樣定理的信號采樣過程轉(zhuǎn)化為基于優(yōu)化計算恢復(fù)信號的觀測過程. 也就是利用長時間積分換取采樣頻率的降低, 省去了高速采樣過程中獲得大批冗余數(shù)據(jù)然后再舍去大部分無用數(shù)據(jù)的中間過程, 從而有效緩解了高速采樣實現(xiàn)的壓力, 減少了處理、存儲和傳輸?shù)某杀? 使得用低成本的傳感器將模擬信息轉(zhuǎn)化為數(shù)字信息成為可能. 這種新的采樣理論將可能成為將采樣和壓縮過程合二為一的方法的理論基礎(chǔ). 本文對壓縮感知理論框架的全過程進行了描述,詳細闡述了壓縮感知理論所涉及的關(guān)

25、鍵技術(shù), 綜述了國內(nèi)外研究成果、存在的公開問題及最新的相關(guān)理論擴展, 如冗余字典下的壓縮感知理論、模擬2信息理論、分布式壓縮感知理論等. 并對其中的問題進行了概括性討論.壓縮感知理論的研究已經(jīng)有了一些成果, 但是仍然存在大量的問題需要研究.概括為以下幾個方面:(1) 對于穩(wěn)定的重構(gòu)算法是否存在一個最優(yōu)的確定性的觀測矩陣; (2) 如何構(gòu)造穩(wěn)定的、計算復(fù)雜度較低的、對觀測次數(shù)限制較少的重構(gòu)算法來精確地恢復(fù)可壓縮信號; (3) 如何找到一種有效且快速的稀疏分解算法是冗余字典下的壓縮感知理論的難點所在; (4) 如何設(shè)計有效的軟硬件來應(yīng)用壓縮感知理論解決大量的實際問題, 這方面的研究還遠遠不夠; (

26、5) 對于p2范數(shù)優(yōu)化問題的求解研究還遠遠不夠; (6) 含噪信號或采樣過程中引入噪聲時的信號重構(gòu)問題也是難點所在, 研究結(jié)果尚不理想. 此外, 壓縮感知理論與信號處理其它領(lǐng)域的融合也遠不夠, 如信號檢測、特征提取等. CS 理論與機器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域的內(nèi)在聯(lián)系方面的研究工作已經(jīng)開始. 壓縮感知理論是新誕生的, 雖然還有許多問題待研究, 但它是對傳統(tǒng)信號處理的一個極好的補充和完善, 是一種具有強大生命力的理論, 其研究成果可能對信號處理等領(lǐng)域產(chǎn)生重大影響參考文獻1石光明.劉丹華.高大化.劉哲.林杰.王良君 壓縮感知理論及其研究進展-ACTA Electronica Sinica 2009，37(5)

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