幾種特殊類型函數(shù)的積分

1、 第四章第四章 二、三角函數(shù)有理式的積分二、三角函數(shù)有理式的積分三、簡單無理式的積分三、簡單無理式的積分一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分第四節(jié)第四節(jié)機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 幾種特殊類型幾種特殊類型 函數(shù)的積分函數(shù)的積分定義：定義：兩個多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱為兩個多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù)有理函數(shù). .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(此此處處)(xP，)(xQ之之間間沒沒有有公公因因式式，即即)()(xQxP是是既既約約分分式式。 一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分即即,)1(mn 稱此有理函數(shù)是稱此有

2、理函數(shù)是真分式真分式；,)2(mn 稱此有理函數(shù)是稱此有理函數(shù)是假分式假分式；機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 利用多項(xiàng)式除法利用多項(xiàng)式除法, , 假分式可以化成一個假分式可以化成一個多項(xiàng)式和一個真分式之和。多項(xiàng)式和一個真分式之和。例例1123 xxx.112 xx 多項(xiàng)式的不定積分是容易求的，因此，多項(xiàng)式的不定積分是容易求的，因此，下面我們只討論真分式的不定積分。下面我們只討論真分式的不定積分。說明：說明：機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 設(shè)設(shè))()(xQxP是是真真分分?jǐn)?shù)數(shù)，它它的的不不定定積積分分可可按按下下面面步步驟驟求求： （1）將

3、將)(xQ在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解成一次多項(xiàng)式和在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解成一次多項(xiàng)式和二次多項(xiàng)式的乘積：二次多項(xiàng)式的乘積：kax)( ，lqpxx)(2 ，其中，其中042 qp，lk ,是正整數(shù)；是正整數(shù)； （2）按按)(xQ的的分分解解結(jié)結(jié)果果，將將)()(xQxP拆拆成成若若干干個個部部分分分分式式的的和和（部部分分分分式式是是指指如如下下兩兩種種類類型型的的分分式式：naxA)( ，nqpxxNMx)(2 ，, 2 , 1 n，042 qp） 。 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 （1）分母中若有因式分母中若有因式 ，則分解后含有下列項(xiàng)，則分解后含有下列項(xiàng): :kax)( ,

4、)()(121axAaxAaxAkkk 則分解后含有下列項(xiàng)：則分解后含有下列項(xiàng)：（2）分母中若有因式分母中若有因式 , , 其中其中kqpxx)(2 042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iA，iiNM ,都是常數(shù)都是常數(shù)), 2 , 1(ki ，用待定，用待定系數(shù)法確定系數(shù)法確定 具體步驟如下：具體步驟如下：機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 四種典型部分分式的積分四種典型部分分式的積分: : CaxA ln)1( nCaxnAn 1)(1 xaxAd. 1 xaxAnd)(. 2 xqxpxNxMd. 32

5、xqxpxNxMnd)(. 42)1,04(2 nqp變分子為變分子為 )2(2pxM 2pMN 再分項(xiàng)積分再分項(xiàng)積分 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA 整理得整理得例例1 1 求積分求積分 .)1)(21(12 dxxx解解機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxdxx 22115115221

6、154.arctan51)1ln(51|21|ln522Cxxx .1515221542xxx )1)(21(12xx 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxxdxxxdx 22211511151)2(211522)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值來確定系數(shù)代入特殊值來確定系數(shù)CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并將并將 值代入值代入)1(1 C例例2 2：求積分求積分 .)1(12dxxx 解解:機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxxx 2)1(1dxx

7、xx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.|1|ln11|lnCxxx .11)1(112 xxx2)1(1 xx機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解1:11211232324 xxxxxxx)1)(1(1222 xxxxxx112 xxCBxxAx機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解得：解得：,35,34,32 CBAdxxxxdxxdxxI 1353411322Cxxx 312arctan32|1|ln322132dxxxxdxxdxxI 123123211322dxxxxxxddxxdxx 43)21(11)1(32

8、1132222機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxxxdxxxxdxxdxx 1111232113222解解2:2:11211232324 xxxxxxx111332332 xxxxx111332232 xxxxxdxxdxxdxxI 43)21(11132233Cxxx 312arctan32|1|ln322132機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解: : dxxxxxI )541441(22dxxdxx 1)2(1)2(122Cxx )2arctan(21說明說明: : 將有

9、理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行, ,但不一定簡便但不一定簡便 , , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡便的方法簡便的方法. . .d)22(222 xxxx解解: : 原式原式 xxxd)22(22)22(2 xx)22( x 1)1(d2xx 222)22()22d(xxxx)1arctan( x2212 xxC 例例5 5：求積分求積分 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxxxxdxxxxx22222)22(22)22(22解解: : 原式原式 xxd14)1(2 x)1(2 x21 1

10、d4xx2arctan2211xx 21 221 ln21xx21 xxC xxxxd11121222 xxxxd11121222 注意本題技巧注意本題技巧xx21arctan2212 Cxxxx 1212ln24122)0( x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁例例6 6：求積分求積分 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2)1(212xx)1d(xx 2)1(212xx)1d(xx 三角函數(shù)的有理式的定義：三角函數(shù)的有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)一般記為成的函數(shù)一般記為)cos,(sinxxR2cos2si

11、n2sinxxx 2sec2tan22xx 22122tan12tan2uuxx 二、三角函數(shù)有理式的積分二、三角函數(shù)有理式的積分2tanxu 令令uxarctan2 （萬能置換公式）（萬能置換公式）機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 12tan122 x,12sin2uux ,11cos22uux duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR 12cos2cos2 xx,11112222uuu 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2tanxu 令令uxarctan2 萬能置換公式萬能置換公式例例7 7：

12、求積分求積分.cossin1sin dxxxx解：解：,12sin2uux ，2211cosuux ，duudx212 由萬能置換公式由萬能置換公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 令令2tanxu duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 duuuduu 2211

13、1duu 11例例8 8：求積分求積分.sin3sinsin1 dxxxx解解1：2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 用萬能公式較繁用萬能公式較繁 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141機(jī)動機(jī)動 目錄目錄

14、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxxx2cossin141 dxx2cos141xcos41 xxcotcscln41 .tan41Cx 例例8 8：求積分求積分.sin3sinsin1 dxxxx解解2： dxxxxsin3sinsin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 同解同解1 1 xdxtansin141xtan41 dxxxxxx2sincostan41sintan41xtan41 dxxxxxx2sincostan41sintan41xtan41 dxxxsin141cos141 dxx2cos

15、141xcos41 xxcotcscln41 .tan41Cx 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 說明：說明：一般來說，用萬能置換的計算量會比較大，一般來說，用萬能置換的計算量會比較大， 故在計算三角函數(shù)有理式的積分時，通常先故在計算三角函數(shù)有理式的積分時，通常先考慮其它方法，不得已再用萬能置換?？紤]其它方法，不得已再用萬能置換。三角函數(shù)有理式的主要積分類型及代換三角函數(shù)有理式的主要積分類型及代換dxxxR cos)(sin)1(tx sin令令dxxxR sin)(cos)2(tx cos令令dxxxR 2sec)(tan)3(tx tan令令)cos,(sin)c

16、os,(sin)4(xxRxxR 若若tx sin令令)cos,(sin)cos,sin()5(xxRxxR 若若tx cos令令tx 2tan令令)cos,(sin)cos,sin()6(xxRxxR 若若萬能代換萬能代換)7(機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 tx tan令令解解1:)cos,(sin)cos,sin(xxRxxR 滿足滿足tx tan令令txarctan xxx222tan1tansin 221tt dttdx211 dtttttI22222411)1(1)1(1 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxxxI 44cos

17、sin12211costx dttt 4211例例9 9：求積分求積分dtttt 222111)1(2)1(12ttdtt Ctt 21arctan21Cxx tan21tanarctan21機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dtttI 4211解解2：機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxxxI )tan1(cos144xdxxtantan1tan142 Cxx tan21tanarctan21（同解法（同解法1 1）dxxxI 44cossin1例例9 9：求積分求積分xdxxtan)tan1(cos142 解解3：機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上

18、頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxxxxxI 22222cossin2)cos(sin1dxx 2sin21112)2(2sin212xdx Cx 22tanarctan21dxxxI 44cossin1例例9 9：求積分求積分)2(2cos112xdx )2()12cos1(2cos122xdxx )2(tan)22tan(12xdx 例例1010：求求解：解：.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln.|11|ln2Cxex ),1ln(2 tx機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回

19、結(jié)束結(jié)束 三、簡單無理函數(shù)的積分三、簡單無理函數(shù)的積分.21d3 xx解：解：令令,23 xu則則,23 uxuuxd3d2 原式原式 u123uuduuud11)1(32 uuud)111(3 (3 221uu u 1lnC )32)2(23 x323 x321ln3 x例例1111：求積分求積分機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 C 例例1212：求積分求積分.1113 dxxx解：解：令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 機(jī)動機(jī)動 目錄目

20、錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dttt 11163dtttt )111(62例例1313：求積分求積分 dxxxx11解：解：令令txx 1,112 tx ,1222 ttdtdx機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxxxx11dttttt 222)1(2)1( 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 簡單無理函數(shù)積分小結(jié)簡單無理函數(shù)積分小結(jié)機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1 1、當(dāng)被積函數(shù)含有根式，且根式中含有三角函、當(dāng)被積函數(shù)含有根式，且根式中含有三角函 數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)時

21、，可先令整個根數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)時，可先令整個根 式為式為 t ，去掉根式后再作。，去掉根式后再作。dxbaxxRn ),(.2nbaxt 令令dxbaxbaxbaxxRknnn ),(.321nbaxt 令令的最小公倍數(shù)的最小公倍數(shù)是是knnnn,21),(.4necxbaxxR necxbaxt 令令dxxxI 111機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解1:uxx 1令令22)21(uux duuuuudx)11(21222 duuuuuI3222)1)(1(11 duuuuu 323121Cuuuu 24121|ln2121Cxxxxxx )1ln(21)

22、1(212例例1414：求積分求積分duuuu )1111(2132機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解2：dxxxxI 211dxxxdxdxx 1212121xxt1 令令112 txdxxx 1)11(2 td tdtttt 11122dxxxI 111例例1414：求積分求積分Ctttt 11ln2112Cxxxx )1ln()1(CxxxxxxI )1ln(21)1(212故故dxxx 1)11(2 td tdtttt 11122機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xxt1 注意：注意：四、內(nèi)容小結(jié)四、內(nèi)容小結(jié)1. 1. 可積函數(shù)的

23、特殊類型可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)有理函數(shù)分解分解多項(xiàng)式及部分分式之和多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式三角函數(shù)有理式萬能代換萬能代換簡單無理函數(shù)簡單無理函數(shù)三角代換三角代換根式代換根式代換2. 2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出, ,但不一定但不一定 要注意綜合使用基本積分法要注意綜合使用基本積分法 , ,簡便計算簡便計算 . .簡便簡便 , , 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 作業(yè)作業(yè)習(xí)題習(xí)題4-4 (P280) 2 (雙雙)；3 (雙雙)；4 (雙雙)；機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 機(jī)動

24、機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解: : dtttI 422)1(則則令令,1 xtdtttt)321(432 Cttt )111(32Cxxx )1(1)1(111(32備用題備用題2 2、求積分求積分 xxxd)4)(1(22)4()1(22 xx.d4555222423 xxxxxxI xxxxxId4552243 xxxxd4552242 45)45d(212424xxxx45ln2124 xx2arctan21x Cx arctan解解: :機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3 3、求積分求積分.sin14 dxx解解1,2tanx

25、u ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解2 2修改萬能置換公式修改萬能置換公式, , 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xutan 3 3、求積分求積分.sin14 dxx解解3可以不用萬能置換公式可以不用萬能置

26、換公式. . dxx4sin1xdxx22csc)cot1( )cot()cot1(2xdx)cot(xd .cot31cot3Cxx 說明：說明：比較以上三種解法便知，萬能置換不一比較以上三種解法便知，萬能置換不一定是最佳方法定是最佳方法, , 故三角有理式的計算中先故三角有理式的計算中先考慮其它手段考慮其它手段, , 不得已才用萬能置換不得已才用萬能置換. .機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3 3、求積分求積分.sin14 dxx.)0(cossind2222 baxbxax解解: : 原式原式xxdcos12222tanbxa 222)(tantand1abx

27、xa)tanarctan(1xbaba C 說明說明: : 通常求含通常求含xxxxcossincos,sin22及及的積分時的積分時, ,xttan 往往更方便往往更方便 . .的有理式的有理式用代換用代換4 4、求積分求積分機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xbxacossin解法解法1 1 cos,sin2222 babbaa令令22baxbabxbaacossin2222sincos原式原式 )(cosd1222 xxbaCxba )tan(122 Cbaxba )arctantan(122baarctan 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)

28、束結(jié)束 . )0(d)cossin(12 baxxbxa5 5、求積分求積分解法解法2 2 原式原式 dx2)tan(bxa x2cos 2)tan(tandbtaxCbxaa )tan(16 6、求積分求積分dxxI 2sin21解解1)cos,(sin)cos,sin(xxRxxR 滿足滿足tx tan令令txarctan xxx222tan1tansin 221tt dttdx211 dttttI22211121 dtt 221Ct 2arctan21Cx 2tanarctan21機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 6 6、求積分求積分解解2機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上

29、頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxxI 2cos11dxxx )cos11(cos122xdxtan)tan2(12 Cx 2tanarctan21dxxI 2sin21解解3機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxxI 2cos11dxxxxx )sincossin1(sin12222xdxcot)cot21(12 Cx )cot2arctan(216 6、求積分求積分dxxI 2sin21解解1機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxxxI 44cossin1tx tan令令txarctan xxx222tan1tansin 221t

30、t dttdx211 2211costx dtttttI22222411)1(1)1(1 dttt 432)1(dtttt )331(224Ctttt 3333133Cxxxx 3tantan3tan3tan31337 7、求積分求積分解解2機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xdxI22sin184 )2(cot)2cot1(82xdx Cxx )2cot312(cot83dxxxI 44cossin17 7、求積分求積分解解3機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxxxxxI 4422cossincossindxxxdxxx 2442coss

31、in1cossin1dxxxxxdxxxxx 24224222cossincossincossincossindxxdxxxdxx 4224sin1cossin12cos1xdxxdxxdxcot)cot1(22sin14tan)tan1(222 Cxxxx 3tancot2cot43tantan323dxxxI 44cossin17 7、求積分求積分dxxI sin11解解1tx 2tan令令212sinttx dttdx212 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dtttI 2212dtt 2)1(2Ct 12Cx 2tan128 8、求積分求積分解解2機(jī)動機(jī)動 目

32、錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Cx 2tan12dxxxI 2)2cos2(sin1)2()2tan1(2cos1222xdxx )2(tan)2tan1(122xdx dxxI sin118 8、求積分求積分解解3機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxxxI 2cossin1dxxxdxx 22cossincos1Cxx cos1tandxxI sin118 8、求積分求積分解解tx 2tan令令2211costtx dttdx212 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dttttI2221211531 dxxI cos531dtt 241Ctt |22|ln41Cxx 2tan22tan2ln419 9、求積分求積分dxxxI 241解解1txsin2 令令tdtdxcos2 )22( ttdtttIcos2sin44sin212 dtt sin