計(jì)量之聯(lián)立方程組模型

1、1第六章聯(lián)立方程組模型Simultaneous Equations Models2第一節(jié)基本介紹一，古典回歸中我們假設(shè)解釋變量x和干擾項(xiàng)是不相關(guān)的，本章我們將放開這一假設(shè)。 在現(xiàn)實(shí)中，x和不相關(guān)的假設(shè)很難維持，此時(shí)需要聯(lián)立方程組模型來解決。 最典型的例子是需求和供給函數(shù)模型。3 假設(shè)需求函數(shù)為： q= +p + 需求的變動(dòng)分兩種情況：沿著需求曲線的變動(dòng)及需求曲線的移動(dòng)（changes along the demand curve and shift of the demand curve),前者是由于價(jià)格的變動(dòng)導(dǎo)致的，后者是影響需求的其他因素變化時(shí)所導(dǎo)致的，例如收入的增加時(shí)，會(huì)導(dǎo)致需求曲線向右

2、移動(dòng)，反之則向左移動(dòng)。 4 在需求函數(shù)模型中，影響需求變化的其他因素如收入、偏好及其他商品價(jià)格等均包括在干擾項(xiàng)中。 當(dāng)影響需求的其他因素變化時(shí)，會(huì)發(fā)生變化，從而導(dǎo)致需求曲線的移動(dòng) 一般情況下，需求的變動(dòng)會(huì)根據(jù)供給曲線的形狀的不同而產(chǎn)生不同的結(jié)果5 幾種變化 q D2 S D1 p1 p2 p6 q D1 D2 S p1 p2 p 7 q S D1 D2 p8 前兩個(gè)圖中，即當(dāng)供給曲線為向上傾斜以及水平時(shí)，影響需求的因素變化，例如收入增加時(shí)，干擾項(xiàng)發(fā)生變化，需求曲線向右移動(dòng)，我們發(fā)現(xiàn)價(jià)格也因此發(fā)生了變化。 表明干擾項(xiàng)和解釋變量不是不相關(guān)的9 因此, 供給曲線的形狀對(duì)需求的研究具有重要的作用，研究

3、需求函數(shù)時(shí)，也要將供給函數(shù)一起考慮進(jìn)去，這樣的模型就是聯(lián)立方程組模型。二，聯(lián)立方程組中的標(biāo)準(zhǔn)化問題例如在上面的需求函數(shù)中，q= +p + 也可以寫成 p= +q + , 分別將上面兩個(gè)模型稱為以q和p為標(biāo)準(zhǔn)化的方程。有時(shí)，兩個(gè)方程不能互換?；Q的條件是 和不能等于零10三，內(nèi)生變量和外生變量 聯(lián)立方程組模型中變量被分為兩類：一類是 內(nèi)生變量（Endogenous Variables),即由模型決定的變量，也被稱為聯(lián)合決定變量。另一類是外生變量(Exogenous Variables),是由外部因素決定的變量，也叫事先確定變量，因此和誤差項(xiàng)是不相關(guān)的。11 例如：需求函數(shù)模型：q=a1+b1p+

4、c1y+ 1，供給函數(shù)模型：q=a2+b2p+c2R+ 2，q為數(shù)量，p為價(jià)格，y為收入，R為降雨，其中y、R為外生變量，q、p為內(nèi)生變量12第二節(jié)聯(lián)立方程組模型的識(shí)別問題 一，所謂識(shí)別問題指聯(lián)立方程組模型的參數(shù)是否可以估計(jì)，如果通過一定的方法得到參數(shù)的一致估計(jì)量，就稱該方程是可以識(shí)別的。如果能得到參數(shù)唯一的一組估計(jì)值，我們稱其是完全可識(shí)別的。如果得到不止一組估計(jì)值，稱之為過度識(shí)別。無法得到參數(shù)的估計(jì)值時(shí)，稱為不可識(shí)別。下面我們介紹判斷聯(lián)立方程組模型是否可識(shí)別的幾種方法。13間接最小二乘法（Indirect Least Squares，ILS)使用前面的例子：需求函數(shù)模型：q=a1+b1p+c

5、1y+ 1，供給函數(shù)模型：q=a2+b2p+c2R+ 2，將上述模型中p和q來分別Y和R表示，求解得到：q =(a1b2-a2b1/b2-b1)+(c1b2/b2-b1)y-(c2b1/b2-b1)R+誤差p=(a1-a2/b2-b1)+(c1/b2-b1)y-(c2/b2-b1)R+誤差14 最初的需求函數(shù)和供給函數(shù)模型被稱為結(jié)構(gòu)方程（Structural equations) 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的方程被稱為約簡(jiǎn)方程（Reduced form equations) q=1+2y+3R+v1 P= 4+5y+6R+v215 1= (a1b2-a2b1/b2-b1) 2= (c1b2/b2-b1) 3=

6、 -(c2b1/b2-b1) 4= (a1-a2/b2-b1) 5= (c1/b2-b1) 6= -(c2/b2-b1) 我們通過間接最小二乘法得到了結(jié)構(gòu)方程所有參數(shù)的唯一一組估計(jì)值，16 估計(jì)約簡(jiǎn)方程，可以得到結(jié)構(gòu)方程的參數(shù)， b1hat= 3hat/ 6hat b2hat=2hat/ 5hat c1hat=-5hat(b1hat - b2hat) c2hat= 6hat(b1hat - b2hat) a1hat= 1hat- b1hat 4hat a2hat=1hat- b2hat 4hat 這種方法由于是通過約簡(jiǎn)方程間接得到原來模型即結(jié)構(gòu)方程的參數(shù)估計(jì)值，因此被稱作間接最小二乘法.我們把

7、這種得到唯一一組解的情況稱為完全可識(shí)別。下面我們?cè)倏匆幌缕渌那樾?7假設(shè)：需求函數(shù)模型：q=a1+b1p+c1y+ 1，供給函數(shù)模型：q=a2+b2p+ 2，約簡(jiǎn)方程為：q =(a1b2-a2b1/b2-b1)+(c1b2/b2-b1)y+誤差p=(a1-a2/b2-b1)+(c1/b2-b1)y+誤差181= (a1b2-a2b1/b2-b1)2= (c1b2/b2-b1)3= (a1-a2/b2-b1)4= (c1/b2-b1)因此可以得到：b2hat=2hat/ 4hata2hat=1hat- b2hat 3hat但是無法得到需求函數(shù)的參數(shù)估計(jì)值即a1 b1 c1供給函數(shù)是完全可識(shí)別的

8、，需求函數(shù)不可識(shí)別19再假設(shè)：需求函數(shù)模型：q=a1+b1p+c1y+ d1R+ 1，供給函數(shù)模型：q=a2+b2p+ 2，約簡(jiǎn)方程為：q =(a1b2-a2b1/b2-b1) (c1b2/b2-b1)y (d1b2/b2-b1)R+誤差P=(a1-a2/b2-b1)+(c1/b2-b1)y + (d1/b2-b1)R+誤差20得到b2hat=2hat/ 5hatb2hat=3hat/ 6hat對(duì)應(yīng)的a2hat=1hat- b2hat 4hat也有兩個(gè)解，供給函數(shù)是過度識(shí)別，需求函數(shù)依舊不可識(shí)別21例題1，根據(jù)美國(guó)19221941年豬肉供給和需求建立下列模型：需求函數(shù)模型：q=a1+b1p+c

9、1y+ 1，供給函數(shù)模型：q=a2+b2p+c2Z+ 2，其中z是影響豬肉生產(chǎn)的事先確定的變量。估計(jì)的約簡(jiǎn)方程為：q=0.0026 0.0018y +0.6839Zp= -0.0101 +1.0813y 0.8320Z22 b1hat= 3hat/ 6hat =-0.6839/0.8320=0.8220 b2hat=2hat/ 5hat =-0.0018/1.0813 =-0.0017 c1hat=-5hat(b1hat - b2hat) =-1.0813(-0.8220+0.0017) =0.887023 c2hat= 6hat(b1hat - b2hat) =-0.8320(-0.8220

10、+0.0017)=0.6825 a1hat= 1hat- b1hat 4hat =0.0026-(-0.8220*-0.0101)=0.0057 a2hat=1hat- b2hat 4hat =0.0026-(-0.0017*-0.0101)=0.0026所以結(jié)構(gòu)方程為：q=-0.0057-0.8220p+0.8870y （需求函數(shù)）q=0.0026-0.0017p+0.6825Z （供給函數(shù)24練習(xí)1，結(jié)構(gòu)方程為：y1t=a1+b1y2t+c1x1t+1ty2t=a2+b2y1t+c2x2t+ 2t估計(jì)的約簡(jiǎn)方程為：y1t 4+3x1t+8x2ty2t 2+6x1t+10 x2t求結(jié)構(gòu)方程的

11、參數(shù)25識(shí)別的必要條件階的條件（Order condition)假設(shè)g是聯(lián)立方程組模型中的內(nèi)生變量的個(gè)數(shù)，k是所要判斷的方程中所缺少的變量的個(gè)數(shù)（包括內(nèi)生變量和外生變量），判斷的規(guī)則如下：1，如果k=g-1，該方程是完全可識(shí)別的；2，如果kg-1，該方程是過度識(shí)別的；3，如果kg-1, 該方程是不可識(shí)別的;26使用前面使用過的例子來判斷例子1，兩個(gè)內(nèi)生變量，所以g-11，每個(gè)方程均缺少一個(gè)變量，所以k=g-1，都是完全可是別的，例子2，兩個(gè)內(nèi)生變量，g-1=1,需求函數(shù)，沒有缺少變量，k01,所以是不可識(shí)別的。供給函數(shù)，缺少一個(gè)變量，k=g-1，所以是完全可識(shí)別的。27 例子3，內(nèi)生變量?jī)蓚€(gè)，

12、g-1=1,需求函數(shù)沒有缺少變量，0g-1，所以是過度識(shí)別。判斷的結(jié)果和我們前面使用間接最小二乘法判斷的結(jié)論相同。但是階的條件的判斷方法比間接最小二乘法簡(jiǎn)單得多。28識(shí)別的充分必要條件秩的條件(rank condition)我們用表示某變量在該方程中出現(xiàn)，0表示沒有出現(xiàn)，例如：假設(shè)有三個(gè)內(nèi)生變量y1,y2,y3, 三個(gè)外生變量 z1,z2,z3，我們可以表示成下表：方程 y1 y2 y3 z1 z2 z3 1 0 0 * 2 0 0 0 3 0 029識(shí)別的規(guī)則如下：1，考察哪一行（即判斷哪一個(gè)方程)，就刪掉哪一行；2然后把這一行中元素為零所對(duì)應(yīng)的列選擇出來，組成一個(gè)新的行列式；3，如果在新的

13、行列式中，有g(shù)-1行和列不全為零；即g-1g-1的非零行列式那么該方程就是可以識(shí)別的。30例如，先看方程1，0所對(duì)應(yīng)的列組成的行列式為： 0 0 已知g-12，應(yīng)至少有22的非零行列式，上式不滿足條件，所以該方程是不可識(shí)別的。31方程2，新的行列式為 0 0 0 該方程是可以識(shí)別的方程3， 新的行列式為： 該方程也是可以識(shí)別的32階的條件不僅判斷方程是可識(shí)別的，還闡明方程是完全可識(shí)別的還是過度識(shí)別，而秩的條件只能說明方程是否是可識(shí)別的。33第三節(jié) 聯(lián)立方程組的估計(jì)問題 聯(lián)立方程組的估計(jì)方法分為：1，對(duì)單個(gè)方程的估計(jì)方法，又稱有限信息法；2，系統(tǒng)方程估計(jì)法，又稱完全信息法，我們只討論第一種方法，

14、即我們的估計(jì)將一個(gè)方程一個(gè)方程的進(jìn)行。一，間接最小二乘法（略)二, 工具變量法34二，工具變量法（the instrumental variables method, IV法） 所謂工具變量是指與誤差項(xiàng)無關(guān)但是與解釋變量有關(guān)的變量， 例如模型y= x +因?yàn)榻忉屪兞亢透蓴_項(xiàng)是相關(guān)的，所以不能直接使用最小二乘法，但是如果我們能找到一個(gè)變量例如z，z與無關(guān)，但是與x相關(guān)，即Cov(x,z) 0,cov(z, ）=0,我們就可以得到參數(shù)的一致估計(jì)量35cov(z, ）=0，所以根據(jù)樣本所對(duì)應(yīng)的為：1/n z =0 1/n z(y- hat x )=0 hat= zy/ zx= z ( x +) /

15、zx= + z / zx1/n z 1/n zx36 上式在n趨于無窮時(shí)，等于0。所以通過工具變量，我們得到了參數(shù)的一致估計(jì)量。 下面我們來介紹如何選擇工具變量。37 工具變量的選擇有兩種方法：1，用所要估計(jì)的方程之外的外生變量作為改方程的工具變量；2，使用yi的擬合值作工具變量。 下面我們分別介紹工具變量估計(jì)參數(shù)的方法。38三，兩階段最小二乘法（ the Two- Stage Least Squares Method, 2SLS)步驟如下：1，估計(jì)約簡(jiǎn)方程，得到內(nèi)生變量yi的擬合值。2，用相應(yīng)的內(nèi)生變量的擬合值代替等式右側(cè)的內(nèi)生變量，然后再使用最小二乘法。工具變量法合兩階段最小二乘法的不同在

16、于，前者使用內(nèi)生變量的擬合值作為工具變量，二后者把內(nèi)生變量的擬合值作為解釋變量。39兩種方法的共同之處在于，都可以得到參數(shù)的一致估計(jì)量。下面我們來證明這一結(jié)論。40第四節(jié)最小二乘估計(jì)的結(jié)果 考慮簡(jiǎn)單的凱恩斯收入決定模型 消費(fèi)函數(shù)： ( 1) Ct=0 + 1Yt + t 收入恒等式 (2) Yt= Ct + It 將(1)式代入(2)式 Yt= 0 + 1 Yt + t +It41 (3) Yt= 0 / 1- 1 + It / 1- 1 + t/ 1- 1 (4) E(Yt) = 0 / 1- 1 + It / 1- 1 (3)-(4) Yt - E(Yt) =t/ 1- 1 Cov(Yt

17、t)=EYt - E(Yt) t E(t) =E(t2)/1- 1 =2 /1- 1 42 2是0的,所以Yt t的協(xié)方差不等于零. 按照簡(jiǎn)單回歸公式(OLS): 1 hat= 1 +yt t /yt2, yt為離差. E(1 hat) = 1 +E yt t / yt2 第二項(xiàng)不等于零,所以最小二乘估計(jì)的結(jié)果是有偏的.43 我們可以看到, 1 hat的概率極限也不等于它的真值.不管樣本多么大, 1 hat都是有偏誤的. n趨于 無窮大時(shí), Plim(1 hat) = 1 +plim(yt t /n)/plim(yt2/n) 隨著n的增大, Y和的樣本協(xié)方差將逼近總體真實(shí)的方差,而Y的樣本方差也將逼近其總體方差.44 Plim(1 hat) = 1 +plim(yt t /n)/plim(yt2/n) = 1 +2 /1- 1 / 2 y45作業(yè)1結(jié)構(gòu)方程為：y1t=a1+b1y2t+