線性回歸模型的擴(kuò)展

1、 第四章第四章 線性回歸模型的擴(kuò)展線性回歸模型的擴(kuò)展 目的與要求目的與要求： 1.了解非線性回歸模型的普遍性； 2.掌握常用非線性模型的轉(zhuǎn)換方法 ； 3 .掌握虛擬變量的概念和應(yīng)用； 回顧前面講的內(nèi)容： 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要研究步驟。 我們現(xiàn)在講到什么地方？ 第一節(jié)第一節(jié) 非線性回歸模型非線性回歸模型 標(biāo)準(zhǔn)線性模型：標(biāo)準(zhǔn)線性模型： Y與參數(shù)之間，與參數(shù)之間，Y與解釋變量之間的關(guān)系都是線與解釋變量之間的關(guān)系都是線性的。性的。 非標(biāo)準(zhǔn)線性模型：非標(biāo)準(zhǔn)線性模型： Yi=b0+b1X+b2X2 不可線性化的模型 uYXbXbXbbkk.22110 非線性模型的普遍性非線性模型的普遍性 解決非線性模型的基本

2、思路解決非線性模型的基本思路:將非線性模型將非線性模型變換為線性模型來研究。 一、直接代換法 1.多項(xiàng)式函數(shù)模型 Yi=b0+b1X+b2X2+bkXk 令 Zi=Xi i=1，2，k 則： Yi=b0+b1Z1+b2Z2+bkZk 變換為線性模型 例如，著名的拉弗曲線描述稅率r與稅收s之間的關(guān)系 s=a+br+cr2 2.雙曲函數(shù)模型雙曲函數(shù)模型 例如，商品的價(jià)格p與需求量Q之間的關(guān)系 令 則：Y=a+bx pbaQ11pXQY11 3.雙對(duì)數(shù)函數(shù)雙對(duì)數(shù)函數(shù) LnY=a+bLnX 令 Y1=LnY X1=LnX 則： 原函數(shù)變?yōu)?Y1=a+bX1 注意：雙對(duì)數(shù)函數(shù)變量系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義 b= 為

3、Y對(duì)X 的彈性 （課堂練習(xí)一）XdXYdY 二、間接代換法二、間接代換法 例如，指數(shù)函數(shù) Y=b0X1b1X2b2eu 首先 ，兩邊取對(duì)數(shù)得 LnY=Lnb0+b1LnX1+b2LnX2+u 然后，令 Y*=LnY B0= Lnb0 X1*= LnX1 X2*=LnX2 則： Y*=B0+b1X1*+b2X2*+u 為線性模型 著名的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) Y=AKa Lb eu 就可以通過間接代換方法進(jìn)行估計(jì) （課堂練習(xí)二） 三、泰勒級(jí)數(shù)展開方法三、泰勒級(jí)數(shù)展開方法 1.泰勒級(jí)數(shù) f（X）在X=X0處連續(xù)可微，則在X0的鄰域中有泰勒公式： )(0!)(.0! 2)()()()()()(0)(

4、20000 xnfxffxfRxxxfxxxxxxnnn noxxxRnn)0)()()(0!)()(00)(xxxfnnnnxf 例如：下列函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)為： .!31!211!320 xxxexnnnx.!.! 31! 21!)1ln() 1() 1(13211 nxnxxxxxnnnnn.)!2()sin(1121) 1( nnnnxx 2.泰勒級(jí)數(shù)展開法泰勒級(jí)數(shù)展開法 為非線性函數(shù)。 （1）取一組參數(shù)初值 。在該點(diǎn)泰勒展開為： 是級(jí)數(shù)展開式的高階項(xiàng) ufYbbbXXXpk).;.(2121),.,(02010bbbp)(),.,;2(,.,010201010bbbbbbXXXipiii

5、pbbfkfYii 令： 則：原模型變?yōu)槎嘣€性模型 pibbfiibzii,.2,10zbzbzbYpp.2211*bbbbbXXXYipiipfkfY,.,00020101*),.,;2( 估計(jì)這個(gè)線性模型得一組OLS估計(jì)值 （2）以 為初值， 重復(fù)第（1）步，作另一次 泰勒級(jí)數(shù)展開，得到另一個(gè)線性近似。利用OLS估計(jì)得到另一組參數(shù)估計(jì)值 ),.,(12111bbbp),.,(12111bbbp),.,(22212bbbp（3）如此反復(fù)，可以得到一系列 j=1 2. 使其收斂為止，即滿足 注：（注：（1）初值的選擇）初值的選擇 2）迭代的收斂性）迭代的收斂性 非線性模型的例題 ),.,(2

6、1bbbpjjjbbbjijiji1 第二節(jié)第二節(jié) 虛擬變量及應(yīng)用虛擬變量及應(yīng)用 一、什么是虛擬變量？一、什么是虛擬變量？ 虛擬變量，是一種離散結(jié)構(gòu)的量，用來描述所研究變量的發(fā)展或變異而建立的一類特殊變量，常用來表示職業(yè)、性別、季節(jié)、災(zāi)害、經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)變化、受教育程度等的影響。 二、虛擬變量的應(yīng)用二、虛擬變量的應(yīng)用 1.測(cè)量截距的變化測(cè)量截距的變化 例題：根據(jù)1900-1968年的收入、消費(fèi)數(shù)據(jù)研究消費(fèi)函數(shù)，我們?nèi)√摂M變量如下： 正常年份 則消費(fèi)函數(shù)為：Ct=b0+b1Yt+b2Dt+ut 正常年份消費(fèi)函數(shù)為：;19331929,19451940,1919191401DtYbbbDbYbbCtttt(120210) 反常年份消費(fèi)函數(shù)為： 注：虛擬變量的賦值帶有很大的隨意性，它取決于研究者對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的理解和試驗(yàn)。 YbbCtt10 2.測(cè)量斜率的變化測(cè)量斜率的變化 上例中，如果消費(fèi)傾向也發(fā)生了變化，則取第二個(gè)虛擬變量為： 正常年份 則消費(fèi)函數(shù)為： Ct=b0+b1Yt+b2Dt+b3D2t+ut 正常年份為： 反常年份為：;19331929,19451940,1919191402YtDYbbbbCtt)(3120()YbbCtt10 3.調(diào)節(jié)季節(jié)波動(dòng)調(diào)節(jié)季節(jié)波動(dòng) 例題：研究某種飲料的需求量 Q=b0+b1Y+b2P+b3D+u 這里， 其它季度 2、3季度 對(duì)于季節(jié)問題，過度引入虛擬