數(shù)學(xué)解題中的整體意識

1、數(shù)學(xué)解題中的整體意識 江蘇省丹陽高級中學(xué)數(shù)學(xué)組 丁玲整體意識是一種全面地、總體地考慮問題的思維習(xí)慣或自覺意識，它注重問題的整體結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)的改造，能從整體上把握思維的方向和進程。解題中應(yīng)用整體意識考慮問題，能增加思維的有效性，巧避非必求成分，達到另辟蹊徑的效果，有助于培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性。下面就談?wù)剳?yīng)用整體意識解題的幾種方法。一整體代入例1在等差數(shù)列中，如果 ，求的值。分析：設(shè)等差數(shù)列中，如果首項為，公差為，（*）表達式中共有四個量m，n，d，其中m，n屬已知量，要想單獨求出 和的值既不可能也無必要，只需考慮這個整體。解：化簡得， 將代入（*）式得例2若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項

2、的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有（ ） A13項 B12項 C11項 D10項分析：這里利用等差數(shù)列的性質(zhì)考慮顛倒相加，求出的值，再代入公式，即可求出項數(shù)n 。如果分別求出運算量會很大，用時較多且沒有必要。本題只須將看成整體便很簡潔，并且體現(xiàn)了等差數(shù)列性質(zhì)的運用。解： 由題意知，兩式相加且運用性質(zhì)知則可得，又 解得 故選A從例1、例2可以看到，在所求表達式中變量較多又不能逐一求出時，利用整體代入法考慮，可以抓住解題的關(guān)鍵，避開非必求的量，迅速達到目的。二整體補形h1h2h2h1有些幾何體看似不規(guī)則，補形后即成規(guī)則的幾何整體。例3已知高為的圓柱被一個不平行于底面的平面所截，其剩余

3、部分最高為，最低為，圓柱的底面半徑為，求剩余部分的體積。分析：剩余部分為不規(guī)則幾何體，無法直接求，考慮補成一個規(guī)則的整體，將剩余部分最高處延長，最底處延長，則剩余部分補成高為的圓柱，整體體積為，顯然補出部分與原剩余部分體積相等，所以剩余部分體積為。OABC例4四面體中，兩兩垂直，且，求西面體的外接球半徑。分析：四面體外接球問題較復(fù)雜。直接入手很難，若用整體思想考 慮，可看出四面體是長度為4，4，2的長方體的一部分，而長方體的外接球即為原四面體的外接球，長方體對角線為 外接球半徑此題是用整體補形法處理問題的典型例子，通過補形巧妙地轉(zhuǎn)化了問題。三整體固定例5若，求的取值范圍。分析：中有兩個變量，若

4、用條件代換掉一個則又引入了根號，變得更加復(fù)雜?，F(xiàn)將整體地設(shè)為，平方相加， ， 解得例6若，求的值。分析：若將x用求根公式求出再計算很繁。設(shè) ，則有又 平方得 即： 比較（1），（2）， 由于 四整體處理例7已知,求的取值范圍。分析：原條件變形為： ， 在式和式中，由于x和y是非獨立變量，若將和的范圍分別求出，再求的范圍，無形之中的范圍將被擴大，故將和看作整體，同樣也看作整體，用和表示來處理。設(shè)解得解得：， ， 類似例7的問題在不等式中經(jīng)常會碰到，例如：例8已知，且，求的范圍。分析：此題即為：已知，求的范圍。這里和也作為整體處理。利用，求出，可得。常見的錯解是將：（3）由（2）+（3）得（4）將：（5）（5）+（2）：， （6）得以上錯誤在于將a和c看作獨立變量，而a和c不能同時取到不等式（4）和（6）中的最小值和最大值，故的