因式分解常用的六種方法詳解

1、因式分解常用的六種方法詳解多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用于初等數(shù)學之中，是我們解決許多數(shù)學問題的有力工具.因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用.初中數(shù)學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法.本講及下一講在中學數(shù)學教材基礎上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹.1 .運用公式法在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2&#

2、177;2ab+t2=(a±b)2;(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b).下面再補充幾個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n為正整數(shù)；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b；+abn-2-bn-1),其中n為偶數(shù)；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-a

3、bn-2+bn-1),其中n為奇數(shù).運用公式法分解因式時，要根據(jù)多項式的特點，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當?shù)剡x擇公式.例1分解因式：(1) -2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4;(2)x3-8y3-z3-6xyz;(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab;a7-a5b2+a2b5-b7.解(1)原式二-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2.原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-

4、z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2=(a-b)2+2c(a-b)+c22=(a-b+c).本小題可以稍加變形，直接使用公式(5),解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+aib2-ab3+b4)例2分解因式：a3+b3+c3-3abc.本題

5、實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6).分析我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).這個式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導.解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).說明公式(6)是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如:我們將公式(6)變形為a3+b3+c3-3abc=：(g+b+c)(2a2

6、+2b24-2c2-2ab-2bc-2ca)二、(自+L+e)(a-h)，+(b-Q，+(匚-a)1.uu顯然，當a+b+c=0時，貝a3+b3+c3=3abc；當a+b+c>0時，貝a3+b3+c3-3abc>0,即a3+b3+c3>3abc,而且，當且僅當a=b=c時，等號成立.如果令x=a3>0,y=b3>0,z=c3>0,貝有等號成立的充要條件是x=y=z.這也是一個常用的結(jié)論.例3分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1.分析這個多項式的特點是：有16項，從最高次項x15開始，x的次數(shù)順次遞減至0,由此想到應用公式an-bn來分解.解因為x1

7、6-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1),所以(注-1)(+/*+式建+我*+x+1)-1原兀=：=7X-1E-1_G?.+)(/+1)*)(丁一1)K-1-(d+D&?%水心位：口妒以說明在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用.2 .拆項、添項法因式分解是多項式乘法的逆運算.在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或?qū)蓚€僅符號相反的同類項相互抵消為零.在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項

8、，后者稱為添項.拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解.例4分解因式：x3-9x+8.分析本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧.解法1將常數(shù)項8拆成-1+9.原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法2將一次項-9x拆成-x-8x.原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法3將三次項x3拆成9x3-8x3.原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+

9、8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8).解法4添加兩項-x2+x2.原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8).說明由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種.例5分解因式：(1)x9+x6+x3-3;(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4;(4)a3b-ab3+a2+b2+1.解(1)將-3拆成-1-

10、1-1.原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3).(2)將4mn!S成2mn+2mn原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=mn2-m-n2+1+2mn+2mn=(m?n2+2mn+1>(m2-2mn+r)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+mn+1)(mn-m+n+1).(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2.原式二(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x

11、-1)4=(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3).(4)添加兩項+ab-ab.原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1).說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復雜，所以不易想到添加+ab-ab,而且添

12、加項后分成的三項組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式.這道題目使我們體會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經(jīng)驗.3 .換元法換元法指的是將一個較復雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰.例6分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12.分析將原式展開，是關(guān)于x的四次多項式，分解因式較困難.我們不妨將x2+x看作一個整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項式的因式分解問題了.解設x2+x=y,則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2

13、)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5).說明本題也可將x2+x+1看作一個整體，比如今x2+x+1=u,一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學不妨試一試.例7分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.分析先將兩個括號內(nèi)的多項式分解因式，然后再重新組合.解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90.令y=2x2+5x+2,則原式=y(y+1)-90=y2+y-90二(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)

14、(2x+7)(x-1).說明對多項式適當?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎.例8分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.解設x2+4x+8=y,則原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).說明由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質(zhì)是簡化多項式.例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6.解法1原式=6(x4+1)+7x(x2-1)-36x2=6(x4-2x2+1)+2x>

15、+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=2(x2-1)-3x3(x2-1)+8x=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).說明本解法實際上是將x2-1看作一個整體，但并沒有設立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設置新元來代替整體.解法2令x-工=t則/+=+2,于是XM原式=x26(t2+2)+7t-36=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x22(x-1/x)-33(x-1/x)+8=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3

16、)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).例10分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).分析本題含有兩個字母，且當互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式.對于較難分解的二元對稱式，經(jīng)常令u=x+y,v=xy,用換元法分解因式.解原式=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy.令x+y=u,xy=v,貝U原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2.練習一2.分解因式：(1)x3+3x2-4;(2)x4-11x2y2+y2;x3+9x2+26x

17、+24;(4)x4-12x+323.3.分解因式：(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1;(2)x4+7x3+14x2+7x+1;(x+y)3+2xy(1-x-y)-1;(x+3)(x2-1)(x+5)-20.4 .雙十字相乘法分解二次三項式時，我們常用十字相乘法.對于某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我們將上式按x降幕排列,并把y當作常數(shù)，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是關(guān)于x的二次三項式.對于常數(shù)項而言，它是關(guān)于y的二次三項

18、式，也可以用十字相乘法，分解為即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).再利用十字相乘法對關(guān)于x的二次三項式分解x(2戶)弱(；-Hy41J所以原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1).上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法.如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個關(guān)系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3.這就是所謂的雙十字相乘法.用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+

19、f進行因式分解的步驟是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一個十字相乘圖(有兩列)；(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey,第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx.例1分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;(2)x2-y2+5x+3y+4;(3)xy+y2+x-y-2;(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1).原式=(x+y+1)(x-y+4).(3)原式中缺x2項，可把這一項的系數(shù)看成0來分解.原式二(y+1)(x+y-2).原式=

20、(2x-3y+z)(3x+y-2z).說明(4)中有三個字母，解法仍與前面的類似.5 .求根法我們把形如anxn+an-ixn-1+-raix+ao(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項式，并用f(x),g(x),等記號表示，如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,，當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示.如對上面的多項式f(x)f(1)=12-3X1+2=0;f(-2)=(-2)2-3X(-2)+2=12.若f(a)=0,則稱a為多項式f(x)的一個根.定理1(因式定理)若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)有一個因式x-a.根據(jù)因式定理

21、，找出一元多項式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項式f(x)的根.對于任意多項式f(x),要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時，即整系數(shù)多項式時，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根.定理2若既約分數(shù)凡是整系數(shù)多項式p£(x)=+七妹|4七筮片”4%倍的根，則必有p是ao的約數(shù)，q是an的約數(shù).特別地，當a0=1時，整系數(shù)多項式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù).我們根據(jù)上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行因式分解.例2分解因式：x3-4x2+6x-4.分析這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個檢驗-4的約數(shù)

22、：±1,±2,±4,只有42)=23-4X22+6X2-4=0,即x=2是原式的一個根，所以根據(jù)定理1,原式必有因式x-2.解法1用分組分解法，使每組都有因式(x-2).原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2).解法2用多項式除法，將原式除以(x-2),儲-+E3t.工？_4.之十4，也2-2k2+6k-2w44x2工-4%一-0所以原式=(x-2)(x2-2x+2).說明在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項式的根.

23、因此，必須對-4的約數(shù)逐個代入多項式進行驗證.例3分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2.分析因為9的約數(shù)有土1,±3,±9;-2的約數(shù)有土1,土12122,所以原式的有理根只可能是上1,±2,±：,土(4土短1212經(jīng)檢驗，只有-:和：是原式的根，所以原式有因式/十；和蘇-5.又因為：儀+勺&-g)漢+1)(3戈一2)=(9/一3五一2).所以，原式有因式9x2-3x-2.解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(

24、3x-2)(x2+1)說明若整系數(shù)多項式有分數(shù)根，可將所得出的含有分數(shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式Iq12(X+-)(x-)=K-X-可以化為9x2-3x-2,這樣可以簡化分解過程.總之，對一元高次多項式f(x),如果能找到一個一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多項式，這樣，我們就可以繼續(xù)對g(x)進行分解了.6 .待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學中的一種重要的解題方法，應用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應用.在因式分解時，一些多項式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù).由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式恒等的性質(zhì)，兩邊對應項系數(shù)應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.例4分解因式：x2+3xy+2y+4x+5y+3.分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m和x+y+n的形式,應用待定系數(shù)法即可求出mffin,使問題得到解決.解設x2+3xy+2y2+4x+5