彈塑性力學(xué)大題

1、（10分？考察一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，對(duì)于法線為=危十加今十拜的斜截面（分，心是直角坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸的單位基矢量），根據(jù)chauchy公式，其應(yīng)力矢量為71”戶"4）注7e）耐+46排式中穴七），聯(lián)分7X&）是三個(gè)正截面上的應(yīng)力矢量，若已知某一應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力5,5,5,試使用上面的公式計(jì)算八面體等傾面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，并說明該剪應(yīng)力只取決于偏應(yīng)力，與體枳應(yīng)力無關(guān)5一-f曲夕百兩/I二M二nhr十12二九6血+6）'+T"G-6；nJy芹/5；葉內(nèi)：的十應(yīng)防廣j-一如"J6、J*6ap0一6刈二7宿f）¥&i內(nèi)并/$lGz=%-%6

2、。3=32；仿一（5'3二St，,，.C=I:6<$*6F46rQa之力X取決于伸態(tài)力求息，豺用場(chǎng)總攵.一薄壁圓管，平均半徑為心壁厚為“，承受內(nèi)壓P作用，學(xué)拉力工和扭轉(zhuǎn)時(shí)聯(lián)合作用，、'求任意一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的平均體鶻力和偏蹩第5不交專JJ。分）''.二仙建，3嬴3部a_二丁_伴丁一r5=。二扇"。量一.與一下I/一件t%0c/一-4（15分）如圖所示的平面桿系結(jié)構(gòu)由三個(gè)桿組成，桿件為理想彈塑性材札屈服也力箕5,各桿的截面枳均為/，中間第2桿的桿長(zhǎng)為，它與相鄰的第1桿和第3打的火角均為0=45°,在O點(diǎn)作用垂直向下的荷威尸，/（1）使用最小勢(shì)

3、能原理求出在彈性階段0點(diǎn)位移5的表達(dá)聲；飛/（2）求桿件開始屈服時(shí)的荷載P，并討論屈服開始后各桿的應(yīng)力和變形情況；（3）求極限荷我入_杷更，倩木的卜壯心猿巨三2岫底內(nèi)6產(chǎn)他遍遍示矩形裁面費(fèi)走纜修瓣布篋就拜退二生能否成立.若能成空翳嬴專舞眄喙臉砌詈器配“廣加”產(chǎn)十瓶配”31X1113F1LID(1)的筒內(nèi)部乂2).若材料從Mises,除外受6二雙入7)'g國(guó)嘈州不可歷附3，96"0?)1三嚕播可海的寸彳而笈都諼，又腸P而就濟(jì)、物心修力磋會(huì)為/G；-f*十矣內(nèi)人電舊油謁3程M勵(lì)二sj=3二2大箝土號(hào)批帆為F徜Y5Mr+cr”.：.0?二2C6二;十©加,)+2C”洋等體

4、力3)七二-F(百忸x必二*4/)4卜卜y喝4f十d-w心卜x卜心切屜，以e%-華十Hr-“記+匕/('，=/=/£=彳=由才用怪勺團(tuán)Ue=W6jz?,82胴猾得A一等J：工牙信利：b二一£»(卜等邛“卡善j»)r+苗6十國(guó)姐網(wǎng)南螭釧，1咋二H0r.e.2?才佝和6力旬._££_2CDu-忐/咔）P£二Hr-/址f白，*,3學(xué),%8工二古10V仿衣-叼“6)1二?為-5)二pW7z*MM日法洲f-2二P懸產(chǎn)品試用Ritz法和Galerkin法求跨度為1>抗彎剛度為£/的簡(jiǎn)支梁在均布下的撓度近似解，其中

5、撓度的試驗(yàn)函數(shù)Ritz法設(shè)為：w(x)=cix(/r)+。如(?一/)Galerkin法設(shè)為：1y=。1工4+6+。*2+。4+45式中5,C2以及m，內(nèi)為待定常數(shù)，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在梁的一端。(15分)解1)用Ria法求解門)設(shè)撓度的試驗(yàn)函數(shù)為<r)=G.rCZJ-)+qx2(尸一公)(a)本題的位移邊界金件足兩端支菽蟲的撓度為零，即=0(b)顯然.該撓度試驗(yàn)函數(shù)滿足c(?)求總勢(shì)能”=u+V=£/口(胃?也:mdi僅取位移函數(shù)的第一項(xiàng)代人，得門一1n11:方EI(2c)"-cjgr(/jr),dxJ。L/J(3)求總勢(shì)能的極苴辿一n_f/2九124HJ將q代入式43得梁

6、的撓度為b-24EJ()7)畤中的最大施度為為與材料力學(xué)的斛不需相比,誤爰為17%o96F7/6.8E7若撓度試驗(yàn)函數(shù)取二項(xiàng)迸行求解則按上面的方法可解得M_qCl,。24Ef24EJ此時(shí)給出的最大撰墳與材料力學(xué)的解比較接近。2)用GabrkE法求解本題的力邊界條件是兩端支承點(diǎn)處彎融為零,即/d:w八II=0d/r/一0.4一，用Galerkin方法解題，要求設(shè)定的撓度試驗(yàn)函數(shù)既滿足位移邊界條件式(b)乂滿足力邊界條件式(。)。選取多項(xiàng)式形式的先度試臉函數(shù)，由于一次、二次多項(xiàng)式不能同時(shí)滿足這兩方面的條件,二次多項(xiàng)式不稠足對(duì)稱性要求故選取下列四次多看式w=十口2，'+4怒代人式(b)和式(

7、C),則要求處H=0,z2/2jI.4=4/3故得8=。；(*一2反,+£、)已知某材料在純苗作用下，彈性剪切模量為G,泊松比為V,剪切屈服極限為吆曳化后滿足Jx/-const,若采用Mises等向強(qiáng)化模型,試求材料單軸拉伸下的座力應(yīng)泰（高一'一期叵堂林治二。三甲冊(cè)告打,二川加造得，以MU"工沌加南良力6gL倬J虬J瓏發(fā)良/+Z點(diǎn)血沈訓(xùn)叫小小嚇物*孑1機(jī)明孔L和二內(nèi)常環(huán).一3人/沆二以產(chǎn)dzJ&尸Jsl工”外5二，3二九|3二。學(xué)心心2,丐毋賒黑里火"匕已知某材料在純剪作用下應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系如圖所示，彈性剪切模量為G,Poisson比為v,剪切屈服極

8、限為Ts,入強(qiáng)化后滿足d7/d¥=G,=const。若采用Mises等向硬化模型，試求(1)材料的塑性模量(2)材料單軸拉伸下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。解：(1)因?yàn)閕.vpiV31.卜31-ddE*22_h292兒所以dp*3*d.hh=3*=3G(2)彈性階段。因?yàn)镚J,所以E=2G(11)由于是單軸拉伸，所以二E；塑性階段。1開ff=(-d-kl)-hl-ii.材料服從吵ses屈服條件,它的一個(gè)微單元體在1方向莖型螞/6。作用達(dá)到屈服，此時(shí)o尸5,然后保持6不變，.在2方向作用拉應(yīng)力立。（2方向與1方向垂直），問：-X一F一（1）在6跳開始除時(shí)，微單元件是處于加載還埠卸載？一心）若是處于

9、卸載，當(dāng)6。為何值時(shí)才開始重新加載？（15分）、二，wArr，*-r,J."八）1一例祕(mì)干網(wǎng)吁亂二七-抑也）二前一/2,>=或-3(%+8)=WC-JbS3a森）對(duì),±f，士卜二3（51如一§Q/叫-m瓠/6工-畀，3）Js2Po伐勺入8'露j"q0依林精處于釬教為了:百I忖：七L的兒）當(dāng)靠從呵次付,則162do丁如乂875J人叫財(cái)Oz»b/%GzX%附,歙我材埼力就，一薄根厚度為/,其材料的彈性模量和泊松比分別是E、g，試分別導(dǎo)出它在平面應(yīng)力狀態(tài)下和橫力（作用方向與板垂直）彎曲狀態(tài)邙性典座變能由忠裁表示的表達(dá)式rni.OliJD

10、u*-O?w（薄板彎曲中三嗟=-ZQ'e,=不羽丁寶+詼=-2z赭）（15一對(duì)-屋&/優(yōu)£»+邪一即小(15分)設(shè)矩形薄板的邊長(zhǎng)分別為力和沖，四邊固支，受垂直于板面的橫向均布荷載g作用，設(shè)彎曲撓度為Ex其中C1是椅定常敷.試，證明它濡足所有邊界條件：2)使用Ritz法求饒度提示：不考慮橫向剪切，應(yīng)變能僅取決于板面內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變分量，面內(nèi)應(yīng)力分量與挽度的關(guān)系為。-備侍*v羅解：在板的固定端，撓度和轉(zhuǎn)角為零。顯然：X妾=儂)良=0滿足()x-a=2G(x2-a2)2x(y2-b2)2=0:x一22222_(一)y=b=2C1(x2-a2)(y2-b2)22y=0

11、二y一故0=01=Ci(x2-a2)2(y2-b2)2滿足所有的邊界條件2、用Ritz法求解簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下的撓度(位移變分原理)步驟：(1)設(shè)撓度的試驗(yàn)函數(shù)w(x)=Cix(l-x)+C2x2(l2-x2)+顯然，該撓度函數(shù)滿足位移邊界w(0)=0,w(l)=0。ll(2)求總勢(shì)目匕口=U+V=J0;EI(w"fdx-'qwdx僅取位移函數(shù)弟一i項(xiàng)代入，得_l12n=0|-EI(-2c1)-c1qx(l-x)dx(3)求總勢(shì)能的極值2/0寸器代入撓度函數(shù)即可1.假定矩形板支承與承受荷載如圖所示，試寫出撓度表示的各邊邊界條件：解：簡(jiǎn)支邊OCW邊界條件是：1y衛(wèi)=0：2.

12、：2.Myy_0=D(2')y'=-M0y-二y:x自由邊AB的邊界條件是：223風(fēng)(寫+專0,M-D名+切fix出兩自由邊的交點(diǎn)B：1丫*=0(2Mxy)上=Rb是B點(diǎn)支座的被動(dòng)反力。x=a,yb國(guó)3n息W梁受集中荷共懸著梁一端受集中力作用，粱鬲為3跨度為L(zhǎng)-如阿33所示.若不考慮冰積力，求何是I的應(yīng)力弱.卜面使用應(yīng)力許數(shù)第=4芯/十"y求解.將群代人協(xié)陽方程？叩峰一。.顯搬活足.由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量,博=6"¥，?=一：-Q,4”匚一一$3一b(aj應(yīng)力分量”應(yīng)滿足力也畀條件；在了一士專時(shí)，5；水工=小(口/一離廣。(b)將武仃，分別代入式h人

13、得一3M(g)-。=0Cc)在#=的辿界：/=-L*m-上、力由罪條件誓求T工一酎上+，枇盧=-1,%=Sdry=0(d)Ty，陽)=-.&=3dyz+h(啟)顯然，式能精確滿足，式(。要求端部截面作用分布面力，而賣除作用的是集中力，因此+不能精確滿足，需應(yīng)用圣維南原理近似滿足.I，1上P-Iydy1=C出'+by>=了小斗-|腦(f)與3聯(lián)立方程(力和方程(c),解得將常數(shù)代入式U)-得所求的應(yīng)力分量為如右圖所示，矩形板在四個(gè)角點(diǎn)作用分別作用大小為F的集中力，其中A點(diǎn)和C點(diǎn)的集中力向上，B點(diǎn)和D點(diǎn)的集中力向下，四條邊均為自由，求板的撓度。解：板邊的邊界條件為:(MxX=

14、0,MX號(hào)=0Myy_b=0,Vyy_b=0一2一24個(gè)角點(diǎn)的邊界條件均為：(2Mxy)ab=Fx=-,y=-由于橫向分布荷載q=0,因此基本微分方程變?yōu)椋嚎ㄏΓ?0假定坐標(biāo)圓點(diǎn)的撓度為零，上式的解是。=Pxy式中的P是待定常數(shù)-2-2-2-2.2w二ww二wwMx-D(r、-T)My-D(-2、-2)Mxy-D(1-、.)一二x二y二y二x二xy-3-3-3-3w/c、:ww/c、二w,Vx=-D_3(2-.)_2Vy=-D_3(2-D2一二x二xy二y二x二y-2-_一二w2二，2Rb=2(Mxy)B=-2D(1-.)bQx=Dt2，Qy=-D2-cx:yex：y貝有：Mx=My=0,Mx

15、y=-D(1-V)P,Qx=Qy=0,Vx=Vy=0顯然板邊的邊界條件能自然滿足，為滿足角點(diǎn)的邊界條件，應(yīng)有F=2Mxyb,y=-2Gt3：3FGt撓度解就是：二一熱設(shè)有半無限空間體,密度為p,在水平邊界上受均勻分布?jí)毫作用.如圖4.3。已知半今網(wǎng)體的水平位移產(chǎn)巳=0,假定在之=力處.使用位移法求半無限空間體中的位移與應(yīng)力a得半無限不受均布向我根據(jù)問題的對(duì)稱性，位移應(yīng)只是。的函數(shù)UzU'(z)體積應(yīng)變?yōu)榇宋灰票砑拥钠胶馕⒎址匠淌?4.6),前兩個(gè)式子自然滿足,而第三式變?yōu)?A+2G)鱉十疼=0利用彈性常數(shù)之間的關(guān)系，整理后得d-w_(Ip)(I2p)d/EC1-0年積分后得江,=_

16、Q_Q(I_23(,A1H2E(1-P)佯式中A和B是枳分常數(shù)。確定積分常數(shù)需要應(yīng)用邊界條件。由位移計(jì)算應(yīng)力得%=G.=_pg(之工，A)1-VOn=(J(Z,八)=TyZ=L：=。在半空間體的表面邊界上有力邊界條件/=m=0.T,=T=0.1=q代人力邊界條件式(&4)，前兩個(gè)式子自然滿足.而第二代賈求“=q求得二=Q/將它代入位移y的表達(dá)式,并利用位移約束條件(必)=(),便得B="-"將常數(shù)4和8的值代回位移和應(yīng)力的友達(dá)式中，則位移和應(yīng)力完仝確定。應(yīng)力分取中,二內(nèi)是垂直面上的水平應(yīng)力應(yīng)是水平截面上的垂直正應(yīng)它們的比仙是2二空=p%o：In這個(gè)比值在上力學(xué)中稱為

17、側(cè)二力系數(shù)。如圖5,4所示，簡(jiǎn)支梁受均勻分布荷載作用，梁的高度為人,跆度為25試求應(yīng)力分黃和跨中的撓度。設(shè)外僅是3的函數(shù)，據(jù)此找配應(yīng)力的數(shù)華的表達(dá)式力=W,KJ網(wǎng)=E=f<y）式中6）是待定函數(shù)。積分后面的式子得3=彳工"（'）一.t/i（y）,fAy）式中力（y和/式W是序定函數(shù)。代人協(xié)調(diào)方程軍'7=o.得1,dV.dfdf«仁2ayaydyay對(duì)于-L0.4L,上由方程都應(yīng)成立，因此有dV_rd/一d"3經(jīng)積分得f(y)=AV+Byz+Q+Df、y)=Ey5+卜爐+(內(nèi)+Kf式3)=-Ay5+Hy'寧Ky?&Ly+M1。o

18、因此有0=-ijCAv14-By*-1Cy5LO4上（身42y，+Qv）*4十（一如一於V，十“必十必，）注意在應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式中的線性的鍬被略去因?yàn)樗挥绊憫?yīng)力計(jì)算.使用上面的應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分錄為力一山71Ay48）-M6與+2F）-2A-?-2By2+6%+2K%一?nAy?4-By24-Cy+D（a）%r%一一f生T（3Ay:+2Ey+C）-（3Ay|2Fy+G）a叉力下面利用邊界條件求得定常數(shù).在考慮邊界條件之前,先考慮問腱的對(duì)稱性u(píng)現(xiàn)在的可題關(guān)于了軸時(shí)稱，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)關(guān)于N軸對(duì)稱、，因此9,和外應(yīng)當(dāng)是Z的偶函數(shù)，而5應(yīng)當(dāng)是1的奇函數(shù)于是由式（8）就有E=/=（；»=0考

19、忐上下南邊的邊界條件，它們是<b)GtJla；j=q.（匕,）,“0（。7）-4,2=。，=U將式a）代入式（b）求得AJ.B=0,h.'再考慮兩端邊界條件,由于問題的對(duì)稱性,只需考慮一端的邊界條件.例如右端x=LU=Lm6上,力邊界條件要求fcr1"（心）“心=0（C）T=frTy-THffy=1（q/i=Mj答了一稱）（d）'firZfi猿然,式（c）不能精確滿足，式（d）要求端部截面作用分布面力,而實(shí)際作用的是集中力.因此，也不能精確滿足.通常梁的跨度遠(yuǎn)大梁的高度時(shí),可以應(yīng)用圣法南原理近似滿足.即要求Tjdj=。hr2-hI符應(yīng)力表達(dá)式（。代人式&

20、）,得H=見聘上面的常數(shù)代人應(yīng)力分量的去達(dá)式（4,并整理得應(yīng)力解為C.22）分布為G對(duì)任意截面的彎矩為仞k§（爐上、，或力為Q：=一qr|_|如圖所示的楔形體受水壓力作用，水的容重為匕試寫出邊界條件解：在x=0上，1=一1,m=0,（二x）x=0，（-1）+（yx）x=00=y（xy）x=0，（-1）+（二y）x=00=0（二x）x=0=y（xy）x=0在斜邊上1=cos,m=-sin：-xcos-yxsin:=0xyCOSfySin=0【例6*工】如圖6,11所后，姮形板在4個(gè)角點(diǎn)分明作用大小為尸的集中力.圖6.11電影扳角點(diǎn)受集中力作用其中A高和匕皮的集中力向上.日忒箱口點(diǎn)的集中

21、力向下*四條邊均A自由，求核的撓度口解板過的邊界梟件為CA）r耳一。.IK?）"十號(hào)1=i）.匕、._小C:4個(gè)角點(diǎn)的邊界條件均為，“4九環(huán)十二等F由于橫向分布向1載LU.因此基本微分方程孌為D*R二m0假定坐標(biāo)畫點(diǎn)的撓度為零，1二式的解是叼=pry式中的戶是待定常數(shù)，使用式（也16）和式（6.28）,則有MtMy不0,=/X3RQ,=Q*=0,vv=o顯然板出的功界條件能目然滿足,為漪足角點(diǎn)的邊界條件I應(yīng)有F=.dT=_蕭"一等“6（IF浦3因此得13F"一"提度解就是W=-3FXY/G3正方形薄板，三邊固定另一邊受均勻壓力q作用，應(yīng)力函數(shù)取為1222

22、3*=-qx+Axy+A?y,基于應(yīng)力辯分原理Ritz法求解（v=0.3）:2;步驟：有應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力:x=I_Fxx=2Alx26A；:y_2,22-%=-2"-Fyy=-q+2Aiy,柄=一=-4Axy二x二x二y滿足力邊界條件，一定滿足平衡方程。由于位移邊界已知位移余勢(shì)能就是應(yīng)變余能，平面應(yīng)力與線彈性情況下，應(yīng)變余能為為0,外力余勢(shì)能為0,總01U=U=n"(axSx+ay®y+%y；xyfaxdy,將應(yīng)變由應(yīng)力表達(dá)得Uc=口tx2+by2-2xCTy+2(1+U>xy2dxdy，將所求應(yīng)力代入方程，求；:IIc/沾=0,：IIc/：A=0,即30q

23、_-5q-2，A2一一2217a217a例6.3如田6.12所示，矩形板全分加為qQ,V的憒的有飄作用.板四冏迪均為他支求坂的優(yōu)度和極微面內(nèi)力.圖6.12四邊他支板殳分布橫向佝錢作用<6,29a)C6,29b)(6.30)M,=eem-I.Oe5.一I、：$1一'7.mn7-J用RJwrrnnJ'Psic-ir1氧工”"iC皿寸ank.v方X)'sinsin-解設(shè)捷度為三角級(jí)數(shù)形式a=w$二人，而也巴9M2：0b它能胸足所有的邊界條件，即（3一0.（含L0，（wj=。，（薨）一=。=丘（3L仇第）i=。將g展開表示成三/級(jí)數(shù)qCny）=X2czsmsin

24、寫？利用三角級(jí)數(shù)的正交性，求得Cnn=Uj4（i.、）sin"”d_rdy代人方程DWZeqA7炭式中/e為干是,捷度為3一12片加產(chǎn)M“in。二R九6ub當(dāng)qO,5）=仇為常數(shù)時(shí),則有4q(1coswrarXloonir>=<r/fm“E”a2.4.6因此執(zhí)耀可以表示為IS/.(，C【，Mn.a,力Q-XX:/sm-sin-rDmj.n-ff"b將t布的拉度去達(dá)式代入式（6.】B）得旁印:印刖矩分別為coscosMrab一_72也上面的式子可M,在板的中心.r/2.y=b，2處.捷度最大彎矩M和M,最大，而M,為咨在板山M,和M,為穹，而M-齡大，F(xiàn).圖8.4

25、二角形桁理【例胤3】如由8.4所示折架,在節(jié)點(diǎn)“作用垂龍力/3和水平力年.在多點(diǎn)C作用水平力Pa，住節(jié)岳B產(chǎn)生的嚏丸也移上水平但移分刖為g和心，在節(jié)點(diǎn)C產(chǎn)生的水平但移為一若已知節(jié)點(diǎn)位移.走節(jié)點(diǎn)力，解根據(jù)幾何關(guān)系,可求得備肝的伸長(zhǎng)為整個(gè)桁架系統(tǒng)的應(yīng)變能為U祟（必）2十（M尸+Y門代人卡氏第一定理式（&28）,得=遐_七9匕.iHit：-江卜他T2lh）JUE"1）二麗F（L”）P._您一叫q1.5一菽一五2小_?山4ML面3個(gè)式子可表示為Pr(8.29)式中3K"=第捫l(wèi)T將Tksb屈服條件和Mises屈服條件作一簡(jiǎn)單比較。在I平酊上.單軸拉伸（或壓縮）應(yīng)力狀態(tài)位丁6

26、軸（或e。軸、或e；軸）上，而純剪應(yīng)力狀態(tài)則位于軸（或3軸、或e：軸）的垂百線卜,如假定單軸櫛:伸時(shí)兩個(gè)屈服上重令，則Usch六邊形內(nèi)接于Mises畫.汕圖11.4所示，這時(shí).兩個(gè)忖服面在純的狀態(tài)時(shí)差別最大，使用式（11.7c）和式（1l12”J知，M。的剪切屈服極限與Tresca的剪切期服極限之比是（r,）M5Gl273=1.135:、如假是純剪時(shí)兩個(gè)屈服面重合則Treca六邊形外切fMise圓,這時(shí)兩個(gè)屈服面在單軸拉伸（或壓縮）差別第七同樣使用式（1L7c）和式（1L12c）可知：Tresca的拉伸屈服極限與Mix"的拉伸國(guó)服極限之比是G"：（gm=2=1，155,1,

27、【例9.3】如圖9.1所示一邊固定.三邊白由的背板，3個(gè)£由邊受均布苗應(yīng)力T傷期.不計(jì)體力設(shè)位移分量為60”人1十八2）+A»+>,"n=十星1+場(chǎng)？卜試用展子佗移交分原理的Ritz法求薄板的位移.解所設(shè)位移滿至固定辿的位移邊界條件對(duì)于平固間翹，應(yīng)變能為圖$1三邊受分布叫力作用，一邊囿定的板將木構(gòu)方著代人,并將應(yīng)變分量用位移分重表示得到由位移表示的應(yīng)變能力用：卷上卷廣+2嚕姓（鬻償門”若僅取一項(xiàng)作為近似位移解.即取位移為%=乙.為=工8.代入上式得應(yīng)變能為u=科偉+我）板的上邊、下邊和右邊的力邊界條件是在了=Q；z=r,r,=o在=歸r,=r.，-o在，=：

28、T.«0,7=r外力挎為V=一J（TaMx+rvu>4-T«uJdSr）Ajjrdlx.Jr/3jttdy4JnA.jr<Lr=一出j必做勢(shì)施為=uJy=尋號(hào)）（Af+國(guó)卜力H）由福¥t。,亍音=。,解得A1=o、R）=2Q擊&.最后物體的位移為cFrxtjt這就是物體發(fā)4均勻若切變形時(shí)的位移.粗咐柯維青由式中應(yīng)力由內(nèi)力的表達(dá)式退化為在2軸方同位移平面應(yīng)變時(shí)的彈性模量應(yīng)使用處在平面應(yīng)變狀態(tài)下0xyxyx0zzx故是純剪狀態(tài)第二項(xiàng)為靜水壓力狀態(tài)00000000了一項(xiàng)。據(jù)對(duì)稱性就梁是平面應(yīng)力狀態(tài),根據(jù)第5章內(nèi)容使用上面的關(guān)系，前面薄板有關(guān)撓曖.應(yīng)力

29、和內(nèi)力的一系列表達(dá)式將得到簡(jiǎn)化薄板彎曲的基本微分方程式（013）退化為為單寬窄條橫截面的慣性能，內(nèi)力與撓度的關(guān)系式退化為來代替.這樣,就多出rLevy-Mises增量理論了與材料力學(xué)中的梁理論比較+F面只給出/達(dá)式退化為y0yx0-000-00造成這的原因是；板單位寬度的窄條處平面應(yīng)變狀態(tài)（因?yàn)楦也牧象w積是不可壓縮的，考察其中的一個(gè)微單元體，試證明式中5培單寬窄條橫截面的面積矩一口由內(nèi)力表示的平衡方程退化為將上面的表達(dá)式身材料力學(xué)中愛理論的相應(yīng)表達(dá)式比較.不難發(fā)現(xiàn).所有不包含彈性模量E的表達(dá)式與梁理論一樣：而在所有包含彈性模量e的表達(dá)式中多出d%m平面內(nèi)的有關(guān)分量。應(yīng)力的表板將彎曲成柱幫曲面

30、.柱面母健與了粘干這樣.可取屈第一清,方向?yàn)閱胃秾挾鹊恼瓧lI如四自£中府加門柒分航.這時(shí)粒為零的曲率和應(yīng)變分量只"相和,它11分崗上=0,所以，所以平面應(yīng)變狀態(tài)：2=2=故屈服條件重合考察一科特爆情如果電也報(bào)的一個(gè)方向（比JJy方向）足善甚，分作.荷費(fèi)沿了方位而變化而只是沿F方向變化.即寸式#，且沿1萬向鑿國(guó)蟲的汾界支市條件也沿了方向行整,則嵌忖提度業(yè)港”,只是M的閑散1）其應(yīng)力狀態(tài)分量可分解為靜水壓力狀態(tài)與純剪應(yīng)力狀態(tài)之和2）Tresca和Mises屈服條件重合。y-00x-0yx01)aijyz3；z=0）的理想剛塑性體，其材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系服從【例2.3電阻應(yīng)變計(jì)是一

31、種量測(cè)物體表面一點(diǎn)沿一定方向相對(duì)伸長(zhǎng)的裝JL.逋常利用它可以量測(cè)得到一點(diǎn)的平面應(yīng)變狀態(tài)。如圖2.8所示，在一點(diǎn)的3個(gè)方向分別枯貼皮變片.若測(cè)得這3個(gè)應(yīng)變片的相對(duì)伸長(zhǎng)為，舐=0.0005,0.0008，也=0.0（X）3求該點(diǎn)的主應(yīng)變和主方向，圖2.8應(yīng)變片布置解先求出剪應(yīng)變皿使用式（2.17a）考察43。方向線元的線應(yīng)變，將M8£=/vz=/zx=0代入其中可得Xrv-2£人、,會(huì)心，-£(/-£8=-700X10"$代入式229求主應(yīng)變,有50()e-350|x1(廣=0-350800-el解得主應(yīng)變白=1031X10-e2=269X10-6

32、,ej=0o將最大主應(yīng)變和代回式（匕29）-5001031-35035。,8001031l，m上式只有1個(gè)方程是獨(dú)立的，可解得與與才軸的夾角為Tvt531-ice*Tanol=1,016j于是有a尸一56.6°.同理，可解得£2與軸的夾角為Q1=33.4在單軸應(yīng)力狀態(tài)下，彈性應(yīng)變是而塑性應(yīng)變是0-CsE'塑性模量應(yīng)是h_d£_Er4一，h-ZP-E(2)加載判別：dw當(dāng)應(yīng)力狀態(tài)達(dá)到初始屈服后，下一步應(yīng)力增量是否產(chǎn)生塑性變形，取決于該題各路徑下的應(yīng)力狀態(tài)偏量均可表示為：sz=cz,sx=sy=-az,s6z=sz0=T0z,(cf/aij)daij是否大于零

33、。由于(3)2,1一220sJ2z-z-3-3f32dH(qCzdQ2.泉t)：；.ij2J236d0同號(hào)，ad施同號(hào)，因此，/J畫°使用流動(dòng)法則求塑性變形1開h：:：方fd-ij一13232(c-zd；=z2-zd-z)Czh2J23-2J23cf1、32,上。，、3用Jh卒7(3。西+2阻d%)/田11h2J2(二zd，3的w)力(4)按上述路徑進(jìn)行積分，塑性變形路徑(1):az=as,材料屈服，再增加剪應(yīng)力d臉匍，daz=°,工31327(?d?)二s=三h二s3?2h229/cacInx2+曳/Fn2(3；2h二s.arctan33q/3°路徑(2)：當(dāng)剪

34、應(yīng)力Kz=os/、3,材料屈服，增加應(yīng)力二z,即d；:z;°,d.1z=°.iz=；:.s/3口3131°hdRz二z-'"sarctanIn2324"V;親薄壁圓管受拉與扭轉(zhuǎn)作用，材料單拉時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為二二-csZ=+EE試按以下三種加載路徑達(dá)到最后應(yīng)力狀態(tài)，分別求其對(duì)應(yīng)產(chǎn)生的應(yīng)變(1)首先沿z軸加載至oz=as,并保持oz不變，然后再增加剪應(yīng)力至(2)先增加剪應(yīng)力至前z=os/、3,并保持前z不變，然后再增加拉應(yīng)力至(3)比例加載，按oz：T0z=3：1增加應(yīng)力至oz=as,鎧z=os/、3。解：(1)求塑性模量：路徑(3):在

35、加載中oz=巾Q,az=as/、2材料屈服，且dcrz=3d迎I-2；"z)；z='；3h/2h2d2(2czdcz)Cz=30s3h1-1212塑性變形與加載路徑有關(guān)三種應(yīng)力路徑下的彈性應(yīng)變都是3G薄壁圓筒平均半徑為R,壁厚為t,軸線方向?yàn)閦,軸部受軸向拉力T和扭矩M共同作用，材料的彈性模量為E,剪切*II量為G,拉伸屈服條件為仃s。試：寫出單位體積彈性應(yīng)變能的表達(dá)式；分別寫出Mises以及Tresca屈服條件的具體表達(dá)式；使用Mises屈服條件給出：軸向拉力T和扭矩M滿足何種關(guān)系時(shí)，圓筒處于加載狀態(tài)。解：應(yīng)力狀態(tài)為c-j12nR2tM_22nR2t0T2nRt,根據(jù)-C-

36、ij=0得出其三個(gè)主應(yīng)力分別為2二Rt二二2二0，二32nRt、l2nRt)4(M)22)2二R2t第一不變量Ii二32二Rt，第二不變量J24ibRtJ單位體積應(yīng)變能wI；E+*2,將I1,J2代入此式即可。其中K=一E3(1一2)3(1-2*3K-2G3KG丁化簡(jiǎn)此式得k=Me_2(2)Mises屈服條件為f=J2-二，代入J2即得。3Tresca屈月艮；：；s,將。1尸3代入即得。,3_3_5dr=szd；-zSd；-r(3)不會(huì)，別人的答案。s_d；1Jr1=3Lzd二z-sz-d-I0一一-2.J2-時(shí)加載，反之卸載，上式等于零時(shí)中性變載。設(shè)變長(zhǎng)為a的正方形薄板，四邊均固定，受均布橫

37、向荷載q作用，求板彎曲內(nèi)力（應(yīng)力變分原理）步驟：對(duì)于線彈性力學(xué)問題，應(yīng)變余能與應(yīng)變相等，本題位移邊界位移均為零，因此外力余勢(shì)能為0.總余勢(shì)能用內(nèi)力表不|c=uc=u=12JJ(M2+M220MxMy+2(1+uMXydxdy(1)2D(1)所設(shè)內(nèi)力試驗(yàn)函數(shù)應(yīng)滿足平衡方程和力邊界條件。本問題沒有力邊界，僅需滿足平衡方程Mxc：2Mxyf2My幾MxX2Myy2c2+2+2+q=0設(shè)=6-，=C1，Mxy=0.x；x:y；yq4q4滿足平衡方程代入（1）求出總余勢(shì)能。使用例|C/dG=0，得弓=22/48代入（2）得彎矩Mx1/12-x2/a2t例12,8】有一堂內(nèi)水壓力作用的薄壁圜筒，內(nèi)半徑為小

38、壁厚為九兩端封閉口假設(shè)材料是體積不可壓縮的，在忽略彈性變影的情況下，試求圜筒進(jìn)入理性狀態(tài)后主應(yīng)變的比生解同筒的環(huán)向、軸向和徑向的應(yīng)力分別為-?=°，工惻=丁收=rlF0匕I平均應(yīng)力為%=二；1與十內(nèi)一。）=故偏應(yīng)力張盤的分量為2r7；，5程=5淅=0I本時(shí)滿足簡(jiǎn)單如裁的條件因此可采用全晟理論,則有/>r-pr=A力，q=0，%=-A%=0顯然"力和三方向?yàn)橹鞣较?。由于材料是體積不可壓縮的，體枳應(yīng)變?yōu)?。.于是這3個(gè)方向的應(yīng)變分量為、尸、PrJ一工考.生一+gX2f它們的比值是S，q士”1t。t1E=中(尸p)。且已知其剪切屈服應(yīng)若材料為Mises硬化材料，已知它在純剪作用下的剪應(yīng)力與塑性剪應(yīng)變關(guān)系為力為Ts，試寫出塑性模量和加載面的表達(dá)式。解：Mises材料的加載面方程可寫成k-k(tp)=0p-如取內(nèi)變量為累積塑性應(yīng)變tp=Jd¥,則上式變?yōu)闊?k(Jd¥p)=0純剪狀態(tài)下的等效應(yīng)力為a=V,3J7=J37因?yàn)?dYp=l|liITdT*2、2j2仄2n-1rlt.所以dp=*3*d.h=3*-=3'(p)hdp加載面的方程為、3.-k(dp)-0巖土材料處于平面應(yīng)力狀態(tài)，一點(diǎn)的應(yīng)力分量為(x'bxTxy)，假設(shè)z為中主應(yīng)力，試：(1)使用已知應(yīng)力分量寫出Mohr-Coulumb屈服條件的具體表達(dá)式