相似三角形A字模型含詳細答案-經(jīng)典

1、教師輔導(dǎo)教案授課課時：課時授課日期：年月日學(xué)員姓名年級輔導(dǎo)科目數(shù)學(xué)學(xué)科教師班主任授課時間教學(xué)課題教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重難點課前檢查作業(yè)完成情況：優(yōu)口良口中口差口建議：教學(xué)內(nèi)容、相似三角形的性質(zhì)1 .相似三角形的對應(yīng)角相等ABC與ABC'相似，則有/A=/A1/B=/B'，/C=/C'.2 .相似三角形的對應(yīng)邊成比例ABC與AABC，相似，則有空=里=半=女（k為相似比）ABBCAC3 .相似三角形的對應(yīng)邊上的中線，高線和對應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比.ABC與ABC相似，AM是ABC中BC邊上的中線，AM'是A'B'C中B。邊上的中線，則有ABBCA

2、CAM/=*=k=b（k為相似比）.ABBCACAM ABC與AABC相似，AH是AABC中BC邊上的高線，A'HAA'b'CBC'邊上的高線，則有ABBCAC,AH=k=一；（k為相似比）.ABBCACAH ABC與ABC相似，AD是AABC中/BAC的角平分線，AD'是A'BC'中/BAC'的角平分線,ABBCAC.AD,則有一=一=;=k=一;一；（k為相似比）.ABBCACAD4 .相似三角形周長的比等于相似比.ABC與ABC'相似，則有AB-t=BC-i=-AC-p=k（k為相似比）.應(yīng)用比例的等比性質(zhì)有ABBC

3、ACAB=B=AC=AB+BC+AC=kABBCACABBCAC5 .相似三角形面積的比等于相似比的平方.ABC與ABC，相似，AH是ABC中BC邊上的高線，AH'是A，BC'中BC,邊上的高線，則有ABBCACAH=k=ABBCACAHk為相似比）.進而可得S»AABCSaaBC1BCAH211BCAH2BCAHBCAH、相似三角形的判定1 .平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.2 .如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.可簡單說成:兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似.3 .如果一個三

4、角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似.4 .如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的你對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似.可簡單地說成:三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似.5 .如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，這兩個直角三角形相似.6 .直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形相似（常用但要證明）7 .如果一個等腰三角形和另一個等腰三角形的頂角相等或一對底角相等，那么這兩個等腰三角形相似;如果它們的腰和底對應(yīng)成比例，那么這兩個等腰三角形也相似.那么三、相似證明中的基本模型A字形圖A字型，DE/BC;結(jié)論:AD

5、AEDEABACBC'【例1】李老師在編寫下面這個題目的答案時，不小心打亂了解答過程的順序，你能幫他調(diào)整過來嗎？證明步驟正確的順序是（已知：如圖，在ABC中，點D,E,F分別在邊AB,AC,BC上，且DE/BC,DF/AC,求證：ADEsDBF.證明：又:DF/AC,:DE/BC,./A=ZBDF,./ADE=ZB,.AD®DBF.A.B.C.D.【解答】證明：:DE/BC,./ADE=ZB,又.DF/AC,./A=ZBDF,.AD®DBF.故選：B.所以,CBCA所以,CP_CQCA-CB1216解得t=患.綜上所述，當(dāng)t=4.8或超時，CPQ與CBA相似.故答案

6、為4.8或需.、.AFADDF圖反A字型，/ADEWB或/1=ZB結(jié)論：-AE=-ACABBC【例2】如同，在ABC中，點D,E分別在邊AB,AC上，下列條件中不能判斷ABCAED的是（）A.ADABAEACB.ADAC=杷ABC./ADE=ZCD./AED=/B【解答】解：/DAE=/CAB,當(dāng)/AED=/B或/ADE=/C時，AB8AED;當(dāng)患普即胃噌時ABCsAED.【練1】如圖，在ABC中，/ACB=90,BC=16cm,AC=12cm,點P從點B出發(fā)，以2cm/秒的速度向點C移動，同時點Q從點C出發(fā)，以1cm/秒的速度向點A移動，設(shè)運動時間為與ABC相似.【解答】解：CP和CB是對應(yīng)

7、邊時，CPgCBA1612解得t=4.8;CP和CA是對應(yīng)邊時，CPgCAB,故選：A.【例3】如圖，P是4ABC的邊AB上的一點.（不與A、B重合）當(dāng)/ACP=Z_上時，4APC與4ABC是否相似；當(dāng)ACAP、AB滿足世時，ACP與ABC相似./ACABA.APAC,/A=ZA,【解答】解：/A=ZA,AACP=ZB,.ACWABC;ACAB.ACP與ABC;故答案為：b；ACAB【練習(xí)1】如圖，D、E為ABC的邊AC、AB上的點，當(dāng)/ADE=/B時，AD®ABC.其中D、E分別對應(yīng)B、C.（填一個條件）.【解答】解：當(dāng)/ADE=ZB,/EAD=ZCAB,.AD®ABC.

8、故答案為/ADE=ZB.【練習(xí)2】如圖，在ABC中，DE分別在AB與AC上，且AD=5,DB=7,AE=6,EC=4.求證：ADEsACB.【解答】證明：AD=5,DB=7,AE=6,EC=4,AB=5+7=12,AC=6+4=10,仙-5_L杷-/AC102AB122/V三二皇ACAB'又,一/A=/A,.AD®ACB.【練習(xí)3】如圖，AB=AC,/A=36,BD是/ABC的角平分線，求證：ABCBCD.【解答】證明：.AB=AC,/A=36°,/ABC=ZC=72,BD是角平分線，/ABD=ZDBC=36,-/A=ZCBD,又./C=/C,.ABCBCD.【練習(xí)

9、4已知：如圖，ABC中，ZACD=ZB,求證：AB8ACD.【解答】證明：.一/ACD=ZB,/A=/A,.ABCACD.【練習(xí)5】如圖，已知AD?AC=AB?AE求證：AD&ABC.【角軍答】證明：AD?AC=AE?ABABAC在ABCAADE中.=工ABAC/A=/A,.ABCADE.【練習(xí)6】已知：如圖，在4ABC中，D,E分別為AB、AC邊上的點,且ADWAE,連接DE.若AC=4,AB=5.求證：AD&ACB【解答】證明：AC=3,AB=5,AD旦5整星AD-皿，/A=ZA,.AD®ACB.圖雙A字型【例4】如圖，在ABC中，D,E分別是AB,AC上的點，/

10、AED=ZABC,/BAC的平分線AF交DE于點G,交BC于點F.(1)試寫出圖中所有的相似三角形，并說明理由AG3GF2器的值.BC【解答】解：（1）ZAED=ZABC,/EAD=/BAC,.ABCAED./AED=ZABC,/EAG=ZBAF,.AE8ABF./EDG=/ACF,/DAG=ZCAF,.ADGsACF.（2）二嫗旦GF2,一虹5.ADGsACF,.邁塞=3.BCGF5【練習(xí)1】如圖，在ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，AE=4,AB=6,AD:AC=2:3,4ABC的角平分線AF交DE于點G,交BC于點F.(1)請你直接寫出圖中所有的相似三角形;(2)求AG與GF的比.

11、【解答】解：（1）ADGACFAGaAFB,ADEsACB;（2）幽-4=g-=-,AB63AC3ABAC'又./DAE=ZCAB,.AD®ACB,/ADG=ZC,.AF為角平分線，.ZDAG=ZFAE.ADGsACF,AGAT2=一AFAC3AGGF=2.四1圖內(nèi)含正方形A字形，結(jié)論"二a=；(a為正方形邊長)AHBC'【例5】如圖，ABC,是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH使它的一邊EF在BC上，頂點G、H分別在AC,AB上，AD與HG的交點為M.(1)求

12、證:ADBC試求出a;右不存在,當(dāng)HE=a,則30-aHG3040，HG=-S矩形HEFG=a(一a+30)=-a2+30a,當(dāng)a=一302X(-4)1,1454即當(dāng)HE=cm時從三角形硬紙片上剪下的矩形面積最大.(2)求這個矩形EFGH的周長;(3)是否存在一個實數(shù)a,當(dāng)HE=a時從三角形硬紙片上剪下的矩形面積最大？若存在,請說明理由.【解答】(1)證明：二四邊形HEFG為矩形,HG/EF,而ADXBC,AMXBC,.AHGsABC,，幽ADBC'(2)解：設(shè)HE=x,HG=2x,貝U嚙二嗡，解得x=12,.,這個矩形EFGH的周長=2x+4x=6x=72(cm);(3)存在.【練習(xí)

13、1】如圖，ABC,是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=80cm,AD=60cm,從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH使它白一邊EF在BC上，頂點G、H分別在AC,AB上,AD與HG的交點為M.（1）試說明：細=里的理由；ADBC（2）求這個矩形EFGH的面積.【解答】（1）證明：二四邊形EFGH為矩形,EF/GH,/AHG=ZABC,又./HAG=ZBAC,.AHGsABC,，&L嗎ADBC(2)解：設(shè)HE=xcm,MD=HE=xcm,AD=60cm,AM=(60-x)cm,HG=2HE,HG=2xcm,AD-BC可得=.,60SOAC_EFBC-D

14、F解得，x=24,故HE=24,HG=2x=48,貝U矩形EFGH的面積=24X12=1152cm2.【例6】如圖，在ABC中，D為AC上一點，E為CB延長線上一點，且求證：AD=EB【解答】證明：過D點作DH/BC交AB于H,如圖,DH/BC,AHDAABC,.AD_DH0nADAC.=,即=,ACBC'DHBC'DH/BE,.BEDHDF,HDDF'而上二三ECDF-BE=ADHDDHAD=EB.【例71如圖，在ABC中，/BAC=90,BC的垂直平分線交BC于點E,交CA的延長線于D,交AB于點F,求證：AE2=EF?ED【解答】解：.一/BAC=90,/B+/C

15、=90,/D+/C=90,./B=ZD,.BC的垂直平分線交BC于點E,/BAC=90.BE=EA/B=ZBAE,/D=ZBAE,./FEA=ZAED,.FEQAED,EP-AEAE2=EF?ED旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖.若圖中/1=72,/B=/D（或/C=ZE）,則ADEiAABC,該圖可看成把第一個圖中的ADE繞點A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的.例8如圖，在ABC與4ADE中，/BAC=ZD,要使ABC與4ADE相似，還需滿足下列條件中的（）MAB-MBC配AB.ACBC=-B=C=_D=-AD皿&DEADDEADAE【解答】解：.一/BAC=/D,二二三ADDE'.ABCADE

16、.故選：C.【練習(xí)1】如圖所示，在4ABC與4ADE中，AB?ED=AE?BC要使ABC與ADE相似，還需要添加一個條件,這個條件是/B=/E（答案不唯一）（只加一個即可）并證明.4【解答】解：條件，/B=/E.證明：:AB?ED=AE?BC'、，膽=些.1AEEC /B=ZE, .ABCAED.條件，=2;.ACAB證明：AB?ED=AE?BC,研二BU1AEEC L"=,=,ACAE.AB_BC_AC=.AEECAD .ABCAED.故答案為：/B=ZE（答案不唯一）.【練習(xí)2】如圖，已知：/BAC=ZEAD,AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40.求證：ABCAED.-【解答】證明：.AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40.AE=20.=1.2AC=.1S=1.2,/AE17AD40/.迪41EAEAD /BAC=ZEAD, .ABCAED.【練習(xí)3】如圖，在ABC和AADE中，已知/B=ZD,/BAD=/CAE,求證：即/DAE=ZBAC.又/B=/D, .ABCADE.【練習(xí)4】如圖，ABCDEP是兩個全等的等腰直角三角形，/BAC=ZPDE=90.(1)若將DEP的頂點P放在BC上(如圖1),PD>PE分另1J與AC、AB相交于點F、G.求證：PB3FCP(2)若使DEP的頂點P與頂