數(shù)值計(jì)算課后習(xí)題答案--石瑞民

1、習(xí)題一解答1.取3.14,3.15,竺，絲作為冗的近似值，求各自的絕對(duì)誤差，相對(duì)7113誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。分析：求絕對(duì)誤差的方法是按定義直接計(jì)算。求相對(duì)誤差的一般方法是先求出絕對(duì)誤差再按定義式計(jì)算。注意，不應(yīng)先求相對(duì)誤差再求絕對(duì)誤差。有效數(shù)字位數(shù)可以根據(jù)定義來求，即先由絕對(duì)誤差確定近似數(shù)的絕對(duì)誤差不超過那一位的半個(gè)單位，再確定有效數(shù)的末位是哪一位，進(jìn)一步確定有效數(shù)字和有效數(shù)位。有了定理2后，可以根據(jù)定理2更規(guī)范地解答。根據(jù)定理2,首先要將數(shù)值轉(zhuǎn)化為科學(xué)記數(shù)形式，然后解答。解：(1)絕對(duì)誤差：e(x)=兀一3.14=3.14159265,3.14=0.00159,=0.0016。相對(duì)誤差：e

2、r(x)e(x)0.0016：0.51103.14有效數(shù)字：因?yàn)樨?3.14159265,=0.314159265,X10,3.14=0.314X10,m=1而九-3.14=3.14159265,3.14=0.00159,1c1所以|九一3.14|=0.00159,00.005=0.5X102=M10/=M10.22所以，3.14作為冗的近似值有3個(gè)有效數(shù)字。(2)絕對(duì)誤差：e(x)=兀一3.15=3.14159265,3.14=0.008407,一0.0085。相對(duì)誤差：e=(x)e(x)x-0.00853.15f."0.2710有效數(shù)字：因?yàn)樨?3.14159265,=0.314

3、159265,X10,3.15=0.315X10,m=1而九-3.15=3.14159265,3.15=0.008407,1,1,所以|九一3.15|=0.008407,00.05=0.5X101=父1。=父10122所以，3.15作為冗的近似值有2個(gè)有效數(shù)字。(3)絕對(duì)誤差：22e(x)=二-一=3.14159265-3.142857143=-0.001264493：-0.00137相對(duì)誤差：e(x)-0.00133er(x)=-0.4110一x227有效數(shù)字：因?yàn)樨?3.14159265,=0.314159265,X10,22.=3.142857143=0.314285714310,m=1

4、7h22而二一一二3.141592653.142857143=-0.0012644937所以22.3-=3.14159265-3.142857143=0.001264493<0.0057212113=0.510一=10-10-22所以，絲作為冗的近似值有3個(gè)有效數(shù)字7(4)絕對(duì)誤差：355e(x)=二-=3.14159265-3.14159292=-0.0000002705一3-0.000000271113相對(duì)誤差:er(x)e(x)x_-0.000000271355：一0.86310113有效數(shù)字：因?yàn)樨?3.14159265,=0.314159265,X10,355=3.141592

5、92=0.314159292M10,m=1113一355而二-=3.14159265一3.14159292=-0.0000002705113所以3553=3.14159265-3.14159292=0.0000002705<0.000000511361_611-7=0.510=-10二-1022所以，曬作為冗的近似值有7個(gè)有效數(shù)字。113指出：實(shí)際上，本題所求得只能是絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限，而不是絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。2、用四舍五入原則寫出下列各數(shù)的具有五位有效數(shù)字的近似數(shù)。346.7854,7.000009,0.0001324580,0.600300解：346.7854=346.79,7

6、.000009=7.0000,0.0001324580=0.00013246,0.600300=0.600300指出：注意0。只要求寫出不要求變形。3、下列各數(shù)都是對(duì)準(zhǔn)確數(shù)進(jìn)行四舍五入后得到的近似數(shù)，試分別指出他們的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。X1=0.0315,x2=0.3015,x3=31.50,x4=5000。分析：首先，本題的準(zhǔn)確數(shù)未知，因此絕對(duì)誤差限根據(jù)四舍五入規(guī)則確定。其次，應(yīng)當(dāng)先求絕對(duì)誤差限，再求相對(duì)誤差限，最后確定有效數(shù)字個(gè)數(shù)。有效數(shù)字由定義可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各數(shù)的絕對(duì)誤差限分別是；(x1)=0.00005,；(x2)=0.00005,；(x3

7、)=0.005,；(x4)=0.5由絕對(duì)誤差和./；(x1).：;(x1)-、函)x1"2)相對(duì)誤差的關(guān)系，相對(duì)誤差限分0.000050.16%,0.0315別是(x3)x2八3)0.000050.02%,0.30150.0050.002%,31.5'(x4)；(*4)x4有效數(shù)字分別指出：本題顯然是直0.50.01%.5000有3位、4位、4位、4位。接指出有效數(shù)位、直接寫出絕對(duì)誤差，用定義求出相對(duì)誤差。4.計(jì)算M的近似值，使其相對(duì)誤差不超過0.1%。解：設(shè)取n個(gè)有效數(shù)字可使相對(duì)誤差小于0.1%,則1 1qX10<0.1%,2 al而3<710-<4,顯然

8、a1=3,止匕時(shí)，10231-0<0.1%,11H10=2a1.1，即10<106也即610n.10所以,n=4。此時(shí)，M化3.162。5、在計(jì)算機(jī)數(shù)系F(10,4,-77,77)中，對(duì)Xi=0.14281X103與X2=0.314159X101,試求它們的機(jī)器浮點(diǎn)數(shù)fl3)(i=1,2)及其相對(duì)誤差。解：3333fl(X1)=0.142810,e(fl(X1)=X1-fl(xj=0.1428110-0.142810=0.0000110,110_11_1fl(X2)-0.314210,e(fl(x2)=x2fl(x2)-0.31415910(0.314210)=0.00041其相對(duì)

9、誤差分別是10.00004110一一一一1-0.314210:-0.013%30.0000110e1;:0.007%,e20.1428106、在機(jī)器數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個(gè)數(shù)4x=0.2337125810,y=0.33678429父102,z=-0.33677811父102,試按x+y+z的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。(x+y)+z,x+(y+z)兩種算法計(jì)算解：_4_2_2fl(xy)z)=(0.23371258100.3367842910)-0.3367781110_2,_22二(0.00000023100.3367842910)-0.336778111022=0.336784

10、5210-0.3367781110_2=0.0000064110_422fl(x(yz)=0.2337125810(0.3367842910-0.3367781110)A00.23371258100.000006181022=0.00000023100.0000061810_2=0.0000064110精確計(jì)算得：422xyz=0.23371258100.3367842910-0.33677811102.2.2二(0.00000023371258100.3367842910)-0.336778111022=0.3367845237125810-0.3367781110_2=0.00006413

11、7125810第一種算法按從小到大計(jì)算，但出現(xiàn)了兩個(gè)數(shù)量級(jí)相差較大的數(shù)相加，容易出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù).而第二種算法則出現(xiàn)了兩個(gè)相近的數(shù)相減，容易導(dǎo)致有效數(shù)位的減少。計(jì)算結(jié)果證明，兩者精度水平是相同的。*在機(jī)器數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個(gè)數(shù)0.33677812,諦按42x=0.2337125810y=0.336784910Z=,-(x+y)+z,x+(y+z)兩種算法計(jì)算x+y+z的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。解：fl(xy)z)=(0.2337125810工0.3367842910-)-0.33677811102222=(0.00233713100.3367842910一)-0.336778

12、111022=0.3391214210-0.3367781110_2_2=0.0000339110-0.3367781110_2=-0.336744210-_4fl(x(yz)=0.2337125810(0.3367842910-0.3367781110)422=0.2337125810一(0.0000336810-0.3367781110)=0.23371258104-0.33674742102_2_2=0.0000002310-0.33674742102=-0.3367471910第一種算法是按從小到大的順序計(jì)算的，防止了大數(shù)吃小數(shù)，計(jì)算更精確。精確計(jì)算得：_4_22xyz=0.23371

13、258100.3367842910-0.3367781110=0.0000233712580.0033678429-33.677811=0.003391214158-33.677811=-33.6744197858422=-0.3367441978584210顯然，也是第一種算法求出的結(jié)果和精確結(jié)果更接近。7、某計(jì)算機(jī)的機(jī)器數(shù)系為F(10,2,L,U),用浮點(diǎn)運(yùn)算分別從左到右計(jì)算及從右到左計(jì)算10.40.30.20.040.030.020.01試比較所得結(jié)果。解：從左到右計(jì)算得10.40.30.20.040.030.020.01=0.1100.04100.03100.02100.00100.0

14、0100.00100.0010=0.1910=1.9從右到左計(jì)算得10.40.30.20.040.030.020.01=0.010.020.030.040.20.30.411111=0.110-0.210-0.310-0.410-0.20.30.41=0.10.2-0.30.41=0.1101=0.1100.110=0.210二2從右到左計(jì)算避免了大數(shù)吃小數(shù)，比從左到右計(jì)算精確。8、對(duì)于有效數(shù)x1=3.105,x2=0.001,x3=0.100，估計(jì)下列算式的相對(duì)誤差限x2V1=x1x2x3，y2=x1x2x3,y3二x3分析：求和差的相對(duì)誤差限采取先求出和差的絕對(duì)誤差限再求相對(duì)誤差限的方法。

15、求積商的相對(duì)誤差限采取先求每一個(gè)數(shù)的相對(duì)誤差限再求和的方法。解：因?yàn)閤1=與.105x2=0.001x3=0.1端是有效數(shù)，所以；(x)u0.0005,；x2尸0.0005,x3(I)0.00050.00050.00050.0005二(x1)=0.16%,、.(x2)=50%,、.(x3)=0.5%3.1050.0010.100貝U;(x1x2-x3)=;(x1);(x2)-；(x3)=0.00050.00050.0005=0.0015、(x1x2.4：4.9910=0.05%；(x1x2x3)0.00150.0015X3)=-j=%+x2+x3-3.105+0.001+0.1003.004二

16、(x1x2x3)=二3)-二(x2)-c.(x3)=0.16%50%0.5%=50.66%x。'.()='；(x2)-(x3)=50%-0.5%=50.5%x3指出：如果簡(jiǎn)單地用有效數(shù)字與誤差的關(guān)系計(jì)算，則不夠精確。注意是相對(duì)誤差限的討論。符號(hào)要正確，商的誤差限是誤差限的和而不是差=1表示x充分11-x1一x1xx,八1-cosx(4),x豐0且x=1；x1(5)-cotx,x-JQl.x-1ox分析：根據(jù)算法設(shè)計(jì)的原則進(jìn)采用泰勒展開的方法。行變形即可。當(dāng)沒有簡(jiǎn)單有效的方法時(shí)就解：(1)lnx1-lnx2=In；x2211-x1x-(1-x)1-x1x(1-x)(1x)221x

17、-(1-2xx)3x-x(1-x)(1x)(1-x)(1x)9、試改變下列表達(dá)式，使其計(jì)算結(jié)果比較精確（其中接近0,x=1表示x充分大）。(1)lnx1一lnx2,x1歸x2；(x-)-(x-)1-：x2-1)xJ('x24xx1-(1-1-cosx2!4!(-1)2nnx(2n)!-"(-1)2!4!(2n)!2n_12!4!(_1)n1(2n)!(5)2n、1111132Bn2nAcotx=(xx-x")xxx345(2n)!11322nB2n二一x一xx345(2n)!(Bn是貝努利數(shù))近似計(jì)算中的誤差并不是無別可能恰恰是影響精度的因水平比較低的結(jié)論。指出：采

18、用等價(jià)無窮小代換的方法一般不可行。窮小量，利用無窮小量等價(jià)代換，兩個(gè)量的差素。采用等價(jià)無窮小代換，可能只會(huì)得到精度例如2xx22sin2(一)1-cosx22x11cosxsinx-xcosxcotx=xxsinxxsinxxxcosx&(x=1,sinxtx)xsinx1 -cosxsinx1-1ft(x=1,cosxft1)sinx=0試與上例比較。有時(shí)候這種方法可以使用，例如因?yàn)閏os(x+6)=cos(cos-sinxs®,當(dāng)6=1時(shí)，cos5&1,sin§&0cos(x-，5)=cosxcosc.-sinxsin、.：cosx-sinx；.

19、在這個(gè)計(jì)算中，由于x是常數(shù)，x的函數(shù)值實(shí)際上放大了每一項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果，使得相近的數(shù)相減的問題不很突出。而利用一階的泰勒展開f(x+5)之f(x)+&fY)(x<W<x+5),當(dāng)憐=1時(shí)，就有f(x、.)：f(x)、.f.(x),因此cos(x-cosx-c.sinx和上面的結(jié)果一樣。但顯然，用泰勒展開的方法具有一般性并能得到精度更高的結(jié)果，而且不會(huì)有方法上出錯(cuò)的可能。采用洛必達(dá)法則也是不可以的。實(shí)際上，無論是等價(jià)無窮小還是洛必達(dá)法則都是極限方法，而因?yàn)榻朴?jì)算中的誤差雖然可以近似地看作是微分，但本質(zhì)上卻是一個(gè)確定的可能極小的小數(shù)而不是無窮小(趨于零的變量)，因此近似計(jì)算是不能

20、采用極限方法的。轉(zhuǎn)化的結(jié)果要化簡(jiǎn)，比如化繁分式為簡(jiǎn)分式，但不能取極限。取極限就違背的了數(shù)值計(jì)算的本意。所以，11-x11-0-=1-1=01-x1x1-01-0是錯(cuò)誤的。極小的數(shù)做除數(shù)，實(shí)際上是0型的不定型，要轉(zhuǎn)化為非不定型。010、用4位三角函數(shù)表，怎樣算才能保證1-cos2二有較高的精度？解：根據(jù)1_cos2，=2sin21,先查表求出sin1'再計(jì)算出要求的結(jié)果精度較高。指出：用度數(shù)就可以。不必化為弧度。11、利用屈1*27.982求方程x256x+1=0的兩個(gè)根，使它們至少具有4位有效數(shù)字。解：由方程的求根公式，本方程的根為X1,256_562_456.2282-1=28_78

21、3因?yàn)?,783x1=28,783*：2827.982=55.982如果直接根據(jù)求根公式計(jì)算第二個(gè)根，則因?yàn)閮蓚€(gè)相近的數(shù)相減會(huì)造成有效數(shù)字的減少，誤差增大。因此根據(jù)韋達(dá)定理x1x2=1,在求出x1fc：55.982后這樣計(jì)算111x2=0.01786=0.178610x155.982這樣就保證了求出的根有四位有效數(shù)字。11n二e12、試給出一種計(jì)算積分nxJxedx(n=0,1,2,3,.),近似值的穩(wěn)定算法。解：當(dāng)n=0時(shí)，Iedx=e(e-1)=1-e1=e-1)0運(yùn)用分部積分法budva=uvb-fvdu)得a1.1nxIn=exedx0ee(xe1-n.0n-1x.1xedx)=e(e

22、-0-nix0nxedx)1二=1-nen4xxedx=1-nIna由此得到帶初值的遞推關(guān)系式.110=1-e-In=1-nInl(n=1,2,3,.)由遞推公式In=1En1解得I.。一nIn的值作估計(jì)，有In),這是逆向的遞推公式，對(duì)11nxIn=e-xedx0111n1_eexdxon1另有1nx1n=exedx_exdx00取e的指數(shù)為最小值0,將ex取作111e-<In<。nTnTe0=1作為常數(shù)即可簡(jiǎn)化公式)。那么，我們可以取其上下限的平均值作為其近似值。即取In11(e1)2n1可以看出，n越大，這個(gè)近似值越精確地接近于準(zhǔn)確值。(n越大，In的上限和下限就越接近，近似

23、值區(qū)間的長度就越短，近似值和精確值就越接近)止匕時(shí),en1=In1In-1=(InIn)=en,|e0|=|en|,計(jì)算是穩(wěn)nnn!定的。實(shí)際上，如果我們要求I9,可以先求出I20,這樣求出的I9的誤差是比I20的誤差小得多的，而I20的誤差本身也并不大。實(shí)際上，這樣求出的I9比直接計(jì)算出來的精確得多。補(bǔ)充題(一)1、給出數(shù)系F(10,4,-5,5)中的最大數(shù)、最小數(shù)和最小整數(shù)。解：最大數(shù)：0.9999X105;5最小數(shù)：0.9999X10；5最小正數(shù)：0.0001X10。2、已知e=2.71828182845904523536028747，求它在F(10,5,5,5)和F(10,8,5,5)

24、中的浮點(diǎn)數(shù)。解：在F(10,5,-5,5)中，fl(e)=0.27183黑仙在F(10,8,5,5)中，fl(e)=0.271828181013、已知數(shù)e的以下幾個(gè)近似數(shù)，它們分別有幾位有效數(shù)字？相對(duì)誤差是多少？x0=2.7182,x1=2.7183,x0=2.7182818。分析：題目沒有說明近似數(shù)是通過哪種途徑取得的，也就沒有明確每個(gè)近似數(shù)和準(zhǔn)確數(shù)之間的誤差關(guān)系。所以，本題的解答應(yīng)當(dāng)從求近似數(shù)的誤差開始。解：因?yàn)?3114e-xo=0.00008181<一父10-=一父10一221 4115ex1之0.00002<父10-=父10一，2 217118e-x2定0.0000000

25、3M一黑10一=一乂1022所以，x°=2.7182x1=2.7183,02.71828分押有4、5、8個(gè)有效數(shù)字。其相對(duì)誤差分別是e（x。）e-x0x0110J2.71821310-4e一x1e-x21人:二一1044、(3一、：8)3(3.：8)3與下述各式在實(shí)數(shù)的意義上是相等的,(1)(176而)3,(2)(17_6而)3。(3)(3括，(4)(3+廂6，（5）196016920瓶,（6）（19601+692078）。試說明在浮點(diǎn)數(shù)系F（10,4,毋8）中，用哪個(gè)公式計(jì)算出的結(jié)果誤差最小。分析：本題實(shí)際上是一個(gè)算法分析與設(shè)計(jì)問題，也就是說要應(yīng)用算法設(shè)計(jì)的基本原則進(jìn)行分析討論。解

26、：在本例中,顯然3和正在浮點(diǎn)數(shù)系中是相近的數(shù)。進(jìn)一步地，17和6點(diǎn)、19601和6920點(diǎn)也是相近的數(shù)。因止匕：為避免相近的數(shù)相減，不應(yīng)采用（1）、（3）、（5）三種計(jì)算方法。在余下的三種計(jì)算方法中，（2）需要進(jìn)行4次乘除法，（4）需要進(jìn)行7次乘除法，（6）需要進(jìn)行1次除法。從減少運(yùn)算次數(shù)來說，應(yīng)采用（6）所以，采用（6）計(jì)算，計(jì)算結(jié)果誤差最小5、f(x)=xe2+ln(1x)/x3,當(dāng)x=1時(shí)，如何計(jì)算才能獲得準(zhǔn)確的結(jié)果?解：當(dāng)x=1(即很小時(shí))，f(x)的分子是兩個(gè)相近的小數(shù)相減，而分母也是一個(gè)小數(shù)，因此應(yīng)避免簡(jiǎn)單地按原計(jì)算順序直接計(jì)算，而應(yīng)進(jìn)行變形。由泰勒展開得xe22!3!4!+23n

27、xxxln(1-x)-x-一一一一一23n因此1131141153f(x)=()x，(-)x，(-)x上/x83484162455113972-xx24481920此處最后略去部分的第一項(xiàng)為1136393(一)x二一x1203263840當(dāng)x=1時(shí)，這一部分是相當(dāng)小的值，可以略去指出：如果要提高計(jì)算精度，就可以考慮保留更多的項(xiàng)。補(bǔ)充題(二)(一)1、計(jì)算e的近似值，使其誤差不超過106。2、利用n叫12nxf(x)=1，x，x，x-(0:：1：二1,x:1)1-x(1-”)“計(jì)算f(0.1)的近似值，其誤差不超過102,求no3、3.142和3.141分別作為冗的近似數(shù)，各有幾位有效數(shù)字？4、

28、已知近似數(shù)x的相對(duì)誤差限為0.3%，問x至少有幾個(gè)有效數(shù)字?5、已知x的下列3個(gè)近似數(shù)的絕對(duì)誤差限都是0.005,問它們的有效數(shù)字各有幾位？a=138.00,b=-0.0132,c=-0.86X10-46、設(shè)近似值x=1.234,且絕對(duì)誤差界為0.0005,則它至少有幾位有效數(shù)字？7、某校有學(xué)生6281人，通常說有6000人。下面哪個(gè)式子表示6000這個(gè)近似數(shù)合適?0.610_40.601040.6001040.600010分析與解答1、解：令f(x)=ex，而f的(x)=ex,f(k)(0)=e0=1o由麥克勞林公式，可知2xxe=1x2!當(dāng)x=1時(shí)，e=1n7xe-n1,x(0：二八二1)

29、n!(n1)!11e?1一一(0:二：1)2!n!(n1)!蝕e"故Rn(1)=<。(n1)!(n1)!當(dāng)n=9時(shí)，Rn(1)<106,符合要求。止匕時(shí),e=2.718285解決這類問題其實(shí)很簡(jiǎn)單。只要知道了泰勒展開式，余下的就只是簡(jiǎn)單的計(jì)算了。泰勒(Taylor)中值定理：若函數(shù)f(x)在a,b上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在色口)±存在n+1階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的x,x0a,b,至少存在一點(diǎn)代(a,b),使得f(x0)2f(n)(x0)f(x)=f(x°)f(x°)(x-x0)(x-x°)(x-x0)2!f(n1)(')

30、n(x一x0)(n1)!其中,fRn(x)=一dx.x。)(n1)!當(dāng)x0=0時(shí)將到麥克勞林公式。f(0)f(x)=f(0)f(0)x2!叫做拉格朗日型余項(xiàng)。n!(n1)f(ux)n1x(n1)!(0:二二：二1)2、解:n-10.1(1-0.1)n2n10.1n-20.91n-2二()9-210：二10Tn2)-39<10n-239-10所以，n=2o3、兀=3.14159265=0.314159265-X10,3.142=0.3142X10,m=1因?yàn)榫乓?.142=3.141592653.142=0.00040所以，I九3.142|=0.00040<0.0005=0.5義10

31、13114一10一=一10一22所以，3.142作為冗的近似值有4個(gè)有效數(shù)字。二-3.1415926，2121133.14159263.141=0.00059<0.005=0.5M10一=一M10一二一M1022小數(shù)點(diǎn)后幾個(gè)0,10的指數(shù)的絕對(duì)值就是幾。4、解：設(shè)x有n位有效數(shù)字，其第一位有效數(shù)字按最不利情況取為9,則311n11n1n1、.=0.3%=10一=1010一=n10002(91)2102210由上可得n6X10=1000,n=2.2,所以取n=2of125、解：xa=xb=x-c<0.005=一M102所以m-n=-2oa=138.00=0.13800X103,WJm

32、=3所以n=3-(-2)=5,即a有5位有效數(shù)字；b=-0.0132=-0.132X10-1,則m=-1,所以n=-1-(-2)=1,所以b有1位有效數(shù)字。c=-0.86X10,貝Um=-4,以n=4-(-2)=2<0,所以c沒有有效數(shù)字。6、解：因?yàn)榻茢?shù)x=1.234的絕對(duì)誤差界為0.0005,*13所以x-x<0.0005=一尺102則m-n=-3o1而x=1.234=0.1234X10,m=1所以n=1-(-3)=4,所以，x=1.234有4位有效數(shù)字。7、解：哪個(gè)式子表示6000這個(gè)近似數(shù)合適實(shí)際上要看近似數(shù)6000有多少個(gè)有效數(shù)字。6281近似到十位、百位，千位分別是6

33、281：62806281：63006281：6000寫成科學(xué)記數(shù)的形式分別是46281：6280=0.6281046281：6300=0.6310_46281：6000=0.610可見，上述寫法中，第一種是合適的。實(shí)際上，446281=0.628110,6000=0.600010所以m=4,W33136281-6000=281=0.281M10<0.5X10=一父102所以m-n=3,貝Un=m-3=4-3=1,即近似數(shù)6000只有一個(gè)有效數(shù)字，所以，只有0.6M104這種寫法是合適的。（二）1、已知測(cè)量某長方形場(chǎng)地的長為a=110米，寬為b=80米。若Ia-a|00.1米），|b-b|

34、00.1（米），試求其面積的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限。2、已知三角形的兩個(gè)內(nèi)角的測(cè)量誤差都不超過0.1:則計(jì)算第三個(gè)角時(shí)，絕對(duì)誤差不超過多少。13、若X1=1.030.01,X2=0.45001,計(jì)算y=x12+-ex2的近似值并估計(jì)誤差。24、已知測(cè)量某長方形場(chǎng)地的長為a=110米，寬為b=80米。若Ia-a|00.2米），|b|00.1（米），試?yán)枚嘣瘮?shù)的誤差分析方法求其面積S=ab的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限，并與四則運(yùn)算的誤差分析比較。5、如果用電表測(cè)得一個(gè)電阻兩端的電壓和通過的電流分別是V=110±2（V）,I=20=0.5（A）試運(yùn)用歐姆定律R=匕求這個(gè)電阻值R的近似值，并

35、估計(jì)所求出的近似值的I絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。6、已知近似值a=2.21，&=4.63,%=7.98是由四舍五入得到的，它們的絕對(duì)誤差界都是0.005試估計(jì)電9+a3和皿-電3的相對(duì)誤差界。a3a2分析與解答1、S=ab,8(S)=(ab)<as(b)十bw(a)=19.1(m2)；(ab)19.1二(S)=、.(ab)=-0.00217=0.217%ab110802、提示：內(nèi)角和為180°,而且180是準(zhǔn)確數(shù)，沒有誤差。3、由已知，X1=1.03,x1=0.01,X2=0.45,、2=0.01。所以,1fx1(x1,X2)=2X1=2.06,fx2(x1,X2)=e、2=

36、0.7842,2e(X=AX1=0.01,£(X)=ZX2=0.01。所以，y的絕對(duì)誤差限為Ky)<fJ(Xi,X2)w(x1)+fx2(x1,X2)名兩)=2.060.010.78420.01=0.028將有關(guān)數(shù)據(jù)代入函數(shù)表達(dá)式，可以求出函數(shù)值的近似值為21X2y=x1e=1.8452則y的相對(duì)誤差限為，八；(y)0.028,(y)=：1.5%y1.845進(jìn)一步地，本題的絕對(duì)誤差限可以看作是0.05,那么計(jì)算結(jié)果中只需要保留到百分位就可以了，即最終結(jié)果取1.8,那么計(jì)算過程中各數(shù)只需要取到千分位。）4、（。6、略解。X1X2f(X1,X2,X3)-X3X3,f(a1,a2,a

37、3)咤+a3則a3X1X2f(X1,X2,X3)-f(a1,a2,a3)=(X3'X3)-(a1a2a3)a3所以,；(f(a1,a2,a3)-e(f(a1,a2,a3)f(x1,X2,X3)-f包凡)a2a3a3M(a?a3(e(a1)e(a1)-e(a1)-a1a3a1a3a1a3e(a2)-e(a2)-aa22a3=e(a?)=e(a3)a.2a3a1a22a3+1e(a3)1e(a3)1.2102-2=-10)2則相對(duì)誤差限為、.(f，a2,a3)=；(f(a1,a2,a3)f(a1,a2,a3)下略。解二：根據(jù)函數(shù)y=f(X1,X2，Xn)的函數(shù)值的絕對(duì)誤差nff，、e(y)

38、=e(f(X1,X2,X3，Xn)=Ze(Xi)。一區(qū)相對(duì)誤差n:干e(y)=e(f(Xi,X2,X3,%)="Xi一三Xif(XX2，X3，,Xn)e(X)公式計(jì)算。1、用秦九韶算法的多項(xiàng)式格式乘法計(jì)算多項(xiàng)式P(x)=x7-2x6-3x4+4x3-x2+6x-1在x=2處的值p(2)02、利用等價(jià)變換使下面式子的計(jì)算結(jié)果比較精確。11-X1)。3、指出下列各題的合理計(jì)算途徑(對(duì)給出具體數(shù)據(jù)的，請(qǐng)算出結(jié)果)31cos1°(三角函數(shù)值取四位有效數(shù)字)ln(30J3021)(對(duì)數(shù)函數(shù)值取六位有效數(shù)字)上喀二(其中X的絕對(duì)值很小)sinx127X100'n土n(n-1)4

39、、設(shè)近似值T0=S0=35.70具有四位有效數(shù)字，計(jì)算中無舍入誤差，試分析分別用遞推式十1+=51142.8和ST=-Si142.85計(jì)算T20和S20所得結(jié)果是否可靠。5、計(jì)算p6(x)=2x6-3x4+x2-4x+1的值p6(3)o分析與解答1、p(2)=9一2x22、(12x)(1x)3、2x._011-cosx=2sin,sin0.5=0.0087230-.302-11=0.01667,30302-1ln(30-J302-1)=-4.0941431 co>ssirx4 x127sxnx二tan-1oos2=xx2x4x8x16x32x645由小到大依次相加。100ZnX10011

40、1一=(_n(nF)1100)=1-=101101那么計(jì)4、設(shè)計(jì)算Ti的絕對(duì)誤差為e(Ti)=Ti*-Ti,其中計(jì)算To的誤差為j，、一、:.、，一*._.,._.一*算T20的誤差為e(T20)=T20*T20=(5%142.8)(59142.8)=5(%T19)=5e(T19)=52e(T18)=520e(T。)顯然誤差被放大，結(jié)果不可靠。同理，e(S2°)=15!0e(S0),誤差縮小，結(jié)果可靠。5、解：將所給多項(xiàng)式的系數(shù)按降幕排列，缺項(xiàng)系數(shù)為0020-301-416184513540812122615451364041213所以p6(3)=1213。習(xí)題二解答1.用二分法求方

41、程1。差不超過一黑10O2x3-2x2-4x-7=0在區(qū)間3,4內(nèi)的根，精確到10-3,即誤分析：精確到10-3與誤差不超過10-3不同。,bnf2解：因?yàn)閒(3)=-10<0,f(4)=9>0,所以，方程在區(qū)間3,4上有根由1 1=:-10_n_2 2有2n-1>1000,又為210=1024>1000,所以n=11,即只需要二分11次即可。列表討論如下:nanbnxnf(xn)的符號(hào)1343.500一23.50043.750十33.5003.7503.625一43.6253.7503.688十53.6253.6883.657十63.6253.6573.641十73.

42、6253.6413.633十83.6253.6333.629一93.6293.6333.631一103.6313.6333.632十113.6313.6323.632一x*=11=3.632。指出：(1)注意精確度的不同表述。精確到10-3和誤差不超過10-3是不同的(2)在計(jì)算過程中按規(guī)定精度保留小數(shù)，最后兩次計(jì)算結(jié)果相同。如果計(jì)算過程中取4位小數(shù)，結(jié)果取3位，則如下表：nanbnxnf(xn)的符號(hào)1343.5000一23.500043.7500十33.50003.75003.6250一43.62503.75003.6875十53.62503.68753.6563+63.62503.656

43、33.6407+73.62503.64073.6329+83.62503.63293.629093.62903.63293.6310一103.63103.63293.6320十113.63103.63203.6315一(3)用秦九韶算法計(jì)算f(Xn)比較簡(jiǎn)單1*.求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根區(qū)間.解：令y=x3-2x2-4x-7,當(dāng)y'=3x2_4x4=(3x+2)(x2)=0時(shí)，有x1函數(shù)單調(diào)區(qū)間列表分析如下:貝1y=3x2-4x-4=(3x-2)(x-2)x(-o°,一)3232(,2)32(2,+8)/y+0一0+y-一149_一27-15A12c一,x?=2

44、o321492因?yàn)閥(-)=<0,y(2)=15<0,所以萬程在區(qū)間(-*,2)上無根；3273一.21492因?yàn)閥()=-<0,而函數(shù)在(口,)上單調(diào)增，函數(shù)值不可能變號(hào)，所以3273方程在該區(qū)間上無根；因?yàn)閥(2)=15<0,函數(shù)在(2,+8)上單調(diào)增，所以方程在該區(qū)間上最多有一個(gè)根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0,所以方程在區(qū)間(3,4)有一個(gè)根。所以，該方程有一個(gè)根，隔根區(qū)間是(3.4)。12 .證明1xsinx=0在0,1內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不大于一尺102的根，需要迭代多少次？分析：證明方程在指定區(qū)間內(nèi)有一個(gè)根，就是證明相應(yīng)的函數(shù)

45、在指定區(qū)間有至少一個(gè)零點(diǎn)。解：令f(x)=1-x-sinx,因?yàn)閒(0)=1-0一sin0=1a0,f(1)=1-1一sin1=一sin1<0,貝f(0)f(1):二0,由零點(diǎn)定理，函數(shù)f(x)在0,1區(qū)間有一個(gè)根。由x*-xnbn-an一2有2n-1>10000,又為210=1024,21/:二一10213=8192<10000,214=16384>10000所以n=15,即需要二分15次。指出：要證明的是有一個(gè)解而不是唯一解，因此不必討論單調(diào)性。3 .試用迭代公式xk+=20,x0=1,求方程x3+2x2+10x_20=0的k120xk-2xk-10kk根，要求精確

46、到10至。分析：精確到10立即誤差不超過1102解：令f(x)=x32x210x-20列表進(jìn)行迭代如下：xkf(xk)01-711.538463.7596421.29502-1.5238031.401820.7031141.35421-0.3066751.375300.1372161.36593-0.0606771.370090.0270581.36824-0.0119891.369060.00531101.36870-0.00228111.368860.00110121.36879-0.00038131.368820.00025141.36881_5.3.992父10151.36881_5.

47、3.992父10指出：精確到105可以從兩個(gè)方面判定。第一，計(jì)算過程中取小數(shù)到10乂位，最后兩個(gè)計(jì)算結(jié)果相同，終止計(jì)算。第二，計(jì)算過程中取小數(shù)到10,，當(dāng)1 二xk+-xk<-10終止計(jì)算。2本題采用第一種方法。4.將一元非線性方程2cosx_ex=0寫成收斂的迭代公式，并求其在x。=0.5附近的根，要求精確到10-0解：2cosxex=0改寫為2cosx2cosx=e=1xe2cosx-1xeg(x)=x-1xeg(x)=1X-2sinxe-2cos(ex)2xxe二12(sinxjcosx)22sin(2cosxx=x+x-1,設(shè)e2cosx在x°=0.5處，因?yàn)?,2si

48、n(0.5)g(0.5)=1族-=0.9615.e所以迭代法g(x«)=xk+號(hào)巫-1在x0=0.5的鄰域內(nèi)收斂。ek列表迭代如下:止匕時(shí)2cos0.690.69-e=0.00614。5.為求方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改為下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式：,、11(1)x=1+二，迭代公式xk+=1+；xk(2)x312.2二=1+x，迭代公式xk+=(1+xk)3；(3)x21,1，迭代公式xk+=1x-19(xk-1)2xk00.510.7120.6930.694位有效數(shù)字的近試分析每種迭代公式的收斂性，并取一種公式求出具有似值。解：(1)因?yàn)閤

49、=1+12,所以迭代函數(shù)為g(x)=1十12xx123g'(x)=(0)'=(x-),=Nx,g(1.5)=x-2x1.5-21.53-<1滿足局部3.375收斂性條件，所以迭代公式xk.1=1之具有局部收斂性。xk1(2)因?yàn)閤=(1x12)3,所以迭代函數(shù)為g(x)=(1+x2)3，則2x23(1x2產(chǎn)12127-22ig(x)=(1xg(x)=-(x-i)22x=x(1x2)333g(1.5)=2父1.52"456<滿足局部收斂性條件，所以迭代公式,2、33(11.5)31%1=(1xj“具有收斂性。,所以迭代函數(shù)為1(3)因?yàn)閤=J(x-1)21g

50、(x)=r，則(x-1)2i-12313(x-1)2,2,、1,、g(1.5)=(i.5-i)2321320.52=1.414>1不滿足收斂性條件，所以迭代公式Xk一L不具有收斂性。(xk-1)2用迭代公式x-=1七列表計(jì)算如下:xkxk01.511.44421.48031.45741.47151.46261.46871.46481.46791.465101.466111.465所以，方程白近似根為x*'1.46506 .設(shè)中(x)=x+C(x23,應(yīng)如何取C才能使迭代公式Xk+=tp(Xk)具有局部收斂性？解：設(shè)C為常數(shù)，因?yàn)橹?x)=x+C(x2-3),所以b(x)=1十2Cx,要使迭代公式具有局部收斂性，需叫x0)=1+2Cx0<1,此時(shí)即有1c1+2Cx0<1