購房中的數(shù)學(xué)問題

1、2016年第十三屆五一數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了五一數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與本隊以外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其它公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們愿意承擔(dān)由此引起的一切后果。我們授權(quán)五一數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽賽組委會,可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書

2、籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號為（從A/B/C中選擇一項填寫）：A我們的報名參賽隊號為：3045參賽組別（研究生或本科或?qū)？疲喊鶎賹W(xué)校（清填寫完整的全名）：電子科技大學(xué)成都學(xué)院參賽隊員（打印并簽名）：1.余勝2 .趙陶3 .鄭科民口期：2016年4月30I獲獎證書郵寄地址：四川省成都市高新西X門葉路一號電子科技大學(xué)成都學(xué)院郵政編碼:611731收件人姓名：金勝聯(lián)系電話：151814632462016年第十三屆五一數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽編號專用頁競賽評閱編號（由競賽評委會評閱前進(jìn)行編號）：評閱記錄評閱人評分備注板剪線戰(zhàn)剪我戰(zhàn)剪我競賽評閱編號（由競賽評委會評閱前進(jìn)行編號）

3、：參賽隊伍的參賽號碼：（請各參賽隊提前填寫好）：3045購房中的數(shù)學(xué)問題摘要本文建立了口照時間模型與層次分析模型，為購房者選購房屋提供決策支持。以位于東經(jīng)117.17,北緯34.18的A小區(qū)為數(shù)據(jù)來源基礎(chǔ)，根據(jù)地球運(yùn)動規(guī)律計算口照時間，結(jié)合中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)城市居住區(qū)規(guī)劃設(shè)計規(guī)范在僅考慮日照時間的條件下為購房者提供最優(yōu)方案。使用運(yùn)籌學(xué)中的層次分析法將購房者的需求予以量化,主觀與客觀相結(jié)合，準(zhǔn)確、科學(xué)地處理這一類決策問題，為購房者合理購房提供有益的參考。模型I：建立了日照時間模型，利用附錄1中的的數(shù)據(jù)，結(jié)合網(wǎng)上查找資料補(bǔ)充相關(guān)地理知識背景，據(jù)此建立相關(guān)日照時間分析模型。對于問題1在冬至口時太

4、陽直射南回歸線，由附件1可知具體樓層相關(guān)數(shù)據(jù)，求解得出解A小區(qū)14-2-802房間（客廳）在冬至口9:00-16:00間僅考慮太陽直射的情況下可以享受日照的時間區(qū)間為0。對于問題2在問題1的基礎(chǔ)上建立累計H照時數(shù)求和模型求解出A小區(qū)14-2-802房間（客廳）一年365天累計口照時間為11299小時，有74天超過6小時，當(dāng)年口期為5月18日至IJ7月30Ho對于問題3在僅考慮采光影響的條件下，對各個樓棟房間冬至HFI照時間，按照中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)城市居住區(qū)規(guī)劃設(shè)計規(guī)范將房間劃為優(yōu)、良、中、差四個等級，從優(yōu)等級房屋中再剔除售出房屋后為購房者C提供最優(yōu)選方案。模型H：建立了多層次分析模型，以最

5、佳房屋為目標(biāo)層，將價格、交通、環(huán)境、噪音和環(huán)境作為準(zhǔn)則層，將A小區(qū)分為四個區(qū)作為最終方案層。利用判斷矩陣確定某層各因素的影響在總影響中所占的比重，進(jìn)而確定最終方案。對于問題4在綜合考慮價格、交通、環(huán)境、噪音和環(huán)境因素影響下，我們給出的最佳房屋位于南區(qū)即2#、3#、4#、5#0具體方案見表（11）。模型山：建立了排隊論模型，考慮從停車位到電梯距離、樓層高度、上下班高峰期人流量等對停車位分布的影響。對于問題5運(yùn)用排隊論模型對原方案進(jìn)行檢驗，說明了原方案不合理，并對7#樓重新設(shè)計合理的汽車車位分布方案，具體方案見附錄8。針對論文的實際情況，對論文的優(yōu)缺點做了評價，文章最后還給出了其他的改進(jìn)方向，以用

6、于指導(dǎo)實際應(yīng)用。關(guān)鍵詞：居室I照；臨界點；層次分析法；最優(yōu)化模型；排隊論模型1 .問題的重述1.1 問題背景隨著現(xiàn)代社會經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，房地產(chǎn)成為國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展中一重要的經(jīng)濟(jì)增長點之一。為了充分利用樓房建設(shè)的土地面積，開發(fā)商經(jīng)常會選擇建筑高層住宅。在購買住房時.，影響消費(fèi)者選擇購房的因素較多，其中主要有：地理位置、周邊環(huán)境、交通便利性、住房戶型、住房價格、采光、噪音污染、空氣污染等。1.2 相關(guān)數(shù)據(jù)位置：在東經(jīng)117.17。，北緯34.18地理位置A處有高層建筑小區(qū)。附錄1：小區(qū)規(guī)劃圖；附錄2：A1+A2單元住宅標(biāo)準(zhǔn)層技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)及房屋平面圖：附錄3：已經(jīng)被售出房間數(shù)據(jù)：附錄4：7#樓停車位分布

7、圖。1.3 要解決的問題問題1：求解A小區(qū)14-2-802房間（客廳）在冬至日9:00-16:00間可以享受H照的時間區(qū)間（具體樓高和樓間距等相關(guān)參數(shù)見附錄1和2）。問題2：在問題1的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，以A小區(qū)14-2-802房間（客廳）為例，描述全年365天每一天可以享受照的累計時間，并給出14-2-802房間（客廳）全年享受日照時間超過6小時的天數(shù)和日期。問題3：假設(shè)在消費(fèi)者C購房之前已經(jīng)有一部分房間售出（數(shù)據(jù)見附錄3）,在僅考慮采光影響的條件下，給出消費(fèi)者C的最優(yōu)選房方案。問題4：在問題3的基礎(chǔ)上，建立選房模型，要求考慮價格、交通、環(huán)境和噪音的影響，給出此時消費(fèi)者C最優(yōu)選房方案。相關(guān)信

8、息如下：該小區(qū)售房價格方案：1-8層為基價，然后逐層增加層價，最頂層單價為次頂層的85%；1-14#樓除10、11、12號樓三處河景房的基價為4450元/m2,其他樓的基價為4250元/5,所有樓的層價均為10元/層。小區(qū)北側(cè)有一條美麗的河流，河流北岸已經(jīng)計劃開發(fā)高架橋，高架橋北300m處為規(guī)劃地鐵口；小區(qū)東側(cè)為鄉(xiāng)村公路和國有鐵路；西側(cè)為國道；南側(cè)為街道，且距離小區(qū)南側(cè)500nl有發(fā)電廠煙囪。問題5：汽車停軍位分布對于住戶出行非常重要，建立數(shù)學(xué)模型并說明附錄4中7#樓汽車車位分布是否合理？考慮從停車位到電梯距離、樓層高度、上下班高峰期人流量等影響，建立數(shù)學(xué)模型，針對。樓重新設(shè)計合理的汽車車位分

9、布方案。附錄4中每車位的方格中第一行是車位號，第二行是對應(yīng)的房間號。2 .模型假設(shè)1）假設(shè)不考慮降雨、下雪等影響日照的天氣，2）假設(shè)陽光只從遮陽樓樓頂上方照入，不計算陽光從遮陽樓左右側(cè)面照入。3）假設(shè)在消費(fèi)者C購房之前已經(jīng)有一部分房間售出，在僅考慮采光影響的條件下給出方案。3 .變量說明符號符號說明0hPEdcoD,太陽方位角太陽高度角題設(shè)緯度34.18赤緯角時角光照天數(shù)4 .模型的準(zhǔn)備對于問題一，二，三，分析題目要求都需要求解單日日照時間，所以我們根據(jù)地面氣象觀測規(guī)范引入如下概念與方法。對相關(guān)名詞進(jìn)行解釋。太陽赤緯角：地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面稱黃道面，而地球的自轉(zhuǎn)軸稱極軸。極軸與黃道面不是垂

10、直相交，而是呈66.5角，并且這個角度在公轉(zhuǎn)中始終維持不變。正是由于這一原因形成了每“中午時刻太陽高度的不同，以及隨之而來的四季的變遷。太陽高度的變化可以從圖1中形象地看到。圖中日地中心的連線與赤道面間的夾角每天（實際上是每一瞬間）均處在變化之中,這個角度稱為太陽赤緯角。它在春分和秋分時刻等于零，而在夏至和冬至?xí)r刻有極值，分別為正負(fù)23.45。平太陽時：真正的太陽在黃道上的運(yùn)動不是勻速的,而是時快時慢，因此，真太陽口的長短也就各不相同。但人們的實際生活需要一種均勻不變的時間單位，這就需要尋找一個假想的太陽,它以均勻的速度在運(yùn)行。這個假想的太陽就稱為平太陽，其周H的持續(xù)時間稱平太陽II,由此而來

11、的小時稱為平太陽時。時角：時角屬于時角坐標(biāo)系，在此坐標(biāo)系中，天赤道為基本圈，北天極為基本點，天赤道和子午圈在南點附近的交點Q為原點。過北天極和任意天體X作一大圓叫時圈。時圈與天赤道交于T,自原點Q順時針計量到T,弧QT就叫時角，它可以用角度單位，也可以用時、分、秒來表示參見圖（3）o圖5 .模型的建立與求解5.1 問題1的模型建立與求解5.1.1 問題1的模型建立由題設(shè)可知求位于東經(jīng)117.17-,北緯34.ISA小區(qū)14-2-802房間(客廳)在冬至口9:00-16:00期間的日照時間。日照分析計算中的基本原理是計算太陽的位置即太陽的高度角和方位角。由附件1可得如下示意圖，建立日照時間模型。

12、圖414棟居室照計算示意圖計算太陽方位角COS(1%)COS(0)由此可得ADtAD，為AD的地面垂直投影AD=dcos。房間所在樓層到地面距離FD，為FD=HADtan(4)計算太陽高度角(1.1)(12)(1.3)sin(l)=sinE-sin()-cos(69)(1-4)解出太陽高度角的到一天中口照時間1=膽(1.5)155.1.2 問題1的模型求解根據(jù)模型，帶入數(shù)據(jù)。H=98.6(m),冬至口太陽直射緯度為2227當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)為東經(jīng)117.17,北緯34.18%運(yùn)用MATLAB求解得出太陽高度角得值(附錄9),不符合定義，所以在冬至日時刻模型無解。查的資料，常見的居民小區(qū),在遮擋建筑物

13、東西方向比較長的情況下，若樓間距不夠?qū)?勢必造成被遮擋建筑物中部低層居室采光不足,有的冬至日照不到1小時甚至無口照。而題圖所示遮擋建筑物高度為98.6m,樓間距為74.78m,這樣的樓間距系數(shù)遠(yuǎn)低于國家標(biāo)準(zhǔn)，勢必使處于低層冬至日日照時間低于1小時，甚至無日照。所以在東經(jīng)117.17,北緯34.18A小區(qū)14-2-802房間(客廳)在冬至日9:00-16:00期間的日照時間為0。5.2問題二模型建立與求解5.2.1問題二模型建立要求解出A小區(qū)14-2-802房間（客廳）一年中的F1照累計時間，必然計算每天日照時間平均每“光照增加時間。由問題1已經(jīng)建立了單H光照時間模型，通過計算日照時間臨界值，及

14、單口日照為零的日期。由口照時間臨界點計算到夏至口的口照時間累計增量，又太陽直射點運(yùn)動軌跡是有規(guī)律可循的，因此可計算出年口照時間。分別求出單日光照時間六小時和零小時的赤緯角EdiEd?同時可求得夏至日時太陽時角3cos(69)cos()F(H-FDJsin()-dcos)1tsnEdH-FDr-(H-FDr)siir(3)+dsiii()cos()冬至日為起點，計算一年中單日日照時間：.4xEdAEd=365從冬至Fl起單日光照時間為零小時的天數(shù)：Ed(-Ed)Ed夏至日光照時間得出:15-平均每口光照增加時間:T=Dg年光照總時間:133一年中單口光照時間超過六小時的天數(shù)：，Ed-Ed.Di=

15、2AEd(2.(1)(2.(2)(2.(3)(2.(4)(2.(5)(2.(6)(2.(7)5.2.2問題二模型求解冬至口太陽直射南回歸線（23.45S）,所以太陽赤緯角Ed=-23.45，以冬至日為起點隨著太陽直射點的移動，在某個時口照時間由零變?yōu)榇笥诹愕臄?shù)，該時刻及為口照時間臨界點。在這一時刻3為零，將己知數(shù)據(jù)帶入（2.1）運(yùn)用MATLAB求解得此刻：Ed=-1058將此刻赤緯角代入（2.3）得從冬至日起單日光照時間為零小時50天，12月22II到2月10,所以光照時數(shù)大于零的天數(shù)為265。由太陽的規(guī)律運(yùn)動可得出平均每口光照增加時間。所以在東經(jīng)117.17,北緯34.18A小區(qū)14-2-8

16、02房間（客廳）一年中的口照累計時間為k=1129.9求解全年享受n照時間超過6小時的天數(shù)和口期，及3=6時，解出：Ed=14.33此刻為太陽直射緯度為14.33N,由太陽運(yùn)動規(guī)律可求得此刻日期5月18日，乂因為此緯度線在南北回歸線之間，所以可得出下一次直射此緯度線的H期為7月30Ho將Ed代入（2.7）求解得出全年享受日照時間超過6小時的天數(shù)為D=74綜上A小區(qū)14-2-802房間（客廳），全年365天每一天可以享受日照的累計時間為1129.9小時，14-2-802房間（客廳）全年享受日照時間超過6小時的天數(shù)為74天，日期為5月18口到7月30口。見附錄5.3問題三模型求解與求解由已建立模型

17、可得房間冬至日日照時長模型為(3.1)Ha=H-FDCOSft;=H.sinEdH&,sin(-dcos(cosEd-cos(0sillEdsill(q)(3.2)根據(jù)中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)城市居住區(qū)規(guī)劃設(shè)計規(guī)范大城市住宅II照標(biāo)準(zhǔn)為大寒口大于等于2小時，冬至口大于等于1小時，老年人居住建筑不應(yīng)低于冬至口口照2小時的標(biāo)準(zhǔn)；在原設(shè)計建筑外增加任何設(shè)施不應(yīng)使相鄰住宅原有n照標(biāo)準(zhǔn)降低；舊區(qū)改造的項目內(nèi)新建住宅II照標(biāo)準(zhǔn)可酌情降低，但不應(yīng)低于大寒HH照1小時的標(biāo)準(zhǔn)。所以我們根據(jù)冬至日日照時長，將房屋劃分為等級優(yōu)等良等中等劣等時長（小時）295-91-5W1將已知數(shù)據(jù)代入模型，運(yùn)用MATLAB求解得出各

18、個房屋冬至F1長，整理數(shù)據(jù)，將房屋冬至日時長劃分等級，得到表（2）詳見附錄50由表（1）己經(jīng)被售出房間數(shù)據(jù)詳見附錄3可得到表（3）優(yōu)等房間與已售出房間對比表詳見附錄6由此在僅考慮采光影響的條件下，剔除已售出房間給出消費(fèi)者C的最優(yōu)選房方案為如下表示意：表4選房方案樓號單元戶數(shù)剔除層數(shù)優(yōu)層11011-340231-342013,9,251-340216,251-3421011-34021-342011.141-34028,9,17,221-34310113,221-34027,81-342011.81-3402121-344101174-34024,26,274-342014-34025,281-

19、3451011-3002101-302011-300225,264-30610116.201-34021-342011-34026,13,14,151-3410132-340232-3420132-340232-34810132-340232-3420132-340232-34910119,251-340227-3420127-340227-341010128-340230-3420130-340230-341110161-3402o1-3420128-34022828-341210112,19,20,22,261-340291-3420128-340228-341310111-340232-

20、3420132-340232-341410131-340231-3420131-340231-341710129-340229-3420129-340229-341810128-340228-3420128-340228-34綜上表可得在僅考慮光照的條件下有多種方案可供消費(fèi)者C選擇。見附錄（9）5.4問題4模型的建立與求解5.4.1問題4層次分析模型的建立本問題在光照、價格、交通、環(huán)境和噪音的影響，給出此時消費(fèi)者C最優(yōu)選房方案。此問題將用層次分析法來解決。層次分析法的基本思想是，如果一個問題的目標(biāo)由若干個因素決定，則這些因素在目標(biāo)中的比重（或稱為貢獻(xiàn)）是首先要確定的.根據(jù)這些比重對不同的因素加

21、以綜合,得到一個總的貢獻(xiàn)，總貢獻(xiàn)最大的方案就是最優(yōu)方案由題中條件知該小區(qū)售房價格方案:1-8層為基價，然后逐層增加層價，最頂層單價為次頂層的85%：1T4#樓除10、11、12號樓三處河景房的基價為4450元/m1其他樓的基價為4250元/m2,所有樓的層價均為10元/層。而小區(qū)北側(cè)有一條美麗的河流，河流北岸己經(jīng)計劃開發(fā)高架橋，高架橋北300m處為規(guī)劃地鐵口；小區(qū)東側(cè)為鄉(xiāng)村公路和國有鐵路：西側(cè)為國道：南側(cè)為街道，旦距離小區(qū)南側(cè)500m有發(fā)電廠煙囪。對于此問題，將小區(qū)分為東南西北4個小區(qū)來研究。東區(qū)南區(qū)西區(qū)北區(qū)6#、7#、8#、14#、17#、18#2#、3#、4#、5#1#、9#10#、11#

22、、124、13ft上面的思維過程可以加工整理成以下幾個步驟：（1）將決策問題分為三個層次：最上層為目標(biāo)層，即選擇購房，最下層為方案層,有東區(qū)、南區(qū)、西區(qū)、北區(qū)四個供選擇，中間層為準(zhǔn)則層，有光照、價格、交通、環(huán)境、噪音五個準(zhǔn)則，各層元素間的聯(lián)系用相連的直線表示（2）通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重。（3）將方案層對準(zhǔn)則層的權(quán)重及準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行綜合，最終確定方案層對目標(biāo)層的權(quán)重。圖5最佳房屋的層次結(jié)構(gòu)模型圖(1)成對比較陣和全向量假設(shè)要比較某一層n個因素G,C2Q對上層一個因素0的影響，購房問題中比較光照等五個準(zhǔn)則在選擇購房這個目標(biāo)中的重要性。每次取兩個因素c

23、和C,以優(yōu)，表示a和C,對。的影響大小之比，全部比較結(jié)果可用成對比較矩陣表示。A=(aiJtn，aiJO,ag=-(4.1)1由公式(4.1)給出的弱的特點，A稱為正互反矩陣。顯然必有“k1。用G,G依次表示光照、價格、交通、環(huán)境、噪音5個標(biāo)準(zhǔn)，而需做對比的次數(shù)為2=學(xué).得到的成對比較矩陣為ailai281331431522122323a4a”_a51a52a53a54a55_該式中：配二表示光照q與價格a對于購房這個目標(biāo)0的重要性之比為：a1s二表示光照q與交通a之比為：生式表示價格a與交通a之比為。為了使所考慮的因素一致化，設(shè)想把一塊單位質(zhì)量的大石頭。砸成n塊小石頭a,Q,如果精確稱出它們

24、的重量為她，,以，在作成對比較時令skiM/wj,Ct(fCf嗎叫”Jr.-r.A二%4給出比較尺度為:尺度”，含義1以與C,的影響相同3C與C,的影響稍強(qiáng)5C,與的影響強(qiáng)一a與&的影響明顯的強(qiáng)9a與&的影響絕對的強(qiáng)2,4,6,8&與a的影響之比在上述兩個相鄰等級之間1,1/2,1/9&與a的影響之比為上面皿的互反數(shù)(43)假設(shè)某層有n個因素，采用19尺度進(jìn)行兩兩因素比較后，得到判斷矩陣A=(%)樹，求出其最大特征值4-對應(yīng)的歸一化特征向量3,即A=且=1,3=(%)(44)為了最后決策的客觀與科學(xué)，我們要求判斷矩陣A滿足一致性的條件，同時允許一定程度的不一致，為此定義一致性指標(biāo)ci=L_;1

25、和一致性比率cr=L,其中RI是n-1RIn階判斷矩陣的隨機(jī)一致性指標(biāo)當(dāng)CR0.1,認(rèn)為判斷矩陣通過一致性檢驗，于是選取上述歸一化特征向量T69二(囚,秋,4)作為n個因素的權(quán)重向5.4.1問題4層次分析模型的求解下面以列表的形式給出購房問題層次模型中的各判斷矩陣及計算出的權(quán)重向量表(5)購房光照價格噪音交通環(huán)境權(quán)向量a光照121/51/21/70.0770價格1/211/21/31/50.0752噪音521510.3575交通231/511/20.1408環(huán)境51210.3496L購房(見表5)判斷矩陣一致性比率為:。0992表光照東區(qū)南區(qū)西區(qū)北區(qū)權(quán)向量E東區(qū)11/71/51/30.0570

26、南區(qū)r1250.5232西區(qū)51/2130.2976北區(qū)31/51/310.12222.光照（見表6）判斷矩陣一致性比率為:0.0254表價格東區(qū)南區(qū)西區(qū)北區(qū)權(quán)向量卜東區(qū)141/260.3740南區(qū)1/411/230.1529西區(qū)22140.4068北區(qū)1/61/31/410.06633.價格（見表5）判斷矩陣一致性比率為90899表(8)噪音東區(qū)南區(qū)西區(qū)北區(qū)權(quán)向量h東區(qū)11/71/51/70.0489南區(qū)一1210.3731西區(qū)51/211/20.2048北區(qū)一1210.373114.噪音（見表5）判斷矩陣一致性比率為:0.0059表（9）交通東區(qū)南區(qū)西區(qū)北區(qū)權(quán)向量bi東區(qū)11/711/20

27、.0809南區(qū)18一0.7041西區(qū)11/811/20.0778北區(qū)21/7210.13705.交通（見表5）判斷矩陣一致性比率為:0.0189表（10）環(huán)境東區(qū)南區(qū)西區(qū)北區(qū)權(quán)向量b東區(qū)111/51/70.0712南區(qū)111/31/70.0850西區(qū)53120.4387北區(qū)7一i1/210.40516.環(huán)境（見表5）判斷矩陣一致性比率為:0.C887以上計算結(jié)果均通過一致性檢驗，于是可進(jìn)行層次總排序。記上述各權(quán)重向量為4=(%，%，%，%),(4.5)j=L,5則四個備選方案對于總目標(biāo)的權(quán)重計免公式為：里=Za)bg,(i=L2,3,4)(4.6)利用此公式計算得到各被選方案的權(quán)重依次為：東區(qū)

28、,南區(qū)，西區(qū)，北區(qū)二0.0863,0.3140,0.2910,0.3087)此外，通過計算知該層次總排序通過一致性檢驗，我們可據(jù)此作出最后決策。綜上所得各方案的權(quán)重可知，買房所選區(qū)域的排序為：南區(qū))北區(qū)西區(qū)東區(qū)在問題三的基礎(chǔ)上取2#、3#、4#、5#得到消費(fèi)者C選擇房屋最優(yōu)方案為如下表格所示：表(11)樓棟單元樓層戶數(shù)211-34011-340222-13,15-34011-7,10-21,23-3402311-12,14-21,23-34011-6,9-340222-7,9-34011-11,13-3402411-16,18-34011-3,5-25,28-340224-340114,6-2

29、7,29-3402511,3-30011-9,11-300221-30011-3,5-24,27-3002程序見附錄(9)5.5問題5模型的建立與求解5.5.1問題5模型的建立停車問題實質(zhì)上屬于交通問題，它是小區(qū)環(huán)境建設(shè)的一個子環(huán)節(jié)，從國內(nèi)外停車規(guī)劃理論發(fā)展演變過程中可以得到這樣一個認(rèn)識:停車規(guī)劃的目標(biāo)是為了促進(jìn)居住環(huán)境的建設(shè),隨著小汽車數(shù)量上的增長,在為居住小區(qū)增加必要停車位的同時，人文環(huán)境建設(shè)多一些重視將更具有現(xiàn)實意義.因而研究居住小區(qū)的停車問題需要居住樓整體進(jìn)行考慮,得到小區(qū)停車問題在諸問題中明確的定位。對于居民從停車位到電梯距離、樓層高度、上下班高峰期人流量等影響的問題，建立排隊論模型

30、來解決。排隊論也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，它是20世紀(jì)初由丹麥數(shù)學(xué)家ERLANG應(yīng)用數(shù)學(xué)方法在研究電話話務(wù)理論過程中而發(fā)展起來的一門學(xué)科，在實際中有廣泛的應(yīng)用。它涉及的是建立一些數(shù)學(xué)模型，藉以對隨機(jī)發(fā)生的需求提供服務(wù)的系統(tǒng)預(yù)測其行為?，F(xiàn)實世界中排隊的現(xiàn)象比比皆是，如到商店購貨、輪船進(jìn)港、病人就診、機(jī)器等待修理等等。排隊的內(nèi)容雖然不同，但有共同的特征。研究排隊問題的目的，是研究排隊系統(tǒng)的運(yùn)行效率估計服務(wù)質(zhì)量確定系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)值，以決定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是否合理，設(shè)計改進(jìn)措施等。所以，必須確定用來判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)，這些數(shù)量指標(biāo)通常是：（1）隊長：指排隊系統(tǒng)中的顧客數(shù)，它的期望值記為Ls：排隊長，指

31、在排隊系統(tǒng)中排隊等待服務(wù)的顧客數(shù)，其期望值記為Lq。系統(tǒng)中的顧客數(shù)二等待服務(wù)的顧客數(shù)+正被服務(wù)的顧客數(shù)，所以Lq（或Ls）越大，說明服務(wù)效率越低。（2）逗留時間：指一個顧客在排隊系統(tǒng)中的停留時間，即顧客從進(jìn)入服務(wù)系統(tǒng)到服務(wù)完畢的整個時間。其期望值記為Ws。等待時間，指一個顧客在排隊系統(tǒng)中等待服務(wù)的時間，其期望值記為Wq。逗留時間二等待時間+服務(wù)時間（3）忙期：指從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為空閑這段時間長度，即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)工作的時間長度。它關(guān)系到服務(wù)的匚作長度，即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)匚作的時間長度。它關(guān)系到服務(wù)員的工作強(qiáng)度、忙期的長度和一個忙期中平均完成服務(wù)的顧客數(shù),這些是衡量服務(wù)效率的指標(biāo)

32、。本題將居民的停車問題由排隊論模型來解決，并設(shè)計出符合要求的居民車位分布方案。5.5.1問題5的求解由附件3中押樓給出的居民車位分布圖用排隊論模型可以得出：在此車位分布中，低樓層居民離千位的距離遠(yuǎn)，而高樓層居民離車位的距離近。在上班高峰期人流時期,人們很容易在同一個時間段內(nèi)聚集很多車主在停車場，此時車輛得不到有效的疏通。在下班高峰期人流量時期，居民容易在樓道電梯處造成擁擠，從而引發(fā)安全事故。故題設(shè)給出的車位分布是不合理的。對此，在運(yùn)用排隊論和居民從停車位到電梯距離、樓層高度、上下班高峰期人流量等影響的問題的綜合上給出新的車位分布方案（見附錄8）。此問題是在7#樓給出居民車位分布方案。第一行是車

33、位號，第二行是對應(yīng)的房間號，為了書寫的方便性，在附錄8中將例如房間號:712002寫為l-2002o6 .模型的推廣與改進(jìn)方向1 .1模型的推廣模型I：I照時間模型。通過對太陽運(yùn)動規(guī)律的靈活運(yùn)用，在實際生活中具有很大的利用價值。在農(nóng)業(yè)上，可設(shè)立合理的播種收割時間，使得農(nóng)作物有更好的收成。模型H：層次分析模型。從房屋的最優(yōu)選擇中，可推廣到企業(yè)優(yōu)秀員工選拔等一系列評價選優(yōu)的問題。對于數(shù)據(jù)量繁多且復(fù)雜的選擇評價中，如某暢銷產(chǎn)品區(qū)域市場細(xì)分調(diào)查中，可利用該模型建立完善評價體系，有利與正確決策的制定。6 .2模型的改進(jìn)模型I：Fl照時間模型。由于只考慮太陽直射的情況所建立的日照時間模型，存在無法全面反映

34、實際日照時間的情況?？稍黾酉嚓P(guān)參數(shù)：太陽入射角度，太陽光照的折減系數(shù)等，來增加結(jié)果的可靠性。模型II:層次分析模型。在問題四中，最優(yōu)選房方案的南區(qū)高層有空氣污染，而南區(qū)與北區(qū)的權(quán)重相差較小，是因為該模型的主觀判斷性太強(qiáng)，因此將對該模型進(jìn)行改進(jìn)，建議購房者不選擇南區(qū)樓房的高層房屋。7 .模型的優(yōu)缺點1 .優(yōu)點（1）對于模型I,利用春分，夏至，秋風(fēng)，冬至作為臨界點，分別來求得問題一,二，三所需的答案，簡化了問題，便于計算求解，在實際中可操作性強(qiáng)。（2）對于模型II,將具有層次結(jié)構(gòu)的購房問題，采取逐層分解，變?yōu)槎鄠€單準(zhǔn)則評價問題，在多個單準(zhǔn)則評價的基礎(chǔ)上進(jìn)行綜合，且具有較為完整的檢驗體系。2 .缺點

35、（1）對于模型I,假設(shè)陽光的照射方向為直射方向，忽略了太陽在照射過程中，斜向照入房間對于房間所接受的光照時間的影響。（2）對于模型II,在計算過程中定量數(shù)據(jù)較少，定性成分居多，且定性數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的主觀判斷性，所算出的數(shù)據(jù)不易令人信服，而當(dāng)指標(biāo)過多時數(shù)據(jù)統(tǒng)計量大，所需要計算的權(quán)重難以確定。同時該模型在所求出的方案并不是十分理想的情況下，無法為決策提供新方案。9 .參考文獻(xiàn)吳安軍.居室日照時間的計算及應(yīng)用國.氣象第象卷第12期,2004:72-732王炳忠.太陽輻射計算講座第一講太陽能中天文參數(shù)的計算J.太陽能；1999（02）8-103王炳忠.太陽輻射計算講座問題解答J.太陽能.2000（02）

36、;20-224陳俊.沈小欣.層次分析法在城市購房決黃中的應(yīng)用及其軟件實現(xiàn)M.遼寧師專學(xué)報第14卷第4期2012;77-795韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用（第二版）M.北京：高等教育出版社，2009.10 .附錄附錄1圖附錄2平面圖1：100表1已經(jīng)被售出房間數(shù)據(jù)售出序號樓號單元號樓層房間售出序號樓號單元號樓層房間182130251142130221311015212901312250153729024142180254131702513260255412702682150256122250277120157|1211201852250258911402911213025912160210121

37、602606214021161160161132802121322001621022802138111016361602147230264912501157113026542101165120166811001171422102671422101181412026812119011982270269425022014221017010127012171270171611601226115027214280123317027322170224328017441260225121220175121260126112280276221401278210017782130228122220278121

38、9022982402791112023081170180222202313113018171402329221018251100233228028371120134113028491250235101130285321013692180186131240237414028792902386213028831802399119018981140140812401901422101412290291|1116014232120292101701431225029372280144612001944117014572701958190146312201964228024710290297522602

39、4812801981326024922101991311025014111011001212001房間標(biāo)號規(guī)則：每棟樓分2個單元，東側(cè)為1單元，西側(cè)為2單元；每個單元兩戶，東戶尾號01,西戶尾號為02：房間標(biāo)號為：樓號單元號樓層號戶號：例如1012002,表示的是10號樓，20層，1單元西戶。附錄47#136圖(3)7#棟地下車庫停車位分布表（2）房屋日照時間等級表樓號單元戶數(shù)優(yōu)層良層中層差層11011-34無無無021-34無無無2011-34無無無021-34無無無21011-34無無無021-34無無無2011-34無無無021-34無無無31011-34無無無021-34無無無2011

40、-34無無無021-34無無無41014-341-3無無024-341-3無無2014-341-3無無021-34無無無51011-301-301-301-30021-301-301-301-302011-301-301-301-30024-301-3無無61011-34無無無021-34無無無2011-34無無無021-34無無無110132-3425-3123-241-220232-3425-3123-241-2220132-3425-3123-241-220232-3425-3123-241-22810132-3424-3121-231-200232-3424-3121-231-2020

41、132-3424-3121-231-200232-3424-3121-231-2091011-34無無無0227-3415-2611-141-1020127-3415-2611-141-100227-3415-2611-141-101010128-3410-274-91-30230-3417-2913-161-1220130-3417-2913-161-120230-3417-2913-161-12111011-34無無無021-34無無無20128-3420-274-91-30128-3420-274-91-3121011-34無無無021-34無無無20128-347-271-6無0228

42、-347-271-6無131011-34無無無0232-3425-3123-241-2220132-3425-3123-241-220232-3425-3123-241-221410131-3421-3018-201-170231-3421-3018-201-1720131-3421-3018-201-170231-3421-3018-201-171710129-3423-2821-221-200229-3423-2821-221-2020129-3423-2821-221-200229-3423-2821-221-201810128-3419-2716-181-150228-3419-271

43、6-181-1520128-3419-2716-181-150228-3419-2716-181-15附錄6表（3）優(yōu)等房間與已售出房間對比表表(3)樓號單元戶數(shù)優(yōu)層售出樓號11011-34021-3432011-348,9,25021-3416,2521011-34021-342011-341,14021-348,9,17,2231011-3413,22021-347,82011-341,8021-341241014-3417024-344,26,272014-341021-345,2851011-302021-30102011-30024-3025,2661011-3416,20021-3

44、42011-34021-346,13,14,15i10132-342,12,270232-344,1320132-347,280232-343,9810132-349,10,11,14,17,240232-3420132-34100232-344,13,15,2791011-3419,250227-3414,2520127-3418,210227-3491010128-340230-341320130-340230-349,28111011-346021-34220128-340228-3413,28121011-3412,19,20,22,26021-34920128-340228-3422

45、,25131011-3410232-341,7,2420132-34200232-346,81410131-34110231-34220131-34210231-34211710129-340229-3420129-340229-341810128-340228-3420128-340228-34附錄8附錄9程序問題一：%a代表太陽高度角的正弦值,hl代表樓的高度,h2代表8層樓陽臺頂部到地面的直線距離symsxyzahlh2Hx=sind(-23.45);y=sind(34.18);z=cosd(34.18);hl=98.6;h2=98.6*8/34;H=hl-h2;a=(H*x)/(H*y

46、-74.78*z)問題二：%a代表太陽時角的余弦值,b代表赤緯的正切值,c代表太陽時角的余弦值,Ed代表赤緯symsxyzabcEdx=sind(34.18);y=tand(23.45);z=cosd(34.18);a=cosd(0);b=a*z*(75.4*x-74.78*z)/(75.4-75.4*x*x+74.78*x*z);%太陽時角為0時，赤緯的值Ed二atand(b)a=cosd(45);b=a*z*(75.4*x-74.78*z)/(75.4-75.4*x*x+74.78*x*z);%太陽時角為45時，赤緯的值Ed二atand(b)c=y*(75.4-75.4*x*x+74.78*x