橢圓與雙曲線的必背的經典結論

1、橢圓與雙曲線的必背的經典結論1.點P處的切線PT平分PFF2在點P處的外角.2.PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點3.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離.4.5.若外(%，)在橢圓2a2b222=1上，則過R的橢圓的切線方程是x°xy°y一丁=1.6.2,2ab=1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P、P,則切點弦P1P2的直線方程是x0xV0V2.2-Jab以焦點半徑PR為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.227.xy橢圓二十、=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1,F2,點P為橢圓上

2、任意一點aby/F1PF2=¥,則橢圓的焦點角形的面積為S莊1Pf2=b2tan3.22xy8.橢圓一2+=1(a>b>0)的焦半徑公式：a2b2|MFJ=ae%,|MF2|=a-e%(F1(-c,0),F2(c,0)M(%,y。).9.設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于MN兩點，則MFLNF.10.過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,A、色為橢圓長軸上的頂點，AF和A2Q交于點M,A2P和AQ交于點N則MFLNF.11.AB是橢圓2ab2b2=1的不平行于對稱軸的弦，M(x0,y0)為A

3、B的中點，b2x020av。12.若P0(x0,y0)在橢圓b2=1內，則被Po所平分的中點弦的方程22x0x._y_y二迎.近.22,2bab2213.P0(x0,y0)在橢圓xy,二十=1內，則過Po的弦中點的軌跡方程ab雙曲線1 .點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內角.2 .PT平分PFF2在點P處的內角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點3 .以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.4 .以焦點半徑PFi為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.(內切：P在右支；外切:P在左支)X2V25 .若B(Xo,y。)在雙曲線-7彳=1(a>0,b

4、>0)上，則過P0的雙曲線的切線方程ab是W一里二1.abx2y26 .若PA-cnVo)在雙曲線-7=1(a>0,b>0)外，則過Po作雙曲線的兩條切ab線切點為P1、P2,則切點弦P1P2的直線方程是-0-Y0Yb2=1.7.22XV雙曲線_2_=1(a>0,b>o)的左右焦點分別為abF1,F2,點P為雙曲線上任8.意一點2EPF2=¥,則雙曲線的焦點角形的面積為SF1PF2-bCOt3.x2y2.雙曲線二22=1(a>0,b>o)的焦半徑公式：(F1(c,0),F2(c,0)ab當M(-0,y0)在右支上時，|MFI|=e%+a,IM

5、F2|=e-0a.當M(X0,y0)在左支上時，|MF1|=-ex0+a,IMF21=e%-a9 .設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點,連結AP和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于MN兩點，則MFLNF.10 .過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q,A、4為雙曲線實軸上的頂點,AP和A2Q交于點MA2P和A1Q交于點N,則MFLNF.11 .12.x2y2AB是雙曲線一2一一2=1(a>0,b>0)的不平仃于對稱軸的弦，M(-0,y°)為ABabb2b2的中點，則KomKab=T°，即Kabay。ay。22若P0(

6、-0,y0)在雙曲線34=1(a>0,b>0)內，則被Po所平分的中點弦的ab方程是22-0-y0y-0y=13.22-y右P0(-0,y0)在雙曲線T-2=1(a>0,b>0)內，則過Po的弦中點的軌跡萬ab22程是今一看=等一巧abab1.2.3.4.橢圓與雙曲線的對偶性質-(會推導的經典結論)橢圓X2V2橢圓-2+4=1(a>b>o)的兩個頂點為A1(-a,0),A2(a,0),與y軸平行的直ab22線交橢圓于Pi、P2時AiPi與A2P2交點的軌跡方程是與%=1.abx2y2過橢圓+2L=i(a>0,b>0)上任一點A(x0,y0)任意作

7、兩條傾斜角互補的直ab一，_一八，、-b2x線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且kBC=-°(常數).aV。22xy右P為橢圓=+22=1(a>b>0)上異于長軸端點的任一點,Fi,F2是焦點，aba-c:工F,/PF|F2=口，/PF2F1=F,貝U=tan-cot一.ac2222xy設橢圓-2+=1(a>b>0)的兩個焦點為F1、F2,P(異于長軸端點)為橢圓上a2b2任意一點，在PF1F2中，記NF1PF2=,/PFF2=P,/FFzPnY，則有sin二_c_sin.，sina225.若橢圓W十4=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F、F

8、2,左準線為L,則當0ab<e<J2-1時，可在橢圓上求一點P,使得PE是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.226.P為橢圓十一=1(a>b>0)上任一點，F(xiàn)1,F2為二焦點，A為橢圓內一定點，a2b27.橢圓(x-x0)22a.(y-y0)2b2=1與直線Ax+By+C=0有公共點的充要條件是則2a-|AF2|W|PA|+|PF1戶2a+|AE|,當且僅當A,F2,P三點共線時，等號成A2a2B2b2-(AxBy0C)2.228.已知橢圓"十一=1(a>b>0),O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且OP_LOQ.ab11114a2b2(1)

9、2+2=+-2;(2)|OP|2+|OQ|2的最大值為-22；(3)Spq|OP|OQ|abab的最小值是2,2ab22i.ab29.xy過橢圓+22=1(a>b>0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦a2b2M弼垂直平分線交x軸于巳則J-PLL=-|MN|210.22已知橢圓二y.a2b2=1(a>b>0),A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分11.12.13.14.15.線與x軸相交于點設P點是橢圓2.22.2a-ba-bP(Xo,0)，則一<Xo<aaxy-2+2=1(a>b>0)上異于長軸麻?點的任一點2b2記/F1PF2

10、=0,設A、B是橢圓,F1、F2為其焦點皿2b22,則(1)IPFiIIPFzIi+cosG.(2)S點“=btan.22xy二+22=1(a>b>0)的長軸兩端點，P是橢圓上的一點,abNPAB=a,ZPBA=P,ZBPA=¥,c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有22,22ab|cos二|2c2ab,|PA|=122.(2)tan=tan.=1-e.(3)Spab=萬2cot.a-ccosb-a22xy已知橢圓一2+2=1(a>b>0)的右準線l與x軸相交于點E，過橢圓右焦點Fab的直線與橢圓相交于A、B兩點，點C在右準線l上，且BC_Lx軸，則直線AC經過

11、線段EF的中點.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點,則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16.橢圓焦三角形中，內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).(注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.)17 .橢圓焦三角形中，內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.橢圓與雙曲線的對偶性質-(會推導的經典結論)雙曲線22xV1.雙曲線F4=1(a>0,b>0)的兩個頂點為A(a,0),A2(a,0),與y軸ab2218 .橢圓焦

12、三角形中，半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項平行的直線交雙曲線于Pl、P2時APl與A2P2交點的軌跡方程是勺+與=1.ab22xV2.過雙曲線不-4=1(a>0,b>o)上任一點A(X0,y0)任意作兩條傾斜角互abb2Xc補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且kBC=-20(常數).ay02 2XV3 .右P為雙曲線=1(a>0,b>0)右(或左)支上除頂點外的任一點,F1,abF2是焦點，ZPF1F2,ZPF2F1=P,則=12上82(或ca22c-aP:工=tanco1.ca22x2v24.設雙曲線-2=1(a>0,b>0)的兩個焦點為

13、F1、F2,P(異于長軸端點)ab為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記ZF1PF2=«,/PF1F2=B,NF1F2P=丫，則有sn背=c=e.(sin-sin-)a22XV5.F、已，左準線為L,右雙曲線下=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為ab則當1vewJ2+1時，可在雙曲線上求一點P,使得PF1是P到對應準線距離d與PE的比例中項.22XV6 .P為雙曲線一2'-2=1(a>0,b>0)上任一點，F(xiàn)1,F2為二焦點，A為雙曲線ab內一定點，則|AF2|22工廠人|十|,當且僅當A,F2,P三點共線且P和A,F2在V軸同側時，等號成立x2v

14、27 .雙曲線工_22=1(a>0,b>0)與直線Ax+By+C=0有公共點的充要條ab件是A2a2-B2b2_C2.22xv8 .已知雙曲線二三=1(b>a>0),O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，ab且OP_OQ.(1)112-2|OP|OQ|12；(2)|OP|+|OQ|的取小值為b2A2.24ab722b-a；(3)S.QPQ2b2的最小值是4-.b2-a2229.過雙曲線二-與=1ab(a>0,b>0)的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P,則|PF|=e|MN|一210.11.線段AB的2.2ab.a離心率

15、，則有(1)(2)tan二tan:22ab|cos|PA|一12221|a-ccos|2=1e.(3)Spab-2,22abx22cot.ba22xy已知雙曲線、=1(a>0,b>0),A、B是雙曲線上的兩點,ab2.2ab垂直平分線與x軸相父于點P(x0,0),則x0至或x0E-a22xv設P點是雙曲線二方=1(a>0,b>0)上異于實軸端點的任一點，F(xiàn)1、Faab2b2為其焦點記F1PF2=Q,則(1)|PF1|PF2|=.(2)1-cos1C，2，S.PF1F2-bcot2.2212.設A、B是雙曲線與_匕=1(a>0,b>0)的長軸兩端點，P是雙曲線上的a2b2一點，/PAB=a,/PBA=P,/BPA=¥,c、e分別是雙曲線的半焦距2213.已知雙曲線與一4=1(a>0,b>0)的右準線l與x軸相交于點E,過雙曲ab線右焦點F的直線與雙曲線相交于A、B兩點，點C在右準線l上，且BC_Lx軸，則直線AC經過線段EF的中點.14.過雙曲線焦半徑的端