專升本高等數(shù)學(xué)(二)

1、成人高考（專升本）高等數(shù)學(xué)二第一章極限和連續(xù) 第一節(jié)極限 復(fù)習(xí)考試要求1 .了解極限的概念（對極限定義|*-可一旌|即乂，等形式的描述不作要求）。會求 函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。2 .了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則。3 .理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大 量的關(guān)系。會進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等 價無窮小量代換求極限。4 .熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1 .理解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在之 間的關(guān)系，掌握判

2、斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點處連續(xù)性的方法。2 .會求函數(shù)的間斷點。3 .掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會用它們證明一些簡單命題。4 .理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用函數(shù)連續(xù)性求極限。第二章一元函數(shù)微分學(xué) 第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分 復(fù)習(xí)考試要求1 .理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會用定義求函 數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)。2 .會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。3 .熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。4 .掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對數(shù)求導(dǎo)法。會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5 .了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。6 .理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和

3、可導(dǎo)的關(guān)系，會求函數(shù)的一階 微分。第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)考試要求1 .熟練掌握用洛必達(dá)法則求"I' "葭巴"0 8"、 型未定式的極限 的方法。2 .掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法。會利用 函數(shù)的單調(diào)性證明簡單的不等式。3 .理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的駐點、極值點、極值、最大值與最小值 的方法，會解簡單的應(yīng)用題。4 .會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。5 .會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線第三章一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)不定積分復(fù)習(xí)考試要求1 .理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。2 .熟練掌握不定

4、積分的基本公式。3 .熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡單的根 式代換）。4 .熟練掌握不定積分的分部積分法。5 .掌握簡單有理函數(shù)不定積分的計算。第二節(jié)定積分及其應(yīng)用復(fù)習(xí)考試要求1 .理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可積的條件2 .掌握定積分的基本性質(zhì)3 .理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對變上限積分求導(dǎo)數(shù)的方法。4 .熟練掌握牛頓一萊布尼茨公式。5 .掌握定積分的換元積分法與分部積分法。6 .理解無窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計算方法。7 .掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn) 所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。第四章多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)

5、考試要求|1 .了解多元函數(shù)的概念，會求二元函數(shù)的定義域。了解二元函數(shù)的幾何意義。2 . 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。3 .理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求 法。掌握二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)的全微分的求法。4 .掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。5 .會求二元函數(shù)的無條件極值和條件極值。6 .會用二元函數(shù)的無條件極值及條件極值解簡單的實際問題。第五章概率論初步復(fù)習(xí)考試要求1 .了解隨機現(xiàn)象、隨機試驗的基本特點；理解基本事件、樣本空間、隨機事件 的概念。2 .掌握事件之間的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系及對立關(guān)系3 .理解事件之

6、間并（和）、交（積）、差運算的意義，掌握其運算規(guī)律。4 .理解概率的古典型意義，掌握事件概率的基本性質(zhì)及事件概率的計算。5 .會求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。6 . 了解隨機變量的概念及其分布函數(shù)。7 .理解離散性隨機變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計算方法。8 .會求離散性隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1 .了解極限的概念（對極限定義 等形式的描述不作要求）。會求函數(shù) 在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。2 .了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則。3 .理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無

7、窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大 量的關(guān)系。會進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等 價無窮小量代換求極限。4 .熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。主要知識內(nèi)容（一）數(shù)列的極限1.數(shù)列定義按一定順序排列的無窮多個數(shù)稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記作Xn,數(shù)列中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項，第 n項Xn為數(shù)列的一般項或通項，例如（1） 1, 3, 5,，（2n-1）,（等差數(shù)列）1 i 11曾毅“'于（等比數(shù)列）2 2 3 修（3）一打5,（遞增數(shù)列）i+s產(chǎn)（4） 1,0, 1, 0,？，（震蕩數(shù)列）都是數(shù)列。它們的一般項分別為.下載可編輯(2n-1).畔,。對于每一個正整數(shù)n,都

8、有一個xn與之對應(yīng)，所以說數(shù)列xn可看作自變量n的 函數(shù)xn=f (n),它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量 n依次取1,2,3一切正整 數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。在幾何上，數(shù)列X n可看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點Xl,X2,X 3,.Xn,。2.數(shù)列的極限定義對于數(shù)列Xn,如果當(dāng)n-s時，Xn無限地趨于一個確定的常數(shù) A,則稱當(dāng)n趨于無窮大時，數(shù)列Xn以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于A,記作lim4 -tH（當(dāng)依 Tto吃比如:1 I 11無限的趨向01 2 3 汽，守丁、獲T，無限的趨向1否則，對于數(shù)列Xn,如果當(dāng)n-8時，Xn不是無限地趨于一個確定的常數(shù)，稱數(shù)列Xn沒有極限

9、，如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。比如：1, 3, 5,，(2n-1),1 -+ (-1 嚴(yán)1, 0, 1, 0,2數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù) A及數(shù)列的項。依次用數(shù)軸上的點表示，若數(shù)列Xn以A為極限，就表示當(dāng)n趨于無窮大時，點Xn可以無限靠近點A,即點X 與點A之間的距離|x n-A|趨于0。比如：無限的趨向0沁;廣無限的趨向1（二）數(shù)列極限的性質(zhì)與運算法則1.數(shù)列極限的性質(zhì)定理1.1 （惟一性）若數(shù)列Xn收斂，則其極限值必定惟一。定理1.2 （有界性）若數(shù)列Xn收斂，則它必定有界。注意：這個定理反過來不成立，也就是說，有界數(shù)列不一定收斂。比如:1 + （7 嚴(yán)1 , 0, 1, 0,有

10、界：0, 12 .數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則定理1.3 （兩面夾準(zhǔn)則）若數(shù)列X n,y n,z n滿足以下條件：（1）乙*4色=，/ x limy = lita2 = A2 2） "n2,則定理1.4若數(shù)列Xn單調(diào)有界，則它必有極限。3 .數(shù)列極限的四則運算定理。定理1.5如果lim%=乩則limy# =瓦則/八時制為"幅空慨燈肛E（1）&兀）=妞。跳排）=百2干 linix ar11m 三=一.lim乂 hCI ,110 y lim v B（3）當(dāng), 時， x匕（三）函數(shù)極限的概念1 .當(dāng)XX0時函數(shù)f（X）的極限（1）當(dāng)XX0時f（X）的極限定義對于函數(shù)y=f（X）,如

11、果當(dāng)X無限地趨于X0時，函數(shù)f（X）無限地趨于 個常數(shù)A,則稱當(dāng)x-不時，函數(shù)f (x)的極限是A,記作 甚或 f (x) - A (當(dāng) xxo時)例 y=f (x) =2x+1 x-1,f (x) f ?x<1x1x- r,C,9 C.93 0. 9&3.>Ly 2?982 9鴕3x>1x-1r-1.1 1.01 1,001-1了3.2 3口2 1口口 2，t3(2)左極限當(dāng)xxo時f (x)的左極限定義對于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x從xo的左邊無限地趨于xo時，函數(shù)f (x)無限地趨于一個常數(shù)A,則稱當(dāng)x-x0時，函數(shù)f (x)的左極限是A,記作lim /(x)

12、= A2幣或 f (xo-0) =A(3)右極限當(dāng)xxo時，f (x)的右極限定義對于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x從xo的右邊無限地趨于xo時，函數(shù)f (x)無限地趨于一個常數(shù)A,則稱當(dāng)x-xo時，函數(shù)f (x)的右極限是A,記作lun或 f (xo+o)=A例子：分段函數(shù)x+l x<0f(z)- 0 2口I-,求器/阿，坳小)解：當(dāng)x從o的左邊無限地趨于o時f (x)無限地趨于一個常數(shù)1。我們稱當(dāng)x.下載可編輯0時，f (x)的左極限是1,即有現(xiàn)雙=場8+1)=1當(dāng)x從0的右邊無限地趨于0時，f (x)無限地趨于一個常數(shù)-1。我們稱當(dāng)x -0時，f (x)的右極限是-1 ,即有與力器S

13、T"、維-/“受Mx.下載可編輯顯然，函數(shù)的左極限 黑加右極限3凈”"與函數(shù)的極限,瑞之間有以下關(guān) 系:定理1.6當(dāng)xx。時，函數(shù)f (x)的極限等于A的必要充分條件是反之，如果左、右極限都等于X -1A,則必有對于函數(shù)x-1 時 f(x) ?x# 1 x-1f(x) -2,當(dāng)x-1時，f (x)的左極限是2,右極限也是2。2 .當(dāng)x-00時，函數(shù)f (x)的極限(1)當(dāng)Xs時，函數(shù)f(X)的極限 y=f(x)x 0°f(x) f?y=f(x)=1 + xoof(x)=1+ - 1定義對于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x-s時，f (x)無限地趨于一個常數(shù) A,則稱當(dāng)

14、x-00時，函數(shù)f (x)的極限是A,記作'或 f(乂)7a (當(dāng) xs時)(2)當(dāng)x-+s時，函數(shù)f (x)的極限定義對于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x-+s時，f (x)無限地趨于一個常數(shù) A,則稱r、一 r *、rr / tv. , * llfil f =4當(dāng)x+°0時，函數(shù)f (x)的極限是A,記作*tr這個定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，數(shù)列極限的定義中n-+s白n是正整數(shù)；而在這個定義中，則要明確寫出 x-+s,且其中的x不一定是正整數(shù)，而為任意實數(shù)y=f(x)x 7+oof(x)x 一?f3 = 2 +7x7+oo, f(x)=2+ 52lim (2 + 色-工)

15、=2例：函數(shù) f (x) =2+e-x,當(dāng) xf+°0時，f (x) 7 ?解：f (x) =2+0x=2+",X7+oo.f (x) =2+ -2lim (2+ 一*)= 2 所以.7種(3)當(dāng)x-s時，函數(shù)f (x)的極限定義對于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x-s時，f (x)無限地趨于一個常數(shù) A,則稱-OO時，f (x)的極限是A,記作lim /(x) = JX7% 'xoof(x) ?則 f(x)=2+ A (x < 0) x7 oo,-x +OOf(x)=2+ 太-2班(2 +表) = 21例：函數(shù)- n ,當(dāng) xf-°0時，f (x) 7

16、 ?解：當(dāng) x - 00時，-x+OO/=：+之-2,即有現(xiàn)Q +白=2由上述x00, x+°0, x-00時，函數(shù)f (x)極限的定義，不難看出：x-00 時f (x)的極限是A充分必要條件是當(dāng)x+8以及x-oo時，函數(shù)f (x)有 相同的極限Ao/(k) = 1 + 例如函數(shù)" 當(dāng)x-s時，f (x)無限地趨于常數(shù)1,當(dāng)x-+s時，f (x)也無限地趨于同一個常數(shù)1,因此稱當(dāng)x-s時,aAJ.的極限是1,記作 lim (1+3=1 2g 耳其幾何意義如圖3所示。f(x)=1+ ;Lim (1 + 1)-1Lim (1 + 1)-1iw xlim (1)=1中Ky=arc

17、tanxlim arctanx = "-, lim arctanx=xT-«2 k->-hb2li里 arctanxI8不存在。但是對函數(shù)y=arctanx來講，因為有.下載可編輯lun ardan-JiTT12lim arctan x = 即雖然當(dāng)xf-0°Wf（X）的極限存在，當(dāng)Xf+°°時，f（X）的極限也存在,但這兩個極限不相同，我們只能說，當(dāng)xoo時，y=arctanx 的極限不存在。x)=1 + ；Hm fl+ 1)-1KT" 耳覬a+3-ilim (1 +，)三 120° Xy=arctanxlim ar

18、dar jc=-. litr a_ctanx= j(-4-«22不存在。. lim arctan但是對函數(shù)y=arctanx來講，因為有hn arVtanx=-沁 arctaix=2H愴£即雖然當(dāng)xf-°°Wf （x）的極限存在，當(dāng)X+00時，f （x）的極限也存在,但這兩個極限不相同，我們只能說，當(dāng)x00時，y=arctanx的極限不存在。（四）函數(shù)極限的定理定理1.7 （惟一性定理）如果 /國存在，則極限值必定惟一。定理1.8 （兩面夾定理）設(shè)函數(shù)|八町田/在點出I的某個鄰域內(nèi)（而 可除外） 滿足條件：（1）則包標(biāo)帖）,|期閑嗽.,lim= A則有。

19、注意：上述定理1.7及定理1.8對X Tg也成立。F面我們給出函數(shù)極限的四則運算定理liraHm /t Jim 目=I%1%(1)(2)(3)定理1.9如果黑加二六喂加卜月則Lm /(jt) - g(： - (lim /(J) -(lim 盾匕 AB時,時,上述運算法則可推廣到有限多個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論：,、匕叫土工土打訃同加I;同加±,土1叱工（1）一 1皿匕JX Hm/（3）用極限的運算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運算的函數(shù)的 極限存在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運算法則對于卜R的情形也都成立。（五）無窮小量和無窮

20、大量1 .無窮小量（簡稱無窮小）定義對于函數(shù)”拎）,如果自變量x在某個變化過程中，函數(shù)五）的極限為零, 則稱在該變化過程中，/（AJ為無窮小量，一般記作lim /伏）=0 常用希臘字母:,來表示無窮小量。定理1.10函數(shù)了“，以A為極限的必要充分條件是：可表示為A與一個無窮小量之和。limA o f（x）= A + a小無史，W注意：（1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢 無限趨于為零。（2）要把無窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開，一個很小的數(shù)，無論它多么小也不 是無窮小量。（3） 一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關(guān)的。在不同的變 化過程中，同一個變量可以有

21、不同的變化趨勢，因此結(jié)論也不盡相同。例如：一 ' ： 一.% *-5工一> SLTLT-H2x - 0口加工振蕩型發(fā)散k"匡144JB I 一I B i = r4、- I1+1、34、（4）越變越小的變量也不一7E是無分小量，例如當(dāng)x越變越大時，黑就越變越小，但它不是無窮小量。（5）無窮小量不是一個常數(shù)，但數(shù)“ 0”是無窮小量中惟一的一個數(shù)，這是因 hm 0 = 0為叱 。2.無窮大量（簡稱無窮大）定義；如果當(dāng)自變量 3電（或s）時，產(chǎn)的絕對值可以變得充分大（也即無 限地增大），則稱在該變化過程中，/為無窮大量。記作 2*。注意：無窮大（8）不是一個數(shù)值，“8”是一個記

22、號，絕不能寫成無二8或一對=°° 3.無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關(guān)系，見以下的定理。定理1.11在同一變化過程中，如果/比）為無窮大量，則轉(zhuǎn) 為無窮小量；反之, 如果/任）為無窮小量，且了"°,則而為無窮大量。工 * 1 口琦=- 當(dāng)廠無窮大S,八 班=一二（T”無力小當(dāng)工一如/為無窮小 卜一如 _L=_L=u /w白" 無窮大4 .無窮小量的基本性質(zhì)性質(zhì)1有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；性質(zhì)2有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮 小量的乘積是無窮小量。Um - sin = 0 m

23、界xsin < 1 x性質(zhì)3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì)4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。5 .無窮小量的比較定義設(shè)?是同一變化過程中的無窮小量，即a二0. 1如0二°(1)如果山7="則稱口是比方較高階的無窮小量，記作 吁。; 如果"嗚="。則稱s與川為同階的無窮小量；(3)如果11mA二則稱I。與/為等價無窮小量，記為同；lim 巴8(4)如果1m萬”則稱度是比/較低價的無窮小量。當(dāng)lim= hai(3-x) = 35J xwOlim->二 111110x4/) = 0工4口 xT耳4- 4Ji->0 X X

24、T。五十 /或R > 0)"人名/均為無窮小量,又有，m等價無窮小量代換定理: 如果當(dāng)時'：'' ： 1,hm = lim 存在，則間 5) 小比乙戶均為無窮小又有"y小這個性質(zhì)常常使用在極限運算中，它能起到簡化運算的作用。但是必須注意: 等價無窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用 常用的等價無窮小量代換有:當(dāng)時,sinx x;tan x;arctanx x;arcsinx x;(六)兩個重要極限I .重要極限I重要極限I是指下面的求極限公式一下載可編輯. sin r . tar x . arc sin j .II ?n= 1 li m= 1

25、Um = 1.tan a. sin z 1hm= lim國今口 彳xtU xccssin x 1=1】m limXTO 工 "。8£工=1 arc sin x ,11 m= 1xfQ x令"。51口工=上5皿=1x -04 -0Htn lix lim= 1x->。 X 1口 疝 t I。工 sin；0這個公式很重要，應(yīng)用它可以計算三角函數(shù)的 0型的極限問題。Um £W=i其結(jié)構(gòu)式為：或M何而£LG(4=1).hm f-1 一 L7J- J:皿吧= 5堡史史宜Hil X- rl 5 + 1)卜- .jT】-liai1t rt2.重要極限n重

26、要極限n是指下面的公式：lim（1 + ）K -en->® nhm（l +=1limi.1 +t> = 9T。,叫自然對數(shù)的底，它的值為其中e是個常數(shù)（銀行家常數(shù)）e=2.718281828495045其結(jié)構(gòu)式為：L：im （+飆工）軟"9e守TU0重要極限I是屬于8型的未定型式，重要極限II是屬于“產(chǎn)”型的未定式時, 這兩個重要極限在極限計算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。（七）求極限的方法：1 .利用極限的四則運算法則求極限；2 .利用兩個重要極限求極限；一下載可編輯 .3 .利用無窮小量的性質(zhì)求極限；4 .利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5 .利用洛必

27、達(dá)法則求未定式的極限;6 .利用等價無窮小代換定理求極限?；緲O限公式lHin?=a昆li m = 0(3)='人8(博 > 21- - lim (Iy)1 A -1|J T7CQ XLm t= Lm X=-1Tg婷 4 K 118升1 lim (3x Jtr 的 X例5.用重要極限I求極限 :(4.、.一.例1.無窮小量的有關(guān)概念(1) 9601下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是12疝n -(X - 0) T, ,門、A. J 'b."(3O)一下載可編輯# . 3 w _蟲CUCDD.f答CA.5in-x 工發(fā)散i_ i 一一團/工>0XI ttO

28、+lT+cqx r+ujx11 f里D.l-g在廠(2) 0202當(dāng)、t。時，以1+ #與x比較是A.高階的無窮小量B.等價的無窮小量C.非等價的同階無窮小量D.低階的無窮小量答B(yǎng)解：當(dāng)X T 0 ,皿1 + 6與X是KT °Jn(1+幻”工. . 1_ 1Ine = 1Um -= Itm lim Infl+H 產(chǎn)=ln Li tnrO h 一D 上2U'-極限的運算：Luu -0611 rw 工十:解:dtn(s+l) 0+1 r-*0答案-10例2.0型因式分解約分求極限r(nóng)-i-3 5工上十齊一6 ,(了43)(工一2)Jim v= lim - = lim解:tN / 一

29、 4r-*2(T+ 2X- 2) xtNx + Z 4(2) 0621計算limxt 2-4 答4解:(1) 0316計算解：A? X-Lur一口(S -、空-J”(i-2)(石+心.J 3. (ji 2)(J( . j 5I HD-= JUm=一rJ如 4 0 4例3型有理化約分求極限j- 2,:=hm w二 卜塔一=-:9(區(qū)-觀或+2(正-的)_ 19516解:1,2(k4)(J.一2ktd (x+ 馬lim .(必41 4目_4/_26一行一亍時求oaca型的極限答詢limsin x11 mI 口 x=1 Um空"三1K»to 雙琦(1) 0308 一般地，有0(打

30、v薩1.(1) 9603下列極限中，成立的是sm x 1li mt IA. 一 ,，- S1EL X "lim -= 1C.i / sin x qlim= 1答B(yǎng)(2) 0006SLtl(T- 1)Lm 即 T)Il + 5工-6. sifitx-1), sin(7-1)=Ji in ,： - lim+ 5x5 /t1a 6)(方=。 cL 胃"6mtI x-11工+ 6d. tan # thm= 1B.下載可編輯7例6.用重要極限II求極限1.-Li1nl。-產(chǎn)二七Lm(1+磯工'E門三臺儀”4安 磯到PUH(1) 0416計算2 limQ + T* 工xx2解析

31、解一：令二工 TOO/ t。111111(1=/fT 口解二:原式=lim (I + 三)5a=lim(l+-)2j-wt>lim田產(chǎn)=/ 居今g x0306】im (1-0601(2) 0118計算JCTCO x解:原式=lim。一產(chǎn)=LIfo X例7.用函數(shù)的連續(xù)性求極限答00407解:/二明+/),冽力二(-3,lim ln(lH工2) = In(1 + 0) = 0KfCl例8.用等價無窮小代換定理求極限.1 - C弁工0317答0解：當(dāng)X ->0,1-COS M 2原式-Um - J lim - - - C4+ sinjt 2 j->D i an A上例9.求分段函

32、數(shù)在分段點處的極限(1) 0307設(shè) 上。+立胃口則小)在釬。鬲左極限嚼M)=- 答1*0 0= lim /0)= lim 3 + 1) = 1解析-丁 Zy(0+0) = lien _/(/)二 切口 111(1+4二口 T。*IT。*:口"+l蘇V。 .I(2) 0406設(shè)一上"?？冢瑒t圈," 答1/ (0 - 0) = lun /(z) = lim (xz +1) = 1解析1。-_f(0 + 0) - lim j(j) = hm co"=ljitO*v/(D-0) = /(0+0) = llim，=1Xf 口例10.求極限的反問題1 4.+ 匕

33、¥& _ 匚j _(1)已知方一則常數(shù)第二解析解法一：帆百”如即1+上+6 = 0 ,得兀=-了解法二：令戶+匕+6=27。+2=/+/-6-制，ffn = k得=6 ,解得止=-7.解法三：(洛必達(dá)法則)/十丘4b , 2工+上快=一譬二5,即一(2 +后=5,得I .*.+ du?-i-Ah m= 3r若3$皿/-D求a,b的值.o解析6型未定式.一下載可編輯.于是前面我們講的內(nèi)容:廿 (X 1+311 LU- 11CQ -工T1 即- I+1+ 極限的概念；極限的性質(zhì)；極限的運算法則；兩個重要極限；無窮小量、無窮大量的概念；無窮小量的性質(zhì)以及無窮小量階的比較。第二節(jié)函數(shù)

34、的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1 .理解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)(含分段函數(shù))在一點處連續(xù)性的方法。2 .會求函數(shù)的間斷點。3 .掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會用它們證明一些簡單命題。4 .理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用函數(shù)連續(xù)性求極限。主要知識內(nèi)容(一)函數(shù)連續(xù)的概念1 .函數(shù)在點X0處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)y=f (x)在點xo的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量 x (初值為xo)趨近于0時，相應(yīng)的函數(shù)的改變量 y也趨近于0,即lim 矽 Q或*則稱函數(shù)y=f (x)在點xo處連續(xù)。函數(shù)y=f (x)在點xo連續(xù)也可作如下定義：

35、定義2設(shè)函數(shù)y=f (x)在點xo的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)xx0時，函數(shù)y=f(x)的極限值存在，且等于xo處的函數(shù)值f (xo),即limi上D定義3設(shè)函數(shù)y=f (x),如果曾")"八/L則稱函數(shù)f (x)在點冷處左連續(xù)； 如果則稱函數(shù)f (x)在點X0處右連續(xù)。由上述定義2可知如果 函數(shù)y=f (x)在點xo處連續(xù)，則f (x)在點xo處左連續(xù)也右連續(xù)。2 .函數(shù)在區(qū)間a , b上連續(xù)定義如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a, b上的每一點X處都連續(xù)，則稱f (x)在閉 區(qū)間a, b上連續(xù)，并稱f (x)為a, b上的連續(xù)函數(shù)。這里，f (x)在左端點a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：

36、吃代,在右端點b連續(xù)， 是指滿足關(guān)系：既=9),即f(幻在左端點a處是右連續(xù)，在右端點b處 是左連續(xù)?？梢宰C明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3 .函數(shù)的間斷點定義如果函數(shù)f (x)在點xo處不連續(xù)則稱點xo為f (x) 一個間斷點。由函數(shù)在某點連續(xù)的定義可知，若 f (x)在點xo處有下列三種情況之一：(1)在點xo處，f (x)沒有定義；(2)在點xo處，f (x)的極限不存在；(3)雖然在點xo處f (x)有定義，且既”工)存在，但用丁/丁0)則點xo是f (x) 一個間斷點。父 - L-,則 f (x)在A.x=o,x=1處都間斷B.x=o,x=1處都連續(xù)C.x=o處間斷，x=1處連

37、續(xù)D.x=o處連續(xù)，x=1處間斷解：x=o處,f(o)=o邦1)=1岫* -1) = -1 f(fl + 0) =f(o-o)? f(o+o) x=o為f (x)的間斷點 x=1 處，f (1) =1/(J -0)- lim / (x) - lim x -1 HZ/Q + ) = lim /(x) = lim(2 -z) = 1f (1-0) =f (1+0) =f (1)f (x)在x=1處連續(xù)答案C正+Z 2了*1,q9703設(shè)幾斤。，在x=0處連續(xù)，則k等于iLA.0 B. C.二 D.2分析：f (0) =klim /X#)-2 t xkCJx+4+2)Tim一一 =-工(后I+ZJ

38、4心= hm/1 EQ三答案B例30209設(shè) 心十天 加 在x=0處連續(xù)，則a=解：f (0) =e0=1/(O- 0)= lim，= 1I/(+0)= lim y(x) = 1rlm g + #) = .f (0) =f (0-0) =f (0+0).a=1 答案1(二)函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下 列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。定理1.12 (四則運算)設(shè)函數(shù)f (x), g (x)在X0處均連續(xù)，則(1) f (x) 土 g (x)在 X0處連續(xù)(2) f (x) g (x)在 x。處連續(xù)(3)若g (x0) #0,則喏在x0處連續(xù)。一下

39、載可編輯定理1.13 (復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)u=g (x)在x=xo處連續(xù)，y=f (u)在uo=g (xo)處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=fg (x)在乂=乂。處連續(xù)。在求復(fù)合函數(shù)的極限時，如果 u=g (x),在xo處極限存在，又y=f (u)在對應(yīng) 的二出力冢工)處連續(xù)，則極限符號可以與函數(shù)符號交換。即.T %/Ihm式力卜2乎= /Litn 歐工)=汽網(wǎng)). T為上今心定理1.14 (反函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)y=f (x)在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)減少)，則它的反函數(shù)x=f-1 (y)也在對應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格 單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)減少)。(三)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)的函數(shù)f (x),有以下幾個基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要 用到。