一元二次方程求根公式及講解

1、主講：黃岡中學(xué)高級(jí)教師一、一周知識(shí)概述1、一元二次方程的求根公式將一元二 次方程ax2 + bx + c=0(a w 0)進(jìn)行 配方，當(dāng)b2 4ac0時(shí) 的根 為-b也- 4四工=2a .該式稱為一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法稱為求根公 式法，簡(jiǎn)稱公式法.說明：(1) 一元二次方程的公式的推導(dǎo)過程，就是用配方法解一般形式的一元二次 方程 ax2 + bx + c=0(a w 0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系數(shù)a、b、c的值決定的；(3)應(yīng)用求根公式可解任何一個(gè)有解的一元二次方程，但應(yīng)用時(shí)必須先將其化為一 般形式.2、一元二次方程的根的判別式工 _ -Z

2、? 擊2 - 4的(1)當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 1,2 乂 ;b國(guó)二工2三(2)當(dāng)b24ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根加；(3)當(dāng)b24acv0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.二、重難點(diǎn)知識(shí)總結(jié)1,對(duì)于一元二次方程的各種解法是重點(diǎn)，難點(diǎn)是對(duì)各種方法的選擇，突破這一難點(diǎn)的 關(guān)鍵是在對(duì)四種方法都會(huì)使用的基礎(chǔ)上，熟悉各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。(1) “開平方法” 一般解形如“虱4噬”類型的題目，如果用“公式 法”就顯得多余的了。(2) “因式分解法”是一種常用的方法，一般是首先考慮的方法。(3) “配方法”是一種非常重要的方法，一般不使用，但若能恰當(dāng)?shù)厥褂?，往往?起到簡(jiǎn)化作用，思考于“因式分解

3、法”之后，“公式法”之前。如方程r 一國(guó) ；用因式分解，則6391這個(gè)數(shù)太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，則方程化為 (工-3/=的口。，就易解，若一次項(xiàng)系數(shù)中有偶因數(shù)，一般也應(yīng)考慮運(yùn)用。 “公式法”是一般方法，只要明確了二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，若方虱塊- 4a-程有實(shí)根，就一定可以用求根公式求出根，但因?yàn)橐胴?叢-4比0)求值，所以對(duì)某些特殊方程，解法又顯得復(fù)雜了。2、在運(yùn)用b2 4ac的符號(hào)判斷方程的根的情況時(shí)，應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1) b24ac是一元二次方程的判別式，即只有確認(rèn)方程為一元二次方程時(shí)，才能 確定 a、b、c,求出 b24ac；(2)在運(yùn)用上述結(jié)論時(shí)，必須

4、先將方程化為一般形式，以便確認(rèn)a、b、c；(3)根的判別式是指b2- 4ac,而不是 招一Aac.三、典型例題講解例1、解下列方程：- - 4t十1Q = 口；於仍；一一 ，.分析：用求根公式法解一元二次方程的關(guān)鍵是找出a、b、c的值，再代入公式計(jì)算,解：因?yàn)閍=1, 出，c=i0及-4iic = 1- 4 k lx 10-40 40 80幣讓道J近主2也二工舟志所以一二(2)原方程可化為產(chǎn)”S-D因?yàn)閍=1, 8二一上遮，c=2序-A 畫=(-22-4xLx2 = 0所以(3)原方程可化為/-2點(diǎn)汽-1 = 0因?yàn)?a=1, b = jkh , c= 1所以1-A/： - 1 - 1. 1所

5、以總結(jié):(1)用求根公式法解一元二次方程首先將方程化為一般形式；如果二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù) 數(shù)，通常將其化為正數(shù)；如果方程的系數(shù)含有分母，通常先將其化為整數(shù)，求出的根要 化為最簡(jiǎn)形式；(2)用求根公式法解方程按步驟進(jìn)行.例2、用適當(dāng)方法解下列方程:分工-2x= 224 5?-2a-1 = 07)(41)5-。=0針17分析:要合理地選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋捅仨毷煜じ鞣N方法的優(yōu)缺點(diǎn)，處理好 特殊方法和一般方法的關(guān)系。就直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法這四種方法而言，配方法、公式法是一般方法，而開平方法、因式分解法是特殊方法。 公式法是最一般的方法，只要明確了二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)

6、，若方 程有實(shí)根，就一定可以用求根公式求出根，但因?yàn)橐胍辉畏匠痰那蟾?-Z .-（1+以=2解：2（工+靖=4兩邊開平方，得所以/二T 勒二-5 xa-27 = 224配方，得12工+1 = 224+1 4b - 4ae助 求值，所以對(duì)某些方程，解法又顯得復(fù)雜了。如，可以直接開平方，就能馬上得出解；若此時(shí)還用求根公式就顯得繁瑣了。配方法是一種非常重要的方法，在解一元二次方程時(shí)，一般不使用，但并不是 一定不用，若能合理地使用，也能起到簡(jiǎn)便的作用。若方程中的一次項(xiàng)系數(shù)有因數(shù)是偶 數(shù)，則可使用，計(jì)算量也不大。如，因?yàn)?24比較大，分解時(shí)較繁，此題中一次項(xiàng)系數(shù)是-2 。 可以利用用配方法來

7、解，經(jīng)過配方之后得到 -1= 22441 = 6-1尸=始，顯得很簡(jiǎn)單。直接開平方法一般解符合二0）型的方程，如第小題。因式分解法是一種常用的方法，它的特點(diǎn)是解法簡(jiǎn)單，故它是解題中首先考慮 的方法，若一元二次方程的一般式的左邊不能分解為整數(shù)系數(shù)因式或系數(shù)較大難以分解 時(shí)，應(yīng)考慮變換方法。所以I二一所以-配方，得. J 所以，-1 -所以.因?yàn)橛輇 = -2 匚=T 所以-4(-2/-41)式5 =4 + 20=242276 176x -=所以 -i+Js 1-76xl = ；-/= 7-所以 -尸+怨+病工+增=。xa+2(l+3 = -2配方：2+ 2(1 +五”+(1 +有了 m -2#4

8、(1+后口斗(1 + J5)f = 4所以X + 0 +力)=2所以占1一有 與=-3一世 T)整理，得一至二0小3)= 0所以占=0，k=3(4工+1)5-1) = (31)(1)移項(xiàng),提公因式，得(-l)(+l)-(3x-l) = 0O-g+2)= o所以工1 = L/二-2小結(jié)：以上各題請(qǐng)同學(xué)們用其他方法做一做，再比較各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，體會(huì)如何選用合適的方法，下面給出常規(guī)思考方法，僅作參考。符合武力斗削7=可&# Q)；直接開平方法，如一I一個(gè)一元二次方程- 各項(xiàng)有公因式,或可直接因式分解因式分解法，如-化為一般形式后：(首先要考慮因式分解法，如,若常數(shù)項(xiàng)分解較煩，旦一次血系數(shù)有因故 是

9、偶數(shù)，可考慮使用配方法.如I、最后使用公式法，如例3、已知關(guān)于x的方程ax23x+1=0有實(shí)根，求a的取值范圍.1X ,解：當(dāng)a=0時(shí)，原方程有實(shí)根為39(引4j)。即0,得 k4.(2)滿足k4的最大整數(shù)，即k=3.此時(shí)方程為x2 4x + 3=0,解得x1=1, x2=3.當(dāng)相同的根為x=1時(shí)，則1 + m- 1=0,得m=QE：m 當(dāng)相同的根為x=3時(shí)，則9+3mn 1=0,得 3 所以m的值為0或二；例5、設(shè)m為自然數(shù)，且3Vm40方程工一12用-3)x + 4齦- 14陽(yáng)+ = 0有兩個(gè)整數(shù) 根求m的值及方程的根。解：爐-20制-加+ 4加一 14掰+8 = 0,A =4(_2m-3)2 - (W -Uw + 8) = 4(241)方程有整數(shù)根， 4 (2m 1)是完全平方數(shù)。V3m40：72m 181：2m 1值可以為9, 25, 49的值可以為4, 12, 24。當(dāng)m