一元二次方程求根公式及講解

1、主講：黃岡中學高級教師一、一周知識概述1、一元二次方程的求根公式將一元二 次方程ax2 + bx + c=0(a w 0)進行 配方，當b2 4ac0時 的根 為-b也- 4四工=2a .該式稱為一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法稱為求根公 式法，簡稱公式法.說明：(1) 一元二次方程的公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次 方程 ax2 + bx + c=0(a w 0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系數(shù)a、b、c的值決定的；(3)應用求根公式可解任何一個有解的一元二次方程，但應用時必須先將其化為一 般形式.2、一元二次方程的根的判別式工 _ -Z

2、? 擊2 - 4的(1)當b24ac0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根 1,2 乂 ;b國二工2三(2)當b24ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根加；(3)當b24acv0時，方程沒有實數(shù)根.二、重難點知識總結1,對于一元二次方程的各種解法是重點，難點是對各種方法的選擇，突破這一難點的 關鍵是在對四種方法都會使用的基礎上，熟悉各種方法的優(yōu)缺點。(1) “開平方法” 一般解形如“虱4噬”類型的題目，如果用“公式 法”就顯得多余的了。(2) “因式分解法”是一種常用的方法，一般是首先考慮的方法。(3) “配方法”是一種非常重要的方法，一般不使用，但若能恰當?shù)厥褂?，往往?起到簡化作用，思考于“因式分解

3、法”之后，“公式法”之前。如方程r 一國 ；用因式分解，則6391這個數(shù)太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，則方程化為 (工-3/=的口。，就易解，若一次項系數(shù)中有偶因數(shù)，一般也應考慮運用。 “公式法”是一般方法，只要明確了二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項，若方虱塊- 4a-程有實根，就一定可以用求根公式求出根，但因為要代入兀(叢-4比0)求值，所以對某些特殊方程，解法又顯得復雜了。2、在運用b2 4ac的符號判斷方程的根的情況時，應注意以下三點：(1) b24ac是一元二次方程的判別式，即只有確認方程為一元二次方程時，才能 確定 a、b、c,求出 b24ac；(2)在運用上述結論時，必須

4、先將方程化為一般形式，以便確認a、b、c；(3)根的判別式是指b2- 4ac,而不是 招一Aac.三、典型例題講解例1、解下列方程：- - 4t十1Q = 口；於仍；一一 ，.分析：用求根公式法解一元二次方程的關鍵是找出a、b、c的值，再代入公式計算,解：因為a=1, 出，c=i0及-4iic = 1- 4 k lx 10-40 40 80幣讓道J近主2也二工舟志所以一二(2)原方程可化為產(chǎn)”S-D因為a=1, 8二一上遮，c=2序-A 畫=(-22-4xLx2 = 0所以(3)原方程可化為/-2點汽-1 = 0因為 a=1, b = jkh , c= 1所以1-A/： - 1 - 1. 1所

5、以總結:(1)用求根公式法解一元二次方程首先將方程化為一般形式；如果二次項系數(shù)為負 數(shù)，通常將其化為正數(shù)；如果方程的系數(shù)含有分母，通常先將其化為整數(shù)，求出的根要 化為最簡形式；(2)用求根公式法解方程按步驟進行.例2、用適當方法解下列方程:分工-2x= 224 5?-2a-1 = 07)(41)5-。=0針17分析:要合理地選用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠?，就必須熟悉各種方法的優(yōu)缺點，處理好 特殊方法和一般方法的關系。就直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法這四種方法而言，配方法、公式法是一般方法，而開平方法、因式分解法是特殊方法。 公式法是最一般的方法，只要明確了二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項

6、，若方 程有實根，就一定可以用求根公式求出根，但因為要代入一元二次方程的求根公式 -Z .-（1+以=2解：2（工+靖=4兩邊開平方，得所以/二T 勒二-5 xa-27 = 224配方，得12工+1 = 224+1 4b - 4ae助 求值，所以對某些方程，解法又顯得復雜了。如，可以直接開平方，就能馬上得出解；若此時還用求根公式就顯得繁瑣了。配方法是一種非常重要的方法，在解一元二次方程時，一般不使用，但并不是 一定不用，若能合理地使用，也能起到簡便的作用。若方程中的一次項系數(shù)有因數(shù)是偶 數(shù)，則可使用，計算量也不大。如，因為224比較大，分解時較繁，此題中一次項系數(shù)是-2 。 可以利用用配方法來

7、解，經(jīng)過配方之后得到 -1= 22441 = 6-1尸=始，顯得很簡單。直接開平方法一般解符合二0）型的方程，如第小題。因式分解法是一種常用的方法，它的特點是解法簡單，故它是解題中首先考慮 的方法，若一元二次方程的一般式的左邊不能分解為整數(shù)系數(shù)因式或系數(shù)較大難以分解 時，應考慮變換方法。所以I二一所以-配方，得. J 所以，-1 -所以.因為虞b = -2 匚=T 所以-4(-2/-41)式5 =4 + 20=242276 176x -=所以 -i+Js 1-76xl = ；-/= 7-所以 -尸+怨+病工+增=。xa+2(l+3 = -2配方：2+ 2(1 +五”+(1 +有了 m -2#4

8、(1+后口斗(1 + J5)f = 4所以X + 0 +力)=2所以占1一有 與=-3一世 T)整理，得一至二0小3)= 0所以占=0，k=3(4工+1)5-1) = (31)(1)移項,提公因式，得(-l)(+l)-(3x-l) = 0O-g+2)= o所以工1 = L/二-2小結：以上各題請同學們用其他方法做一做，再比較各種方法的優(yōu)缺點，體會如何選用合適的方法，下面給出常規(guī)思考方法，僅作參考。符合武力斗削7=可&# Q)；直接開平方法，如一I一個一元二次方程- 各項有公因式,或可直接因式分解因式分解法，如-化為一般形式后：(首先要考慮因式分解法，如,若常數(shù)項分解較煩，旦一次血系數(shù)有因故 是

9、偶數(shù)，可考慮使用配方法.如I、最后使用公式法，如例3、已知關于x的方程ax23x+1=0有實根，求a的取值范圍.1X ,解：當a=0時，原方程有實根為39(引4j)。即0,得 k4.(2)滿足k4的最大整數(shù)，即k=3.此時方程為x2 4x + 3=0,解得x1=1, x2=3.當相同的根為x=1時，則1 + m- 1=0,得m=QE：m 當相同的根為x=3時，則9+3mn 1=0,得 3 所以m的值為0或二；例5、設m為自然數(shù)，且3Vm40方程工一12用-3)x + 4齦- 14陽+ = 0有兩個整數(shù) 根求m的值及方程的根。解：爐-20制-加+ 4加一 14掰+8 = 0,A =4(_2m-3)2 - (W -Uw + 8) = 4(241)方程有整數(shù)根， 4 (2m 1)是完全平方數(shù)。V3m40：72m 181：2m 1值可以為9, 25, 49的值可以為4, 12, 24。當m