全國高中數(shù)學青年教師展評課向量加法運算及其幾何意義教學設計及點評天津楊村一中王蕊

1、2014年全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓I活勘面向量的線性運算向量加法運算及其幾何意義（第1課時）（人教A版高中課標教材數(shù)學必修4）教學設計授課教師：王 蕊天津市武清區(qū)楊村第一中學指導教師：中鐵天津市中小學教育教學研究室梁 棟天津市武清區(qū)楊村第一中學張永成天津市武清區(qū)教研室2014年12月一、教學內容分析本節(jié)課是普通高中新課程標準實驗教科書數(shù)學（必修4）中第二章平面向量第二節(jié)“平面向量的線性運算”的第一課時.向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念，它是溝通代數(shù)、幾何、三角的一種工具，其工具作用主 要體現(xiàn)在向量的運算方面，向量的加法運算是向量運算的基礎.平面向量的加法運算是通過類比數(shù)的加 法

2、，以位移的合成、力的合力等兩個物理模型為背景引入的.向量的加法不同于數(shù)的加法，運算中包含 大小與方向兩個方面，向量加法的法則是通過畫圖得到的，從這個角度來看，研究向量加法是學生學習 過程中的一種突破.是學習向量的減法、數(shù)乘以及平面向量的坐標運算等內容的知識基礎，為進一步理 解其他的數(shù)學運算（如函數(shù)、映射、變換、矩陣的運算等等）創(chuàng)造了條件，向量的加法在這里起著承上 啟下的作用.通過不斷與數(shù)進行類比，學習向量加法及其幾何性質，充分體現(xiàn)了類比思想在研究問題過 程中的重要作用.因此，本節(jié)課的教學重點：向量加法的定義與向量加法的三角形法則與平行四邊形法則及其幾何意 義，以及利用法則作兩個向量的和向量，體

3、會類比思想在研究問題中的重要作用.二、教學目標設置1 使學生經歷從物理模型抽象為數(shù)學問題的過程，掌握向量的加法定義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個向量的和向量；掌握向量加法的運算律，并會用它們進行向量計算；通過類比猜想、作圖驗證掌握向量加法的相關性質；通過數(shù)學建模解決實際問題.2在學習過程中，使學生掌握通過類比思想提出猜想，并給予證明的解決問題的方法，體會數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想方法，進一步培養(yǎng)學生歸納、類比、遷移能力，增強學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識培養(yǎng)學3 在數(shù)學建模過程中，經歷運用數(shù)學來描述和刻畫現(xiàn)實世界的過程，激發(fā)學生的學習熱情生勇于探索、敢于創(chuàng)新的個性品質三、學

4、生學情分析（一）學生程度我所授課的對象是天津市楊村一中的學生學生的水平相對較高，基礎知識掌握得較好，學生的理解能力比較強雖然初中已經經歷了有理數(shù)加法的學習，但是對向量的學習還處于初期階段，一些數(shù)學方法和數(shù)學思想的掌握還有待進一步加強。（二）知識層面1 學生初中已經學習過有理數(shù)加法、減法等運算并掌握了它們的運算率；2掌握了向量、零向量及其共線向量的定義.（三）能力層面2 具有物理學習中的力的合成基礎；2具有一定的數(shù)形結合和類比思想的基礎根據(jù)以上三個方面的分析，在學生已有的認知基礎的條件下，學生可以自主完成求不共線的兩個非零向量的和的作圖，部分同學能夠注意到零向量與數(shù)零的區(qū)別以及共線的兩個向量的和

5、的求法。但有些學生對平移向量依然在原圖上處理，極易造成圖形混亂。在具體操作過程中，需要老師的引導和幫助。教學難點：?理解向量的加法法則及其幾何意義，向量加法運算律的作圖證明；數(shù)的加法對向量加法的負遷移，造成向量加法的意義的理解困難。四、教學策略分析3 高中數(shù)學課程標準倡導自主探索、動手實踐、合作交流等學習方式根據(jù)本節(jié)課的教學內容和學生自主學習能力相對比較強的特點，以問題串驅動整個課堂的進行，采用啟發(fā)、引導、探究相結 合的教學方法4 .為了更直觀、形象地突出重點，突破難點，借助多媒體或實物投影儀等信息技術手段，通過圖形的動態(tài)演示，變抽象為直觀，為學生的數(shù)學探究與數(shù)學思維提供支持3數(shù)學是一門培養(yǎng)重

6、要思維的學科因此本堂課我采取了“開放型探究式”教學模式，體現(xiàn)以學生發(fā)展為本的精神從問題提出到問題解決都竭力把探究問題的主動權交給學生，讓學生操作實驗、直觀感知、自主探索、合作交流，使學生全面參與、全員參與、全程參與，真正確立其主體地位而教師作為數(shù)學學習的組織者、引導者、合作者，及時給予點撥和糾正五、教學過程（一 ）創(chuàng)設情景類比導入，引入新知同學們七年級學習有理數(shù)加法時探討過一個問題，小明從原點出發(fā)向東走了 2 米，再向東走了3 米，兩次行走后，相對于原點他的最后位置在什么地方？假如小明從原點出發(fā)向東走了2 米，再沿著東北方向走了3 米，這時他兩次行走的路程是多少？師生活動 ：教師提問，學生思考

7、回答。從數(shù)的加法引入向量的加法。設計意圖以一個貼近學生生活的實例，引出課題 “向量的加法運算及其幾何意義”激發(fā)學生學習興趣。從位移入手，幫助學生清楚認識向量的加法與數(shù)的加法在本質上的區(qū)別。（二）合作探究自主探究，講授新知問題 1 ：向量的加法如何定義師生活動： 教師展示課件，引導學生將引例中小明的路徑抽象成向量，回顧位移合成知識.學生總結向量加法的定義.設計意圖：結合實例，回憶物理中關于位移合成的知識，使學生對向量加法運算的學習建立在學生已有的認知基礎之上，并建立兩點共識：向量可以相加；向量的和仍是一個向量.使學生更好的把握向量加法定義及向量加法的特點.同時通過對位移合成的觀察，使學生對向量加

8、法運算的“三角形法則”產生充分感知，為三角形法 則知識的建構，奠定了良好的基礎，進而提出向量加法及向量加法三角形法則的定義.如圖，已知向量a , b在平面內任取一點 A ,作AB = a , BC” = b ,則向量AC叫做a與b的和，記作3 + 6,即a + b AB BC AC .這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法問題2 :兩個向量吵向董加吵而確定? AB師生活動：教師提問，學生歸納總結三角形法則的重點：“首尾相接，起點指向終點”設計意圖：使學生親身參與探究過程，通過圖形觀察概括總結定義，能夠激發(fā)學生的求知欲，有利于學生對知識的建構

9、。通過問題討論使學生深入思考，并且會用類比的思想來提出定義問題3:對任意的兩個向量a , b, |a+b|與|a|, | b |之間具有怎樣的大小關系？師生活動：教師提問，學生作圖思考，最后師生在合作探究中共同得出結論：T-fi11（1）當 a與b 同向時，則 a+b、a、b同向，且 |a+b|=|a|+|b|；b-k-fc-feb-fc-ffc-rr f-k-fc-k-b-（2）當a與b反向時，若|a|b |,則a+b的方向與a相同，且|a + b|=|a|-|b|；若|a|b|,則a+b * * T 的方向與b相同，且| a b|=| b |-|a|（3）當向量 a與 b不共線時，|a|

10、|b|a + b|a|+| b |所以，綜合以上結論有：|a| |b| |a+b| |a|+|b |設計意圖：通過對有關向量加法中模的大小關系的探究,使學生認識到數(shù)的加法與向量加法的聯(lián)系與區(qū)別,強化數(shù)形結合思想，自主探究中完成知識的建構合作探究，鞏固新知探究一：零向量例1：已知向量a、b,求代蚊量OOB+b炭C師生活動：、教師展示問題;、,學生“同桌”間合作探究，教師深入學生中與他們交流，了解學生思考問題的進展過 程，投影學生的解試過蛋糾正出現(xiàn)的錯誤,“規(guī)范手寫的格式.施過強調三角形法則“首尾相連”這一 特點，進行適當點撥，幫助他們突破思維的障礙.在第（2）題中，啟發(fā)學生探討兩個相反方向的向量

11、當-1f長度相同時求和，得出 0,引導學生區(qū)別數(shù) 0與0,引申出規(guī)定：a 0 0 a a。設計意圖：熟悉運用三角形法則求兩個向量的和向量的幾何作圖技能.鞏固三角形法則求和步驟 .探究二：平行四邊形法則求向量的加法思考：力的合成與向量的加法有著怎樣的關系？師生活動：學生閱讀教科書探究，類比三角形法則得出平行四邊形法則。力的合成也可以看做是向量加法的一個物理模型。向量的物理模型是位移，向量加法的定義是由三角形法則、平行四邊形法則這樣的作圖語言描述出來的，同時，這也恰恰體現(xiàn)了向量加法的幾何意義。C探究三：向量加法的運算律,使學生的知識融會貫通，更好的理解掌握教1、向量加法的交換律a+b=b+a思考：

12、三角形法則與平行四邊形法，它們求向量和的結果是否一樣?師生活動：學生在教師的引導下觀察圖形，通過動手畫圖，探究交換律的證明的過程 設計意圖：用畫圖檢驗向量的交換律。從實數(shù)運算律類比向量的結合律，學生自主 探索.2、向量加法的結合律D生思考問題的進展(a + b) + c=a+( b+c)思考：類比有理數(shù)加法的結合律，猜想證明向量加法的結合律師生活動：教師提問，前后 4人一組，分組交流，了解學 過程，鼓勵學生在學習了兩種求和方法的認知基礎上、通過作圖展示突破思維的障礙，學習小組展示成果，學生在合作探究中得出結論：(& + 6) +c=a+ (b+c)0教師讓學生明確探究途徑是使用加法法則作圖研究

13、，并且作圖需要設計，選擇理想的方法，清晰表述證明過程，學生通過合作交流、自主探究，通過畫圖動手驗證，完成對相關運算律的證明.設計意圖：通過與數(shù)的運算律進行類比，自然提出“向量加法是否也有運算律”的問題，通過設計“探究”活動,作圖驗證，在合作交流中完成知識的建構 向量建模學以致用例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸.如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以2%/3km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向 東 2km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速以及船的實際航行的速度；(2)求船實際航行速度的大小與方向.(用與江水速度間的夾角表示)uuuuur解：(1)如圖

14、所示.AD表示船速，AB表示水速，以AD、AB為鄰邊作平行四邊形 示船實際航行的速度.(2)在 Rt ABC 中，|AB| 2,|BC| 2J3,所以答：船實際航行速度的大小約為4km/h,方向與水的流速間的夾角為600.師生活動：教師提問，學生討論回答.設計意圖:培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力，以及數(shù)學的應用意識.(三)、總結提煉(1)本節(jié)課你都有哪些收獲?(2)給你印象最深的是什么？(3)課后，你還想進行什么探究 師生活動：教師引導，學生回答 設計意圖:uuuABCD ,則 AC 表提高學生探究意識對所學內容進行小結， 為實際應用打下基礎. 通過開放型問題，拓展學生的視野, (四)、反饋訓練1 .根

15、據(jù)圖示填空rr(1) ab;ru(2) cdrrir(3) abd ;rur(4) cde 一 ；2 .化簡:uur uur uuur(1) AB BC CD uuLur uuuiruuujur(2) AA A2AAniAn (五)、作業(yè)布置：(1)作業(yè)：P91 習題 2. 2 的 1 . 2. 3.(2)拓展探究：數(shù)有減法，向量是否有減法呢？結合本節(jié)課的探究方法，請大膽的提出猜想，并結合三角形法則與平行四邊形法則進行探究.設計意圖：在布置作業(yè)環(huán)節(jié)中，設置了兩組練習，一組必做題，一組探究題，這樣可以使學生在完成基本學習任 務的同時，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都可以獲

16、得成功的喜悅，看到 自己的潛能，從而激發(fā)學生的學習興趣.教學點評向量加法運算及其幾何意義(第1課時)作課 武清區(qū)楊村一中 王蕊點評武清區(qū)教研室張永成王蕊老師是天津市武清區(qū)楊村第一中學的青年教師.向量加法運算及其幾何意義 這節(jié)課是人教A版必修4第2章第2單元的第一課時.這節(jié)課有很多亮點，主要表現(xiàn) 在以下幾方面：1. 正確地確立了教學目標和教學重點教學目標是教學活動的出發(fā)點和歸宿，對一節(jié)課起著定向、定位的作用.一節(jié)課的教學目標應是學科目標、章節(jié)目標的具體化，與章節(jié)、學科目標構成系列.向量加法是學習平面向量基本概念之后首先要掌握的最基本、最重要的運算.一方面，通過類比實數(shù)的運算，研究向量的運算及運算

17、律，滲透數(shù)學建模思想，加深對向量概念的認識；另一方面，其他平面向量的線性運算如減法運算、 向量數(shù)乘運算，都可以歸結為加法運算，向量加法也為后續(xù)學習起到鋪墊作用.因此，本節(jié)課將向量加法運算及其幾何意義定位為理解與掌握是恰當?shù)牧硗猓?通過例題和實際問題的解決，讓學生經歷和體驗數(shù)學知 識發(fā)生、發(fā)展的過程，提高了數(shù)學建模能力教學重點一般是指知識結構中起基礎和紐帶作用的內容本節(jié)課的重點是向量加法的三角形法則和平行四邊形法則這兩種運算法則是向量作為數(shù)學工具初步應用的依據(jù)，因此是本節(jié)課乃至以后學習的關鍵2. 引入自然，直奔主題本節(jié)課通過一個學生熟悉的實例引入課題，使學生感到親切、自然 通過類比實數(shù)運算，直接切入向量加法運算的主題，干凈利落3. 結構合理，內容處理得當結構確定功能，一個好的課堂結構應該是知識結構和學生的認知結構能夠有機融合 本節(jié)課先講三角形法則，然后引導學生發(fā)現(xiàn)平行四邊形法則；在學習向量運算律時，又緊緊依據(jù)向量的兩種運算法則獲得有關運算律；在處理零向量的運算時，并沒有直接硬性規(guī)定，而是根據(jù)零向量的幾何特性，盡可能說明規(guī)定的合理性整節(jié)課知識層層遞進，體現(xiàn)了用教材的課改理念4. 活動設計有序有效新課程改