數學分析Ⅰ教學大綱(試行草案)

1、數理與信息科學學院統(tǒng)計學專業(yè)課程教學大綱數學分析教學大綱（試行草案）（ 2006年8月試行）課程代碼：P4010114001一、說明（一）課程性質數學分析是數學與應用數學、信息與計算科學、統(tǒng)計學三個專業(yè)的一門重要的核心課程，以一元微分學為基本內容，是學生學習分析學系列課程及其后繼課程的重要基礎，也是高觀點下深入理解中學教學內容的基礎在第1學期開設（二）教學目的通過本課程的學習，使學生掌握一元函數微分學內容，為學習數學分析、數學分析及分析學系列課程（復變函數、變實函數、微分方程、泛函分析等）及其后繼課程打好基礎，并自然地滲透對學生進行邏輯和數學抽象的特殊訓練（三）教學內容集合與映射、數列極限、函

2、數極限與連續(xù)函數，微分、微分中值定理及其應用、實數系的連續(xù)性（四）教學時數及學分 102學時學分：5分二、本文一 實數集與函數 （10學時）教學要點集合、映射與函數的概念，一元函數的定義表示及初等函數的定義，函數的簡單特性非空數集上（下）確界的概念教學內容1 實數 實數及其性質；絕對值與不等式2 數集與確界原理 集合的概念、運算、Descartes乘積集合區(qū)間、鄰域、數集的上（下）界與最大（小）值的概念上確界與下確界、確界存在原理3 映射與函數 映射、一元實函數、函數的表示、幾個常見的特殊函數、函數的運算、基本初等函數、初等函數4 具有某些特性的函數 函數的有界性、單調性、奇偶性、周期性二 數

3、列極限(16學時)教學要點本段為整個課程的基礎，數列極限的定義、性質、四則運算、無窮大量、無窮小量、待定型。運用單調有界原理和Cauchy收斂準則對數列的斂散性進行一般基本的分析和應用教學內容1 數列極限概念數列、數列極限的定義及其應用數列極限的定義證明數列極限2 收斂數列的性質收斂數列的唯一性、有界性、保號性、保序性，無窮小量以及無窮小量的基本性質，數列極限的四則運算，迫斂性無窮大量的定義、無窮大量與無窮小量的關系，待定型子列、收斂子列定理3 數列極限存在的條件單調數列、單調有界定理基本列、Cauchy收斂準則三 函數極限(16學時)教學要點函數極限的定義、性質、四則運算、與數列極限的關系，

4、單側極限、Heine歸結原則、Cauchy收斂準則兩個重要極限，無窮小量與無窮大量及其階的比較教學內容1 函數極限概念 趨于無窮大時函數的極限，趨于某一定數時函數的極限，單側極限2 函數極限的性質 函數極限的性質唯一性、局部有界性、局部保序性、保號性、迫斂性、函數極限的四則運算無窮小量、無窮大量的定義及其無窮大量與無窮小量的關系函數極限定義的推廣復合函數的極限3 函數極限存在的條件 Heine歸結原則單側極限存在定理，Cauchy收斂準則4 兩個重要極限 兩個重要極限的推導及其應用5 無窮小量與無窮大量的階 無窮小量的比較、高階、同階、等價無窮小量，無窮大量的比較、高階、同階、等價無窮大量，等

5、價量、等價量的代換四 函數的連續(xù)性(14學時)教學要點連續(xù)函數的定義、間斷點的類型、連續(xù)函數的四則運算、反函數的連續(xù)性、復合函數的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質、一致連續(xù)的概念教學內容1 連續(xù)性概念連續(xù)函數的定義、單側連續(xù)，間斷點的類型，區(qū)間上的連續(xù)函數2 連續(xù)函數的性質連續(xù)函數的四則運算，連續(xù)函數的局部性質，反函數連續(xù)性定理、復合函數的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數的有界性、最值性、介值性、根的存在定理、一致連續(xù)性及閉區(qū)間上連續(xù)函數的一致連續(xù)性的Cantor定理3 初等函數的連續(xù)性指數函數的連續(xù)性，基本初等函數的連續(xù)性，初等函數的連續(xù)性五 導數與微分(14學時)教學要點導數的定義、導數的四則運算和反

6、函數的求導法則、復合函數的求導法則及其應用，微分的定義、一階微分形式的不變性、高階導數和高階微分及運算法則， Leibniz公式教學內容1 導數概念導數產生的背景、導數的定義、導數的幾何意義、導函數、單側導數，可導與連續(xù)的關系用定義求導數2 求導法則求導的四則運算、反函數求導法則，復合函數求導法則鏈式法則基本求導公式，基本初等函數的導數雙曲函數的導數3 微分微分的歷史背景、微分的定義、微分的幾何意義、微分的運算性質、一階微分形式的不變性、近似計算與誤差估計4 高階導數和高階微分高階導數的定義、運算、Leibniz公式、高階微分的概念5 參量方程所確定的函數的導數六 微分中值定理與不定式極限(2

7、0學時)教學要點微分中值定理、Taylor公式及其應用， LHospital法則并應用極限計算用導數判斷函數單調性、極值、最大值和最小值的方法，函數凸性和拐點的定義、函數的凸性條件推導和證明、函數的凹凸性和拐點的判定，應用函數的單調性和凸性證明不等式，函數的漸近線、函數作圖教學內容1 微分中值定理極值、Fermat引理、Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理函數的單調性與單調區(qū)間、運用不等式原理證明不等式2 L Hospital法則待定型極限、L Hospital法則、型、型、型、型、型、型、型的極限3 Taylor公式Taylor中值定理、Taylor公式及其Pe

8、ano型余項、Lagrange型余項、Cauchy型余項Maclaurin公式，Taylor公式的應用、近似計算、求極限3 函數的極值函數極值、最大值和最小值，最值問題4 函數的凸性和拐點函數凸性和拐點的概念，函數凸性和拐點存在的各種條件，Jessen不等式、運用函數的凹凸性證明不等式5 函數圖像的討論函數的漸進線，運用函數的各種幾何性態(tài)描述函數的圖像七 極限與連續(xù)性（續(xù)）( 12學時)教學要點 在第二、三、四部分我們討論了極限存在的各種條件，本部分是在上述討論的基礎上通過討論實數系的連續(xù)性繼續(xù)詳細討論極限存在的各種條件及其內在聯系，本段的內容主要包括Cantor閉區(qū)間套定理、聚點、Bolza

9、no-Weierstrass聚點定理、HeineBorel有限覆蓋定理的證明和應用，及其運用上述定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質教學內容 1 實數完備性的基本定理 Cantor閉區(qū)間套定理及其閉區(qū)間套技術、Cauchy收斂準則、Weierstrass聚點定理、致密性定理、HeineBorel有限覆蓋定理及其有限覆蓋技術，實數完備性的基本定理的等價性的討論與推導 2 閉區(qū)間上連續(xù)函數性質的證明 運用上節(jié)定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質有界性、最大值和最小值、介值性與根的存在定理、一致連續(xù)的Cantor定理三、參考書目1、華東師范大學數學系。數學分析（第二版）。北京 ：高等教育出版社，19962、陳傳

10、璋 ，金福臨 ，朱學炎，歐陽光中。數學分析（第二版）。北京：高等教育出版社，2002。3、陳紀修 ， 於崇華 ， 金路著。數學分析（第-一版）。北京 ：高等教育出版社，2002 4、菲赫金哥爾茨。微積分學教程。北京 ：人民教育出版社，1957。 5、吉米多維奇。數學分析習題集。北京 ：人民教育出版社，1958。 數理與信息科學學院統(tǒng)計學專業(yè)課程教學大綱幾何學教學大綱（試行草案）（ 2006年8月試行）課程代碼：P4010114002一、說明（一）課程性質幾何學是數學與應用數學、信息與計算科學、統(tǒng)計學三個專業(yè)的一門重要的核心課程。既是學習后繼課程的基礎，又對中學教學有著指導作用。（二）教學目的通

11、過空間解析幾何部分的學習，使學生初步掌握解析幾何的基本思想、基本理論和研究方法，積累必要的數學知識，培養(yǎng)學生抽象思維能力、建立數學模型的能力、推理和演算能力，提高學生利用解析幾何知識分析問題和解決問題的能力.通過射影幾何學部分的學習，使學生初步了解近代幾何的公理化方法和體系，較深入地理解中學幾何的邏輯結構，特別是解析幾何的理論與方法，從而獲得在比較高的觀點上來處理中學幾何問題的能力.另外，通過本課程的學習，為學習相關專業(yè)課程及以后實際應用提供必要的基礎。（三）教學內容在空間解析幾何部分的學習矢量與坐標，軌跡與方程，平面與空間直線，柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面，二次曲線的一般理論.射影幾何學部

12、分的學習仿射幾何學的基本概念，歐氏平面的拓廣，一維射影幾何學.（四）教學時數及學分102學時，學分：5分.二、本文第一部分空間解析幾何（78學時）一 向量與坐標（22學時）教學要點向量及其線性運算；向量的內積、外積與混合積；   向量的坐標；向量代數在初等幾何中的應用。教學內容1、向量、向量的模、單位向量、零向量、相等向量、相反向量、自由向量、共線向量與共面向量的概念，掌握向量的表示方法；2、向量線性相關與線性無關的概念及相關結論；3、向量的基本運算，運用向量法證明較簡單的幾何問題，運用向量的基本知識解決關于共線、共面、定比分點等問題；能解決關于長度、夾角、面積、體積等度量

13、問題；4、坐標進行向量的相關運算及一些簡單問題的證明.二 軌跡與方程（10學時）教學要點平面的方程、點到平面的距離；平面間的相關位置；  直線的方程、點到直線的距離；  直線、平面之間的相關位置關系；平面束。教學內容1、平面曲線、曲面、空間曲線的方程的定義，軌跡與其方程之間的關系；2、在直角坐標系下建立曲線或曲面方程的基本方法；3、曲線、曲面普通方程和參數方程的相互轉化.三 平面與空間直線（16學時）教學要點平面和空間中曲線的概念 ；平面和空間直線方程的各種表示形式及其相關位置； 平面和空間曲線的方程及其各種方程之間的轉換，應用。教學內容1、平面和空間直

14、線方程的各種表示形式；2、建立平面和空間直線的方程的方法；3、根據已知條件判斷平面與平面、平面與空間直線、空間直線與空間直線之間的相關位置；4、平面的一般方程與法式方程、空間直線的一般方程與標準方程的互化方法；5、求兩異面直線的距離與公垂線方程的計算方法.四 柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面（14學時）教學要點空間中曲面的概念 ；球面、柱面、錐面；旋轉曲面； 二次曲面； 直紋面。教學要點1、柱面、錐面、旋轉曲面的定義及特征，了解直紋曲面的概念，了解橢球面、雙曲面、拋物面的標準方程及圖形特征；2、求柱面、錐面及旋轉曲面的方程，坐標面內的曲線繞該面內的一條坐標軸旋轉時所得旋轉曲面的方程的求解方法.3

15、、求單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線.五 二次曲線的一般理論（16學時）教學要點歐氏平面上的坐標變換；坐標變換下二次方程系數的變化；  二次曲線方程的化簡與二次曲線的分類；二次曲線的不變量。教學要點1、二次曲線及其相關定義，了解平面直角坐標變換公式；2、二次曲線的漸近方向、中心、漸近線、切線、主方向與主直徑；3、能夠將二次曲線的一般方程化為標準方程.第二部分射影幾何學（24學時）一仿射幾何學的基本概念（4學時）教學要點 仿射幾何學基本概念初步的介紹。教學要點1、平行射影、仿射對應、簡比、同素性、仿射不變性與仿射不變量的概念；2、基本的一些仿射不變性與不變量；3、平面仿射幾何基本定理的內

16、容；4、利用仿射不變性與不變量證明一些簡單的初等幾何問題.二歐氏平面的拓廣（6學時）教學要點中心投影，平面內的理想元素，拓廣歐氏平面技改平面上相關的概念；中心投影的基本性質；直線的方程和點的坐標，對偶命題；復直線。教學內容1、中心投影、理想元素、射影直線、射影平面等概念；2、中心投影的基本性質；3、齊次坐標、點幾何與線幾何、點的方程、直線的坐標等概念，復元素的概念；4、直線的方程和點的坐標，已知命題的對偶命題，已知圖形的對偶圖形；5、復直線上的實點及通過復點的實直線.三一維射影幾何學（14學時）教學要點射影平面內的一維射影幾何學，點列和線束及其兩類基本圖形間的對應關系；射影幾何的基本不變量交比

17、。教學內容1、點列與線束的定義；2、交比的概念和點列與線束的表示方法；3、交比的基本性質，點列與線束的交比；4、一維射影對應表達式及其基本性質，兩個一維基本圖形成射影對應的充要條件，了解Von studt定理的含義；5、透視對應的概念，兩個射影點列(線束)成透視的充要條件；6、給定已知一直線上三點A、B、C，能作出第四點D使交比(ABCD)=(定數) ；7、對合對應的概念，對合對應的表達式及其基本性質，對合對應的表達式及二重元素計算.三、參考教材1、呂林根、許子道編 解析幾何（第四版）。北京：高等教育出版社，20052、朱德祥編高等幾何。北京：高等教育出版社，2004 3、梅向明編高等幾何（第

18、二版）。北京：高等教育出版社，2004 數理與信息科學學院統(tǒng)計學專業(yè)課程教學大綱數學分析教學大綱（試行草案）（ 2006年8月試行）課程性質：P4010114003一、說明（一）課程性質數學分析（）是數學與應用數學、信息與計算科學、統(tǒng)計學三個專業(yè)的一門重要的核心課程。研究的主要內容是如何求解不定積分和定積分，如何理解和討論級數和反常積分的斂散性，它是分析數學系列課程之一，也是其他后繼課程的重要基礎在第2學期開設（二）教學目的掌握不定積分的概念、計算方法，掌握定積分的概念、可積條件、計算方法及幾何意義、定積分的幾何應用和物理應用；反常積分和級數的概念和斂散性的基本判別方法及冪級數的基本知識；初步

19、培養(yǎng)具有用定積分解決實際問題的能力和斂散性的思想，為分析數學及其后繼課程的學習打好必要的基礎知識（三）教學內容不定積分，詳細討論定積分和非正常積分的基本理論及其定積分的應用；討論數項級數和函數項級數的基本理論，冪級數、Fourier級數的基本知識（四）教學時數及學分108學時，學分：6分。二、本文九 不定積分（16學時）教學要點不定積分的概念、性質和換元積分法、分部積分法，不定積分的基本公式，有理函數積分的計算，區(qū)分三角函數、無理函數的積分和可化為有理函數積分的類型教學內容1、不定積分的概念和基本公式原函數、不定積分的定義、不定積分的線性性質、不定積分的基本公式2、 換元積分法和分部積分法換元

20、積分法湊微法、代入法，分部積分法、基本積分表3、 有理函數的不定積分及其應用有理函數、有理函數的積分、可化為有理函數不定積分的情形積分表的使用十 定積分（28學時）教學要點定積分的概念，定積分的思想，可積的判斷方法，微積分基本定理和定積分的計算，定積分的近似計算非正常積分的概念和計算及斂散性判別法教學內容1、定積分的概念定積分的引入和概念，定積分的幾何意義、利用極限計算定積分2、可積條件可積的必要條件、Darboux和的基本概念，Riemann可積的充要條件和可積函數類3、積分的基本性質定積分的基本性質：線性性質、乘積可積和商可積、區(qū)間可加性，非負性、保序性、絕對值不等式，估值不等式和積分第一

21、中值定理等積分上、下限函數介紹積分第二中值定理4、微積分基本定理、定積分的計算微積分基本定理，NewtonLeibniz公式，定積分的換元積分法和分部積分法，周期函數、奇偶函數的定積分一些特殊的定積分Taylor公式的積分型余項應用定積分求極限5、非正常積分非正常積分的引入，無窮限非正常積分和瑕積分斂散性概念，非正常積分的計算絕對收斂和條件收斂的概念，非正常積分的Cauchy收斂原理，非負函數非正常積分的比較判別法，Cauchy判別法，以及一般函數非正常積分的Abel，Dirichlet判別法 十一 定積分的應用（8學時）教學要點定積分在幾何和物理方面的應用教學內容1、平面圖形的面積求直角坐標

22、系、參量方程下、極坐標下平面圖形的面積2、由截面面積求立體體積幾何體的體積和旋轉體的體積3、曲線的弧長與曲率求直角坐標系、參量方程下、極坐標下平面曲線的弧長，介紹曲線的曲率4、旋轉曲面的面積微元法，旋轉曲面的面積簡單的計算5、定積分在物理學上的某些應用質量、質心、轉動慣量、功、水壓力、引力、平均值和均方根6、定積分的近似計算矩形法、梯形法、拋物線法近似計算定積分十二 數項級數（20學時）教學要點數項級數及斂散性概念，級數的基本性質，正項級數的判別法，任意項級數的判別法教學內容1、數項級數的收斂性數項級數及其斂散性概念，級數收斂的必要條件和其它性質，級數收斂的Cauchy收斂準則，一些簡單的級數

23、求和2、正項級數正項級數的概念，正項級數的收斂原理，比較判別法，Cauchy、D Alembert及其極限形式，Raabe判別法和積分判別法和運用上述判別法判別數項級數的斂散性3、一般項級數交錯級數及其Leibniz級數判別法，條件收斂和絕對收斂概念，條件收斂和絕對收斂的級數具有的性質（更序級數等）， Abel變換、Abel、Dirichlet判別法，級數的乘法十三 函數列與函數項級數（16學時）教學要點函數列和函數項級數一致收斂的概念和其判別方法，一致收斂函數項級數和函數列的連續(xù)、可導和可積性教學內容1 、一致收斂性函數列一致收斂的概念及其判別法，函數項級數點態(tài)收斂、收斂域，部分和函數，點態(tài)

24、收斂函數項級數的基本問題，一致收斂、內閉一致收斂函數項級數的Cauchy收斂原理，上確界判別法、Weierstrass判別法，Abel、Dirichet判別法2、一致收斂函數列與函數項級數的性質一致收斂的函數列與函數項級數的連續(xù)性、可積性和可導性十四 冪級數（12學時）教學要點冪級數概念、冪級數的斂散性及其判定，冪級數的性質，冪級數的運算Taylor級數、初等函數的冪級數展開，應用冪級數的展開式做近似計算Euler公式教學內容1、冪級數冪級數概念，Abel定理，收斂半徑和收斂域，利用Cauchy-Hadamard定理，D Alembert判別法求冪級數的收斂半徑、收斂域，冪級數的四則運算，冪級

25、數的連續(xù)性、可導性和可積性，利用冪級數的連續(xù)、可導和可積性求冪級數的和2、函數的冪級數展開Taylor級數的概念，函數冪級數展開的條件，初等函數的冪級數展開應用冪級數的展開式做近似計算Euler公式十五 Fourier級數（8學時）教學要點函數的Fourier級數展開 Fourier級數的分析性質； Fourier級數收斂性的證明 教學內容1、函數的Fourier級數Fourier級數歷史背景及與Taylor展開的比較；周期為2的函數的Fourier展開；將函數展開為正弦級數與余弦級數2、以為周期的函數的展開式以為周期的函數的Fourier級數，偶函數和奇函數的Fourier級數3、Fouri

26、er級數收斂定理的證明Parseval不等式及其應用了解Fourier級數收斂定理的證明三、教材及參考書1、華東師范大學數學系。數學分析（第二版）。北京 ：高等教育出版社，19962、陳傳璋 ， 金福臨 ， 朱學炎， 歐陽光中。數學分析（第二版）。北京 ：高等教育出版社，2002。3、陳紀修 ， 於崇華 ， 金路著。數學分析（第-一版）。北京 ：高等教育出版社，2002 4、菲赫金哥爾茨。微積分學教程。北京 ：人民教育出版社，1957。 5、吉米多維奇。數學分析習題集。北京 ：人民教育出版社，1958。 數理與信息科學學院統(tǒng)計學專業(yè)課程教學大綱高等代數I教學大綱（試行草案）（ 2006年8月試

27、行）課程代碼：P4010114004一、說明（一）課程性質高等代數是數學與應用數學、信息與計算科學、統(tǒng)計學三個專業(yè)的一門重要的核心課程。也是理科各學科的一門重要基礎課。它是中學代數的繼續(xù)和提高，它的思想和方法已經滲透到數學的各個領域。高等代數的全部內容分兩大部分，多項式理論和線性代數理論。其中線性代數理論顯得十分重要，不僅在自然科學的各分支有著重要應用，而且在社會科學領域中也有著廣泛的應用。目前在師范院校，除了文學專業(yè)和外語專業(yè)外，大部分專業(yè)都開設了線性代數課程，值得一提的是，在體育專業(yè)和政治專業(yè)也開設了線性代數課程，而且大家一致認為十分必要。（二）教學目的通過高等代數的學習，使學生掌握其基本

28、理論和方法，主要是從特殊到一般，從具體到抽象的思想方法，這和中學代數思想方法有著很大的不同。掌握了高等代數的基本知識和思想方法，必然會提高學生分析問題和解決問題的能力，對數學專業(yè)后繼課程的學習至關重要，教師必須清楚地認識到這一點，教學目的不能偏離這個方向。（三）教學內容高等代數I的主要內容有：多項式理論、行列式、矩陣、線性方程組。（四）教學時數及學分90學時，學分：5分。二、本文 一 基本概念（14學時）教學要點集合；映射、單射、滿射、雙射；數學歸納法；整數的整除性質、素數、合數；最小數原理；數環(huán)、數域。教學內容1集合 主要講授集合的概念、集合的關系、集合的運算。2映射 主要講授映射概念的形成

29、，結合中學函數概念，加以引深和推廣，在映射的基礎上講授單射、滿射、雙射的概念及基本性質，本節(jié)的重點是講授逆映射。3數學歸納法 主要介紹數學歸納法原理，它的理論基礎是最小數原理。其中分別介紹第一數學歸納法和第二數學歸納法。4整數的整除性質 主要介紹整除的定義，其次是介紹帶余除法、素數、合數、最大公因數等概念及性質。5數環(huán)與數域 主要介紹數環(huán)、數域這兩個基本概念及二者之間的關系。二 多項式（34學時）教學要點一元多項式的定義及運算、多項式的整除性、多項式的最大公因式、多項式的分解、重因式、多項式的根、C上和R上的多項式、多元多項式、對稱多項式。 教學內容1一元多項式的定義及運算 介紹一元多項式的定

30、義，重點講解多項式的形式表達式。規(guī)定多項式的加法、減法與乘法運算的法則及性質，給出多項式次數的定義，介紹零次多項式與零多項式。2多項式的整除性 介紹多項式整除的概念，重點講解帶余除法定理，它是多項式理論的核心內容。3最大公因式 介紹最大公因式的概念、性質和輾轉相除法，另外介紹多項式互素的概念、性質和判斷互素的充分必要條件。4多項式的分解 介紹多項式因式分解的思想，重點強調一個多項式能分解到什么程度與它的系數所在的數域有著密切的關系。5重因式 介紹多項式重因式及多項式導數的概念，給出利用多項式導數判定多項式有無重因式的充分必要條件。6多項式函數 多項式的根 介紹從函數的觀點看待多項式的思想，給出

31、多項式根的定義和性質。7復數域和實數域上的多項式 介紹代數學基本定理（不給出證明）及其推論，指出復系數多項式只有一次因式是不可約的，而實系數多項式只有一次的和某些二次的是不可約的。8有理系數多項式 指出有理系數多項式在有理數域的可約性問題可以轉化為整系數多項式在整數環(huán)上可約性。給出判定整系數多項式在有理數域上不可約的艾森斯坦因方法及有理系數多項式有理根的求法。9多元多項式 介紹多元多項式的概念及運算，給出項的字典排序方法。10對稱多項式的概念及運算，給出項的字典排序方法。 介紹對稱多項式的概念，給出任一個對稱多項式都可表成初等對稱多項式的方法。 三 行列式（14學時）教學要點線性方程組、排列、

32、n階行列式、子式和代數余子式、Cramer規(guī)則。 教學內容1線性方程組與行列式 介紹2×2線性方程組與二階行列式的關系，3×3線性方程組與三階行列式的關系，由此提出一個問題，n×n線性方程組與n階行列式是什么關系。2排列 介紹排列概念及基本性質，其中包括偶排列、奇排列、反序數。講授一個主要結論：n元排列中奇排列、偶排列各占一半。3 n階行列式 介紹n階行列式的定義、性質。指出按定義計算一個n階行列式是很困難的，要計算出一個n階行列式必須掌握它的7個性質。4子式和代數余子式 ）介紹子式和代數余子式的定義，使學生掌握另一種計算n階行列式的方法，即按行按列展開的計算方法

33、，舉出一些利用性質和代數余子式計算n階行列式的有效方法。5 Cramer規(guī)則 介紹Cramer規(guī)則，它是本章的基本結論，前面的幾節(jié)內容都是為得到這一結果服務的，所以Cramer規(guī)則十分重要，它是解n×n線性方程組的一個有力工具。 四 線性方程組（14學時）教學要點線性方程組的消元解法、矩陣的秩、有解的判別定理、線性方程組的公式解法、二元方程組的結式和判別式。 教學內容1 線性方程組的消元解法 主要介紹矩陣、矩陣的初等變換、線性方程組的高斯消元法、線性方程組的同解變形、線性方程組的加減消元法與它的增廣矩陣行初等變換的一致性。2 矩陣的秩、線性方程組有解的判定定理 主要介紹矩陣的秩、初等

34、變換不改變矩陣的秩、線性方程組有解的充分必要條件是系數矩陣與增廣矩陣的秩相等。3 線性方程組的公式解 主要介紹如何用Cramer規(guī)則解一般的線性方程組，齊次線性方程組解的性質。4 結式和判別式 介紹線性方程組理論和行列式方法在解二元二次方程組時的應用，給出結式和判別式的概念。 五 矩 陣（14學時）教學要點矩陣的運算、矩陣的行列式、矩陣的逆矩陣、矩陣的分塊理論。教學內容1 矩陣的運算 主要介紹矩陣的加法、數與矩陣的乘法、矩陣的乘法。2 可逆矩陣、矩陣乘積的行列式 主要介紹n階矩陣的逆矩陣的概念和性質，矩陣乘積的行列式與各自行列式的關系、n階方陣可逆時逆矩陣的求法（有兩種方法，伴隨矩陣的方法與初

35、等行變換的方法）。3 矩陣的分塊 主要介紹矩陣的分塊理論，也就是把矩陣中一部分元素看作一個塊（或一個元素）來處理矩陣的有關問題。三、參考教材1、張禾瑞、郝炳新，高等代數（第四版）。北京：高等教育出版社，2003。2、北大數學系，高等代數（第二版）。北京：高等教育出版社，1991年。3、王蕚芳等高等代數。北京：清華大學出版社，1997年4、丘維聲編著高等代數（上、下）。北京：高等教育出版社，19965、藍以中編著高等代數簡明教程（上、下）。北京：北京大學出版社，2002數理與信息科學學院統(tǒng)計學專業(yè)課程教學大綱數學分析教學大綱（試行草案）（ 2006年8月試行）課程代碼：P4010114006一、

36、說明（一）課程性質數學分析（）是數學與應用數學、信息與計算科學、統(tǒng)計學三個專業(yè)的一門重要的核心課程它是進行數學研究的理論基礎，著重研究解決數學問題的基礎方法及其理論（二）教學目的使學生掌握數學分析的基本原理和思想，掌握方法處理的技巧，要熟練掌握極限和連續(xù)、微積分、級數等基本概念與理論；其次，要通過例子，初步掌握用分析的方法解決實際應用問題（三）教學內容數學分析第三部分的內容包括多元函數的微分學、重積分、曲線積分、曲面積分與場論、含參變量的積分等（四）教學時數及學分 90學時，學分：5分。二、本文十六 多元函數的極限和連續(xù)（16學時）教學要點 平面點集、開集、閉集、開區(qū)域、閉區(qū)域，平面點集的完備

37、性定理，多元函數的定義，重極限和累次極限，多元函數的連續(xù)，有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數的性質教學內容1平面點集與多元函數 Descartes乘積集，平面點集，內點、外點、界點、聚點、孤立點、開集、閉集、邊界、連通集、開域、閉域、有界集，閉包，開集和閉集及其關系， Euclid空間，Euclid的距離平面點列及其極限，Cauchy收斂定理，閉域套定理， Bolzano-Weierstrass聚點定理， Heine-Borel有限覆蓋定理等多元函數的定義、圖像2 二元函數的極限 二元函數的重極限和累次極限及其關系，二元函數極限的運算性質 3 二元函數的連續(xù)性 二元函數的連續(xù)性概念，間斷點類型，二元連

38、續(xù)函數的性質，復合函數的連續(xù)性有界閉區(qū)域上的連續(xù)映射概念，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質：有界性、最值定理、一致連續(xù)性定理、中間值定理等，連通集和區(qū)域十七 多元函數的微分學（14學時）教學要點全微分、偏導數、全微分及其之間的關系、可微的幾何意義，復合函數的鏈式法則，高階偏導數和高階全微分Taylor 公式與極值教學內容1 可微性 偏增量與全增量，可微性與全微分，偏導數，可微條件，全微分、連續(xù)，可偏導、可微之間的關系，全微分的幾何意義與應用 2 多元復合函數的求導法則 多元復合函數的鏈式法及其應用，一階全微分的形式不變性3 方向導數與梯度方向導數，梯度，方向導數與梯度的關系4 Taylor 公式與極

39、值高階偏導數和高階全微分，混合偏導數的相等中值定理與Taylor 公式與Lagrange余項的計算；Taylor公式的簡單應用，如計算常數冪和偏導數的近似值多元函數的極值與極值存在的條件，極值的計算無條件極值在幾何及不等式中的應用十八 隱函數的存在定理（12學時）教學要點隱函數的存在定理，隱函數與隱函數組的求導法則多元函數的微分在幾何中的應用，條件極值與Lagrange乘數法教學內容1 隱函數隱函數的概念，隱函數的存在條件，一元及多元隱函數存在定理，隱函數的可微性，反函數的存在性與其導數2 隱函數組隱函數組概念，由方程或方程組所確定的隱函數的偏導數的計算Jacobi行列式，反函數與坐標變換3

40、幾何應用 空間曲線的切線與法平面的概念及對應的切線與法平面方程的計算；曲面的切平面與法線的概念；會計算曲面在給定點處的切平面與法線方程；偏導數與在幾何中的其它應用4 條件極值與Lagrange乘數法最小二乘法，Lagrange乘數法及條件極值的必要條件；函數的條件極值與最值的計算：條件極值在幾何、不等式及其它實際問題中的應用十九 重積分（18學時）教學要點重積分的概念，二重積分與三重積分算法；二重積分與三重積分的變量代換重積分的應用 教學內容1 二重積分概念矩形區(qū)域二重積分引入、定義，二重積分的幾何意義，二重積分的可積條件，一般區(qū)域上的二重積分二重積分的七條基本性質2 二重積分的計算矩形區(qū)域上

41、化二重積分為累次積分的計算方法；含參積分、對于一般區(qū)域上重積分的計算，要適當選取累次積分的次序Jacobi行列式的幾何意義和應用，二重積分變量代換公式及應用，選取適當的坐標變換計算重積分，選取極坐標計算二重積分的方法含參積分的導數，含參變量的常義積分的計算 3 三重積分三重積分的概念，三重積分的可積性討論，三重積分的計算三重積分的換元法，柱坐標和球坐標之下的三重積分計算4 重積分的應用重積分的幾何應用：面積、體積、曲面面積，物理應用：質量、質心、轉動慣量、引力二十 重積分（續(xù)）與含參變量積分（10學時）教學要點本段繼續(xù)重積分可積的條件系統(tǒng)討論含參變量的非正常積分的一致收斂的判別法及一致收斂積分

42、的分析性質，掌握Beta函數和Gamma函數的性質、遞推公式及二者之間的關系教學內容1 二重積分中一些問題的討論二重積分的可積性條件、一般區(qū)域上二重積分定義的說明、平面有界點集可求面積的充要條件，二重積分的證明二重積分的變量變換定理2 含參變量的非正常積分含參變量的非正常積分的一致收斂的定義及判別法；Cauchy收斂原理、Weierstrass判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法及Dini定理；一致收斂積分的分析性質；連續(xù)性定理、積分次序交換定理與積分號下求導定理Beta函數和Gamma函數的定義、性質、遞推公式及二者之間的關系，余元公式和Stirling公式二十一 曲線積分與曲面

43、積分（20學時）教學要點第一、二類曲線積分與曲面積分的概念，第一、二類曲線積分與曲面積分的計算方法，Green公式、Gauss公式和Stokes公式計算曲線積分與曲面積分的方法曲線積分與路徑無關的條件梯度、通量與散度、向量線、環(huán)量與旋度的概念教學內容1 第一類曲線積分與第一類曲面積分第一類曲線積分的概念；第一類曲線積分的性質；線性性質與路徑可加性；第一類曲線積分的計算公式及其應用；第一類曲面積分的概念、計算及應用2 第二類曲線積分第二類曲線積分的概念及性質：方向性、線性性質與路徑可加性；第二類曲線積分的計算公式及其應用第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯系3 Green公式、曲線積分與路線無關的

44、條件Green公式的形式及意義；Green公式與Newton-Leibniz公式的關系；用Green公式計算曲線積分及求區(qū)域的面積；曲線積分與路徑無關的條件及其應用4 第二型曲面積分曲面的側的相關概念及應用；第二類曲面積分的概念及性質：方向性、線性性質與曲面可加性；第二類曲面積分的計算及應用兩類曲面積分的聯系5 Gauss公式與Stokes公式Gauss公式及其應用；Stokes公式及其應用；Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式和Stokes公式三者之間的關系6 場論初步梯度、通量與散度、向量線、環(huán)量與旋度的概念、意義、計算及簡單應用；Hamilton算子及調和函數

45、的概念與計算；Green第一公式和Green第二公式；場論中的一些基本關系式；保守場與勢函數的概念：保守場與有勢場的關系三、參考教材1、華東師范大學數學系。數學分析（第二版）。北京 ：高等教育出版社，19962、陳傳璋 ， 金福臨 ， 朱學炎， 歐陽光中。數學分析（第二版）。北京 ：高等教育出版社，2002。3、陳紀修 ， 於崇華 ， 金路著。數學分析（第-一版）。北京 ：高等教育出版社，2002 4、菲赫金哥爾茨。微積分學教程。北京 ：人民教育出版社，1957。 5、吉米多維奇。數學分析習題集。北京 ：人民教育出版社，1958。 數理與信息科學學院統(tǒng)計學專業(yè)課程教學大綱高等代數II教學大綱（

46、試行草案）（ 2006年8月試行）課程代碼：P4010114007一、說明（一）課程性質高等代數是數學與應用數學、信息與計算科學、統(tǒng)計學三個專業(yè)的一門重要的核心課程，也是理科各學科的一門重要基礎課。它是中學代數的繼續(xù)和提高，它的思想和方法已經滲透到數學的各個領域。高等代數的全部內容分兩大部分，多項式理論和線性代數理論。其中線性代數理論顯得十分重要，不僅在自然科學的各分支有著重要應用，而且在社會科學領域中也有著廣泛的應用。目前在師范院校，除了文學專業(yè)和外語專業(yè)外，大部分專業(yè)都開設了線性代數課程，值得一提的是，在體育專業(yè)和政治專業(yè)也開設了線性代數課程，而且大家一致認為十分必要。（二）教學目的通過高

47、等代數的學習，使學生掌握其基本理論和方法，主要是從特殊到一般，從具體到抽象的思想方法，這和中學代數思想方法有著很大的不同。掌握了高等代數的基本知識和思想方法，必然會提高學生分析問題和解決問題的能力，對數學專業(yè)后繼課程的學習至關重要，教師必須清楚地認識到這一點，教學目的不能偏離這個方向。（三）教學內容高等代數II的主要內容有：向量空間、線性變換、歐氏空間和二次型。（四）教學時數及學分90學時，學分：5分。二、本文 六 向量空間（26學時）教學要點向量空間的由來、子空間、向量的線性相關性、基和維數、向量的坐標、向量空間的同構、線性方程組解的結構。教學內容1 定義及例子主要講授向量空間的定義，并給出

48、大量的例子，因為這是高等代數中第一個采用公理化定義的概念。2 子空間主要介紹向量空間的子空間、交子空間、和子空間及子空間的判定定理。3 向量的線性相關性 主要介紹向量的線性組合、線性相關、線性無關、極大線性無關組、向量組的等價、向量組的秩。4 基和維數主要介紹向量空間的基、維數、向量空間的維數公式、余子空間。5 坐標主要介紹向量由基的表示式、坐標、過渡矩陣、坐標變換公式。6 向量空間的同構主要介紹向量空間之間的同構、映射、向量空間的同構。7 矩陣的秩、齊次線性方程組的解空間主要介紹矩陣的行空間、列空間、行空間的秩與矩陣的秩、齊次線性方程的解空間、基礎解系、解空間的結構。 七 線性變換（30學時

49、）教學要點線性變換的定義、性質和運算、線性變換和矩陣的關系、本征值與本征向量、可以對角化的矩陣與線性變換。教學內容1 線性映射主要介紹兩個向量空間的線性映射、映射的像Im()、映射的核Ker()。2 線性變換的運算主要介紹向量空間到自身的線性變換、線性變換的和、數乘線性變換、線性變換的乘積、線性變換的逆線性變換。3 線性變換的矩陣主要介紹線性變換在一個基下的矩陣、矩陣確定的線性變換、線性變換的運算與相應的矩陣運算、同一個線性變換在不同基下矩陣的關系（相似矩陣）。4 不變子空間主要介紹線性變換下子空間的不變性、像不變子空間、核不變子空間、不變子空間與線性變換的對角化之間的關系。5 本征值與本征向

50、量主要介紹矩陣的特征值、特征向量、線性變換的本征值與本征向量、特征子空間。6 可以對角化的矩陣主要介紹一個線性變換可以對角化的充分必要條件。 八 歐氏空間（18學時）教學要點歐氏空間、內積、度量矩陣、正交變換、對稱變換、正交基、標準正交基。教學內容1 向量的內積主要介紹實數域上向量空間的內積、歐氏空間、向量的長度、夾角、哥西許瓦茲不等式。2 正交基主要介紹向量的正交性、正交向量組、正交基、標準正交基、度量矩陣、施密特正交化方法、正交矩陣。3 正交變換主要介紹正交變換的概念和性質，正交變換的四個等價條件。4 對稱變換和對稱矩陣主要介紹對稱變換、對稱矩陣、對稱變換的對角化問題、實對稱矩陣的特征值問

51、題。 九 二次型（16學時）教學要點n元二次齊次多項式（簡稱二次型）、二次型與對稱矩陣的關系，復數域和實數域上的二次型、正定二次型、慣性定律。教學內容1 二次型和對稱矩陣主要介紹n元二次齊次多項式總可以用一個對稱矩陣來表示，從而通過矩陣的乘法轉化了二次型的表達形式，這樣把一個二次齊次型（既一個多項式的問題）用對稱矩陣及矩陣的合同變換（成對的行、列初等變換）來處理。從而使問題簡單明了。2 復數域和實數域上的二次型主要介紹了復系數二次型與實系數二次型的典范形式。3 正定二次型主要介紹了正定二次型的概念和判定。4 主軸問題主要介紹了通過正交變換化二次型為平方和形式的方法。三、參考教材1、張禾瑞、郝炳

52、新，高等代數（第四版）。北京：高等教育出版社，2003。2、北大數學系，高等代數（第二版）。北京：高等教育出版社，1991年。3、王蕚芳等高等代數。北京：清華大學出版社，1997年4、丘維聲編著高等代數（上、下）。北京：高等教育出版社，19965、藍以中編著高等代數簡明教程（上、下）。北京：北京大學出版社，2002數理與信息科學學院統(tǒng)計學專業(yè)課程教學大綱概率論教學大綱（試行草案）（ 2006年8月試行）課程代碼：P4010524017一、 說明（一） 課程性質本課程為數學系統(tǒng)計專業(yè)本科生開設的核心課程，要求已學過數學分析、實變函數等課程。概率論基礎是一入門課程，是繼續(xù)學習數理統(tǒng)計、隨機過程，以

53、及與概率理論相關的課程的基礎。概率論是一門應用性強的數學學科，廣泛地應用于金融、保險，證券，工程技術和自然學科中，概率理論與不同的問題結合形成許多分支。在本課程的執(zhí)行過程中，內容的選取和講解都考慮到了學生以后的發(fā)展。（二）教學目的通過本課程的學習，使學生較好地掌握概率特有的分析概念，并在一定程度上掌握概率論認識問題，解決問題的方法，掌握概率論的基礎理論，為進一步學習數理統(tǒng)計打下堅實的基礎。 （三）教學內容 隨機事件和概率、隨機變量及其分布函數、隨機變量的數字特征，特征函數及極限定理。教學時數及學分（四）教學時數及學分72學時；學分：4分。二、 本文一 隨機事件和概率(20學時)教學要點隨機事件、概率空間，概率的公理化體系等基本概念，常用的幾個與條件概率有關的公式，掌握事件之間的獨立性及常見的獨立試驗模型。教學內容1、隨機現象的直觀意義及其運算必然現象與隨機現象；隨機試驗與事件；事件的關系與運算2、概率的直觀意義及其計算古典概率；統(tǒng)計