高中數(shù)學(xué)選修1-2學(xué)生學(xué)案

1、張家口市第一中學(xué)2015-2016學(xué)年度高二年級(jí)文科班數(shù)學(xué)學(xué)案 選修1-2 班級(jí)： 姓名： 學(xué)案一、第一章統(tǒng)計(jì)案例1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用線性回歸方程1回歸分析(1)函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系(2)回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法，回歸分析的基本步驟是畫出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖，求回歸直線方程，并用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào)2線性回歸模型(1)線性回歸模型ybxae，其中a和 b是模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量(2)

2、在回歸方程x中，=_ ，.其中_，_(，)稱為樣本點(diǎn)的_線性回歸方程中系數(shù)的含義(1)是回歸直線的斜率的估計(jì)值，表示x每增加一個(gè)單位，y的平均增加單位數(shù)，而不是增加單位數(shù)(2)當(dāng)0時(shí)，變量y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系；當(dāng)0時(shí)，變量y與x具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系.線性回歸分析1殘差分析(1)殘差：樣本點(diǎn)(xn，yn)的隨機(jī)誤差eiyibxia，其估計(jì)值為iyiiyixi，i稱為相應(yīng)于點(diǎn)(xi，yi)的殘差(residual)(以上i1,2，n)(2)殘差圖：作圖時(shí)，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或xi數(shù)據(jù)，或yi數(shù)據(jù)，這樣作出的圖形稱為殘差圖(3)殘差分析：殘差分析即通過殘差發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可

3、疑數(shù)據(jù)，判斷所建立模型的擬合效果，其步驟為：計(jì)算殘差畫殘差圖在殘差圖中分析殘差特性殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高2相關(guān)指數(shù)我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：R2_.R2越大，殘差平方和_越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差在線性回歸模型中，R2的取值范圍為0,1，R2表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，1R2表示隨機(jī)誤差對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率R2越接近于1，表示回歸的效果越好殘差分析的注意點(diǎn)在殘差圖中，可疑數(shù)據(jù)的特征表現(xiàn)為：(1)個(gè)

4、別樣本點(diǎn)的殘差過大，即大多數(shù)的殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，而個(gè)別殘差點(diǎn)偏離該區(qū)域過于明顯，需要確認(rèn)在采集這些樣本點(diǎn)的過程中是否有人為的錯(cuò)誤，如果采集數(shù)據(jù)有錯(cuò)誤，那么需要糾正，然后重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，那么需要尋找其他原因(2)殘差圖有異常，即殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，此時(shí)需要考慮所采用的線性回歸模型是否合適例1某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040605070(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)廣告費(fèi)支出1 000萬元的銷售額；(2)若廣告費(fèi)支出1 000萬元的實(shí)際銷售額為8 500萬元，求誤差例2已知某

5、種商品的價(jià)格x(元)與需求量y(件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y1210753求y關(guān)于x的回歸直線方程，并說明回歸模型擬合效果的好壞例3在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521試建立y與x之間的回歸方程非線性回歸分析的步驟非線性回歸問題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式這時(shí)我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與學(xué)過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等)圖象作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決其一般步驟為：活學(xué)活用某電容器充電后，電壓達(dá)到100 V，然后開始放電，由經(jīng)

6、驗(yàn)知道，此后電壓U隨時(shí)間t變化的規(guī)律用公式UAebt(b0)表示，現(xiàn)測(cè)得時(shí)間t(s)時(shí)的電壓U(V)如下表：t/s012345678910U/V100755540302015101055試求：電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程(提示：對(duì)公式兩邊取自然對(duì)數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題)典例1下列現(xiàn)象的線性相關(guān)程度最高的是()A某商店的職工人數(shù)與商品銷售額之間的相關(guān)系數(shù)為0.87B流通費(fèi)用率與商業(yè)利潤率之間的相關(guān)系數(shù)為0.94C商品銷售額與商業(yè)利潤率之間的相關(guān)系數(shù)為0.51D商品銷售額與流通費(fèi)用率之間的相關(guān)系數(shù)為0.812變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12

7、.5,4)，(13,5)；變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則()Ar2r10B0r2r1Cr20r1 Dr2r1隨堂即時(shí)演練1(湖北高考)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個(gè)結(jié)論：y與x負(fù)相關(guān)且2.347x6.423；y與x負(fù)相關(guān)且3.476x5.648； y與x正相關(guān)且5.437x8.493；y與x正相關(guān)且4.326x4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是()ABC D2關(guān)于回歸分析，

8、下列說法錯(cuò)誤的是()A在回歸分析中，變量間的關(guān)系若是非確定性關(guān)系，那么因變量不能由自變量唯一確定B線性相關(guān)系數(shù)可以是正的也可以是負(fù)的C在回歸分析中，如果r21或r1，說明x與y之間完全線性相關(guān)D樣本相關(guān)系數(shù)r(1,1)3在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時(shí)，若求得相關(guān)指數(shù)R20.85，則表明氣溫解釋了_的熱茶銷售杯數(shù)變化，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的_，所以氣溫對(duì)熱茶銷售杯數(shù)的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多4若施肥量x(kg)與小麥產(chǎn)量y(kg)之間的回歸直線方程為2504x，當(dāng)施肥量為50 kg時(shí)，預(yù)計(jì)小麥產(chǎn)量為_5某工廠為了對(duì)新研究的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

9、單價(jià)x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求回歸直線方程x，其中20，；(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤銷售收入成本)學(xué)案二、12獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的有關(guān)概念1分類變量變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量222列聯(lián)表假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(也稱22列聯(lián)表)為：y1y2總計(jì)x1ababx2cdcd總計(jì)acbdabcd3等高條形圖將列聯(lián)表中的

10、數(shù)據(jù)用高度相同的兩個(gè)條形圖表示出來，其中兩列的數(shù)據(jù)分別對(duì)應(yīng)不同的顏色，這就是等高條形圖4K2統(tǒng)計(jì)量為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量K2，其中nabcd為樣本容量5獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量K2來確定是否能以給定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法，稱為兩個(gè)分類變量獨(dú)立性檢驗(yàn)化解疑難反證法原理與獨(dú)立性檢驗(yàn)原理的比較反證法原理在假設(shè)H0下，如果推出一個(gè)矛盾，就證明了H0不成立獨(dú)立性檢驗(yàn)原理在假設(shè)H0下，如果出現(xiàn)一個(gè)與H0相矛盾的小概率事件，就推斷H0不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過小概率.獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法(1)根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類

11、變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界，然后查下表確定臨界值k0.P(K2k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706P(K2k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828(2)利用公式K2，計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k.(3)如果kk0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”化解疑難詳析獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)通過列聯(lián)表或觀察等高條形圖判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)

12、系，屬于直觀判斷，不足之處是不能給出推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率，而獨(dú)立性檢驗(yàn)可以彌補(bǔ)這個(gè)不足(2)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù)，它只是總體的代表，具有隨機(jī)性，因此，需要用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法確認(rèn)所得結(jié)論在多大程度上適用于總體列聯(lián)表和等高條形圖的應(yīng)用例1某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張，性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張作出等高條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類別是否有關(guān)系獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理例2打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關(guān)下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)：患心臟病未患心臟病總計(jì)每晚都打鼾302

13、24254不打鼾241 3551 379總計(jì)541 5791 633根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為每晚都打鼾與患心臟病有關(guān)系？活學(xué)活用某生產(chǎn)線上，質(zhì)量監(jiān)督員甲在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)時(shí)，990件產(chǎn)品中有合格品982件，次品8件；不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)時(shí)，510件產(chǎn)品中有合格品493件，次品17件能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為質(zhì)量監(jiān)督員甲在不在生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)與產(chǎn)品質(zhì)量好壞有關(guān)系？典例某工廠有工人1 000名，其中250名工人參加過短期培訓(xùn)(稱為A類工人)，另外750名工人參加過長期培訓(xùn)(稱為B類工人)現(xiàn)用分層抽樣的方法(按A類、B類分兩層)從該工廠的工人中抽取100名工

14、人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù))，結(jié)果如下表表1：A類工人生產(chǎn)能力的頻數(shù)分布表生產(chǎn)能力分組110,120)120,130)130,140)140,150)人數(shù)8x32表2：B類工人生產(chǎn)能力的頻數(shù)分布表生產(chǎn)能力分組110,120)120,130)130,140)140,150)人數(shù)6y2718(1)確定x，y的值；(2)完成下面22列聯(lián)表，并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為工人的生產(chǎn)能力與工人的類別有關(guān)系？生產(chǎn)能力分組工人類別110,130)130,150)總計(jì)A類工人B類工人總計(jì)附：K2，P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.6

15、3510.828活學(xué)活用電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷總計(jì)男女總計(jì)附：P(K2k0)0.050.01k03.8416.6351觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是2下面是一個(gè)22列聯(lián)表：y1y2總計(jì)x1a2173x222527總計(jì)b46則表中a，b處的值分別為()A

16、94,96B52,50 C52,54 D54,523獨(dú)立性檢驗(yàn)所采用的思路是：要研究A，B兩類型變量彼此相關(guān)，首先假設(shè)這兩類變量彼此_在此假設(shè)下構(gòu)造隨機(jī)變量K2，如果K2的觀測(cè)值較大，那么在一定程度上說明假設(shè)_4在吸煙與患肺病是否相關(guān)的判斷中，有下面的說法：若K2的觀測(cè)值k6.635，則在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺??；從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，若某人吸煙，則他有99%的可能患有肺病；從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，是

17、指有5%的可能性使得推斷錯(cuò)誤其中說法正確的是_5在一次天氣惡劣的飛機(jī)航程中，調(diào)查了男女乘客在飛機(jī)上暈機(jī)的情況：男乘客暈機(jī)的有24人，不暈機(jī)的有31人；女乘客暈機(jī)的有8人，不暈機(jī)的有26人能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下推斷：在天氣惡劣的飛機(jī)航程中，男乘客比女乘客更容易暈機(jī)？學(xué)案三、第二章 推理與證明21.1合情推理歸納推理如圖(甲)是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖(乙)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把圖(乙)中的直角三角形依此規(guī)律繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，OAn的長度構(gòu)成數(shù)列an，問題1：試計(jì)算a

18、1，a2，a3，a4的值問題2：由問題1中的結(jié)果，你能猜想出數(shù)列an的通項(xiàng)公式an嗎？問題3：直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和都是180，你能猜想出什么結(jié)論？以上兩個(gè)推理有什么共同特點(diǎn)？導(dǎo)入新知1歸納推理的定義由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理2歸納推理的特征歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理化解疑難歸納推理的特點(diǎn)(1)由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否正確，還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)，因此，歸納推理不能作為數(shù)學(xué)證明的工具；(2)一般地，如果歸納的個(gè)別對(duì)象越多，越具有代表性，

19、那么推廣的一般性結(jié)論也就越可靠.類比推理問題1：在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，那么，在四面體中，各個(gè)面的面積之間有什么關(guān)系？問題2：三角形的面積等于底邊與高乘積的，那么在四面體中，如何表示四面體的體積？以上兩個(gè)推理有什么共同特點(diǎn)？導(dǎo)入新知1類比推理的定義由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，稱為類比推理2類比推理的特征類比推理是由特殊到特殊的推理化解疑難對(duì)類比推理的定義的理解(1)類比推理是兩類對(duì)象特征之間的推理(2)對(duì)象的各個(gè)性質(zhì)之間并不是孤立存在的，而是相互聯(lián)系和相互制約的，如果兩個(gè)對(duì)象有些性質(zhì)相似或相同，那么它們另一些性質(zhì)也可能

20、相似或相同(3)在數(shù)學(xué)中，我們可以由已經(jīng)解決的問題和已經(jīng)獲得的知識(shí)出發(fā)，通過類比提出新問題和獲得新發(fā)現(xiàn)數(shù)、式中的歸納推理例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1，且Sn2an(n2)，計(jì)算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式活學(xué)活用將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：12345678910按照以上排列的規(guī)律，求第n行(n3)從左向右數(shù)第3個(gè)數(shù)圖形中的歸納推理例2(1)有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是()A26B31 C32 D36(2)把1,3,6,10,15,21，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)閭€(gè)數(shù)等于這些數(shù)目的點(diǎn)可以分別排成一個(gè)

21、正三角形(如圖)，試求第七個(gè)三角形數(shù)是_活學(xué)活用如圖，第n個(gè)圖形是由正n2邊形“擴(kuò)展”而來(n1,2,3，)，則第n個(gè)圖形中的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A (n1)(n2)B(n2)(n3) Cn2 DN類比推理例3設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列，類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，_，_，成等比數(shù)列活學(xué)活用已知橢圓具有以下性質(zhì)：已知M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，若直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值試對(duì)雙曲線1(a0，b0)寫出類似的性質(zhì)，并

22、加以證明典例三角形與四面體有下列相似性質(zhì)：(1)三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形(2)三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的連線所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點(diǎn)與這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線所圍成的圖形通過類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，并填寫下表：三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的中位線的長等于第三邊長的一半，且平行于第三邊三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心1解決此類問題，從幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面入手，將平面幾何的相關(guān)結(jié)論類比到

23、立體幾何中，相關(guān)類比點(diǎn)如下：平面圖形點(diǎn)線邊長面積線線角三角形平行四邊形圓空間圖形線面面積體積二面角四面體六面體球2常見的從平面到空間的類比有以下幾種情況，要注意掌握：(1)三角形類比到三棱錐：例：在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2AC2BC2”，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐ABCD的三個(gè)側(cè)面ABC，ACD，ADB兩兩相互垂直，則_”(2)平行四邊形類比到平行六面體：例：平面幾何中，有結(jié)論：“平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和”類比這一結(jié)論，將其拓展到空間，可得到結(jié)論：“_

24、”(3)圓類比到球：例：半徑為r的圓的面積S(r)r2，周長C(r)2r，若將r看作(0，)上的變量，則(r2)2r，式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，)上的變量，請(qǐng)你寫出類似于的式子：_，式可以用語言敘述為：_.(4)平面解析幾何類比到空間解析幾何：例：類比平面內(nèi)一點(diǎn)P(x0，y0)到直線AxByC0(A2B20)的距離公式，猜想空間中一點(diǎn)P(x0，y0，z0)到平面AxByCzD0(A2B2C20)的距離公式為d_.1根據(jù)給出的等式猜測(cè)123 45697等于()192111293111123941 1111 2349511 11112

25、34596111 111A1 111 110B1 111 111C1 111 112 D1 111 1132平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行，由此類比我們可以得到()A空間中平行于同一直線的兩直線平行B空間中平行于同一平面的兩直線平行C空間中平行于同一直線的兩平面平行D空間中平行于同一平面的兩平面平行3在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長比為12，則它們的面積比為14.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長比為12，則它們的體積比為_4觀察下列等式：132332,13233362根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為_5.如圖，已知O是ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AO，BO，CO并延長交對(duì)邊

26、于A，B，C，則1.這是平面幾何中的一道題，其證明常采用“面積法”：1.運(yùn)用類比猜想，對(duì)于空間中的四面體VBCD，存在什么類似的結(jié)論？并用“體積法”證明學(xué)案四、21.2演繹推理演繹推理看下面兩個(gè)問題：(1)一切奇數(shù)都不能被2整除，(22 0121)是奇數(shù)，所以(22 0121)不能被2整除；(2)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意直線必平行于另一個(gè)平面，如果直線a是其中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，那么a平行于另一個(gè)平面問題：這兩個(gè)問題中的第一句都說的什么？第二句又說的什么？第三句呢？導(dǎo)入新知1演繹推理的概念從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理稱為演繹推理簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊

27、的推理2三段論“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情況；(3)結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷“三段論”可以表示為：大前提：M是P.小前提：S是M.結(jié)論：S是P.辨析演繹推理與合情推理(1)演繹推理是確定的、可靠的，而合情推理則帶有一定的風(fēng)險(xiǎn)性嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理以演繹推理為基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)主要靠合情推理(2)合情推理和演繹推理分別在獲取經(jīng)驗(yàn)和辨別真?zhèn)蝺蓚€(gè)環(huán)節(jié)中扮演重要角色因此，我們不僅要學(xué)會(huì)證明，而且要學(xué)會(huì)猜想把演繹推理寫成三段論的形式例1將下列演繹推理寫成三段論的形式(1)一切奇數(shù)都不能被2整除，75不能被2整除，所以

28、75是奇數(shù)(2)三角形的內(nèi)角和為180，RtABC的內(nèi)角和為180.(3)菱形對(duì)角線互相平分(4)通項(xiàng)公式為an3n2(n2)的數(shù)列an為等差數(shù)列三段論的推理形式三段論推理是演繹推理的主要模式，推理形式為“如果bc，ab，則ac.”其中，bc為大前提，提供了已知的一般性原理；ab為小前提，提供了一個(gè)特殊情況；ac為大前提和小前提聯(lián)合產(chǎn)生的邏輯結(jié)果活學(xué)活用把下列推斷寫成三段論的形式：(1)ysin x(xR)是周期函數(shù)(2)若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等，所以若1和2是對(duì)頂角，則1和2相等三段論在證明幾何問題中的應(yīng)用例2已知A，B，C，D四點(diǎn)不共面，M，N分別是ABD和BCD的重心，求證：MN

29、平面ACD.類題通法三段論在幾何問題中的應(yīng)用(1)三段論是最重要且最常用的推理表現(xiàn)形式，我們以前學(xué)過的平面幾何與立體幾何的證明，都不自覺地運(yùn)用了這種推理，只不過在利用該推理時(shí)，往往省略了大前提(2)幾何證明問題中，每一步都包含著一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，將一般性原理應(yīng)用于特殊情況，就能得出相應(yīng)結(jié)論活學(xué)活用已知在梯形ABCD中，如圖，ABCDAD，AC和BD是梯形的對(duì)角線，求證：AC平分BCD，DB平分CBA.演繹推理在代數(shù)中的應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)ax(a1)，求證：函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)活學(xué)活用已知a，b，m均為正實(shí)數(shù)，ba，用三段論形式證明.典例定義在實(shí)數(shù)集R上的

30、函數(shù)f(x)，對(duì)任意x，yR，有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0，求證：f(x)是偶函數(shù)證明：令xy0，則有f(0)f(0)2f(0)f(0)，因?yàn)閒(0)0，所以f(0)1，令x0，則有f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)，所以f(y)f(y)，因此，f(x)是偶函數(shù)以上證明結(jié)論“f(x)是偶函數(shù)”運(yùn)用了演繹推理的“三段論”，其中大前提是：_.成功破障所有眼睛近視的人都是聰明人，我近視得很厲害，所以我是聰明人下列各項(xiàng)中揭示了上述推理是明顯錯(cuò)誤的是_我是個(gè)笨人，因?yàn)樗械穆斆魅硕际墙曆?，而我的視力那么好所有的豬都有四條腿，但這種動(dòng)物有八條腿，所以它不是豬小陳十分高

31、興，所以小陳一定長得很胖，因?yàn)楦吲d的人都長得很胖所有尖嘴的鳥都是雞，這種總在樹上待著的鳥是尖嘴的，因此這種鳥是雞隨堂即時(shí)演練1“四邊形ABCD是矩形，所以四邊形ABCD的對(duì)角線相等”，補(bǔ)充該推理的大前提是()A正方形的對(duì)角線相等B矩形的對(duì)角線相等C等腰梯形的對(duì)角線相等D矩形的對(duì)邊平行且相等2“因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)ylogax是增函數(shù)(大前提)，而ylogx是對(duì)數(shù)函數(shù)(小前提)，所以ylogx是增函數(shù)(結(jié)論)”上面推理錯(cuò)誤的原因是()A大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)B小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)D大前提和小前提都錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)3求函數(shù)y的定義域時(shí)，第一步推理中大前提是有意義，即a0，小前提是有意義，結(jié)論是

32、_4用三段論證明函數(shù)f(x)x在(1，)上為增函數(shù)的過程如下，試將證明過程補(bǔ)充完整：_大前提_小前提_結(jié)論5將下列推理寫成“三段論”的形式(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)矩形的對(duì)角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對(duì)角線相等；(3)0.33是有理數(shù)學(xué)案五、2.2直接證明與間接證明22.1綜合法和分析法綜合法閱讀下列證明過程，回答問題求證：是函數(shù)f(x)sin的一個(gè)周期證明：因?yàn)閒(x)sinsinsinf(x)，所以由周期函數(shù)的定義可知，是函數(shù)f(x)sin的一個(gè)周期問題1：本題的條件和結(jié)論各是什么？，本題的證明順序是什么？1綜合法的定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定

33、義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法2綜合法的框圖表示(P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論)綜合法的特點(diǎn)(1)綜合法的特點(diǎn)是從“已知”看“未知”，其逐步推理實(shí)際上是尋找已知條件的必要條件(2)綜合法從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理和運(yùn)算法則，通過演繹推理，一步一步完成命題的證明.分析法閱讀下列證明過程，回答問題求證：2.證明：要證原不等式成立，只需證()2(2)2，即證22，該式顯然成立，因此原不等式成立問題1：本題證明從哪里開始？，證明思路是什么？導(dǎo)入新知1分析法的定義從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成

34、立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法2分析法的框圖表示分析法的特點(diǎn)(1)分析法的特點(diǎn)是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實(shí)際上是尋找使結(jié)論成立的充分條件(2)分析法從命題的結(jié)論入手，尋求結(jié)論成立的條件，直至歸結(jié)為已知條件、定義、公理、定理等綜合法的應(yīng)用例1已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc.類題通法綜合法的證明步驟(1)分析條件，選擇方向：確定已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系，合理選擇相關(guān)定義、定理等；(2)轉(zhuǎn)化條件，組織過程：將條件合理轉(zhuǎn)化，書

35、寫出嚴(yán)密的證明過程特別地，根據(jù)題目特點(diǎn)選取合適的證法可以簡(jiǎn)化解題過程活學(xué)活用已知a0，b0，且ab1，求證：9.分析法的應(yīng)用例2設(shè)ab0，求證： ()在銳角ABC中，求證：tan Atan B1.綜合法和分析法的綜合應(yīng)用例3已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C為等差數(shù)列，且a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，求證：(ab)1(bc)13(abc)1.綜合法與分析法的適用范圍(1)綜合法適用的范圍：定義明確的題型，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，求證無條件的等式或不等式問題等；已知條件明確，且容易通過找已知條件的必要條件逼近欲得結(jié)論的題型(2)分析法適用的范圍：分析法的適用范圍是已知條件不明確，或已知條件

36、簡(jiǎn)便而結(jié)論式子較復(fù)雜的問題活學(xué)活用設(shè)a，b(0，)，且ab，求證：a3b3a2bab2.典例(12分)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，若函數(shù)yf(x1)的圖像與f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱求證：f為偶函數(shù)活學(xué)活用已知a，b，ab1，求證：2.隨堂即時(shí)演練1下面敘述正確的是()A綜合法、分析法是直接證明的方法B綜合法是直接證法，分析法是間接證法C綜合法、分析法所用語氣都是肯定的D綜合法、分析法所用語氣都是假定的2欲證不等式 成立，只需證()A()2()2 B()2()2C()2()2 D()2()23已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc1，求證：8.這種證法是_(填綜合法、分析法)4將下面用分析法證明

37、ab的步驟補(bǔ)充完整：要證ab，只需證a2b22ab，也就是證_，即證_，由于_顯然成立，因此原不等式成立5已知a0，b0，求證： .(要求用兩種方法證明)學(xué)案六、22.2反 證 法反證法著名的“道旁苦李”的故事：王戎小時(shí)候愛和小朋友在路上玩耍一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨(dú)有王戎沒動(dòng)等到小朋友摘了李子一嘗，原來是苦的他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這棵樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的”問題：王戎的論述運(yùn)用了什么推理思想？反證法解題的實(shí)質(zhì)是什么？1反證法假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立

38、)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這種證明方法叫做反證法2反證法常見的矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等1反證法實(shí)質(zhì)，用反證法證明命題“若p則q”的過程可以用以下框圖表示：2反證法與逆否命題證明的區(qū)別反證法的理論依據(jù)是p與非p真假性相反，通過證明非p為假命題說明p為真命題，證明過程中要出現(xiàn)矛盾；逆否命題證明的理論依據(jù)是“pq”與“非q非p”是等價(jià)命題，通過證明命題“非q非p”為真命題來說明命題“pq”為真命題，證明過程不出現(xiàn)矛盾用反證法證明否定性命題例1設(shè)函數(shù)f(x)

39、ax2bxc(a0)中，a，b，c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)求證：f(x)0無整數(shù)根1用反證法證明否定性命題的適用類型一般地，當(dāng)題目中含有“不可能”“都不”“沒有”等否定性詞語時(shí)，宜采用反證法證明2反證法的一般步驟用反證法證明命題時(shí)，要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)的過程這個(gè)過程包括下面三個(gè)步驟：(1)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真；(2)歸謬由“反設(shè)”作為條件，經(jīng)過一系列正確的推理，得出矛盾；(3)存真由矛盾結(jié)果斷定反設(shè)錯(cuò)誤，從而肯定原結(jié)論成立即反證法的證明過程可以概括為：反設(shè)歸謬存真活學(xué)活用設(shè)a，b，c，dR，且

40、adbc1，求證：a2b2c2d2abcd1.用反證法證明唯一性命題例2已知：一點(diǎn)A和平面.求證：經(jīng)過點(diǎn)A只能有一條直線和平面垂直用反證法證明唯一性命題的適用類型(1)當(dāng)證明結(jié)論是“有且只有”“只有一個(gè)”“唯一”等形式的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，所以用反證法證明唯一性比較簡(jiǎn)單(2)證明“有且只有一個(gè)”的問題，需要證明兩個(gè)方面，即存在性問題和唯一性問題兩個(gè)方面活學(xué)活用用反證法證明：過已知直線a外一點(diǎn)A有且只有一條直線b與已知直線a平行用反證法證明“至少”“至多”等存在性命題例3已知a1a2a3a4100，求證：a1，a2，a3，a4中至少有一個(gè)數(shù)大于25.常見“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”原結(jié)論

41、詞至少有一個(gè)至多有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)反設(shè)詞一個(gè)也沒有(不存在)至少有兩個(gè)至多有(n1)個(gè)至少有(n1)個(gè)原結(jié)論詞只有一個(gè)對(duì)所有x成立對(duì)任意x不成立反設(shè)詞沒有或至少有兩個(gè)存在某個(gè)x不成立存在某個(gè)x成立原結(jié)論詞都是一定是p或qp且q反設(shè)詞不都是不一定是p且qp或q活學(xué)活用已知函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)求證：函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上至多有一個(gè)零點(diǎn)典例(12分)如圖，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線活學(xué)活用設(shè)直線l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿足k1k220，證明l

42、1與l2相交隨堂即時(shí)演練1應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中，可以把下列哪些作為條件使用()結(jié)論的反設(shè)；已知條件；定義、公理、定理等；原結(jié)論AB C D2用反證法證明命題“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個(gè)能被5整除”，則假設(shè)的內(nèi)容是()Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除Ca不能被5整除 Da，b有1個(gè)不能被5整除3下列命題適合用反證法證明的是_已知函數(shù)f(x)ax(a1)，證明：方程f(x)0沒有負(fù)實(shí)數(shù)根；若x，yR，x0，y0，且xy2，求證：和中至少有一個(gè)小于2；關(guān)于x的方程axb(a0)的解是唯一的；同一平面內(nèi)，分別與兩條相交直線垂直的兩條直線必相交4已知平面平面

43、直線a，直線b，直線c，baA，ca，求證：b與c是異面直線，若利用反證法證明，則應(yīng)假設(shè)_5若下列三個(gè)方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍學(xué)案七、第三章 系數(shù)的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入_3.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念31.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)表示問題1：方程x210在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解嗎？若有一個(gè)新數(shù)i滿足i21，試想方程x210有解嗎1復(fù)數(shù)的定義形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i21.全體復(fù)數(shù)所成的集合C叫做復(fù)數(shù)集2復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，這一表示形式叫做

44、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部3復(fù)數(shù)相等的充要條件在復(fù)數(shù)集Cabi|a，bR中任取兩個(gè)復(fù)數(shù)abi，cdi(a，b，c，dR)，規(guī)定abi與cdi相等的充要條件是ac且bd.對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解(1)對(duì)復(fù)數(shù)zabi只有在a，bR時(shí)，a和b才分別是復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，并注意：虛部是實(shí)數(shù)b而非bi.(2)當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)，不能比較大小，只可判定相等或不相等，但兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小(3)利用復(fù)數(shù)相等，可以把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問題進(jìn)行解決，并且一個(gè)復(fù)數(shù)等式可得到兩個(gè)實(shí)數(shù)等式，為應(yīng)用方程思想提供了條件.復(fù)數(shù)的分類問題1：復(fù)數(shù)zabi在什么情況下表示實(shí)數(shù)？如何用集合關(guān)系表示實(shí)數(shù)

45、集R和復(fù)數(shù)集C?復(fù)數(shù)的分類(1) 復(fù)數(shù)abi(a，bR)(2)集合表示：10的特殊性0是實(shí)數(shù)，因此也是復(fù)數(shù)，寫成abi(a，bR)的形式為00i，即其實(shí)部和虛部都是0.2a0是復(fù)數(shù)zabi為純虛數(shù)的充分條件嗎因?yàn)楫?dāng)a0且b0時(shí)，zabi才是純虛數(shù)，所以a0是復(fù)數(shù)zabi為純虛數(shù)的必要不充分條件復(fù)數(shù)相等的充要條件例1(1)若512ixiy(x，yR)，則x_，y_.(2)已知(2x1)iy(3y)i，其中x，yR，i為虛數(shù)單位求實(shí)數(shù)x，y的值解決復(fù)數(shù)相等問題的步驟(1)等號(hào)兩側(cè)都寫成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；(2)根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件列出方程(組)；(3)解方程(組)活學(xué)活用已知x2y26(xy2)i0求實(shí)數(shù)x，y的值復(fù)數(shù)的分類例2已知mR，復(fù)數(shù)z(m22m3)i，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)z為實(shí)數(shù)？(2)z為虛數(shù)？(3)z為純虛數(shù)？利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)時(shí)，要先確定構(gòu)成實(shí)部、虛部的式子有意義的條件，再結(jié)合實(shí)部與虛部的取值求解要特別注意復(fù)數(shù)zabi(a，bR)為純虛數(shù)的充要條件是a0且b0.活學(xué)活用設(shè)復(fù)數(shù)zlg(m22m2)(m23m2)i，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)z是實(shí)數(shù)？(2)z是純虛數(shù)？典例設(shè)mR，m2m2(m21)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m_.成功破障若z(x21)2(x1)i為純虛數(shù)，