初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何模型專題講解13---正方形與45°角的基本圖

1、初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何模型專題講解專題13正方形與45°角的基本一、單選題1.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12, BE=EC,將正方形邊CD沿DE折疊到DF, 延長(zhǎng)EF交AB于G,連接DG,現(xiàn)在有如下4個(gè)結(jié)論：AG+EC=GE：NGDE = 45。； 的周長(zhǎng)是一個(gè)定值；連結(jié)FC, 8EC的面積等于!BfVFC.在以上4個(gè)結(jié) 論中，正確的是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得AD二DF, ZA=ZGFD=90°,于是根據(jù)“HL”判定RtADG"Rt4FDG、再lllGE = G/ + EE = AG + CE,從而判斷

2、，山對(duì)折可得：ZCDE = ZFDE, 111 RtADGRtFDG ,可得：NAOG =從而可判斷，設(shè)AG = a,CE = ，則8G = 12a,8E = 12-"GE = ,所=。,利用三角形的周長(zhǎng)公式可判斷，如圖，連接C凡證明ZkBC正是直角三角形，從而可判斷，從而可得本題的結(jié)論.【詳解】解：由正方形A3CQ與折疊可知，DF=DC=DA, ZDFE=ZC=90°, EC = EF,.ZDFG=ZA=90°,DG = DG、 RtADGRtFDG( HL),AG = GF,/. AG + EC = GF + FE = GE,故正確；由對(duì)折可得：ZCDE =

3、ZFDE,/ Rt ADG=Rt FDG ,ZADG = /FDG.ZADG + NCDE =4GDF + NEDF = - ZADC = 45°, 2/. ZGDE = 45°,故正確；設(shè) AG = a,CE =。，則 8G = 12。,8后=1246尸=4,七尸="： C"GE = BG + BE + GE = 12- a+ 12 +。+ = 24,所以：BGE的周氏是一個(gè)定值，故正確，如圖，連接CF,由對(duì)折可得：EF = £C,ZEFC = 4ECF,BE = CE,:.BE = EF, /EBF = /EFB,4BFC = /EFB +

4、 ZEFC = lx180° = 90°, 2故正確.9/63綜上：都正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形的 判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.2 .如圖，正方形ABCO和正方形0Mo的頂點(diǎn)4反。在同一直線/上，且七尸=點(diǎn),48 = 3,給出下列結(jié)論：NCO0 = 45。，A£* = 5,CT = 80 = g,COF的面積SCOF = 3,其中正確的個(gè)數(shù)為（A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和平角的定義可求NCOD：根據(jù)正方形的性質(zhì)可求OE,再根據(jù)線段的和差關(guān)系可求

5、AE的長(zhǎng)；作DH_LAB于H,作FG_LCO交CO的延長(zhǎng)線于G,根據(jù)含45。的直角三角形的性質(zhì)可求FG,根據(jù)勾股定理可求CF, BD,即可求解；根據(jù)三角形面積公式即可求解.【詳解】解：VZAOC=90°, ZDOE=45°,J Z COD= 180°- Z AOC- Z DOE=45°,故正確；，EF=0,AOE=2.VAO=AB=3,/. AE=AO+OE=2+3=5,故正確；作DH_LAB于H,作FG_LCO交CO的延長(zhǎng)線于G,則 FG=1,CF=7FG2+CG2 = Vi+i6 =,BH=3-1=2,DH=3+1=4,BD=JI不Z = 26,故錯(cuò)

6、誤;I3aCOF 的面積 SA cof=-x3x1 = -, 22故錯(cuò)誤；【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，含45。的宜角三角形的性質(zhì)，三角形面積，勾股定理，平角 的定義，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.3.如圖，在正方形有48CQ中，七是A3上的動(dòng)點(diǎn)，（不與4、3重合），連結(jié)OE,點(diǎn)A關(guān)于OE的對(duì)稱點(diǎn)為尸，連結(jié)班并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)G ,連接DG,過點(diǎn)£作交。G的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接8”，那么些的值為（）A. 1B. y/2C. 73D. 2【答案】B【分析】作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明 DAE<ZXENH,得AE=HN, AD=EN,再說明 BNH是等腰宜角

7、三角形，可得結(jié)論.【詳解】如圖，在線段AD上截取AM,使AM=AE,VAD=AB,'DM=BE,點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F,ADEFDE,ADA=DF=DC, ZDFE=ZA=90°, Z1=Z2, ZDFG=90°,在 RtA DFG 和 RtA DCG 中，DF=DC DG=DG，/.RtA DFGRtA DCG (HL),AZ3=Z4, ZADC=90°,.Zl+Z2+Z3+Z4=90°,A 2 Z 2+2 Z 3=90°,A Z 2+Z 3=45°,即 NEDG=45。，VEH1DE,NDEH=90。， DEH是等腰

8、宜角三角形，Z AED+ Z BEH= Z AED+ Z 1=90°, DE=EH,AZ1=ZBEH,在4 口2正和4 EBH中，DM=BE:"=NBEH ,DE=EHAADMEAEBH (SAS),RSAEM 中，ZA=90°, AM=AE,J EM = y/2AE，BH故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，等知識(shí)，解決本題的關(guān) 鍵是作出輔助線，利用正方形的性質(zhì)得到相等的邊和相等的角，證明三角形全等.4.如圖，在正方形48C。內(nèi)作尸= 45。，AE交BC于點(diǎn)、E, A/交CO于點(diǎn)尸，連接EF,過點(diǎn)A作A_L所，垂足為點(diǎn)，將/繞

9、點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ABG,若BE = 4,DF = 6,則以下結(jié)論：AAZW三AH = EF,些=這，AF 3S°c以 =24,正確的個(gè)數(shù)有（）A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)【答案】C【分析】利用正方形的性質(zhì),九旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明aGAE包以E,再證明 A/7/%A/7），判斷，利用 全等三角形的性質(zhì)與勾股定理先求解正方形的邊長(zhǎng)，再分別求解判斷，再 利用勾股定理計(jì)算AE，AF,判斷，通過計(jì)算s印,判斷.【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AF=AG, ZDAF=ZBAG.四邊形ABCD為正方形，ZBAD=90°.XVZEAF=45°,.ZBAE+ZDAF=4

10、5O.AZBAG+ZBAE=45°.AZGAE=ZFAE.在 GAE和 FAE中AG = AF. ZGAE = /FAE , AE = AE:.GAEFAE,.NG = /AFE,ZG =公 FD,ZAFE = ZAFD,ZAHF = ZADF = 90°, AF = AF,故正確，/. AH = AO,9 £GAE=FAE.GE = FE, BE = 4,DF = 6,GB = DF,GE = EF = 10,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,則CE = x4,B = x6, 由勾股定理得："-4)2+(' 6)2= 1()2,解得：內(nèi)=12,勺=一2 (舍

11、去)/. AH =AD = BC = 12,.A”故錯(cuò)誤，AFH'AFD,:.FH = FD = 6,EH = EB = 4,.1收+£7/2 _ J16 + 144 _ /160 _2>/2 AF yAH2+FH2 J36+144 V1803vCf = x-4 = 8,CF = x-6 = 6,S""=。后。/=,>8*6 = 24.故正確.22綜上：正確，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.二、解答題 5.已知：四邊形A3CQ為正方形，AAMN是等腰HfA

12、, ZAM/V = 90°.（1）如圖：當(dāng)H/AAAm繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，若邊AM、4N分別與8C、CZ）相交于點(diǎn)E、F ,連接試證明：EF = DF + BE.（2）如圖，當(dāng)RMMN繞點(diǎn)、A旋轉(zhuǎn)時(shí),若邊AM、AN分別與8C、8的延長(zhǎng)線相交試寫出此時(shí)三線段E/、DF、鹿的數(shù)量關(guān)系并加以證明.若CE = 6, DF = 2,求：正方形A8CQ的邊長(zhǎng)以及A4E尸中AE邊上的高.【答案】(1)證明見解析：(2)“' = 8七一。/，證明見解析；2#【分析】(1)延長(zhǎng)CB到G,使BG=DF,連接AG,根據(jù)正方形性質(zhì)得出AD=AB, ZD=ZABG, 根據(jù)全等三角形的判定推出即可；(2)EF

13、二BE-DF,理由是：在 BC 上取 BG=DF,連接 AG,證 ABGZaADF, FAEAEAG 即可；過F作FH_LAE于H,設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是x,則BC=CD二x,EF=GE=BC-BG+CE=x+4,在 Rs FCE 中，由勾股定理得出方程(x+4) 2= (x+2) 2+62, 求出x后再求出FH即可.【詳解】(1)證明：如圖1,延長(zhǎng)CB到G,使BG=DF,連接AG,圖1四邊形ABCD是正方形，A ZD=ZABC=ZDAB=ZABG=90°, AD=AB,在 ADF和汁ABG中，AD=AB, /D= ZABG,DF=BG .,.ADFAABG (SAS), .AG=

14、AF, ZDAF=ZBAG,丁 ZEAF=45°, /. ZEAG= ZEAB+ZBAG= ZEAB+ ZDAF=45°,AZEAF=ZEAG,V AE=AE,AAEAFAEAG, /. EF=EG=EB+BG=EB+DF.(2)三線段跖、DF、BE的數(shù)量關(guān)系是：EF = BEDF,理由如下:如圖2,在8c上取一點(diǎn)G,使BG = DF連接AG,同(1)可證AABGgAAO/，AAG=AF, ZDAF=ZBAG,A4MN是等腰直角三角形，J ZMNA = ZN = 45°,J ZFAD+ZDAE = 45° ,J ZDAE+ZBAG = 45°,

15、ZDAB = 90°,，ZGAE = 90°-45° = 45° = ZFAE ,AF = AG在和 AG4E 中， ZFAE = ZGAF AE = AEA AE4£AGAE(5AS),'. EF = EG = BEBG,/ BG = DF,J EF = BE-DF.如圖2,過F作FH_LAE于H,設(shè)正方形ABCD的邊氏是x,則BC=CD=x,VCE=6, DF=BG=2,J EF=GE=CG+CE=BC-BG+CE=x-2+6=x+4,在RtAFCE中，由勾股定理得:EF2=FC2+CE2,/. (x+4) 2= (x+2) 2+6

16、2,解得：x=6,* AG=AF= J6, +2? = 2y/10，VZFAM=45°, FH=WaF=2x2M = 2",即 AEF中AE邊上的高為26.【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)綜合題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識(shí)，解 題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解 決問題，屬于中考?jí)狠S題.6.如圖，AB = AD = BC = DC, /。= = 45?=/M。=90。，點(diǎn)后、尸分別在邊8。、 CD±, F = 45。，過點(diǎn)A作NG4B = ZMD,且點(diǎn)G在C3的延長(zhǎng)線上.(1) AGAB與AMD全等嗎？為什么

17、？(2)若DF = 2, BE = 3,求石廠的長(zhǎng).【答案】(1) GAB/XFAD,理由見解析；(2) EF=5【分析】(1)由題意可得NA8G=NO=90。，進(jìn)一步即可根據(jù)ASA證得 GABFAD,(2) | (1)的結(jié)論可得AG=AF, GB=DF,易得NBAE+NDAF=45。,進(jìn)而可推出ZGAE=ZEAF,然后利用SAS即可證明布E,可得GE=E凡 進(jìn)一步即可求出結(jié)果.【詳解】解：(1)NQ = NABE = 90。，點(diǎn)G在C8的延長(zhǎng)線上，NA8G=NO=90。，在 GAB和4中，V ZGAB = ZFAD, AB=AD, ZABG=ZD,.GAB絲四。(ASA)：(2) ,: GA

18、B/FAD, ：,AG=AF, GB=DF,'：ABAD = 90° , ZE4F = 45°,：.ZBAE+ZDAF=45Q, ：.ZBAE+ZGAB=45Q, B|JZGAE=45°,：.ZGAE=ZEAF,在 GAE>fUA 后IE 中，,：AG=AF, NGAE=NEAF, AE=AE,：./GAE/FAE (SAS),GE=EF,* GE=GB+BE=DF+BE=2+3>=5,：.EF=5.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于?？碱}型，熟練掌握全等三角形的判定 和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7 .如圖，在矩形ABCQ中，44。的平

19、分線交8C于點(diǎn)E, EF1,AD于點(diǎn)、F , DGVAE于點(diǎn)G, DG與EF交于點(diǎn)0.AD（1）求證：四邊形ABEr是正方形；（2）若= 求證：AB = AG；（3）在（2）的條件下，已知AB = 1,求8的長(zhǎng).【答案】（1）見解析：（2）見解析：（3） 2-2【分析】（1）懺先證明4花/是矩形，然后找到一組鄰邊相等即可證明四邊形反蛇是正方形；（2）主要證明aAGD三“1正，從而得出AG = A/，| （1）知，四邊形4吐是正方形，AB = AF,等量代換即可證明AB = 4G；（3）已知AB = 1,可知AE = JJ，乂因?yàn)閍AGD三aAFE,求出AO的長(zhǎng)度，DF=AD-AF,根據(jù)等式關(guān)系

20、求出D尸的長(zhǎng)，最后證明ODF為等腰直角三角形,應(yīng)。/即可求解.【詳解】（1）在矩形 45CQ中，ZBAF = ZB = 90 ,EFYAD,ZAFE = 90SZBAF = ZB = ZAFE = 90，四邊形4%尸是矩形，乂 yAE 平分 NBA/,/BAE = 45°，二 AAEB = 45，為等腰直角三角形，二 BE = AB ,，四邊形4形尸是正方形(鄰邊相等的矩形為正方形)：(2) 丁 DGLAE.- ZAGD = ZAFE = 90 ,Xv ZDAG = ZEAF, AD=AE9/. AGD=AFE (AAS),二 AG = AF,III(1)知，四邊形是正方形，二 AB

21、 = AF ,：.AB = AG；(3)在正方形中，ZAEF = 45 , AB = AF = i, AE = ",III (2)知：aAGDwAFE, AD=AE=曰 ZADG = ZAEF = 45s DF=AD-AF=e 八,乂丁 Eh AD, ZADG = 45 ,OQF為等腰直角三角形，二 OD= 5/2 DF=2- y/2 .【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形與正方形的判定與性質(zhì)、證明三角形全等等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握特殊 四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6, E, F分別是AB, BC邊上的點(diǎn)，且NEDF=45。，將 DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到DCM

22、.(1)求證：EF=CF+AE；(2)當(dāng)AE=2時(shí),求EF的長(zhǎng).【答案】(1)見解析：(2) 5,詳見解析.【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)可得DE=DM, NEDM為直角，可得出NEDF+NMDF=90。，由NEDF= 45。，得到NMDF為45。，可得出NEDF= NMDF,再由DF=DF,利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出EF=CF+AE；(2)由(1)的全等得到AE=CM = 2,正方形的邊長(zhǎng)為6,用AB-AE求出EB的長(zhǎng),再由 BC+CM 求出 BM 的長(zhǎng)，設(shè) EF=MF=x,可得出 BF=BM - FM = BM - EF=8 - x,在宜角三角形B

23、EF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即 為EF的長(zhǎng).【詳解】(1)證明:DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到 DCM,ZFCM = ZFCD+ ZDCM =180°, AE=CM, F、C、M三點(diǎn)共線，A DE=DM, ZEDM = 90°, NEDF+NFDM = 90。，VZEDF=45°, NFDM=NEDF=45。，在 DEF和 DMF中，DE = DM" ZEDF = NMDF , DF = DF/.DEFADMF (SAS),EF=MF,AEF=CF+AE：(2)解：設(shè) EF=MF=x,VAE=CM = 2,且 BC=6,.

24、BM = BC+CM=6+2 = 8,BF=BM - MF=BM - EF=8 - x,VEB = AB-AE=6-2=4,在REBF中，由勾股定理得所2 + 8p2=E產(chǎn),即 42 +(8-x)2 =x2 ,解得：x = 5.則 EF=5.【點(diǎn)睛】 本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等及勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)半角旋轉(zhuǎn)得到三角形的全等，然后利用勾股定理求得線段的長(zhǎng).9.已知A (m, n),且滿足Im - 21+ (n-2) 2=0,過A作AB_Ly軸，垂足為B.（1）求A點(diǎn)坐標(biāo).（2）如圖1,分別以AB, AO為邊作等邊 ABC和 AOD,試判定線段AC和DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，

25、并說明理由.（3）如圖2,過A作AE_Lx軸，垂足為E,點(diǎn)F、G分別為線段OE、AE上的兩個(gè)動(dòng)試探究-a-ba + b點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），滿足NFBG=45。，設(shè)OF=a, AG=b, FG=c,的值是否為定值？如果是求此定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.【分析】(2) AC=CD, ACJ_CD,證明見解析:(3) 0.（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得m、n的值;(2)連接 OC,由 AB=BO 知 NBAO=NBOA=45。，|I|A ABC, ZkOAD 為等邊三角形知ZBAC= ZOAD= ZAOD=60°OA=OD,繼而由 NBAC-NOAC=NOAD-NOAC 得ZDAC=ZBAO=

26、45°,根據(jù) OB=CB=2、NOBC=30。知ZBOC=75°, ZAOC= ZBAO-ZBOA=30°, ZDOC=ZAOC=30°, IIEa OACAODC得 AC=CD,再根據(jù)NCAD二NCDA=45°知NACD=90。，從而得 AC_LCD；(3)在x軸負(fù)半軸取點(diǎn)M,使得OM二AG二b,連接BG,先證BAGgABOM得ZOBM=ZABGs BM=BG,結(jié)合NFBG=45。知NABG+NOBF=45。，從而得ZOBM+ZOBF=45°, ZMBF=ZGBF,再證 MBFgaGBF得 MF=FG, B|J a+b=c,代 入原

27、式可得答案.【詳解】(1)由題得 m=2, n=2,A A (2, 2)；(2)如圖1,連結(jié)OC,111 (1)得 AB=BO=2,ABO為等腰直角三角形，AZBAO=ZBOA=45°,:ABC, ZkOAD為等邊三角形，A ZBAC=ZOAD=ZAOD=60°, OA=OD Z B AC- Z OAC= Z OAD- Z OACE|JZDAC=ZBAO=45°在OBC 中，OB=CB=2, ZOBC=30°,AZBOC=75°, /. Z AOC= Z B AO- Z BOA=30°,.ZDOC=ZAOC=30°,在 OA

28、C和 ODC中，OA=ODI ZAOC=ZDOC f oc=oc/.OACAODC,AAC=CD,.ZCAD=ZCDA=45°,J ZACD=90°,AAC1CD；(3)如圖，在x軸負(fù)半軸取點(diǎn)M,使得OM=AG=b,連接BG,在A BAG和 BOM中，BA=BO< ZA= 4BOM , AG=OMAABAGABOMAZOBM=ZABG, BM=BGXZFBG=45°AZABG+ZOBF=45°AZOBM+ZOBF=45°.ZMBF=ZGBF在 MBF GBF 中,BM=BG"NMBF=ZABF , BF=BF/.MBFAGBF.

29、MF=FGa+b=c代入原式=0.10.已知，如圖1,正方形A8CO的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E、/分別在邊AB、A。的延長(zhǎng)線上, 且BE=DF,連接石尸.（1）求NE的度數(shù)；（2）將繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a滿足0。<（1<45。時(shí)，設(shè)石尸與射線A8交于點(diǎn)G,與4C交于點(diǎn)H,如圖所示，試判斷線段尸"、HG、GE的數(shù)量關(guān)系，并 說明理由.（3）若將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，連接。尸、BE,并延長(zhǎng)EB交直線。尸于點(diǎn)P,連接PC,則點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為線段PC的取值范圍為.【答案】（1） ZE=45°； （2） FH2+GE2=HG2,理由見解析；（3） 6點(diǎn)兀，0WPC&6

30、五.【分析】（1）先證明AE二AF,山等腰直角三角形的性質(zhì)可求解；（2）如圖2,作輔助線，構(gòu)建全等三角形，先證明 AGHgZXAGK,得GH二GK,由 AFHAAEK,得/AEK=NAFH=45。，F(xiàn)H=EK,利用勾股定理得：KG2=EG2+EK2,根據(jù)相等關(guān)系線段等量代換可得結(jié)論：FH2+GE2=HG2；（3）如圖3,先證明NFPE二NFAE=90°,根據(jù)90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑可得：點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)路徑是：以BD為宜徑的圓，如圖4,可得PC的取值范圍.【詳解】（1）;四邊形48CO是正方形，：.AD=AB, ZDAB=90°,: BE=DF,：,AD+DF=AB+BE,

31、即 AF=AE,XVZME=90°,/.ZE=ZF=45°；（2） FH2+GE2=HG2f 理由是:如圖2,過A作AKJ_4C,截取AK=4，連接GK、EK,Z B| GA圖2 7 KVZCAB=45°,NCA8=NK48=45。，在AG”和4 4GK中，< AG = AG< NHAG = ZKAG , AH =AK:, lAGH9XAGK (SAS),:GH=GK,由旋轉(zhuǎn)得：ZM£=90°, AF=AE.< NHAK=90。，；NFAH=NKAE,在 AFH和 AEK中，AF = AE< ZFAH = ZKAE ,

32、AH =AK:AFH94AEK (SAS),ZAEK=ZAFH=45°f FH=EK,9： ZAE/=45°,，NKEG=450+45°=90°,RtA GKE 中，KG2=EG2+EK2,即：FHGE2=HG2：(3)解:如圖3,圖3V ZB4Z)=90°, ZME=90°, AF=AEf：.ZDAF=ZBAE,在 D4尸和 84E中，AD = AB ZDAF = NBAE ,AF = AE：./DAFBAE (SAS),；NDFA=NBEA, NPNF=NANE, NFPE=NFAE=90°, 將4 AE/繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周

33、，總存在直線EB與直線。尸垂直,，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑是：以8。為直徑的圓， 丁 BD = y/2AB = 672 , 點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=兀d =6五兀:如圖4,當(dāng)尸與C重合時(shí)，PC最小，PC=O,當(dāng)P與4重合時(shí),PC最大為6應(yīng),工線段尸。的取值范圍是：0<PC<6V2 .故答案為：6&兀，0<PC<6a/2 .【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理 的應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的概念，通過作輔助線 構(gòu)建全等三角形得出邊相等和角相等，因此本題輔助線的作法是關(guān)鍵：故在幾何證明中, 恰肖的作輔助線可

34、以把四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題，使問題得以解決.11. (1)如圖1所示，已知正方形488中，E是A3上一點(diǎn)，尸是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 DF = BE.求證：CF = CE-(2)如圖2所示，在正方形ABC。中，E是A3上一點(diǎn)，G是AO上一點(diǎn)，如果NGCE = 45。, 請(qǐng)利用(1)中的結(jié)論證明：GE = BE + GD.D圖1AG D圖2【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)，可直接證明 CBEgZXCDF,從而得出CE=CF：(2)延長(zhǎng)AD至F,使DF=BE,連接CF,根據(jù)(1)知NBCE=NDCF,即可證明ZECF=ZBCD=90°,根據(jù)NG

35、CE=45。，得NGCF=NGCE=45。，利用全等三角形的判定 方法得出 ECG四FCG,即GE=GF,即可得出答案GE二DF+GD=BE+GD.【詳解】解：(1)證明：如圖1,在正方形ABCD中，VBC=CD, ZB=ZCDF, BE=DF,AACBEACDF,ACE=CF：(2)證明：如圖2,延長(zhǎng)AD至F,使DF=BE,連接CF,| (1)知 CBEACDF,AZBCE=ZDCF. Z BCE+ Z ECD= Z DCF+ Z ECDB|JZECF=ZBCD=90°,XVZGCE=45°, /.ZGCF=ZGCE=45°,VCE=CF, NGCE二NGCF,

36、 GC=GC,AAECGAFCG,AGE=GF, ，GE=DF+GD=BE+GD【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，利用全等三角形的判定方法正 確證明三角形全等是關(guān)鍵.12. (1)如圖，在正方形ABCD中，ZFAG=45°,請(qǐng)直接寫出DG, BF與FG的數(shù)量 關(guān)系，不需要證明.(2)如圖，在 RtA ABC 中，NBAC=90°,AB=AC,E,F 分別是 BC 上兩點(diǎn)，NEAF=45。,寫出BE, CF, EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.若將(2)中的4AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置，上述結(jié)論是否仍然成立？若不成立，直接寫出新的結(jié)論，無需證明.(3)

37、如圖， AEF 中NEAF=45。，AG_LEF 于 G,且 GF=2, GE=3,則 5 AE1；=【答案】(1) FG=BF+DG； (2) ®EF2=BE2+FC2,理由見解析;仍然成立；(3) 15【分析】(1)把 AGD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至 ABP,可使AD與AB重合，再證明 AFGAAFP 進(jìn)而得到 PF=FG,即可得 FG=BF+DG：(2)根據(jù) AFC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到 AGB,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知 ACFgZABG 得至IBG=FC, AG=AF, ZC=ZABG, ZFAC=ZGAB,根據(jù) Rs ABC 中的 AB二AC 得到NGBE=90。，所以 G

38、B'BEJGE, 證 AGEgZXAFE,利用 EF二EG 得到 EF2=BE2+FC2；將 ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得AB與AD重合，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是G,同上的方法證 得GC2+CF2=FG2,再設(shè)法利用SAS證得 AFGAAFE即可求解；(3)將 AEG沿AE對(duì)折成 AEB,將 AFG沿AF對(duì)折成 AFD,延長(zhǎng)BE、DF相 交于C,構(gòu)成正方形ABCD,在RSEFC中，利用勾股定理求得正方形的邊長(zhǎng)，即可求 得AG的長(zhǎng)，從而求得答案.【詳解】（1）:四邊形ABCD為正方形，AB二AD, ZADC=ZABC=90°,，把 AGD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至 ABP,使AD與AB重合,

39、.ZBAP=ZDAG, AP= AG,VZBAD=90°, ZFAG=45°,AZBAF+ZDAG=45°,AZPAF=ZFAG=45°,VZADC=ZABC=90°,AZFBP=180°,點(diǎn) F、B、P 共線,在 AFG和a AFP中，AG = AP< 4FAG = /FAP , AF = AF/.AFGAAFP (SAS),APF=FG,即：FG=BF+DG；(2) ®FC2+BE2=EF2,證明如下:VAB=AC, ZBAC=90°,.ZC=ZABC=45°,將a AFC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

40、得到 AGB,.,.ACFAABG,ABG=FC, AG=AF, ZC=ZABG=45°, ZFAC=ZGAB ,J ZGBE=ZABG +ZABC =90°,.GB2+BE2=GE2,XVZEAF=45°,AZBAE+ZFAC=45°,AZGAB+ZBAE=45°,即 NGAE=45。，在 AGE AFE 中，-GA = FA< ZEAG = ZEAF ,AE = AEAGEAFE (SAS),AGE=EF,.fc2+be2=ef2；仍然成立，理由如下：如圖，將 ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得AB與AD重合，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,/.ACGA

41、ABE,ACG=BE, AG=AE, ZACG=ZABE=45°, ZBAE=ZCAG,J ZGCB=ZACB +ZACG =90°, E|JZGCF=90°, .GC2+CF2=FG2,Z BAE+ Z EAC= Z BAC=90°,.ZCAG+ZEAC=90°,乂 ./EAF=45°, ZGAF=900-ZEAF=45°,AZGAF=ZEAF=45°,在 AFG和 AFE中，-GA = EA< Z.GAF = Z.EAF , AF = AFAFG-AFE (SAS),AGF=EF,AFC2+BE2=EF2

42、；(3)將 AEG沿AE對(duì)折成 AEB,將 AFG沿AF對(duì)折成 AFD,延長(zhǎng)BE、DF相交于C,cA AAEG = AEB, AFG = AFD»AAB=AG=AD, BE=EG=3, DF=FG=2, NEAG二NEAB, ZFAG=ZFAD, ZB=ZD=90°, ZEAF=45°,. Z EAB+ Z FAD= Z EAG+ Z FAG= Z EAF=45°,/. ZBAD=90°,，四邊形ABCD為正方形，設(shè) AG =A",則 AB=BC=CD= v ,在 R EFC 中，EF=3+2=5, EC=BC-BE= jc-3 ,

43、FC=CD-DF= x-2 ,J FC2+EC2=EF2,故(x-2)2+(1-3)2 =5，解得：為=一1(舍去)，=6,AAG=6,SrAEi. = EFAG = x5x6 = 15 . 22故答案為：15.【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì), 勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，同時(shí)考查了學(xué)生的閱讀理解能力與知識(shí)的遷移能力, 綜合性較強(qiáng)，難度適中.13.正方形ABCO中，E為BC上的一點(diǎn)，/為C。上的一點(diǎn)，BE+DF = EF,求NE4產(chǎn)的度數(shù).【答案】45?！痉治觥垦娱L(zhǎng)EB使得BG=DF,易證 ABGADF (SAS)可得AF=AG,進(jìn)而求證

44、AEGgZAEF可得NEAG二NEAF,再求出NEAG+NEAF=90。即可解題.【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)E8到點(diǎn)G,使得8G =。尸，連接47.在正方形中，ZD = ZABC = 90°, AB = AD.:.ZABG = ZADF = 90°.在ABG和尸中，AB = AD ZABG = ZADF , BG = DF:.ABGADF(SAS),/. ZDAF = ZBAG , AF = AG.乂 yEF = DF + BE = BG+BE = EG,-在 /XAEG 和 aAEF 中,AE = AE< GE = FE , AG = AF:aAEG 區(qū)AEF(SSS)

45、,ZEAG = ZEAF .ZDAF + ZEAF + ZBAE = 90°,ZBAG + ZEAF + ZBAE = 90°,/.ZE4G+ZEAF = 90°,“BE »【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是 解決此題的關(guān)鍵.14.如圖，正方形A8CO中，E、尸分別在邊8C、CD±,且NEA/=45。，連接EA 這種模型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型響題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析 思路.例如圖中AO/與A8G可以看作繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。的關(guān)系.這可以證明結(jié)論“七月=BE+DF請(qǐng)補(bǔ)充輔助線的

46、作法，并寫出證明過程.G' 3 E C(1)延長(zhǎng)C8到點(diǎn)G,使8G=,連接AG；(2)證明：EF=BE+DF【答案】(1)DF： (2)見解析【分析】(1)由于 尸與 48G可以看作繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。的關(guān)系，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BG=DF, 從而得到輔助線的做法：(2)先證明 AOZX/IBG,得至IJAG=AF, ZGAB=ZDAF,結(jié)合NE4F=45。，易知ZGAE=45°,再證明 AGEAAFE 即可得至lj EF=GE=BE+GB=BE+DF【詳解】解：(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BG=DF,從而得到輔助線的做法:延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G,使BG=DF, 連接AG；(2) 四邊形ABCD為

47、正方形，AAB=AD, ZADF= ZABE= ZABG=90°,在 AO廠和 A8G中AD = ABAADF = NABGDF = BG：.ADF/ABG (SAS),.AF=AG, ZDAF=ZGAB,VZEAF=45°,AZDAF+ZEAB=45°,AZGAB+ZEAB=45O,AZGAE=ZEAF =45°,在46£：和4 A正中0AG = AF< ZGAE = ZFAEAE = AE：.ADF/ABG (SAS),AGE=EF,：.EF=GE=BE+GB=BE+DF【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的

48、判定和性質(zhì)等知識(shí)，解 題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)方法提示構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型.15.已知在正方形ABCD和正方形CEFG中，直線BG, DE交于點(diǎn)H.(1)如圖1,當(dāng)B, C, E共線時(shí)，求證：BH1DE.(2)如圖2,把正方形CEFG繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度(0VaV90), M, N分別為BG,DE的中點(diǎn)，探究HM, HN, CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(3)如圖 3, ZPDG=45°, DHJ_PG 于 H, PH=2, HG=4.直接寫出 DH 的長(zhǎng).【答案】（1）見解析：（2） MH2+HN2=2CM2,理由見解析；（3） 3+炳.【分析】（1）根據(jù)正方形的性

49、質(zhì)得到BC = CD, CG = CE, ZBCG=ZDCE=90°,根據(jù)全等三 角形的性質(zhì)得到NCBG=NCDE,根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BC = CD, CG = CE, NBCD=NGCE=90。，由全等三角 形的性質(zhì)得到/CBG=NCDE, BG = DE,求得NMHN=90。，得至lj BM = DN,根據(jù)全 等三角形的性質(zhì)得到CM=CN, ZBCM=ZDCN,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論：（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到 AD=DH=CD, NA=NC=NDHP = 90。，NADP=NHDP, NGDH=NGDC, AP = PH=2, CG = HG

50、=4,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NB = 90。，設(shè) DH = AD = AB = BC = x,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.【詳解】解：（1）證明：:在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=CD, CG=CE, ZBCG =ZDCE=90°,AABCGADCE （SAS）,.ZCBG=ZCDE,VZCDE+ZDEC=90°,NHBE+NBEH=90°, .ZBHE=90°,ABH IDE；(2)解:MH2+HN2=2CM2,理由：.在正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，BC = CD, CG=CE, ZBCD=ZGCE=90°,AZBC

51、G=ZDCE,.,.BCGADCE (SAS),AZCBG=ZCDE, BG = DE,/DPH = NCPM,NDHP=NBCP=90。，AZMHN=90°,M, N分別為BG, DE的中點(diǎn)，ABM=-BG, DN= - DE, 22，BM = DN,VBC=CD,/.BCMADCN (SAS),ACM=CN, ZBCM=ZDCN,AZMCN=ZBCP=90°,. MH2+HN2=CM2+CN2=2CM2 ：(3)解：VDH±PG,.ZDHP=ZDHG = 90°,把 PDH沿著PD翻折得到 APD,把 GDH沿著DG翻折得到 DGC,AD = DH=

52、CD, ZA=ZC=ZDHP=90°, NADP=NHDP, NGDH=NGDC, AP= PH = 2, CG = HG=4,VZPDG=45°,AZ ADC=90°,延長(zhǎng)AP, CG交于B,則四邊形ABCD是正方形，AZB=90°,設(shè) DH = AD = AB = BC = x,/.PB=x - 2, BG = x - 4,VPG2 = PB2+BG2,62= (x - 2) 2+ (x - 4) 2,解得：x=3 + J萬(負(fù)值舍去)，ADH=3 + V17 .【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，綜合性較強(qiáng)，熟知正方形性質(zhì)，根據(jù)題意構(gòu)造正方形是解

53、題關(guān)鍵.對(duì)于此類分步驟的綜合題，每一步解題都為后續(xù)解題提供了解題條件或解 題思路，要深刻領(lǐng)會(huì)并善于運(yùn)用這一點(diǎn)進(jìn)行解題.16.已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上.(1)若 BE=DF,求證：NBAE=NDAF；聯(lián)結(jié)AC交EF于點(diǎn)O,過點(diǎn)F作FMAE,交AC的延長(zhǎng)線于M,聯(lián)結(jié)EM,求證: 四邊形AEMF是菱形.(2)聯(lián)結(jié) BD,交 AE、AF于點(diǎn) P、Q.若NEAF=45。，AB=1,設(shè)BP = x, DQ = y ,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系及定義城.【答案】(1)見解析：見解析；(2)，=與叵(OWxK立)*42. x2【分析】(1)證明ABEgZADF (SAS),即可推

54、出NBAE二NDAF.證明 FOMgZEOA (ASA),推出AE=FM,由FMAE,可得四邊形AEMF是平 行四邊形，再根據(jù)AE二AF可得結(jié)論.(2)如圖2中，將ADQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到 ABT,連接PT.證明 APQAAPT (SAS),推出 PQ=PT,由題意 BD二點(diǎn)，推出 PQ二PT=" - xy ,在RSTBP中,根據(jù)打2=叼2+網(wǎng)2,構(gòu)建關(guān)系式矚【詳解】(1)證明：如圖1中,圖1四邊形ABCD是正方形， .ZB=ZD=90°, AB=AD,VBE=DF,/.ABEAADF (SAS),AZBAE=ZDAF：證明：:四邊形ABCD是正方形,AZBAC=Z

55、DAC=45°,VZBAE=ZDAF,AZEAO=ZFAO,VABAEADAF,AE=AF,AAC1EF, OE=OF,FMAE,.ZOFM=ZOEA,VZFOM=ZEOA,.FOMAEOA (ASA),43 / 63PQ=PT=&-x-y ,在RSTBP中,v p=bt2+pb1-x- y) = y2 +,丁點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，：.x<BP = -BD = , 22.1 -/八y/2 y = j= (0<x< )8x2【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)， 勾股定理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三 角形解決問題，屬于中考?？碱}型.17.如圖，過線段AB的端點(diǎn)B作射線BGJ_AB, P為射線BG上一點(diǎn)，以AP為邊作 正方形APCD,且點(diǎn)C、D與點(diǎn)B在AP兩側(cè),在線段DP上取一點(diǎn)E,使NEAP= ZBAP, 直線CE與線段AB相交于點(diǎn)F (點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不重合).(1)求證：AAEP 父 ACEP ；(2)判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說明理由；(3)試探究AE+EF+AF與2AB是否相等，并說明理由.c【答案】(1)見解析：(2) CF_LA