高中數(shù)學(xué)常見思想方法總結(jié)

1、 高中常見數(shù)學(xué)思想方法方法一 函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，它滲透在數(shù)學(xué)的各部分內(nèi)容中，一直是高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)內(nèi)容.函數(shù)的思想，就是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)特征，重在對(duì)問題的變量的動(dòng)態(tài)研究，從變量的運(yùn)動(dòng)變化、聯(lián)系和發(fā)展角度拓寬解題思路.方程的思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；二是

2、在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的.有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的.【例1】 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，已知.（1）求公差的取值范圍；（2）指出、中哪一個(gè)值最大，并說明理由.【分析】 （1）利用公式與建立不等式，容易求解的范圍；（2）利用是的二次函數(shù)，將中哪一個(gè)值最大，變成求二次函數(shù)中為何值時(shí)取最大值的函數(shù)最值問題.【解】（1） 由12,得到122，所以126612(122)66144420，137813(122)78156520. 解得：.（2）解法一：（函數(shù)的思想） 因?yàn)椋首钚r(shí)

3、，最大.由得，故正整數(shù)6時(shí)最小，所以最大.解法二：（方程的思想）由可知.因此，若在中存在自然數(shù)，使得，則就是，中的最大值 , 故在、中的值最大【點(diǎn)評(píng)】 數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式實(shí)質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想來分析,即用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題；也可以利用方程的思想，利用不等式關(guān)系，將問題進(jìn)行算式化，從而簡(jiǎn)潔明快.由此可見，利用函數(shù)與方程的思想來解決問題，要求靈活地運(yùn)用、巧妙的結(jié)合，發(fā)展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、獨(dú)創(chuàng)性.ABOF【例1】 在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左右頂點(diǎn)為A,B，右頂點(diǎn)為F，設(shè)過點(diǎn)T（）的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn)M，其中m>0,（1）設(shè)動(dòng)

4、點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）.【解】 （1）由題意知，設(shè)，則 化簡(jiǎn)整理得.（2）把，代人橢圓方程分別求出， 直線 直線 、聯(lián)立得.（3），直線，與橢圓聯(lián)立得直線，與橢圓聯(lián)立得直線,化簡(jiǎn)得令，解得，即直線過軸上定點(diǎn).【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和探究問題的能力.而且，本題在解決問題時(shí)，無論求點(diǎn)的坐標(biāo)，還是求點(diǎn)P的軌跡方程，都靈活運(yùn)用了方程的思想，特別是在證明過程中更是很好地利用方程的有關(guān)知識(shí)，使問題畫繁為簡(jiǎn)，華難為易.方法二 數(shù)形結(jié)合的思想方法正確利用數(shù)形結(jié)

5、合，應(yīng)注意三個(gè)原則：（1）等價(jià)性原則數(shù)形信息的轉(zhuǎn)換應(yīng)該是等價(jià)的、充要的.要注意由于圖形的直觀性，往往可以成為嚴(yán)格推證的啟導(dǎo)，但有時(shí)不能完整表現(xiàn)數(shù)的一般性，考慮問題可能不完備.（2）雙向性原則數(shù)形結(jié)合的含意是雙向的，即考慮問題既注意代數(shù)問題幾何化，也注意幾何問題代數(shù)化，而不僅僅指前者.（3）簡(jiǎn)單性原則有了解題思路，思考用幾何方法，還是代數(shù)方法，還是兩者兼而用之，要取決于解題的簡(jiǎn)單性原則，而不能形而上學(xué)地讓幾何問題代數(shù)化，代數(shù)問題幾何化成為一種機(jī)械模式.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題的途徑主要有三條:第一，以形助數(shù)：把一些數(shù)式的幾何意義明朗化，構(gòu)造出解題的幾何模型，突顯問題的直觀性，使解題思路變得形像

6、而通暢;第二，以數(shù)助形：利用幾何圖形或圖像圖表中隱含的數(shù)式特征，構(gòu)造出解題的代數(shù)模型(必要時(shí)建立坐標(biāo)系)，突顯問題的本質(zhì)，另辟解題的捷徑;第三，數(shù)形互助：根據(jù)問題的需要，將以形助數(shù)和以數(shù)助形二方面結(jié)合運(yùn)用.數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用是廣泛的，數(shù)與形的結(jié)合點(diǎn)主要集中在以下幾個(gè)方面：1.研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、值域與最值等)，可從函數(shù)圖像的直觀性得到鮮明的啟示.2.利用數(shù)軸與坐標(biāo)系(包括直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系)，使數(shù)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，使函數(shù)與圖像、方程與曲線結(jié)合，使代數(shù)與幾何聯(lián)結(jié).這樣，可利用坐標(biāo)或向量的運(yùn)算，探索幾何圖形的相關(guān)性質(zhì)；利用函數(shù)圖像與方程曲線的直觀性，探索函數(shù)或方程的性質(zhì).3.從統(tǒng)

7、計(jì)圖表、圖像中，收集分析出“數(shù)”的信息，由破譯的數(shù)量關(guān)系建立代數(shù)模型，探索相關(guān)的結(jié)論.這類數(shù)形信息的轉(zhuǎn)換能力是近年高考的新亮點(diǎn).4.三角函數(shù)與單位圓、三角函數(shù)曲線的聯(lián)系.5.復(fù)平面與復(fù)數(shù)、向量的溝通.6.利用類比法、換元法(如三角換元)、構(gòu)造法、坐標(biāo)法等構(gòu)造代數(shù)問題的幾何模型、幾何問題的代數(shù)模型，開辟解題的新思路.【例1】 （12年上海模擬）若函數(shù)滿足，且時(shí)，函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_.【答案】9【解】由題意，直接求解會(huì)很麻煩，且不易得到正確的答案，所以該題中求的零點(diǎn),可以轉(zhuǎn)化為求與兩函數(shù)圖像的交點(diǎn).則畫出與的圖像,由于在上為,且為周期函數(shù),周期為2,而是分段函數(shù),注意其圖像共分為三部

8、分,如圖,可等共有9個(gè)交點(diǎn),其中有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn),即其中1個(gè)交點(diǎn)為(1,0)很容易被遺漏. 【點(diǎn)評(píng)】 要求在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為求與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以作出圖形，觀察圖形易得交點(diǎn)的個(gè)數(shù).本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,正是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題的途徑中的以形助數(shù).【例2】 函數(shù)y=f(x)的圖像為圓心在原點(diǎn)的兩段圓弧，試解不等式f(x)f(x)十x【解】 解法一：（以數(shù)助形）由題意及圖像，有，（1）當(dāng)0<x1時(shí), f(x)>f(x)+x得>+x, 解得0<x<（2）當(dāng)1x<0時(shí), 得>+x, 解得1x<, 原不等式的解集為1, )(0, ).解法二

9、：（數(shù)形互助）由圖象知f(x)為奇函數(shù)， 原不等式為f(x)>，而方程f(x)= 的解為x=±，據(jù)圖像可知原不等式解集為1, )(0, ).【點(diǎn)評(píng)】 本題以形看數(shù)（解式，奇偶性），以數(shù)解形（曲線交點(diǎn)A、B），最后以形解數(shù)（不等式），這才是真正意義上的數(shù)形結(jié)合，揚(yáng)長避短方法三 分類討論的思想方法1.通常引起分類討論的原因，大致可歸納為如下幾點(diǎn)：(1)涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；(2)涉及運(yùn)算的數(shù)學(xué)定義、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；(3)涉及題中所給的限制條件或研究對(duì)像的性質(zhì)而引起的；(4)涉及數(shù)學(xué)問題中參變量的不同取值導(dǎo)致不同結(jié)果而引起的；(5)涉及的幾何圖形的形狀、位置的

10、變化而引起的；(6)一些較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，需要采用分類討論的解題策略解決的.2.分類討論的步驟一般可分為以下幾步：(1)確定討論的對(duì)像及其范圍；(2)確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類；(3)逐類討論，分級(jí)進(jìn)行；(4)歸納整合，作出結(jié)論.其中最重要的一條是“不漏不重”.學(xué)生必須對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)或涉及的概念、定義、定理相當(dāng)清楚，對(duì)于一些結(jié)論成立的條件掌握牢固，這樣才能在解題時(shí)思路清晰，才能知道何時(shí)必須進(jìn)行分類討論，而何時(shí)無須討論，從而可以知道怎樣進(jìn)行分類討論.【例1】（12年上海二模）點(diǎn)是函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則、兩點(diǎn)之間距離的最小值是_.【答案】【解】 當(dāng)時(shí)，.時(shí)，即y9或y3，取最小值

11、0，但都為負(fù)數(shù)，不成立；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)y4時(shí)，取最小值為綜上所述，、兩點(diǎn)之間距離的最小值為【點(diǎn)評(píng)】 由于題中給出的是絕對(duì)值函數(shù)，需要利用分類討論的思想去掉絕對(duì)值，然后再求解.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念是分類定義的而引起的分類討論.【例2】設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和，求的取值范圍.【分析】在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式時(shí)，由于公式的要求，分1和1兩種情況.【解】是等比數(shù)列，且前項(xiàng)和，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即.上式等價(jià)于 或 ,由得,由得,的取值范圍為.【點(diǎn)評(píng)】本題正是分類討論中運(yùn)算的數(shù)學(xué)定義、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的體現(xiàn).【例4】已知實(shí)數(shù),函數(shù)若,則的值為_.【答案】【解】首先討論，與1的關(guān)系.當(dāng)時(shí)，所以；.因

12、為，所以，所以；當(dāng)時(shí)，所以；.因?yàn)椋?，所以（舍去?綜上，滿足條件的.【點(diǎn)評(píng)】本題的解題關(guān)鍵在于討論，與1的關(guān)系，正是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題中參變量的不同取值導(dǎo)致不同結(jié)果而引起的分類討論.方法四 概括歸納的思想方法概括是在思維中將同一種類型的對(duì)像共同的本質(zhì)屬性集中起來，結(jié)合為一般類型的屬性.歸納是一種邏輯型的思維形狀，是從幾個(gè)特殊情形做出一般結(jié)論的不完全的屬性.一類是性質(zhì)和法則的歸納，如數(shù)列的基本性質(zhì)，對(duì)數(shù)運(yùn)算的法則的歸納過程；另一類是解題方法的歸納，如向量在物理中的應(yīng)用等；第三類是歸納猜想，如由表格所給數(shù)據(jù)歸納幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和等.【例2】在數(shù)列中， =13 ，且前項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第項(xiàng)的2-1倍

13、（N*）（1）寫出此數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）歸納猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明【分析】（1）利用數(shù)列前項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第項(xiàng)的2-1倍，推出關(guān)系式，通過=2，3，4，5求出此數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）通過（1）歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明第一步驗(yàn)證=1成立；第二步，假設(shè)=猜想成立，然后證明=時(shí)猜想也成立.【解】（1）由已知= ， =（2-1），分別取=2，3，4，5，得，所以數(shù)列的前5項(xiàng)是：， ， .（2）由（1）中的分析可以猜想（N*） 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)=1時(shí)，猜想顯然成立.假設(shè)當(dāng)=（1且N*）時(shí)猜想成立，即 那么由已知，得，即所以，即，又由歸納假設(shè)，得，所以，即當(dāng)時(shí)，猜想也

14、成立.綜上和知，對(duì)一切N*，都有成立【點(diǎn)評(píng)】 本題考查數(shù)列的項(xiàng)的求法，通項(xiàng)公式的猜想與數(shù)學(xué)歸納法證明方法的應(yīng)用，注意證明中必須用上假設(shè)，考查計(jì)算能力，分析問題解決問題的能力正是體現(xiàn)了概括歸納的思想方法.方法五 化歸與等價(jià)變換的思想方法在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常遇到一些問題直接求解較為困難，需將原問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)新問題（相對(duì)來說，對(duì)自己較熟悉的），通過對(duì)新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的.這一思想方法我們稱之為“轉(zhuǎn)換化歸思想”.而轉(zhuǎn)換化歸思想的基本原則就是：化難為易，化生為熟，化繁為簡(jiǎn)，化未知為已知.1.利用轉(zhuǎn)換化歸思想解決數(shù)學(xué)問題時(shí)必須明確三個(gè)問題：（1）把什么東西進(jìn)行轉(zhuǎn)換化歸，即化歸對(duì)像；（2）化歸

15、轉(zhuǎn)換到何處，即化歸轉(zhuǎn)換的目的；（3）如何進(jìn)行轉(zhuǎn)換化歸，即轉(zhuǎn)換化歸的方法.2. 化歸與轉(zhuǎn)化常遵循以下幾個(gè)原則.（1）目標(biāo)簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜的問題向簡(jiǎn)單的問題轉(zhuǎn)化；（2）和諧統(tǒng)一性原則：即化歸應(yīng)朝著使待解決問題在表現(xiàn)形式上趨于和諧，在量、形關(guān)系上趨于統(tǒng)一的方向進(jìn)行，使問題的條件和結(jié)論更均勻和恰當(dāng)；（3）熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問題來解決；（4）直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決；（5）正難則反原則：即當(dāng)問題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解3轉(zhuǎn)化與化歸常用到的方法（1）直接轉(zhuǎn)化法：把問題直接

16、轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題（2）換元法：運(yùn)用“換元”把超越式轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題（3）數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系（解式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑（4）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題（5）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問題，是轉(zhuǎn)化方法的一個(gè)重要途徑（6）類比法：運(yùn)用類比推理，猜測(cè)問題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化途徑（7）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題（8）等價(jià)問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目

17、的（9）加強(qiáng)命題法：在證明不等式時(shí)，原命題難以得證，往往把命題的結(jié)論加強(qiáng)，即命題的結(jié)論加強(qiáng)為原命題的充分條件，反而能將原命題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較易證明的命題，比如在證明不等式時(shí)：原命題往往難以得證，這時(shí)常把結(jié)論加強(qiáng)，使之成為原命題的充分條件，從而易證（10）補(bǔ)集法：如果下面解決原問題有困難，可把原問題結(jié)果看作集合A，而包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集U及補(bǔ)集使原問題得以解決.化歸與等價(jià)變換的思想方法所涉及到的具體問題很多很多，如果不斷努力地用這種方法去解決一些數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)范疇以外的問題時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)事半功倍的奇特效果.【例1】 設(shè)、R且，求的范圍.【解】 方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化

18、為函數(shù)問題)由0得02.設(shè)，則，代入已知等式得：，即，其對(duì)稱軸為=3.由02得0,4.所以的范圍是：04.方法二：數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為解幾何問題）：由得，即表示如圖所示橢圓，其一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn).的范圍就是橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方.由圖可知最小值是0,距離最大的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切的切點(diǎn).設(shè)圓方程為，代入橢圓中消得.由判別式得,所以的范圍是：.方法三： 三角換元法，對(duì)已知式和待求式都可以進(jìn)行三角換元（轉(zhuǎn)化為三角問題）：由得，設(shè)，則所以的范圍是：.【點(diǎn)評(píng)】本題運(yùn)用多種方法進(jìn)行解答，實(shí)現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有助于提高發(fā)散思維能力.而且各種方法的運(yùn)用，分別將代數(shù)問題轉(zhuǎn)

19、化為了其它問題，屬于問題轉(zhuǎn)換題型,正是體現(xiàn)了熟悉化原則，將不熟悉的知識(shí)轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識(shí).【例2】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差數(shù)列，則q=_.【答案】-2【解】， (a10)或（舍去）.【點(diǎn)評(píng)】 由于該題為填空題，我們不防用特殊情況來求的值.如：成等差，求的值.這樣就避免了一般性的復(fù)雜運(yùn)算.既體現(xiàn)簡(jiǎn)單化原則，也是特殊化方法的使用，正是轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法的典型體現(xiàn)?！纠?】 對(duì)于滿足的所有實(shí)數(shù)，求使不等式恒成立的取值范圍.【解】 原不等式化為，令，它是關(guān)于的一次函數(shù)，定義域?yàn)?。由依次函?shù)的單調(diào)性知解得：或【點(diǎn)評(píng)】 本題正是利用主元與參變量的關(guān)系，

20、視參變量為主元（即變量與主元的角色換位）,簡(jiǎn)化問題在求解，正是轉(zhuǎn)化與化歸思想的典型體現(xiàn).人生中每一次對(duì)自己心靈的釋惑，都是一種修行，都是一種成長。相信生命中的每一次磨礪，都會(huì)讓自己的人生折射出異常的光芒，都會(huì)讓自己的身心煥發(fā)出不一樣的香味。我們常常用人生中的一些痛，換得人生的一份成熟與成長，用一些不可避免的遺憾，換取生命的一份美麗。在大風(fēng)大雨，大風(fēng)大浪，大悲大喜之后，沉淀出一份人生的淡然與淡泊，靜好與安寧，深邃與寬厚，慈悲與欣然生活里的每個(gè)人，都是我們的一面鏡子，你給別人什么，別人就會(huì)回待你什么。當(dāng)你為一件事情不悅的時(shí)候，應(yīng)該想想你給過人家怎樣負(fù)面的情緒。世界上的幸福，沒有一處不是來自用心經(jīng)營

21、和珍惜。當(dāng)你一味的去挑剔指責(zé)別人的時(shí)候，有沒有反思過自己是否做得盡善盡美呢？假如你的心太過自我，不懂得經(jīng)營和善待，不懂得尊重他人的感受，那么你永遠(yuǎn)也不會(huì)獲得真正的愛和幸福人生就像一場(chǎng)旅行，我們所行走的每一步都是在豐富生命的意義。我們一邊穿越在陌生的吸引里，一邊咀嚼回味著一抹遠(yuǎn)走光陰的舊味，一切都是不可預(yù)料，一切又似在預(yù)料之中。人生看的多了，走的多了，經(jīng)歷的多了，也就懂得多了。每一份深刻的感悟大多來自一個(gè)人深刻的經(jīng)歷。人生總有那么一兩件重大的事情讓你成熟和改變。這份錯(cuò)失，會(huì)讓你反思自己，檢討自己，叩問自己，也讓你意識(shí)到了自己真正的缺失，這或許就是一份痛苦的領(lǐng)悟吧！人生可以平平淡淡，亦可以異彩紛呈。相信只要自己的德馨足夠善美，上天就會(huì)把最好的一切賜予你。予人快樂，收獲快