高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義-整除 新人教A 版

1、§26整除整除是整數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，這里僅介紹其中的幾個(gè)方面：整數(shù)的整除性、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)、方冪問題. 整數(shù)的整除性初等數(shù)論的基本研究對(duì)象是自然數(shù)集合及整數(shù)集合. 我們知道，整數(shù)集合中可以作加、減、乘法運(yùn)算，并且這些運(yùn)算滿足一些規(guī)律（即加法和乘法的結(jié)合律和交換律，加法與乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如是整除，則不一定是整數(shù). 由此引出初等數(shù)論中第一個(gè)基本概念：整數(shù)的整除性.定義一：（帶余除法）對(duì)于任一整數(shù)和任一整數(shù)，必有惟一的一對(duì)整數(shù)，使得，并且整數(shù)和由上述條件惟一確定，則稱為除的不完全商，稱為除的余數(shù).若，則稱整除，或被整除，或稱的倍數(shù)，或稱的約數(shù)（又叫因子），記為

2、.否則，| .任何的非的約數(shù)，叫做的真約數(shù).0是任何整數(shù)的倍數(shù)，1是任何整數(shù)的約數(shù).任一非零的整數(shù)是其本身的約數(shù)，也是其本身的倍數(shù).由整除的定義，不難得出整除的如下性質(zhì)：（1）若（2）若（3）若，則反之，亦成立.（4）若.因此，若.（5）、互質(zhì)，若（6）為質(zhì)數(shù)，若則必能整除中的某一個(gè).特別地，若為質(zhì)數(shù)，（7）如在等式中除開某一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都是的倍數(shù)，則這一項(xiàng)也是的倍數(shù).（8）n個(gè)連續(xù)整數(shù)中有且只有一個(gè)是n的倍數(shù).（9）任何n個(gè)連續(xù)整數(shù)之積一定是n的倍數(shù).本講開始在整除的定義同時(shí)給出了約數(shù)的概念，又由上一講的算術(shù)基本定理，我們就可以討論整數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)了. 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)定義二：設(shè)、是

3、兩個(gè)不全為0的整數(shù).若整數(shù)c滿足：，則稱的公約數(shù)，的所有公約數(shù)中的最大者稱為的最大公約數(shù)，記為.如果=1，則稱互質(zhì)或互素.定義三：如果、的倍數(shù)，則稱、的公倍數(shù). 的公倍數(shù)中最小的正數(shù)稱為的最小公倍數(shù)，記為.最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的概念可以推廣到有限多個(gè)整數(shù)的情形，并用表示的最大公約數(shù)，表示的最小公倍數(shù).若，則稱互質(zhì)，若中任何兩個(gè)都互質(zhì)，則稱它們是兩兩互質(zhì)的.注意，n個(gè)整數(shù)互質(zhì)與n個(gè)整數(shù)兩兩互質(zhì)是不同的概念，前者成立時(shí)后者不一定成立（例如，3，15，8互質(zhì)，但不兩兩互質(zhì)）；顯然后者成立時(shí)，前者必成立.因?yàn)槿魏握龜?shù)都不是0的倍數(shù)，所以在討論最小公倍數(shù)時(shí)，一般都假定這些整數(shù)不為0.同時(shí)，由于有相同的

4、公約數(shù)，且（有限多個(gè)亦成立），因此，我們總限于在自然數(shù)集合內(nèi)來討論數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).方冪問題一個(gè)正整數(shù)能否表成個(gè)整數(shù)的次方和的問題稱為方冪和問題.特別地，當(dāng)時(shí)稱為次方問題，當(dāng)時(shí)，稱為平方和問題.能表為某整數(shù)的平方的數(shù)稱為完全平方數(shù).簡(jiǎn)稱平方數(shù)，關(guān)于平方數(shù)，明顯有如下一些簡(jiǎn)單的性質(zhì)和結(jié)論：（1）平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，4，5，6，9.（2）偶數(shù)的平方數(shù)是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方數(shù)被8除余1，即任何平方數(shù)被4除的余數(shù)只能是0或1.（3）奇數(shù)平方的十位數(shù)字是偶數(shù).（4）十位數(shù)字是奇數(shù)的平方數(shù)的個(gè)位數(shù)一定是6.（5）不能被3整除的數(shù)的平方被3除余1，能被3整除的數(shù)的平方能被3整除.因而，

5、平方數(shù)被9除的余數(shù)為0，1，4，7，且此平方數(shù)的各位數(shù)字的和被9除的余數(shù)也只能為0，1，4，7.（6）平方數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù).（7）任何四個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積加1，必定是一個(gè)平方數(shù).例題講解1證明：對(duì)于任何自然數(shù)和，數(shù)都不能分解成若干個(gè)連續(xù)的正整數(shù)之積.2設(shè)和均為自然數(shù),使得證明：可被1979整除. 3對(duì)于整數(shù)與，定義求證：可整除4求一對(duì)整數(shù)，滿足：(1)不能被7整除；（2）能被77整除.5求設(shè)和是兩個(gè)正整數(shù)，為大于或等于3的質(zhì)數(shù)，），試證：（1）；（2）或6盒子中各若干個(gè)球，每一次在其中個(gè)盒中加一球.求證：不論開始的分布情況如何，總可按上述方法進(jìn)行有限次加球后使各盒中球數(shù)相等的充要條件是7求所

6、有這樣的自然數(shù)，使得是一個(gè)自然數(shù)的平方.例題答案：1. 證明：由性質(zhì)9知，只需證明數(shù)不能被一個(gè)很小的自然數(shù)整除.因3 1，故3 ，因而不能分解成三個(gè)或三個(gè)以上的連續(xù)自然數(shù)的積.再證不能分解成兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積.由上知，因而只需證方程：無正整數(shù)解.而這一點(diǎn)可分別具體驗(yàn)算時(shí)，均不是形的數(shù)來說明.故對(duì)任何正整數(shù)、都不能分解成若干個(gè)連續(xù)正整數(shù)之積.2. 證明：=1979× 兩端同乘以1319！得1319！ 此式說明1979|1319！×由于1979為質(zhì)數(shù)，且1979 1319！，故1979|【評(píng)述】把1979換成形如的質(zhì)數(shù)，1319換成，命題仍成立.牛頓二項(xiàng)式定理和為偶數(shù)), 為奇

7、數(shù))在整除問題中經(jīng)常用到.3.證明：當(dāng)時(shí)，由于能被整除，所以能被整除，另一方面，上式中能被整除，所以也能被整除.因與2+1互質(zhì)，所以能被（2+1）（即）整除.類似可證當(dāng)時(shí)，F(xiàn)（2+1，）能被F（2+1,1）整除.故能被整除.4. = =根據(jù)題設(shè)要求(1)(2)知，即令即即，則故可令即合要求.5. 由已知得，兩式相乘得于是故（1）現(xiàn)用反證法來證明.若令是的一個(gè)質(zhì)因子，則有因，則，從而于是是、的一個(gè)公約數(shù)，這與=1矛盾，故.（2）因?yàn)樗远鵀橘|(zhì)數(shù)且，故或6. 證明：設(shè)，則有使得，此式說明：對(duì)盒子連續(xù)加球次，可使個(gè)盒子各增加了個(gè)，一個(gè)增加個(gè).這樣可將多增加了一個(gè)球的盒子選擇為原來球數(shù)最少的那個(gè)，于是經(jīng)過次加球之后，原來球數(shù)最多的盒子中的球與球數(shù)最少的盒子中的球數(shù)之差減少1，因此，經(jīng)過有限次加球后，各盒球數(shù)差為0，達(dá)到各盒中的球數(shù)相等.用反證法證明必要性.若，則只要在個(gè)盒中放個(gè)球，則不管加球多少次，例如，加球次，則這時(shí)個(gè)盒中共有球（個(gè)），因?yàn)樗圆豢赡苁堑谋稊?shù)，更不是的倍數(shù)，各盒中的球決不能一樣多，因此，必須.7. 證明：（1）當(dāng)時(shí)，因（）