2020高考沖刺數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)壓軸解答：拋物線相關(guān)的綜合問題(附答案及解析)

1、專題三壓軸解答題第三關(guān) 拋物線相關(guān)的綜合問題【名師綜述】縱觀近三年的高考題，解析幾何題目是每年必考題型，主要體現(xiàn)在解析幾何知識內(nèi)的綜合及與其它知 識之間的綜合，且橢圓考查的最多，其次便是拋物線，解題時需根據(jù)具體問題，靈活運用解析幾何、平面 幾何、函數(shù)、不等式、三角知識，正確構(gòu)造不等式，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學(xué)知識的密切聯(lián)系.這體現(xiàn)了考試中心提出的 應(yīng)更多地從知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點上設(shè)計題目，從學(xué)科的整體意義、 思想含義上考慮問題”的思想.且同學(xué)需對一拋物線的兩個基本問題弄扎實：1 .拋物線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)；2 .直線與拋物線的位置關(guān)系所引申出來的定點、定值、最值、取值范圍等問題3 .拋

2、物線與圓錐曲線的交匯問題【考點方向標(biāo)】方向一中點問題2 px( p 0),焦點為F ,直線l交拋物線C典例1. (2020河北石家莊第二中學(xué)期末)已知拋物線C： y2BF 1 2x0.于 A(xi,y)，Bh*)兩點，D(%, y0)為 AB 的中點，且 AF11 / 39(1)求拋物線C的方程;(2)若x1x2 y1y21,求的最小值.AB【舉一反三】(2020 福建高三期末)已知拋物線C:y2 2 Px的焦點為F, Q(2,4)在拋物線C上，且|QF| 二 ：.(1)求拋物線C的方程及t的值;(2)若過點M (0,t)的直線l與C相交于A,B兩點，N為AB的中點，O是坐標(biāo)原點，且SDAOB

3、 = J3&MON, 求直線l的方程.方向二垂直問題典例2.(2020 廣西高三期末)已知拋物線 C: y2 4x的焦點為F ,過點P 2,0的直線交拋物線C于A和 B X2,y2 兩點.(1)當(dāng)Xi X2 4時，求直線AB的方程；(2)若過點P且垂直于直線 AB的直線l與拋物線C交于C,D兩點，記VABF與VCDF的面積分別為求S8的最小值.【舉一反三】(2020 梅河口市第五中學(xué)高三期末)已知直線x 2P與拋物線C： y2 2Pxp 0交于P, Q兩點，且POQ的面積為16(0為坐標(biāo)原點).(1)求C的方程；(2)直線l經(jīng)過C的焦點F且l不與x軸垂直，與C交于A, B兩點，若線段

4、AB的垂直平分線與x軸交 于點D ,證明：-AB為定值.DF方向三面積問題2典例3.(2020 福建局三)過拋物線 C : y 2px p 0的焦點且斜率為1的直線l與拋物線C交于A、B兩點，AB 8.(1)求拋物線C的方程；(2)點P X0,y0為拋物線C上一點，且y°2 272,2 272 ,求 PAB面積的最大值.【舉一反三】(2020 全國高三專題練習(xí))已知直線x 2P與拋物線C ： y2 2px p 0交于P, Q兩點，且 POQ的面積為16( O為坐標(biāo)原點).(1)求C的方程.(2)直線l經(jīng)過C的焦點F且l不與x軸垂直，l與C交于A, B兩點，若線段AB的垂直平分線與X軸

5、交于點D，試問在x軸上是否存在點 E ,使-AB為定值？若存在，求該定值及E的坐標(biāo)；若不存在，請說DE明理由.方向四范圍與定值問題典例4.(2020 重慶高三月考)已知拋物線 C:y2 2px (p 0)的焦點為F,點P為拋物線C上一點，PF x軸，O為坐標(biāo)原點，zOFP的面積為1.(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)Q為拋物線C的準(zhǔn)線上一點，過點F且垂直于OQ的直線交C于A, B兩點，記VQAB , VOAB的面積分別為S1, S2 ,求S1的取值范圍.1S2典例5. (2020 山西應(yīng)縣一中期末)已知拋物線E:x2 2py(p 0),直線 y kx 2與E交于A, Buuv uuv ,兩點，且

6、 OA?OB 2，其中O為原點.(1)求拋物線E的方程；222(2)點C坐標(biāo)為(0,-2),記直線 CA, CB的斜率分別為 k1, k2,證明：k1k2 2k 為定值.【舉一反三】(2020 重慶高三月考)已知拋物線C:y2 2px (p 0)的焦點為F,點P為拋物線C上一點，|PF| 4,O為坐標(biāo)原點，OFP 120 .(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)Q為拋物線C的準(zhǔn)線上一點，過點F且垂直于OQ的直線交拋物線 C于A, B兩點記VQAB , VOAB11的面積分別為 G, & ,求 的取值范圍.32G(2020遼寧高三月考)已知拋物線 C：y2 2Px(p 0)的焦點為F,點A(2

7、,2),點B在拋物線C上，且HL uuiv uuv uuv滿足OF fb 2FA （O為坐標(biāo)原點）(1)求拋物線C的方程;(2)過焦點F任作兩條相互垂直的直線 l與D ,直線l與拋物線C交于P, Q兩點，直線D與拋物線C交于M, N兩點,OPQ的面積記為S1, VOMN的面積記為S2,求證:1S21-2為定值.S2【壓軸選編】21. (2020云南高三)已知拋物線 C： y 4x的焦點為f ,準(zhǔn)線為l , P是C上的動點.(1)當(dāng)PF 4時，求直線PF的方程；(2)過點P作l的垂線，垂足為M , O為坐標(biāo)原點，直線OM與C的另一個交點為 Q,證明：直線PQ經(jīng) 過定點，并求出該定點的坐標(biāo).222

8、. (2020廣東高三月考)已知橢圓C：x7-y2-1(a b 0)的長軸長為2J2，焦距為2,拋物線a b2M : y 2px(p 0)的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓C的左焦點F .(1)求橢圓C與拋物線M的方程；(2)直線l經(jīng)過橢圓C的上頂點且l與拋物線M交于P, Q兩點，直線FP , FQ與拋物線M分別交于點D (異于點P), E (異于點Q ),證明：直線 DE的斜率為定值.23. (2020湖南高三期末)如圖，過拋物線y 2px p 0上一點P 1 , 2 ,作兩條直線分別父拋物線于A X , y1 , B x2 , y2，當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時：(i)求yi y的值；(I)若直線AB

9、在y軸上的截距b 1 , 3時，求zABP面積Saabp的最大值.4. (2020全國高三專題練習(xí))如圖,F是拋物線y22Px p 0的焦點，過點F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交拋物線于A為，y1B X2,y2兩點，交拋物線的準(zhǔn)線于點 H ,其中yi 0 , yy2軸的垂線交拋物線于點 P,直線PF交拋物線于點Q.(1)求P的值；(2)求四邊形APBQ的面積S的最小值.5. (2020重慶南開中學(xué)高三月考)已知拋物線C：y2 2px(p 0)的焦點為F,經(jīng)過點F的直線與拋物線C交于不同的兩點 A, B, |AB|的最小值為4.(1)求拋物線C的方程；(2)已知P, Q是拋物線C上不同的兩點，若直線l

10、 ： y 2 k(x 1)恰好垂直平分線段 PQ,求實數(shù)k的 取值范圍.26. (2020浙江局二期末)已知拋物線E： y 2px p 0過點Q 1,2 , F為其焦點，過F且不垂直于x 軸的直線l交拋物線E于A, B兩點，動點P滿足 PAB的垂心為原點 O.(1)求拋物線E的方程；(2)求證：動點p在定直線m上，并求$ PAB的最小值.S QAB7 .【江西省九江市 2019第一次高考模擬統(tǒng)一考試】已知拋物線？,= 2?> 0)的焦點為？直線？?=?+ 1)與？/目切于點？ |?|?= 2(I)求拋物線？的方程；(I)設(shè)直線 校？?F?,?砌點，？是？?？勺中點，若|?= 8,求點？到

11、？軸距離的最小值及此時直線？的方程。8 .【山東省濱州市 2019屆高三期末考試】已知拋物線？:?？= 2?> 0)上一點？硒縱坐標(biāo)為6,且點？?到焦點？的距離為7.(1)求拋物線的的勺方程；(2)設(shè)的？的的過焦點?但互相垂直的兩條直線，直線的?與拋物線的才目交于?綱點，直線的的與拋物線的才目交于點？的曬點，若直線的的勺斜率為的？?w 0),且？?？?=) 8,試求？的削1 .9.【福建省泉州市 2019屆高三1月單科質(zhì)檢】在平面直角坐標(biāo)系 ？?？已知點？瑪？軸與圓？(?- 2)2 + ?= 4的一個公共點(異于原點)，拋物線？= 2?(& ?< 8)的準(zhǔn)線為？ ？?t橫坐

12、標(biāo)為1的點？管IJ?的距 離等于|?|?(1)求？的勺方程；(2)直線？?與圓？相切且與的才目交于？的口點，若?面積為4,求？硒方程.10 .【福建省寧德市2018-2019學(xué)年度第一學(xué)期期末高三質(zhì)量檢測】在平面直角坐標(biāo)系的?的的過動點?作直線？?= -8的垂線，垂足為的?，且?t足的?L?其中？效坐標(biāo)原點，動點 的的軌跡為曲線的？(I)求曲線的的勺方程；(I)過點(2,0)作與？軸不平行的直線 的?交曲線?F?,的輛點,點？?(-3,0),記？的？,?分別為? ?斜率，求證：*J為定值.的11211.【湖北省2019屆高三1月聯(lián)考測試】已知拋物線 ？另=2?(>? 0)的焦點為? ?為

13、拋物線上一點，？妁 坐標(biāo)原點.?？卜接圓？叫拋物線的準(zhǔn)線相切，外接圓？勺周長為9?(1)求拋物線的方程；(2)已知不與？軸垂直的動直線？?拋物線有且只有一個公共點，且分別交拋物線的準(zhǔn)線和直線？?= 3于？?曬點，試求|?值.12 .【安徽省黃山市2019屆高三第一次質(zhì)量檢測】已知點 ？?(1,?)在拋物線？3= 2?登?> 0)上，且？?到拋物 線焦點的距離為2.直線？拋物線交于？?洞點，且線段？?中點為？3,2).(I)求直線？的方程.(I)點的?1直線？?=?的:的動點，求？?？?t小值.13 .【云南省昆明市 2019屆高三1月復(fù)習(xí)診斷測試】過點 的?(-1,0)的直線？的拋物線的

14、？3 = 4?安于？ ?W 百 的?！?勺隹百(1)若線段的?點的橫坐標(biāo)為3,求|?+ |?|?勺值；(2)求|?|?|?勺取值范圍.14 .【河北省廊坊市省級示范校高中聯(lián)合體2019屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考】設(shè)拋物線的？3 = 2?(? 0)的焦點為的？過？但傾斜角為的?的直線？的拋物線的我于？的曬點，|?= 16.63(1)求拋物線的的勺方程；(2)已知過點的？(?？,-1)作直線？芍拋物線的才目切于點的?，證明：?! ?15. (2020蒙陰縣實驗中學(xué)高三期末)已知中心在原點的橢圓C1和拋物線C2有相同的焦點1,0 ,橢圓C1過點G 1,3 ,拋物線C2的頂點為原點.21求橢圓Ci和拋物線

15、C2的方程；2設(shè)點P為拋物線C2準(zhǔn)線上的任意一點，過點 P作拋物線C2的兩條切線PA, PB,其中A, B為切點.設(shè)直線FA, PB的斜率分別為K, k2,求證：匕卜2為定值；SVPAB若直線AB交橢圓Ci于C, D兩點，Svpab, Svpcd分別是VPAB , VPCD的面積，試問： PAB是否 SVPCD有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由.16. （2020陜西高三期末）如圖，過拋物線 C:y2 8x的焦點F的直線交拋物線 C于不同兩點 A,B, P為拋物線上任意一點（與 A, B不重合），直線PA, PB分別交拋物線的準(zhǔn)線l于點M , N .（I）寫出焦點F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的

16、方程;（I）求證：MF NF .17. （2020陜西高三期末）如圖，已知拋物線C : y2 8x的焦點是F ,準(zhǔn)線是l .(I)寫出焦點F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程；(I)已知點P 8,8 ,若過點F的直線交拋物線 C于不同白兩點 A、B (均與P不重合)，直線PA、PB 分別交l于點M、N求證：MF NF .18. (2020山西省長治市第二中學(xué)校期末)已知動圓。過點F 1,0 ,并與直線x 1相切.(1)求動圓圓心 C的軌跡方程 E；設(shè)直線PA, PB的斜率分別為k1,k2,(2)已知點P 4, 4 ,Q 8,4 ,過點Q的直線l交曲線E于點A,B ,求證：k1？k2為定值，并求出此定值.19

17、. (2020吉林高三)如圖，已知直線 m:x1是拋物線y22 Pxp 0的準(zhǔn)線.過焦點F的直線l交拋物線于A, B兩點，過點F且與直線l垂直的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點T .(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;TF(2)求 一的最大值，并求出此時直線 l的方程.AB專題三壓軸解答題第三關(guān) 拋物線相關(guān)的綜合問題【名師綜述】縱觀近三年的高考題，解析幾何題目是每年必考題型，主要體現(xiàn)在解析幾何知識內(nèi)的綜合及與其它知 識之間的綜合，且橢圓考查的最多，其次便是拋物線，解題時需根據(jù)具體問題，靈活運用解析幾何、平面 幾何、函數(shù)、不等式、三角知識，正確構(gòu)造不等式，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學(xué)知識的密切聯(lián)系.這體現(xiàn)了考試中心提出

18、的 應(yīng)更多地從知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點上設(shè)計題目，從學(xué)科的整體意義、 思想含義上考慮問題”的思想.且同學(xué)需對一拋物線的兩個基本問題弄扎實：1 .拋物線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)；2 .直線與拋物線的位置關(guān)系所引申出來的定點、定值、最值、取值范圍等問題3 .拋物線與圓錐曲線的交匯問題【考點方向標(biāo)】方向一中點問題典例1. (2020河北石家莊第二中學(xué)期末)已知拋物線C : y22 px( p 0),焦點為F ,直線l交拋物線C于 A(xi,y1)，B(X2,y2)兩點，D(%, y0)為 ab 的中點，且 AF BF1 2X0.(1)求拋物線C的方程;(2)若X1X2 y1y21,求的最小值.AB【答

19、案】(1) y22x; (2)及4【解析】(1)根據(jù)拋物線的定義知 AF BF X x2 P，為x2 2xD ,AF BF 1 2xd,p 1,. y2 2x.(2)設(shè)直線l的方程為x my22. X1X2 yiy21,即 y1 y14Yy 2,即 yy22bb 1,-71 y2 2m, yy22,AB <1 m2 |y1 y24122.X1 X2 y1y11XD一2442.x0m 1AB2>/m2_1 Vm22令 t m2 1, t 1,，則【舉一反三】(2020 福建高三期末)已知拋物名(1)求拋物線C的方程及t的彳b ,代入拋物線方程，得 y2yy21，2,m2 y1 y2

20、2 4y1y222y y22y1y2m 1,2C : y2 px的焦點為F2my 2b 0 ,1- 一3Q(2如在拋物線C上，且|qf| = 2.(2)若過點M (0,t)的直線l與C相交于A,B兩點，N為AB的中點，O是坐標(biāo)原點，且S0AoB = J3sbMON,求直線l的方程.2八1【答案】(1) y2 4x t 2 (2) y x 2或 y -x 23【解析】(1) Q|QF |= I， 2+ 六 3, P 2拋物線C的方程為：y2 4x,將Q(1,此代入y2 4x得t 2(2)設(shè) A(x1*),B(x2,y2), N(%, y0),M (0,2),顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l： y

21、kx 2(k 0),y2 4x0,聯(lián)立，消去y得k2x2 4(1 k)x 4y kx 222,1Q A= 16(1- k)2- 16k2> 0,得 k 且 k 0,2又24(1 k)k2Q SAAOB =川3 SAMON ,| AB|= MN | ,20 / 39，1k2|x1x2|點41k2|x00 ,即 Xx273xoX x2QN是AB的中點， ,2(x1+ x2)2- 4x1x2 = 3?(x1 + 的),整理得(x1 x2)2 16x1x24,4(1- k)j 64 ，口 -1 -72- = TT ,解得 k11,k2 二，k k31直線l的方程為：y x2或yx23方向二垂直問

22、題典例2. (2020 廣西高三期末)已知拋物線C : y2 4x的焦點為F ,過點P 2,0的直線交拋物線 C于A x，y1 和 B x2, y2 兩點.(1)當(dāng)Xi x2 4時，求直線AB的方程;(2)若過點P且垂直于直線 AB的直線l與拋物線C交于C,D兩點，記VABF與VCDF的面積分別為S,S2,求SS2的最小值.【答案】(1) x 2; (2) 12.【解析】(1)由直線AB過定點P 2,0，可設(shè)直線方程為x my 2.x my 22聯(lián)立 2 消去x,得y 4my 8 0,由韋達(dá)定理得Yi y 4m, 丫佻8,y 4x2所以 x x2 my 2 my2 2 m y1y2 4 m 4

23、m 4 4m 4.因為 X2 4.所以4m2 4 4,解得m 0.所以直線AB的方程為x 2.(2)由,知VABF的面積為SiSvapf Svbpf-J-yly24yiy2-J 4m 2 4822因為直線CD與直線AB垂直，111-PFyi-PFy2-12221 .16m2 32 2m2 2 .2且當(dāng)m 0時，直線AB的方程為x 2,則此時直線l的方程為y 0,但此時直線l與拋物線C沒有兩個交點，1所以不符合題意，所以m 0 .因此，直線CD的方程為x -y my1 y2同理，VCDF的面積S2 2不4 2 .所以 SS2 4212m2 24. 5 2m222, mm4. 5 2, 2m2 ；

24、24.5 2 2 12，222當(dāng)且僅當(dāng)2m2 ，gPm2 1,亦即m1時等號成立.m【舉一反三】（2020 梅河口市第五中學(xué)高三期末）已知直線x 2p與拋物線C： y2 2Pxp0交于P , Q兩點,且POQ的面積為16（0為坐標(biāo)原點）（1）求C的方程；（2）直線l經(jīng)過C的焦點F且l不與x軸垂直，與C交于A, B兩點，若線段 AB 于點D ,證明：-AB為定值.DF【答案】（1） y2 4x （2）證明見解析【解析】（1）解：將x 2P代入y2 2px,得y 2p, 12所以POQ的面積為-2p 4p 4p 16.因為p 0,所以p 2 ,故C的方程為y2 4x.的垂直平分線與x軸交(2)證明

25、：由題意設(shè)直線l的方程為y k x 1 k 0 ,y k x由2y 4x1 ,得 k2x2 2k2x k2設(shè) A x1,y1B X2,y2，則 xiX22k2所以ABxi4k2 4x2 P 丁因為線段AB的中點的橫坐標(biāo)為 x1 x22k2 22,縱坐標(biāo)為一，k2k所以線段AB的垂直平分線的方程為k2令y 0,2得x 3下，所以D的橫坐標(biāo)為 k2所以DF2二故2 k2， DF|2為定值.方向三面積問題2典例3. (2020 福建局二)過拋物線 C : y2px p0的焦點且斜率為1的直線l與拋物線C交于A、B兩點，AB 8.(1)求拋物線C的方程；(2)點P x0,y0為拋物線C上一點，且 y【

26、答案】y2 4x; (2) 4亞.【解析】(1)拋物線C: y2 2 Px的焦點為FP、宜y x設(shè) A x1，y1、B x2, y2 .由2 ,信y2 2pxc 2彳 P2 c 2 c3p 4 118P 0, x x242 272,2 272 ,求PAB面積的最大值R,0 ,直線l的方程為yx .2222x2 3 Px 0.43P,故 AB AF BF Xi X2 p 4P 8,所以 p 2 ,因此拋物線C的方程為y2 4x；(2)由(1)得l的方程為x y 1 0.P到直線l的距離為Xoyo2y0yoi4214 y0因yo所以d2.21_ 2yo242 1 丫。4、.21_J2,因此 Spa

27、b 2ABo,4亞,所以PAB面積的最大值為472 .【舉一反三】(2。2。全國高三專題練習(xí))已知直線 x 2P與拋物線C： y2 2px p o交于p , Q兩點，且 POQ的面積為16 ( O為坐標(biāo)原點).(1)求C的方程.(2)直線l經(jīng)過C的焦點F且l不與x軸垂直，l與C交于A , B兩點，若線段AB的垂直平分線與x軸交于點D，試問在x軸上是否存在點 E ,使-AB為定值？若存在，求該定值及 E的坐標(biāo)；若不存在，請說 DE明理由.【答案】(1) y2 4x； (2)存在，1,o【解析】(1)將x 2P代入y2 2px,得y 2p, 12所以POQ的面積為-2p 4p 4p2 16.因為p

28、 o ,所以p 2 ,故C的方程為y2 4x.(2)由題意設(shè)直線l的方程為y k x 1 k o ,由 y2kxi，得 k2x22k2 4 x k2 o.2k2 4k2y 4x,設(shè) A x1，y1 , B x2,y2 ,則 x x所以 | AB | x1 x24k2 4k2因為線段AB的中點的橫坐標(biāo)為 x1 x22k2 2 一 2,縱坐標(biāo)為一,k2k 21 k 2所以線段AB的垂直平分線的方程為 y - xk k k2-23 t k2 2k2令y 0,得x 3 =，所以D的橫坐標(biāo)為3 , kk設(shè) E t,0 ,則 de 3 -2 t k2AB|4k2 4DE 3 t k2 2 '所以當(dāng)

29、且僅當(dāng)3 t 2,即t 1時,ABDE為定值，且定值為2,故存在點E ,且E的坐標(biāo)為1,0方向四范圍與定值問題典例4. (2020 重慶高三月考)已知拋物線2C ： y 2px (P 0)的焦點為F,點P為拋物線c上一點,PF x軸，O為坐標(biāo)原點，ZXOFP的面積為1.(1)求拋物線C的方程;(2)設(shè)Q為拋物線C的準(zhǔn)線上一點，過點F且垂直于OQ的直線交C于A, B兩點，記VQAB , VOAB的Si面積分別為11的取值范圍S2【答案】(1) y2 4x (2) 2,【解析】()由題可知，F(xiàn)(-,0),因為PFx軸且P為拋物線C上一點2所以 P( , P),則 Svofp P 1 P 2 , 2

30、2 2所以拋物線方程為 y2 4x ；(2)設(shè)直線的傾斜角為(0,),直線AB與OQ交于點D,4則有AB. 2 sin i .,OD sin , QD QO OD sin , sin所以S12 ABQD_22(i sin ). 2 sin所以S22 ABODsin所以SiQD典例SiOD2 sin，因為 (0,)，所以 sin (0,i,sin 2(0,i,SiSi2,).5.(2020 山西應(yīng)縣一中期末)已知拋物線2E ：x 2py(p0),直線ykx2與E交于A,兩點，且OA?OBv 2,其中。為原點.(1)求拋物線E的方程;(2)點C坐標(biāo)為(0,-2),記直線 CA, CB的斜率分別為2

31、k2 ,證明：kik22_22k為定值.其中(i) X2y ； (2)證明過程詳見解析(i)將y kX 2代入X22py，2得 x 2 pkX4P0.4p2k2 i6p 0設(shè) A(Xi,yi), B(X2,y2),則 Xi x?2pkXiX24p uur uuuOA?OBXiX2yi y2XiX22Xi2X22p 2p由已知,4p 4 2i p 所以拋物線2E的方程(I)由(I)知，xiI7 / 3922y1 222 Xi 4X2ki Xi X2,同理 k2 X2 Xi,XiXiXi所以 k12 k1 2k2 2(x1 x2)2 2(為 x2)28x1x2 i6.【舉一反三】(2020 重慶高

32、三月考)已知拋物線C：y2 2px (p 0)的焦點為F,點P為拋物線C上一點，|PF| 4,O為坐標(biāo)原點，OFP 120 .(1)求拋物線C的方程；54 / 39(2)設(shè)Q為拋物線C的準(zhǔn)線上一點，過點F且垂直于OQ的直線交拋物線 C于A, B兩點記VQAB , VOAB的面積分別為11Si, S2 ,求-的取值范圍.S2Si【答案】(1)2y 4x1TS21 八10,一G 4【解析】(1)由題可知，直線PF的傾斜角為一,故P E 2,2 J3 32代入方程可得12 2Pp 2，化簡得(p 6)(p 2) 0,因為p 0所以p 2故拋物線C的方程為y2 4x(2)顯然直線 AB斜率不為0,故設(shè)

33、直線AB的方程為x ty 1,聯(lián)立y2 4x x ty iy2 4ty 40.設(shè) A Xi,% ,B X2,y2 .則 y4, yiV2 4t .所以-i.S22 1yi y22V24y1y21、i6t2 16 2 t2 i 21 q t .所以 Q 1,t1 t2 1t221,q則因為直線AB垂直于OQ.故-q 11 t1,t到直線AB ： x ty 1 0的距離d221斤"y1y22 t2112 21故7TS2Si2、t212 A21t2 2.t 12 t2 2收 1 1,則 2t2 22 2m1 m當(dāng)且僅當(dāng)m 1即t 0時取等號1 .又S20,所以S2S110,-.(2020

34、遼寧高三月考)已知拋物線 C :2 px(p0)的焦點為F,點A(2,2)，點B在拋物線c上，且升 L uuiv uuv uuv ，一一 m -滿足OF fb 2FA (O為坐標(biāo)原點)(1)求拋物線C的方程;(2)過焦點F任作兩條相互垂直的直線l與D ,直線l與拋物線C交于P, Q兩點，直線D與拋物線C交于MN兩點，4OPQ的面積記為S1 , VOMN的面積記為S2,11求證：三萬 42為定值.SiS2(1) y2 4x (2)見解析(1)設(shè) B(X1,y1)Q F(E,0), 2uur uuuOF FBuuu p2FA (匕0)2(X14 p, y14)pc4 p, y1 4 0Xi4, y

35、142因為點B在拋物線C上，42 2p 4 p 22y 4x(2)由題意得直線l的斜率存在且不為零，設(shè) l :xmy 1,代入2一y 4x得2一 一 y 4my 4 0,所以y1y24m, y1 y241yl y2 |16m2 164 m2 1因此S121y1y2l 122 m12 1 m2>/m21 ,同理可得S2因此1Si214(m2 1)114( 1)m14(m2 1)24(m2 1) 4【壓軸選編】1.( 2020云南高三)已知拋物線 C :y2 4x的焦點為F ,準(zhǔn)線為l , P是C上的動點.(1)當(dāng) PF4時，求直線PF的方程;O為坐標(biāo)原點，直線OM與C的另一個交點為 Q ,

36、證明：直線PQ經(jīng)(2)過點P作l的垂線，垂足為M , 過定點，并求出該定點的坐標(biāo).【答案】(1) y &或y，3x J3； (2)直線PQ恒過點1,0 ,理由見解析【解析】(1)設(shè)P X0,y0 ，由PF4得1 Xo 4 ,解得：Xo 3,所以y0所以k 2M 073,所以直線PF的方程為：y 底 J3或yJ3x 翼.3 1y2設(shè)P 二，丫0 y0 0 ,則M1,y0 ,直線om的方程為：yy°x.4聯(lián)立2 2y0X4x42 , V。4V。l當(dāng)y02時，直線PQ的方程為x 1,i當(dāng)y02時，直線PQ方程為：y y04y0-2 V。2Vo4化簡得:4y°x 1 , y

37、0 4綜上I I,可知直線PQ恒過點1,02. (2020廣東高三月考)已知橢圓22C : xy -y21(a b 0)的長軸長為2J2，焦距為2,拋物線a b2M : y 2px(p 0)的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓 C的左焦點F .(1)求橢圓C與拋物線M的方程;(2)直線l經(jīng)過橢圓C的上頂點且l與拋物線M交于P, Q兩點，直線FP , FQ與拋物線M分別交于點D (異于點P), E (異于點Q ),證明：直線 DE的斜率為定值.2x 22【答案】(1)橢圓C的萬程為 萬y2 1,拋物線M的方程為y2 4x； (2)見試題解析.【解析】(1)由題意可知2a2衣，2c 2,即a72,c 1, b&

38、2c212橢圓C的方程為v212Q拋物線M:y2 2px(p 0)的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓 C的左焦點F( 1,0)x -1即 p 22拋物線M的方程為y2 4x.(2)由題意可設(shè)直線l的方程為y kx 1(k 0),0),即 ky24y kx 1(k則y 2 y 4xQ直線l與拋物線M交于P , Q兩點2 k(1)2 41 1 k42設(shè)p件,)42，Q(今,y2)，422瑤”吟,yay1.k 2y2為萬程一 y 44y 1 0的兩根，即 V2 一 kV1V2直線FP萬程為：y Jvx 1)，直線FQ萬程為：y Ji(x 1)y1y -(x 1)將直線FP方程與拋物線M的方程聯(lián)立x1 1y2 4x丫12

39、%即y y二0,則%與力是該萬程兩根y1，x1 1r 4所以 y y3 4 ,即 y3 一y1y14(x1 1)同理：直線FQ方程為:y乙(x D時義:y2 y3幺2 y4yy2(y3 y4)()y1y2y1y2所以，直線DE的斜率為定值23. (2020湖南高三期末)如圖，過拋物線y 2px p 0上一點P 1 , 2 ,作兩條直線分別交拋物線于B X2 , y2，當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時:A Xi , yi（I）求y y2的值;（I）若直線AB在y軸上的截距b 1 , 3時，求zABP面積Saabp的最大值.【答案】(I)=7 ； ( I) 3239【解析】（I）由拋物線 /

40、= 2戶Q > 0）過點產(chǎn)（12）,得p = 2 ,設(shè)直線PA的斜率為k白，直線PB的斜率為 小，由PA、PB傾斜角互補(bǔ)可知卜戶息=一卜處,七一1 1將>'i - 4Hs -4士，代入得F 一心=7 .（I）設(shè)直線 AB的斜率為心,由J： =4xl：y 二4三，得 kq = =-（看 H 三）， 大一54由（I）得Fi +F上=7 ,將其代入上式得 1 =一. =-1 . ,% +嗎rp2=4x因此，設(shè)直線 AB的方程為 >'=一汽+匕，由； -，消去y得/一（2b+4）工+鋁=Q , v = -x+ b由=(25 +4y -4/之0 ,得bN-l ,這時，

41、馬 +，二 + 4.二6；AB 11 （x1 x2）2 4x2 4 J2 Jb_7 ,又點P到直線AB的距離為d =與，所以S abp 1 ABl d 1 4屈屈丁 133 2yl（b 1）（3 b）2 , 21222.令，在）二（元+1心-，1（工4一1一中，則由?。?3/-io,+3 ,令，（» = o ,得m=?或.當(dāng)工已（一1±）時，/> o,所以/（力單調(diào)遞增，當(dāng)真曰（!4時，/（X）< o,所以/（，）單調(diào)遞減， 331,56故00的最大值為/（-= 三，故工誑面積$上“的最大值為 327（附：耳5十1乂3力:< “Ui"（一）=（與

42、 當(dāng)且僅當(dāng)bj 時取等號，此求解方法亦_333得分）24. （2020全國高三專題練習(xí)）如圖， F是拋物線y 2px p 0的焦點，過點F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交拋物線于 A K,yi、B X2,y2兩點，交拋物線的準(zhǔn)線于點 H ,其中y1 0, hy 4 .過點H作y（2）求四邊形APBQ的面積S的最小值.【答案】（1） P2； 25 9【解析】（1）設(shè)AB方程為x tyE,與y2 2 Px聯(lián)立，消去x整理得y2 2pty p2 0, 2- -2所以yi yp4,得P 2 （舍去）或p 2 ；(2)由(1)知拋物線方程為y2 4x, F 1,0 ,準(zhǔn)線方程為x因為直線AB與坐標(biāo)軸不垂直，所以

43、設(shè) AB方程為x tyQ X3, y3x ty 12由 2 得 y 4ty 4 0, y 4xyy2yiV24t所以直線所以AB J1 t2PF的方程為2,-y34y1y24 t2t2 1-2Tyy32t,代入Q到直線AB的距離為d1所以四邊形APBQ的面積1,t2 112 AB令t20,函數(shù)所以，當(dāng)k因此，四邊形t22t4x1-y2 t21-y 40，P到直線AB的距離為d1d2t2,2t.t2 1t2 ,rrt2 13d222 t2、1 t25k 4 1 k ,則k2k單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.APBQ的面積S的最小值為25a595. (2020重慶南開中學(xué)高三月考)已知拋物線 C:C交于不同的

44、兩點 A, B, |AB|的最小值為4.(1)求拋物線C的方程;(2)已知P, Q是拋物線C上不同的兩點，若直線2y 2px(p , t24 3k 2 i?0)的焦點為F,經(jīng)過點F的直線與拋物線l:y 2 k(x 1)恰好垂直平分線段 PQ,求實數(shù)k的取值范圍【答案】(1) y2 4x (2) 1 k 0【解析】(1)設(shè)過焦點的直線x tyR與拋物線分別交于點AXi,yi, Bx2,y2,2與拋物線方程聯(lián)立得 y2 2pty p2 0,則yi y 2 pt,2|AB| K X2 p t yi y2 2p 2pt 2p 2p,等號成立時 t 0, 2p 4,即p 2 ,故拋物線y2 4x ；(2

45、)由題知k 0 ,故可設(shè)直線PQ方程為x ky m,與拋物線C的方程聯(lián)立得y2 4ky 4m 0,則16k2 16m 0即 k2 m 0 I,又 yp yQ4k ,設(shè)PQ中點為M x0,y0 ,則y0 2k ,2x0ky° m 2k m,2又點M在直線l上，故 2k 2 k 2k m 1 ,222則 k2 m12k2,k2 2(k 1) k2 k 2代入i式得k 1 0 ,即- 0 ,kk解得1 k 0.6. (2020浙江高三期末)已知拋物線E ： y22px p0過點Q 1,2 , F為其焦點，過F且不垂直于x軸的直線l交拋物線E于A, B兩點，動點P滿足 PAB的垂心為原點 O

46、.(1)求拋物線E的方程;S PAB(2)求證：動點p在定直線m上，并求-一的最小值.S QABS PAB【答案】(1) y2 4x (2)證明見解析，公的最小值為2%S QAB【解析】（i）由題意，將點 Q i,2代入y2 2px,即22 2p ,解得p 2 ,所以，拋物線 e的方程為y2 4x.（2）解析1:（巧設(shè)直線）證明：設(shè)l ： ty x i, A Xi, yi , B X2,y2 ,聯(lián)立 y2 4x可得ty 1yiy2則有YiY24t可設(shè)ap ： y yiX2即動點S PABS QABV2Xi ，即 y3-Yi ,同理4BP：3-y2 ,解得 P 3,3t4P在定直線m : X11

47、AB d 21 AB d 2dd2223t2 42t3t22J3,當(dāng)且僅當(dāng)t巫時取等號3.其中di,d2分別為點P和點Q到直線AB的距離.(2)解析2:（利用向量以及同構(gòu)式）證明:l ： x myXi, yi2X2,y2 ,聯(lián)立 y一 24X ,可得y4my 40,則有yiy2VW24m uuu .PA42Yixo , YoYi4uuu,OB2Y24又。為PAB的垂心,uur 從而pauurOB0，代入化簡得:Xo 27y2y°y2同理：y；4yoyiXo 2從而可知，yi , y2是萬程 x 4yox的兩根，所以S PABS QABYiy24yoXo4myoyiy2i2XoXom%

48、3yoXo3m,所以動點P在定直線m :33上.1 AB d2i-AB d2為點P和點Q到直線did23m22m3m22V3，當(dāng)且僅當(dāng)m還 時取等號.其中di,3d2分別AB的距離.7 .【江西省九江市2oi9第一次高考模擬統(tǒng)已知拋物線的？煲=2?> o）的焦點為?直線？?=? i）與？/目切于點？ |?|?= 2（I）求拋物線？?勺方程;（I）設(shè)直線 校？?F?,?砌點，？是？?？勺中點，若|?= 8,求點？到？軸距離的最小值及此時直線 ？的方程?！窘馕觥?I)設(shè)？?,？?)，聯(lián)立方程°：212?，得？/？ + 2(?,- ?+ ?= 0 ?= ?F 1)由？?= 4(?- ?2- 4? = 0,得？?= 2?亨,?？= 1 _?，|?= ?+ 2=1 + 2= 2,解得？?= 2故拋物線？的方程為? = 4?(I)由題意可