重點大學(xué)自主招生歷年來北大自主招生數(shù)學(xué)試題

1、2010北京大學(xué)香港大學(xué)北京航空航天大學(xué)自主招生（三校聯(lián)招）試題數(shù)學(xué)部分1 .（僅文科做）0，求證：sintan.22 .AB為邊長為1的正五邊形邊上的點,證明：AB最長為±A.（25分）23 .AB為y1x2上在y軸兩側(cè)的點，求過AB的切線與x軸圍成面積的最小值.（25分）4 .向量0A與0B已知夾角，0A1,OB2,OP（1t）OA,OQtOB,0<t<1.PQ在t。時取得最1小值，問當(dāng)。t。.時，夾角的取值范圍.（25分）55 .（僅理科做）存不存在0x?使得sinx,cosx,tanx,cotx為等差數(shù)列.（25分）2010北京大學(xué)香港大學(xué)北京航空航天大學(xué)自主招生

2、（三校聯(lián)招）試題數(shù)學(xué)部分解析有最大值為IPR ；R2 0 Ri取到最大值的假設(shè)是合R2 0A是AB儂產(chǎn)2 PR2Q1. .(僅文科做)0'求證：Sintan.2【解析】不妨設(shè)f(x)xsinx，則f00，且當(dāng)。x一時，f(x)1cosx0.于是f(x)在Ox一22上單調(diào)增f(x)f(0)0,即有xsinx.同理可證g(x)tanxx0.g(0)0當(dāng)0x2時Ig(x)2coso.于是g(x)在ox一上單調(diào)增。'x2,在0x有g(shù)(x)g(0)0。艮Jtanxx°2注記：也可用三角函數(shù)線的方法求解.2. AB為邊長為1的正五邊形邊上的點.證明：AB最長為.(25分)2【解析

3、】以正五邊形一條邊上的中點為原點，此邊所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.當(dāng)A,B中有一點位于P點時，知另一點位于&或者R2時當(dāng)有一苣位干o點時|ABmaxlOPIIPRl；當(dāng)A,B均不在y軸上時，知A,B必在y軸的異側(cè)方可能(否則取A點關(guān)于y軸的對稱點A,有IAB|AB).不妨設(shè)A位于線段OR?上(由正五邊形的中心對稱性，知這樣理的)，則使AB最大的B點必位于線段PQ上.且當(dāng)B從P向Q移動時，|AB先減小后增大，于是ABmaxAP或AQ；對于線段PQ上任意一點B,都有IBR2>BA.于由，知|ABmax|R2P,不妨設(shè)為X.下面研究正五邊形對角線的長.如右圖.做EF

4、G的角平分線FH交EG于H.易知EFHHFGGFIIGFFGH5于是四邊形HGIF為平行四邊形.|HG|1EH由角平分線定理知EFx1解得FG|1x1HG23. AB為y1x2上在y軸兩側(cè)的點，求過AB的切線與x軸圍成面積的最小值.（25分）【解析】不妨設(shè)過A點的切線交x軸于點C，過B點的切線交x軸于點D，直線AC與直線BD相交于點E.如圖.設(shè)B(Xi,yi),A(x2jy2),且Wy1x2,yi1x；,xiOx2由于y2x,于是AC的方程為2X2x2y2y：BD的方程為2xix2yiy.聯(lián)口AC,BD日勺萬程，解得E(上蠢，1Xx).2(X2x)對于，令y0，得C(U_2,o)；2X2對于，

5、令yo,得d（2y|,0）.于是sECDS ECDyxi 勺-20DI CD 12a r41 4ab.22X2&x22xi2X2Xx）.不妨設(shè)Xi1 NL111ab)> 41ab) 4 (2a 2b2 ab (2 abb 0，則22ab ab)不妨設(shè)ab sO 則有S ECD (S 2s 1 -)S3 9s.9：2438 (-)16 8-)2 & 3 ,3 3 93, &3時，處的等號均可取到.92xi33(S注記：不妨設(shè)g(s)1©2sI，事實上，其最小值也可用導(dǎo)函數(shù)的方法求解.2s由g(s)t(3s221)知當(dāng)Os?1時g0;當(dāng)s?時g(s)0.2s

6、33則g在(。，總)上單調(diào)減，在(加,)上單調(diào)增于是當(dāng)s三時g取得最小值.3334.向量OA與OB已知夾角OA1,OB2,OP(1t)OA,OQtOB,0<t<1,PQ在t。時取得最小值,問當(dāng)OtJ時，夾角的取值范圍.(25分)5【解析】不妨設(shè)OA，OB夾角為，貝(JOP1t,OQ2t，令2222g(t)|PQ(1t)4t2(1t)2tcos(54cos)t(24cos)t1.其對稱軸為t.而f(x)在(5,)上單調(diào)增，故1<L沁<1.54cos54x454cos3當(dāng)0w匚沁w時，ot12cos(0,!)解得一J.54cos354cos523當(dāng)1w12COS0時，g(t

7、)在0,1上單調(diào)增，于是,不合題意.54cos于是夾角的范圍為，乙.235存不存在0x,使得sinx,cosx,tanx,cotx為等差數(shù)列.(25分)2【解析】不存在；否則有COSXsinxcotxtanx(cosxsinx)(cosxsinx)sinxcosx貝Ucosxsinx0或者1cosxsinxsinxcosx若cosxsinxo，有x而此時孑，子,1,1不成等差數(shù)列；4若1cosA_,有(sinxcosx)212sinxcosx.解得有sinxcosx12.sinxcosxJ1而sinxcosxsin2x(0,，矛盾!222011年綜合性大學(xué)（北約13校）自主選拔錄取聯(lián)合考試數(shù)學(xué)

8、試題請注意：文科考生做1至5題，理科考生做3至7題。每題20分，共100分1已知平行四邊形兩邊長分別是了和£一條對角續(xù)是仗求曷一條對第綬的長度2Z求過拋物綻丁二2/-紜-1J二+2x+3兩交點的直線方程.松工等差數(shù)列分加滿足八二-13八=3這個數(shù)列的前11項和為乂數(shù)列SrS2中哪一項最小？并求出這個最小值.Q4.在iM占沖，如果說+證明生6Q-PB.是否存在四個IE實甄它們兩兩乘積分別是匕3-Stb?10*16.+J乳設(shè)商nq是平面上兩個不重合的固定圓周.設(shè)c是浚平面上的一個動園，它寫G和G均相切,問；。的圓心軌跡是何種曲統(tǒng)？證明你前結(jié)論.*7.求h-ll十12工-II十十I201L

9、1-1的最小值什【試題解答】1.已知平行四邊形的其中兩條邊長為3和5，一條對角線長為6,求另一條對角線長。解析：平行四邊形的對角線的平方和等于它四邊的平方和，設(shè)另一條對角線長為x，所以X26223252,所以x4'2。2,求過拋物線y2x22x1和y5x22x3的交點的直線方程。解析:解法y2x2y2X115x22x3252得6x7y10，所以過拋物線y2x22x1和y5x22x3的交點的直線方程6x7y10o24.2解法二：由y2x15x22x37oj/524.2497，所以過拋物線y2x22x1524.2“八49和y5x22x3的交點的直線方程6x3.在等差數(shù)列協(xié)中，a313,a?

10、3,為何？數(shù)列an的前n項和為求數(shù)歹IJg的最小項，并指出其值Sn.解析：因為as13,a73,所以d4，所以為4n25，Snminan4n250由an4nl25N，所以n所以6Si36S666、rna3nc9法二：由Sn2n223n23529.業(yè),5所以當(dāng)n48$min§66o4.在ABC中，b2c,求證：60。.22解析：因為cos北W一C2ab32ab1ab422abb2ab22ab221ab-ab2-2abb時，成立，又因為C0,，所以C60。°5.是否存在四個正實數(shù)，使得他們的兩兩乘積為2,3,5,6,10,16?解析：設(shè)存在四個正實數(shù)a,b,c,d使得他們兩兩乘

11、積為2,3,5,6,10,16,因為四個正實數(shù)a,b,c,d3的兩兩乘積為ab,ac,ad3bc5bd,cd，把這些乘積乘起來，所以abed23561016，又a,b,c,d為正實數(shù)，所以abed4450,所以在2,3,5,6,10,16中應(yīng)存在兩個數(shù)之積等于43450,顯然這是不可能的，所以假設(shè)不成立，所以不存在四個正實數(shù)，使得他們的兩兩乘積為2,3,5,6,10,16。6.G和C2是平面上兩個不重合的固定圓，C是平面上的一個動圓，C與G,C2都相切，則C的圓心的軌跡是何種曲線？說明理由解析：不妨設(shè)G,C2和C的半徑分別為5a,r(AQ),(1)當(dāng)G和C2相離時，即GGr1遼,(i)若C與C

12、i,C2都外切，則|ccjnr,CC21ar,所以CGCC口a;若C與Ci,C2都內(nèi)切，則CC1rA,CC2rQ,所以CC?CG匚D；所以|CC2|CG|riaCCz,由雙曲線的定義，C的圓心的軌跡是以，C2為焦點、實軸長為幾j的雙曲線；(ii)若C與G內(nèi)切,C2外切，則CGrn,CCzDr,所以|CC八|CGAQ；若C與G外切,C2內(nèi)切，則|CCr門，CC? r r?,所以I CG| ICC2山 Q ；所以IICC2CG| n2 C1C2，由雙曲線的定義. c的圓心的軌跡是以Ci,C2為焦點、實軸長為n 的雙曲線;(2)當(dāng)Ci和C2外切時，即GGn遼,若C與Ci,C2都外切，則CCriCC2

13、 r2 r 所以 CCi若C與Ci, C2都內(nèi)切，則CCi遼，所以 CG CCi n r2;所以 |CC2CGn rir2GC2, 曲線；由雙曲線的定 義，C的圓心的軌跡是以G ,C2為焦點、實軸長為rj r2的雙（ii）若 C 與 Ci 內(nèi)切，C2 外切，則 CG r n, CC2 r2 r（或CGri r , CC2以 CC2 CCin2 （或 CC2 CCi n 2）；若C與Ci外切，C2內(nèi)切，貝uCG r n, CC2CC2r2。，所以CCi CC2 n r2 （或 CC2 CCin所以 IICC2|CG| nrzCG | 或 CC?CCiCC2 ，所以C的圓心的軌跡是過Ci, C2的

14、直線(除直線與圓Ci、C2的交點外)；(3)當(dāng)G和C2相交時,即nrzCG若C與Ci,C2都外切，貝Ijccri r , CC2 r，所以 ICCCC2 n r2 ；若C與Ci, C2都內(nèi)切，則CCi rn,CC2 r2（或 CCmr, CC2r2r ），所以CC2CCin2；所以|CC2CG|n2C1C2,由雙曲線的定義，C的圓心的軌跡是以Ci,C2為焦點、實軸長為n的雙曲線（圓Ci、C2的交點除外）；間若C與Ci內(nèi)切，C2外切，則CGnr,CCzar,所以|CC2CCn若C與Ci外切，C2內(nèi)切，貝u|CG|rjCC?Dr,所以CC?CGn所以ICC2CCinr2GC?i，由橢圓的定義，C的

15、圓心的軌跡是以C，C2為焦點、實軸長為n2的橢圓（圓Ci、C2的交點除外）;（4）當(dāng)Ci和C2內(nèi)切時，即CQn遼，若C與Ci，C2都外切,則|CG|ri r，CC21 a r，所以若C與Ci，C2都內(nèi)切，則CGrn，CC2 r 遼（或 CG n遼或CQ nCCzDr ），所以 |CC2CCiri或 CC?CCir?或 CCA |CCj rj ；所以IICC2 CG| n 2 CQ2或CGCG n r2 ,所以C的圓心的軌跡是過C，C2的直線（除直線與圓G、C2的交點外）；（i若C與Ci內(nèi)切，C?外切，則 |CG|ri r，CC2 r? r，所以|CC?i CGfi r? CiG I，所以 C

16、的圓心的軌跡是以G，C2為焦點、實軸長為n”的橢圓（兩圓C、C2的交點除外）；（5）當(dāng)Ci和C?內(nèi)含時，即GGnr?，心的軌跡是以Ci,C2為焦點、實軸長為ri2的橢圓；何若C與Ci內(nèi)切，C2外切，則|CG|nr,CC2I遼r，所以ICO|CCin2C1C2，所以C的圓心的軌跡是以Ci，C2為焦點、實軸長為ri上的橢圓。7求f(x)|x1I2x112011x1的最小值。第了題解答*由絕對值的幾何盒義聯(lián)想SI羽更離的最小值，如糾+I工-糾的最；bfl應(yīng)該是在數(shù)軸上由上兩點之閭?cè)〉?，?-糾.所以將/(羽整理為"-1|+1勺+1扣z扣I胡1+1扣“IX-I+IA1+'+1工-12

17、01111201111201112+3八+2011=1006x2011®則/(x)RJU理解xgJil1006x201的拒禽之55從兩端開始向中間霏攏，超兩個絕對值和的最小值邯是在相應(yīng)的零點之間取得，而且范圍是包含關(guān)秦匕如十葉缶的希唯是在心擊13上取龜-扣W金I的環(huán)值星在呵拾卻硝E的環(huán)值應(yīng)該在正中陰某1006x2011個零點或相翔兩個零點之間取得.由=503x2011Rlffl取得最小值的范圍在第503x2011±八和第罰刃2011十1個零點之間他兩個零點也肯相等)中由+<503x2011算得Q142L所以第刃荻2011個零點和第503x20H-Fl上零5920437

18、U+】二x(工足>】+&十Er三OC+SQC+60R一二a一X二Xsoo+U608-O+:+EHIJ境二WoIM-2)+00021o+aZDHoc一：一c二*EID+X.17MYM-家苗oAlOVI1XX-IXss:IgnsAlW(x一I+邑1X»1d)+QssID71S2w66、在12,2012中取一組數(shù)第3備磊篇息叫嘀?1、求x的取值范圍使得f(x)x2xx1是增函數(shù);2、求 Jx 11 6zx 2x27 10x2 1的實數(shù)根的個數(shù);22Q、口小口 (v Ov nn/v Ov m1。的4個根組成首項為一的等差數(shù)列，求m n ;44、如果銳角 ABC的外接圓的圓心為

19、。，求O到三角形三邊的距離之比;5、已知點A( 2,0), B(2,0)，若點C是圓x2 2x y2 0上的動點，求 值。ABC面積的最小7、求使得sin4xsin2xsinxsin3xa在0,）有唯一解的a;8求證：若圓內(nèi)接五邊形的每個角都相等，則它為正五邊形;6、在1,2,2012中取一組數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除,最多能取多少個數(shù)?9、求證：對于任意的正整數(shù)n,(1.2嚴必可表示成.ss1的形式，其中sN2012年自主招生北約聯(lián)考數(shù)學(xué)試題解答L求工的范圉使得I工+2I+ITI+歸一是增函數(shù).解答.分別討論上在(oo2)t2J)M(L1),1Loc)中時告悴繪對便.務(wù)知x>0

20、SpT.2,求+i1召4十2十/：/272=1的實根的個數(shù)*解答.注意到44i-6vTT2=a(j+2；-2-3*卡阱二/區(qū)密匚3"=|3.石p27-1()x/zA2=y/(r-F2)-25-V7+2+(“匚2+5尸-)5-V7T2l-13->/F+2l>2>1,所以禹方祝元實數(shù)解+3.已知（，22r4m）（工2_2z+n）=0的4個根組成首項為；的等差數(shù)列，求4mnI,和為2囚此耒I耿27這樣可算礙公星為R=J.于足4個抿為4L1357“解答.個方祖的一次咬系數(shù)相同，所以由韋達定址有首項與未項之1735丁734.如果銳角人8C的外接圓圓心為O,求O到三角形三邊的距

21、離比.解答,很容另計算比例為cos4:cosB:cosC,如呆是It角三角形應(yīng)該加上絕對值.5.已知點（一2,0）3©2），若點C是圓以一2工+“2=（）上的動點，求4ABC面積的最小值.解答.由數(shù)周鄉(xiāng)7ft合知當(dāng)了直4?時（否則幻同釬邊大于Ttt角邊焉點之問線矛居IJ.因八1-0+29于是 ABC積的聶小值為丁 /八匚0為直關(guān)皿+衛(wèi)_1/24/的方程為工一丫+2=0,所以0至1”的距離為3酒6在1.2.-2()12中取一組數(shù),使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，最多能取多少個數(shù)？解答.將,2012分成(123).(456),.(2008.2009.2010).(2011.2012)it

22、67ft.婦采取至少672個我，則穴抽層原理必焦有2個救于河一組，不妨設(shè)為當(dāng)ab=l時，此時a6整徐a+b,不合要求；當(dāng)a-5=2時,此時。JL同才謁，時以a-b為偶數(shù)5從Ma-bit除a+6,不含姜求.囚此最鄉(xiāng)取6刃個散，現(xiàn)在取1472011這677個我，此苛任兩教之和除以3的余數(shù)為2,而兩數(shù)之星雄3的倍敷，所以任意兩數(shù)之和不危被其星整除.練上。片述，爰多能取671金敦.7,求使得sin4zsiu2zsinxsiu3x=a在0.7?)有唯一解的a解答.汶f(X)=siu4a:sin2rsiuJsiu3x=A(cos-LrcosCx)JL咚關(guān).于h=+時你，園此fU)=a40聲)”一解釣話，必

23、焦只能在才=0冷時.當(dāng)z=0為解時.此時a=0,方VI化，為sin超in5r=0410.ir)不止一輯,故舍去.當(dāng)x二寸為解時，此時”“二1方程化為sinxsin5z=1,因為XI0.z)-hsinz90"所以只能,姥siuz=l.siii=1,z=-j為吟一解.煤上耕述a=l-8 .求證：若圓內(nèi)接五邊形的每個角都相尊，則它為正五邊形.證明.設(shè)遽*五邊彭為ABODE,令7ft線AE.交于點G,速結(jié)/4C.因為ZAED=ZEDC,所以AGED=AGDE又因為4C.D.£四點共圓，所以Z.GAC=乙EDG=ZGE。,所以DE平行于CD,AE=BC,BC=DE,DE=AB,于是A

24、B=BC=CD=DE=DA，即五邊彩ABCDE為正五邊形.注記.插上圖后運后一頁出現(xiàn)顏色建化問題，不明原因，田比較簡單，索性不桶圖9 .求址：對仔意的正幕數(shù)（1+4尸必町表示成廬+莎二1的形式，其中§N+-證明,構(gòu)迪戟列叫二*尹，刖逆用粉衽抿煤知5+2=2nn+l+*£T1=1.ffj=3tVR£拎米于是吟涼正整蠡列.另并注髯蟄J域_（1+6產(chǎn)+（1-丁產(chǎn)）2（1+d）耳心一（1一詵嚴所以V 于是:(1+e產(chǎn)-(1-收產(chǎn)-2(1+逐產(chǎn)=Q2n*-1；，+1同理可證煤上所述'帝題得證.(i +=Z +選擇題（每題8分，共48分）2013年北約自主招生數(shù)學(xué)試題

25、2013-3-16（時間90分鐘，滿分120分）1 以2和132為兩根的有理系數(shù)多項式的次數(shù)最小是多少C. 52 在66的棋盤中停放著3個紅色隼和3個黑色隼,每一行、每一列都只有一個隼,共有多少種停放方法B20C .518400D . 14400223.已知 x 2y 5, yA . -102x 5，則 x3D -122 22x y y3的值為C . -14().D. -16交AB于點M，DN平分/ ADC交AC于N,貝U BM+CN4.如圖，在ZaABC中，D為BC中點，DM平分/ADB與MN的關(guān)系為0A. BM+CN>MNB. MN+CN<MNC. BM+CN=MND.無法確定

26、5.設(shè)數(shù)列an滿足Si1，前n項和為Sn,n143A.3019x2AAB.3019x2八C.iOlSxi3012D.法確立6模長為1的復(fù)數(shù)x,y,z滿足xyz0，求xyyZzxxyzA.-1/2D.無法確定、解答題（每題18分，共72分）&已知ai.i1,2,3,2013為2013個實數(shù)，滿足aia2a3'20130,且32a2a22a37.最多有多少個兩兩不等的正整數(shù)，滿足其中任意三數(shù)之和都為素數(shù).&已知ai,i1,2,3,2013為2013個實數(shù)，滿足aia2a3'20130,且q2a2a22a3azo132al，求八證a（a?asa2oi30.9對于任意的

27、，求32cos6cos66cos415cos2的值.10已知有mn個實數(shù)，排列成mn階數(shù)陣，記作amn使得數(shù)陣的每一行從左到右都是遞增的，即對任意的i1,2,3,m，當(dāng)jj2時，ajmn的每一列原有的各數(shù)按照從上到下遞增的順序排列，形成一個新的mn階數(shù)陣，記作mn,即對任意的j1,23,n，當(dāng)周2時，有auai2,試判斷an中每一行的各數(shù)的大小關(guān)系，并加以證明.2013年北約自主招生數(shù)學(xué)試題解析2013-3-16（時間90分鐘，滿分120分）選擇題(每題8分，共48分)1以2利132為兩根的有理系數(shù)多項式的次數(shù)最小是多少()A.2B,3C,5D,6【解析】顯然(X22)(x1)32)為滿足要求

28、的多項式，其次數(shù)為5.若存在n次有理系數(shù)多項式f(x)以2和132為兩根，則f(x)必含有因式(x23.已知x 2y 5, y2x5,則 A . -10B , -12【解析】3 x 2x2 y2 y3 x(2y4xy 15(x y) 50, 又由x?2y 5, y?2x5,有 二 x y 或x y 2 .2)(x1)32),/n5，即最小次數(shù)為5.故選C.2在66的棋盤中停放著3個紅色聿和3個黑色隼，每一行、每一列都只有一個聿，共有多少種停放方法()A.720B.20C,518400D,14400【解析】先排3個紅色聿，從6行中任取3行，有C620種取法；在選定的3行中第一行有6種停法，第一行

29、選定后第二行有5種停法，第二行選定后第三行有4種停法；紅聿放定后，黑聿只有6種停法.故停放方法共20654614400種.故選D.3X2x2y2y3的值為().C.-14D,-165)2(2y5)(2x5)y(2x5)x2y22(xy)當(dāng)xy時，有x22x5,x1J6,4xy15(xy)504x230x5038x7038x7010838苗；2(x 2)x(x 2)14xy 15(x y) 504x( 2 x)20 4x(x 2)80 16 .4.如圖，在A ABC中，D為BC中點,DM平分/ ADB交AB于點M , DN平分/ ADC交AC于N,貝U BM+CN與MN的關(guān)系為A.BM+CN&g

30、t;MNB.MN+CN<MNC.BM+CN=MND.無法確定【解析】延長ND至E，使ND二ED，連結(jié)BE、ME,則ABED也AMED/MND,ME二CND,MN,由BM+BEEM,得BM+CNMN.5.設(shè)數(shù)列an滿足a1，前n項和為Sn,Sn14anA匆142叫nMufC.3014fD.無法確宦【解析】Qi1,aia24al2,a?5;2 '于是 3n 1 4Sn 他 1 '由Sn14an2，有n2時，Sn4a.i特征方程X24x4有重根2,可設(shè)an（ClC22將ai1,a25代人上式,于是 a 門（3。4 1）4 2n（3n1)2n220136038 220113019

31、 22012故選A6 模長為1的復(fù)數(shù)x, y, z滿足xxy yzZXA . -1/2【解析】取xyxy yz zxF面給出證 明，xy yzXX yy ZZ 12zx xyyz zx xy yz zxxy yz zx xy yz zxxz yz yxxz yz yxzxzxzx yxzx yxxy yz zx二、解答題（每題18分，共72分）7.最多有多少個兩兩不等的正整數(shù)，滿足其中任意三數(shù)之和都為素數(shù).【解析】設(shè)滿足條件的正整數(shù)為n個.考慮模3的同余類，共三類，記為0,1,2.則這n個正整數(shù)需同時滿足不能三類都有；同一類中不能有3個和超過3個.否則都會出現(xiàn)三數(shù)之和為3的倍數(shù).故n4.當(dāng)n4

32、時，取1,3,7,9,其任意三數(shù)之和為11,13,17,19均為素數(shù)，滿足題意，所以滿足要求的正整數(shù)最多有4個.&已知 ai , i 1,2,3, ,2013 為 2013 個實數(shù)，滿足 ai a2 a332013 0,且 31 2a2a2 2a3a20132a1，求證&1a2 as320130 .【解析】設(shè)ai2m右 k 0 jij aia2 2a3k ,2a2, 3.22a3，320132ai'S20122a 2013 , S2013 2ai ,于是 ai a 2a 3aai2013 aiai220112ai0 ,0，進而aia2as32013若 ko，則 a2a2

33、,a2 2a3，&2013 2a這2013個數(shù)去掉絕對值號后只能取k和k兩值,又 a 2a2 a2 2a332012 2a201332013 2al即這2013個數(shù)去掉絕對值號后取k和k兩值的個數(shù)相同,這不可能.6【解析】32 cos 32(9)寸于任意的，求32cos6cos66cos415cos2的值.1cos233/cc、12cos22)4cos23coS64cos23co2,26cos412cojs26,15cos215cos2,各式相加，得32cos6cos66cos415cos210.10.已知有mn個實數(shù)，排列成mn階數(shù)陣，記作amn使得數(shù)陣的每一行從左到右都是遞增的，即

34、對任意的i1,2,3,m，當(dāng)jj2時，有aiba.;現(xiàn)將amn的每一列原有的各數(shù)按照從上到下遞增的順序排列，形成一個新的mn階數(shù)陣，記作，即對任意的j1,2,3,n，當(dāng)iG時，有ai2,試判斷ajmn中每一行的各數(shù)的大小關(guān)系，并加以證明.【解析】數(shù)陣aijmn中的中每一行的各數(shù)仍是遞增的.下面用反證法給出證明.ai/q 1)，其中 k 1,2,3, ,m ,若在第P行存在apqdp(ql),令ak(q1)i,i2,i3,im1,2,3,m，貝【J當(dāng)tp時，a八aA1）at（qi）aP（qi）aPq即在第q列中至少有P個數(shù)小于a何，也就是a3在數(shù)陣ajmn中的第q列中至少排在第P1行，這與a向排

35、在第p行矛盾-所以數(shù)陣a”mn中的中每一行的各數(shù)仍是遞增的.2014北約理科數(shù)學(xué)試題1、 圓心角為一的扇形面積為6，求它圍成圓錐的表面積32、 將10個人分成3組，一組4人，兩組各3人，求共有幾種分法3、產(chǎn)-八2b.a1,f47,f2014.332匚4、fxIgx2axa的值域為R,求a的取值范圍.15、已知xy1,且x,y都為負實數(shù)，求xy的取值范圍.xy6、fxarctan2C在1，1上為奇函數(shù),求C的值.14x447、求證：tan3Q.8已知實系數(shù)二次函數(shù)fx與gx,fxgx和3fxgx0有兩重根，fx有兩相異實根，求證：gx沒有實根.7169、an2a是等差數(shù)列，Maaak11ijk1

36、3,問：0,一是否可以同時在M中，并證明你的結(jié)論23i 1i 1nx1.求證：n2Xn-i 1il7”i10、x0i1,2,.n,i2014北約文科數(shù)學(xué)試題1、 圓心角為一的扇形面積為6，求它圍成圓錐的表面積32、 將10個人分成3組，一組4人，兩組各3人，求共有幾種分法a2bf11,f47,求f2014.324、fxlgx2axa的值域為R,求a的取值范圍.15、已知xy1,且x,y都為負實數(shù)，求xy的取值范圍.xy6、fxarctan2竺.C在1,1上為奇函數(shù)，求C的值.14x447、等比數(shù)列4n11n200,6m31m200的公共項之和8梯形的對角線長分別為5和7,高是3,求梯形的面積E

37、F9、求證：tan3Q.1o、已知實系數(shù)二次函數(shù)fx與gx,fXgx和3fXgx0有兩重根，fx有兩相異實根，求證：gx沒有實根2014北約理科數(shù)學(xué)試題1、圓心角為的扇形面積為6，求它圍成圓錐的表面積.（參考答 案）1_12【解析】s扇R,R6,lR2，從而圓錐底面周長為22、將10個人分成3組，一組4人，兩組各3人，求共有幾種分法【解析】平均分堆問題ct4_q.q2100.2!,f11,f47,求2014.【解析】觀察等式可知，從而f2014函數(shù)顯然為線性一次函數(shù)，可設(shè)kxm,f11,f4027.4fxlgx22axa的值域為R,求a的取值范圍.【解析】值域問題4a24a0,1或aO.5、已

38、知xy11,且X,y都為負實數(shù)，求xy一的取值范圍.xy【解析】均值不等式,，對勾函數(shù)性質(zhì).1xyxyxy22xaretan14xC在1,1上為奇函數(shù)，求44C的值【解f00,carctan2.卜面證明:析】22xaretan-14x22xaretan-14x2Caretan342aretan20.7、求證:tan3Q.【解析】反證法假設(shè)tan3QJiJtan6Q,tan12Qtan24Q,從而tan30Q,矛盾.tan3Q.8已知實系數(shù)二次函數(shù)x和3fxo有兩重根，x有兩相異實根,求證：gx沒有實根.【解析】殳fxaxbxe5gxdxex則由fX，可得ad0,def0.由3fx?？傻?adx

39、23bex3ef0,3be43a3e0.9、aia2化簡得3b22e4df2e0.a是等差數(shù)列,212ae4df,即e4df沒有實根.ak|1【解析】數(shù)列中的項.分析M中項的構(gòu)成,最大的項為ai11672°72k2d,k2ki34aeb?又b24aejk13,問:0.0273,-L6是否可以同時在M中，并證明你的結(jié)論.若按照從小到大的順序排列'最小的項為aia2a3,第二項為印an公差為d，則M中項的公差也為d，所以M中共有0,216均為M中的項，不妨設(shè)3234oj.16不可以同時在23nX1.求證:1121,klk230,且kik231,這樣的k不存在,矛盾.所以【解析】不

40、等式；柯西不等式或AMGM平均不等式法一:AMGM不等式.調(diào)和平均值Hn則一n2.12XQi言了X，n可得Xi-墨iXiXin|2Xi2nnn2TXiXiXiXiXiXi法二：由nX1.及要證的結(jié)論分析，由柯西不等式得2Xi&jXi1從而可設(shè)yXi，且i11一1.從而本題也即證Y.21nn從而2Xi2n21，2n假設(shè)原式不成iV從而n2X22n即n2X.n，貝Vn1i1,矛盾彳導(dǎo)證.v'2Al.21（參考答 案）r, S底2014北約文科數(shù)學(xué)試題1、圓心角為一的扇形面積為6，求它圍成圓錐的表面積3一12【解析】S扇2R,R6,1R2，從而圓錐底面周長為22、將10個人分成3組，

41、一組4人，兩組各3人，求共有幾種分法【解析】平均分堆問題C地4_QS<Q32100.2!ta2b-3"-3f11,f47,求f2014.【解析】觀察等式可知，而f2014函數(shù)顯然為線性一次函數(shù)，可設(shè)4027.kxm,f1l,f47代人求得k2,m1,從2二，4、fxlgx2axa的值域為R,求a的取值范圍.【解析】值域問題.4a24a。,a1或a0.arcta2x4xC在11上為奇函數(shù)，求44C的值.【解析】0,)arctan下面證明：22xamtnn14x22xArntnn14x2Carntan4ParntAn2037、等比數(shù)列4n1n200,6m31m200的公共項之和.【

42、解析】此題考察數(shù)的同余問題；設(shè)公共項為a1mod(4),a3mod(6).易得a最小的數(shù)為9.4和6的最小公倍數(shù)為12,則a912k,kN.912k420015k66.公共項之和為s67，趣227135.8梯形的對角線長分別為5和7,高是3,求梯形的面積.【解析】如圖，梯形面積為S-ABCDh-DFECh，易求得DF210,EC4,S1DFECh142.103nn6310.9、求證：tan3Q.【解析】反證法假設(shè)tan3Q,則tan6Q,tan12Qtan24Q,從而tan30Q,矛盾.tan3Q.10、已知實系數(shù)二次函數(shù)xgx禾口3fxgxx有兩相異實根，求證：gx沒有實根.【解析】設(shè)fx2

43、2axbxc,gxdxexf5則由fxgx,可得adx2bexcf0,2be4adcf0.。可得3adx23bex3cf0,3be43ad3cf0化簡得3b22e12ac4df，即e24df34acb2又b24ac0.2e4df0.gX沒沒實根2011年北大保送生考試數(shù)學(xué)試題參考解答證叫FQ乎l點0為雙曲tar.fr-點.PQ曲紅aPit的切fitAm為叔曲tft的小點分ZRF局.winht2'2證楓曲于廿日寺也不話漢廠在第一章服0氐r抽上心血分刖為左疔覽點.曲圾的方程溝召一歹二I.f=Zas+臚+于逢令尸的坐標(biāo)溝白wwlif.frAUih+創(chuàng)切代FQ方*，卻xcoshtjysiuht

44、a一于繪Q點的坐棕為（&釜,。）,IPFiF(nh#+r)34-sinh2/IPFir(afusht-fj2¥fr2sin)?I(ac(xht+c)a+(八一az)(coah21一1)(acoshfcj2-boD(cofih”1)二(goflhfJ='Z任4ABC中存任點a滿址ZBAO=£CAO=£CBO=L4QZ求證：的二邊長組戚等比數(shù)列.證明.顯保有OAOBOCOBOCOA='由正丈理礙sinZABOsinLOCBshiZOACsin慟。sinLOBCsinLOGA='利用乙撲條件，可得25一川2C-A2A限一28，。2.二阿變

45、邢播«»(CJ?)cos(C+B4)=1-cobA.即co8(C-B)-cos(C+3)=1«*2人-二sinCsinS=sin2A.3.是否存任實數(shù)使得f(x)=(ur+sinz存在兩切線互解答.令a=0,門/'(%)=sin鴛它在工二0處怖切信，為$二工.另外它41H:=tt處的切良為F>=_9一町,攔然這罔條切線星相會查.注屯個人認為題目應(yīng)讀是問是否審在非羋實數(shù)。滿更條件"$發(fā)是不序莊“這?？梢赞D(zhuǎn)化知一尢二次方鞋的問題，大家*T以認諫手-4設(shè)pg為實數(shù)，G)=x2+阿十0如果/(打)=0只有個實根，求逮彳p,q$0.證明.顯然4x)=

46、0有實根，不扮設(shè)之為即班可以柚等則/«二(工一a)(r-«./(/(z)=(/(r)-a)(/(r)-fl).知果a,0中一者大于0,不厲僅為a,那么由千開a向上且f(x)=0有實根，耶么/(X)-a=0必風(fēng)有兩不等實楂，曲dJb這烏/(/(x)=0只有一個奧榷矛用.因此a,8榔不大于0,從而由痛達之理知P=(a + 8)0, q =0.5.肌位疇+二1有二點&（卻,如）（劭，也），C（斑如,若劭十劭十二的十切十如二0,求證：右十戒”二出+於+諺二魯證明.由越意和板的重心為原點，叩與外心重合，所以ABC為正三JM3,并以可權(quán)設(shè)人3,0對直輔角仇0+第,0+第，叫此=

47、CO62夕+77CO626十二sin2022另得比時出+於+出=3-9?+迓+工3二害2012年北京大學(xué)保送生考試數(shù)學(xué)試題及參考解答1.已知數(shù)列an為正項等比數(shù)列,且a3a4aa?5，求asa的最小值.5,a1 qfig:語酌列an的公仆為。0，milaqa。.由ai0知q1.1)45a5a6aeaeq1(q21)q215 q21qH?.fa_ffa證法二地敘當(dāng)g5fa,fffa成等比數(shù)列得，=772.已知f:x為二次函數(shù)，且 a, f a ,f f a , f ff a成正項等比數(shù)列，求證：f aa .證法:設(shè) f x 2 mx nx t m0，數(shù)列 a, f a , f fa,fff則 f a aq, f fa f aq aq2 , f f f a2