高一數學平面向量

1、§2.1 平面向量的實際背景及基本概念 （一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量 4、零向量、單位向量概念：長度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的.注意0與0的含義與書寫區(qū)別.長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.5、平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0與任一向量平行.說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量、平行，記作.6、相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：（1）向量與相等，記作；（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來

2、表示，并且與有向線段的起點無關.7、共線向量與平行向量關系：平行向量就是共線向量，說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系.§2.2.1 向量的加法運算及其幾何意義二、探索研究：、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）如圖，已知向量a、.在平面內任取一點，作a，則向量叫做a與的和，記作a，即 a，規(guī)定： a + 0-= 0 +aa aABCa+ba+baabbaa探究：（1）兩相向量的和仍是一個向量；（2）當向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|&

3、lt;|+|；OABaaabbb（3）當與同向時，則+、同向，且|+|=|+|，當與反向時，若|>|，則+的方向與相同，且|+|=|-|；若|<|，則+的方向與相同，且|+b|=|-|.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個向量連加加法的交換律和平行四邊形法則）向量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應）向量加法的交換律：+=+向量加法的結合律：(+) +=+ (+)§2.2.2 向量的減法運算及其幾何意義一、 提出課題：向量的減法1 用“相反向量”定義向量的減法（1） “相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.

4、記作 -a（2） 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果a、b互為相反向量，則a = -b， b = -a， a + b = 0 （3） 向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差. 即：a - b = a + (-b) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法.2 用加法的逆運算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運算： 若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b3 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 §2.3.1 平面向量基本定里1實數與向量的積：實數與向量的積是一個向量

5、，記作：（1）|=|；（2）>0時與方向相同；<0時與方向相反；=0時=2運算定律結合律：()=() ；分配律：(+)=+， (+)=+ 3. 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數，使=.平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數1，2使=1+2.和 §2.3.2§2.3.3 平面向量的正交分解和坐標表示及運算1平面向量的坐標表示 如圖，在直角坐標系內，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數、，使得我們把叫做向

6、量的（直角）坐標，記作其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，式叫做向量的坐標表示.與相等的向量的坐標也為.特別地，.如圖，在直角坐標平面內，以原點O為起點作，則點的位置由唯一確定.設，則向量的坐標就是點的坐標；反過來，點的坐標也就是向量的坐標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數唯一表示.2平面向量的坐標運算（1） 若，則，兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.設基底為、，則即，同理可得（2） 若，則一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.=-=( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1)（3）若和

7、實數，則.實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.設基底為、，則，即§2.3.4 平面向量共線的坐標表示 (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=0 例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？ 解：=(1-(-1)， 3-(-1)=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2) 又 2×2-4×1=0 又 =(1-(-1)， 5-(-1)=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×6¹0 與不平行 A，B，C不共線 AB與CD不

8、重合 ABCD一、 平面向量的數量積的物理背景及其含義6線段的定比分點及 P1， P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1， P2的任一點，存在實數，使 =，叫做點P分所成的比，有三種情況：>0(內分) (外分) <0 (<-1) ( 外分)<0 (-1<<0)7. 定比分點坐標公式：若點P(x1，y1) ，(x2，y2)，為實數，且，則點P的坐標為（），我們稱為點P分所成的比.8. 點P的位置與的范圍的關系：當時，與同向共線，這時稱點P為的內分點.當()時，與反向共線，這時稱點P為的外分點.9.線段定比分點坐標公式的向量形式：在平面內任取一點O，設，可得=

9、.二、講解新課：1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.2平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數量|a|b|cosq叫與的數量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0與任何向量的數量積為0.×探究：兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cosq的符號所決定.（2）兩個向量的數量積稱為內積，寫成a×b；今后要學到兩個向量的外積a×b，而a×b是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區(qū)分.符號“· ”在向量

10、運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實數中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數量積中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.因為其中cosq有可能為0.（4）已知實數a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c.但是a×b = b×c a = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×c 但a ¹ c (5)在實數中，有(a&#

11、215;b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.3“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數量，不是向量；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0°時投影為 |b|；當q = 180°時投影為 -|b|.4向量的數量積的幾何意義：數量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.5兩個向量的數量積的性質：設a、b為兩個非零向量，

12、e是與b同向的單位向量.1° e×a = a×e =|a|cosq2° ab Û a×b = 03° 當a與b同向時，a×b = |a|b|；當a與b反向時，a×b = -|a|b|. 特別的a×a = |a|2或4° cosq =5° |a×b| |a|b|三、講解范例：例6 已知，當，與的夾角是60°時，分別求·.解：當時，若與同向，則它們的夾角°，··cos0°3×6×118；若與

13、反向，則它們的夾角180°，·cos180°3×6×（-1）18；當時，它們的夾角90°，·；當與的夾角是60°時，有·cos60°3×6×9評述：兩個向量的數量積與它們的夾角有關，其范圍是0°，180°，因此，當時，有0°或180°兩種可能.二、平面向量數量積的運算律二、講解新課：平面向量數量積的運算律1交換律：a × b = b × a證：設a，b夾角為q，則a × b = |a|b|cosq，b &#

14、215; a = |b|a|cosq a × b = b × a2數乘結合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)證：若> 0，(a)×b =|a|b|cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)×b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3分配

15、律：(a + b)×c = a×c + b×c 說明：（1）一般地，(·)（·）（2）··，0（3）有如下常用性質：，（）（）····()·三、講解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角.解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16a×b -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a2 - 30a×b

16、+ 8b2 = 0 兩式相減：2a×b = b2代入或得：a2 = b2設a、b的夾角為q，則cosq = q = 60°例評述：(1)在四邊形中，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即0，應注意這一隱含條件應用；(2)由已知條件產生數量積的關鍵是構造數量積，因為數量積的定義式中含有邊、角兩種關系.三、平面向量數量積的坐標表示、模、夾角二、講解新課： 平面兩向量數量積的坐標表示已知兩個非零向量，試用和的坐標表示.設是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么，所以又，所以這就是說：兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和.即2. 平面內兩點間的距離公式二、 設，則或.（2）如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么(平面內兩點間的距離公式)三、 向量垂直的判定設，則四、 兩向量夾角的余弦（） cosq =五、 講解范例：例3 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求滿足x×a = 9與x×b = -4的向量x. 解：設x = (t， s)， 由 x = (2， -3)例4 已知a（，），b（，），則a與b的夾角是多少?分析：為求a與b夾角，需先求a·b及a·b，再結合夾角的范圍確定其值.解：由a（，），b（，）有a·b（），a，b記