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文檔簡介
1、2020-2021中考數(shù)學(xué)圓的綜合綜合練習(xí)題附答案解析一、圓的綜合1.如圖1,已知扇形 MON的半徑為 J2 , /MON=90,點B在弧MN上移動,聯(lián)結(jié) BM , 作OD, BM,垂足為點 D, C為線段OD上一點,且 OC=BM,聯(lián)結(jié)BC并延長交半徑 OM于 點A,設(shè)OA=x, /COM的正切值為y.(1)如圖2,當(dāng)AB±OM時,求證:AM=AC;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;(3)當(dāng)4OAC為等腰三角形時,求 x的值.&后圖,14 .2x【答案】(1)證明見解析;(2)y2x【解析】分析:(1)先判斷出/ABM=/DOM,進而判斷出 OAXBAM,即可得出
2、結(jié)論;x 2 );(3) x由 1OA OE (3)(2)先判斷出BD=DM,進而得出-DM ME,進而得出AE=1(8 x),再判斷出BD AE2OC 2DM“,即可得出結(jié)論;OD OD分三種情況利用勾股定理或判斷出不存在,即可得出結(jié)論.詳解:(1) - OD± BM, AB± OM, . . / ODM=/BAM=90°. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :'人 ABM=Z DOM . Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如圖2,過點D作DE/AB,交OM于點E.OB=OMODXBMBD=DM.1.
3、DE/AB,DMBDMEAEAE=EM. OM=V2,AE=1(近 x).21. DE/AB,OAOC2DMOEODODDMOAOD 2OEy xm(0<x我)1 -OC 21X .在 RtAODM 中, 21(3) ( i)當(dāng) OA=OC時. DM BM 2OD J'OM 2 DM 2 22 1x2 .1或x瓶八(舍).22(ii)當(dāng) AO=AC時,則 /AOO/ACO. / ACO> / COB, /CO&/AOC, . / ACO>/ AOC,,此種情況不存在.(iii)當(dāng) CO=CA 時,貝U ZCOA=ZCAO=a. / CAO> / M ,
4、Z M=90° - a, . . a> 90° a, a>45 :/ BOA=2 A 90 : : / BOAW 90 °,此種情況不存在.即:當(dāng)4OAC為等腰三角形時,x的值為 E 衣.點睛:本題是圓的綜合題,主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),圓的有關(guān)性質(zhì),勾股定 理,等腰三角形的性質(zhì),建立 y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.2 .如圖,已知 4ABC中,AC=BC以BC為直徑的。交AB于E,過點E作EG,AC于G,交BC的延長線于F.(1)求證:AE=BE(2)求證:FE是。的切線;(3)若FE=4, FC=2,求。的半徑及 CG的長.【答案】
5、(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3) 3【解析】(1)證明:連接CE,如圖1所示: BC是直徑,/ BEC=90 ; CE!AB;又. AOBG 1- AE=BE.(2)證明:連接OE,如圖2所示:. BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位線, . OE/ AC, AC=2OE=6.又EG,AC,.FEI OE,,F(xiàn)E是。的切線.(3)解:.EF是。的切線,F(xiàn)H=FC?FB.設(shè) FC=x,貝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=8- 2=6, . OB=OC=3,即。的半徑為 3;.OE=3.CG 2 I63上十",解得:CG=J .OE/. &quo
6、t;CS CG FCOEFO點睛:本題利用了等腰三角形三線合一定理,三角形中位線的判定,切割線定理,以及勾 股定理,還有平行線分線段成比例定理,切線的判定等知識.AC的延長線交于點 D,點E在3 .如圖,AB是半圓的直徑,過圓心 。作AB的垂線,與弦OD 上 DCE B .(1)求證:CE是半圓的切線;2(2)若CD=10, tanB 2,求半圓的半徑.3分析:(1)連接CO,由 DCE B且OC=OB導(dǎo) DCE判斷出/BCO+/ BCE=90,即可得出結(jié)論;(2)設(shè)AC=2x,由根據(jù)題目條件用 x分別表示出OA、AD、 列出等式即可.OCB,利用同角的余角相等AB,通過證明 AODACB,C
7、O./ DCB=180 -°Z ACB=90 : / DCE-+Z BCE=90. °,.OC=OB,/ OCB=Z B.DCE= B,/ OCB=Z DCE/ OCE=Z DCB=90 : OCX CE OC是半徑, .CE是半圓的切線.(2)解:設(shè) AC=2x,_ AC 21 .在 RHACB中,tanB , BC 3BC=3x.AB 2x 2 3x 2、13x.2 .ODXAB,/ AOD=ZACB=90.°/ A=Z A,3 .AODAACBlAC AO.AB AD1 .13 OA -AB -x,AD=2x+10, 2221 13x2x 2.J13x 2x
8、 10解得x=8.OA -13 8 4 13 . 2則半圓的半徑為4.13.點睛:本題考查了切線的判定與性質(zhì),圓周角定理,相似三角形4.如圖,點P是正方形 ABCD內(nèi)的一點,連接 PA, PB, PC.將 PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn) 90°到P'CB的位置.(1)設(shè)AB的長為a, PB的長為b(b<a),求 PAB旋轉(zhuǎn)到 P'CB的過程中邊PA所掃過區(qū)域(圖 中陰影部分)的面積;(2)若 PA=2, PB=4, /APB=135°,求 PC 的長.t)IT【答案】(1) S陰影=4(a2-b2);(2)PC=6.【解析】試題分析:(1)依題意,將'
9、 CB時針旋轉(zhuǎn)90??膳c4PAB重合,此時陰影部分面積 二扇 形BAC的面積-扇形BPP的面積,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,兩個扇形的中心角都是90。,可據(jù)此求出陰影部分的面積.(2)連接PP;根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知: BP=BP;旋轉(zhuǎn)角ZPBP'=90°,則4PBP是等腰直角三 角形,/BP'C=/ BPA=135, /PP'C=/ BP'C-Z BP'P=135°-45 =90°,可推出PP'C是直角三角 形,進而可根據(jù)勾股定理求出 PC的長.試題解析:(1)二,將4PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到AP' C
10、B位置,.PABAP'CB,Sa pae=Sx p'cb,HS陰影=S扇形bac-S扇形bpp =斗(a2-b2);(2)連接PP,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:APBCP BP.BP=BP ' ,=P' C=PA=2 PBP' =90 ° PBP是等腰直角三角形,p'p2=pb2+P'B2=32;又 / BP C= BPA=135,./PP' CBP'-aBP' P=1355°= 90 ;即 APP'是直角三角形.PgPP" P。'.考點:1.扇形面積的計算;2.正方形的性質(zhì);
11、3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).5.如圖,四邊形 ABCD內(nèi)接于。O,對角線AC為。的直徑,過點 C作AC的垂線交AD 的延長線于點 E,點F為CE的中點,連接 DB, DF.(1)求證:DF是。的切線;(2)若 DB平分 ZADC, AB=5反,AD : DE=4 : 1,求 DE 的長.【答案】(1)見解析;(2) 5【解析】分析:(1)直接利用直角三角形的性質(zhì)得出DF=CF=EF,再求出ZFDO=ZFCO=90O,得出答案即可;(2)首先得出AB=BC即可得出它們的長,再利用4ADC4AC耳得出AC2=AD?AE,進而得出答案.詳解:(1)連接OD.OD=CD, . . / ODO/OCD. AC為。的
12、直徑, / ADO/ EDC=90 °.點 F 為 CE的中點,DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . / FDO=/FCO.又AC,CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切線.(2) AC 為。的直徑,Z ADC=ZABC=90°.,DB 平分/ADC,Z ADB=Z CDB, -Ab = ?c,-BC=AB=5V2 在 RtABC 中,AC2=AB2+BC2=100.又. AC,CE . ./ACE=90。,AC AE ADC ACE 1=,AC2=AD?AE.AD AC設(shè) DE為 x,由 AD: DE=4: 1,,AD=4x, A
13、E=5x,.-100=4x?5x,,x=75, .DE=T5.點睛:本題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì),正確得出ac2=ad?ae是解題的關(guān)鍵.6.如圖,在RtAAB的,/ABC=90°, AB=CB,以AB為直徑的。交AC于點D,點E是 AB邊上一點(點 E不與點A、B重合),DE的延長線交。于點G, DF± DG,且交BC于 點F.(1)求證:AE=BF;(2)連接 EF,求證:/FEB=Z GDA;(3)連接GF若AE=2, EB=4,求 A GFD勺面積.【答案】(1) (2)見解析;(3) 9【解析】分析:(1)連接BD,由三角形ABC為等腰直角三
14、角形,求出 / A與/C的度數(shù),根據(jù) AB 為圓的直徑,利用圓周角定理得到/ADB為直角,即BD垂直于AC,利用直角三角形斜邊1上的中線等于斜邊的一半,得到 AD=DC=BD=bAC,進而確定出/A=/FBD,再利用同角的 余角相等得到一對角相等,利用 ASA得到三角形AED與三角形BFD全等,利用全等三角形 對應(yīng)邊相等即可得證;(2)連接EF, BG,由三角形 AED與三角形BFD全等,得到ED=FD,進而得到三角形 DEF為等腰直角三角形,利用圓周角定理及等腰直角三角形性質(zhì)得到一對同位角相等,利 用同位角相等兩直線平行,再根據(jù)平行線的性質(zhì)和同弧所對的圓周角相等,即可得出結(jié) 論;(3)由全等
15、三角形對應(yīng)邊相等得到AE=BF=1,在直角三角形 BEF中,利用勾股定理求出EF的長,利用銳角三角形函數(shù)定義求出DE的長,利用兩對角相等的三角形相似得到三角形AED與三角形GEB相似,由相似得比例,求出 GE的長,由GE+ED求出GD的長,根據(jù) 三角形的面積公式計算即可.詳解:(1)連接 BD.在 Rt ABC 中,ZABC=90°, AB=BC, . . / A=/C=45°.1. AB為圓 O 的直徑,Z ADB=90 ,即 BDXAC, . AD=DC=BD=AC, Z CBD=Z C=45 ,2/ A=/ FBD.DF± DG, ./FDG=90 : ZF
16、DB+Z BDG=90 °.A FBD ZEDA+Z BDG=90 °, . . / EDA=/FDB.在 AED和 4BFD 中,AD BD ,EDA FDB2 .AEDABFD (ASA) , . AE=BF;(2)連接 EF, BG.3 AAEDABFD, . DE=DF.4 ZEDF=90°,AEDF 是等腰直角三角形,/DEF=45°.5 ZG=Z A=45 °,ZG=Z DEF, ,GB/ EF, . . / FEB=/GBA. /GBA=/GDA,ZFEB=ZGDA;(3) AE=BF, AE=2, .BF=2 .在 RR EBF
17、 中,Z EBF=90 °,根據(jù)勾股定理得:EF2=EB2+BF2. EB=4, BF=2,EF=742 22 =245. 4DEF為等腰直角三角形,DE/EDF=90 ,cosZ DEF=EF- EF=2V5, DE=2 ZG=Z A, ZGEB=ZAED,.GEBAAED, . . GE =空,即 GE?ED=AE?EB,AE EDM?GE=8,即 gE=40 ,5貝U GD=GE+ED=9 - 10 .51S GD DF GD219、10DE 2510 2點睛:本題屬于圓綜合題,涉及的知識有:全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定 與性質(zhì),勾股定理,圓周角定理,以及平行線的判
18、定與性質(zhì),熟練掌握判定與性質(zhì)是解答 本題的關(guān)鍵.7.如圖,在以點 。為圓心的兩個同心圓中,小圓直徑AE的延長線.與大圓交于點B,點D在大圓上,BD與小圓相切于點 F, AF的延長線與大圓相交于點 C,且CE! BD.找出圖中相等的線段并證明.【答案】見解析【解析】試題分析:由AE是小。的直徑,可得 OA=OE,連接OF,根據(jù)切線的性質(zhì),可得OF± BD,然后由垂徑定理,可證得 DF=BF,易證得OF/ CE,根據(jù)平行線分線段成比例定理,可證得AF=CF,繼而可得四邊形 ABCD是平行四邊形,則可得 AD=BC, AB=CD然后連接 OD、OC,可證得 AAOD2則可得 BC=AD=C
19、E=AE試題解析:圖中相等的線段有: OA=OE DF=BR AF=CR AB=CQ BC=AD=CE=AE 證明如下:.AE是小。的直徑,OA=OE.連接OF,BD與小O O相切于點F, .OFIBD. BD是大圓O的弦, DF=BF. - CE± BD,.CE/ OF, .AF=CE二四邊形ABCD是平行四邊形. .AD=BC, AB=CD.,. CE: AE=OF: AO, OF=AO, .".AE=EC連接OD、OC,-.OD=OC,Z ODC=Z OCD. - Z AOD=Z ODC, /EOC"OEC, Z AOC=Z EOQ.AO* EOG.AD=C
20、EBC=AD=CE=AE【點睛】考查了切線的性質(zhì),垂徑定理,平行線分線段成比例定理,平行四邊形的判定與 性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識.此題綜合性很強解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思 想的應(yīng)用,注意輔助線的作法,小心不要漏解.8.閱讀:圓是最完美的圖形,它具有一些特殊的性質(zhì):同弧或等弧所對的圓周角相等,一 條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半 先構(gòu)造 輔助圓”,再利用圓的性質(zhì)將問題進行轉(zhuǎn)化,往往能化隱為顯、化難為易。解決問題:如圖,點 A與點B的坐標(biāo)分別是(1,0), (5, 0),點P是該直角坐標(biāo)系內(nèi) 的一個動點.(1)使/APB=30的點P有 個;(2)若點P在y軸正半軸上,且/A
21、PB=30,求滿足條件的點 P的坐標(biāo);(3)設(shè)sin/APB=m,若點P在y軸上移動時,滿足條件的點P有4個,求m的取值范 圍.【答案】(1)無數(shù);(2) (0, 23 、7)或(0, 2出;(3) 0<m< 23【解析】試題分析:(1)已知點A、點B是定點,要使/APB=30°,只需點P在過點A、點B的圓 上,且弧AB所對的圓心角為 60。即可,顯然符合條件的點 P有無數(shù)個.(2)結(jié)合(1)中的分析可知:當(dāng)點 P在y軸的正半軸上時,點 P是(1)中的圓與y軸的 交點,借助于垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識即可求出符合條件的點P的坐標(biāo).(3)由三角形外角的性質(zhì)可
22、證得:在同圓或等圓中,同弧所對的圓周角大于同弧所對的圓外角.要/APB最大,只需構(gòu)造過點 A、點B且與y軸相切的圓,切點就是使得 /APB最 大的點P,由此即可求出 m的范圍.試題解析:解:(1)以AB為邊,在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC,以點C為圓心,AC為半徑作OC,交y軸于點P1、P2.在優(yōu)弧 AP1B 上任取一點 P,如圖 1,則/APB=1 / ACB=1 X 60=30°, .使 / APB=30 ° 的點 P 22有無數(shù)個.故答案為:無數(shù).(2)點P在y軸的正半軸上,過點 C作CGJ±AB,垂足為 G,如圖1.點 A (1, 0),點 B (5, 0
23、) , .OA=1, OB=5,,AB=4.點 C 為圓心,CG± AB, /.AG=BG=-AB=2 . . OG=OA+AG=3 2 ABC 是等邊三角形,AC=BC=AB=4,CG=;AC2""AG2=42 22=2j3,點 C 的坐標(biāo)為(3, 2J3).過點C作CD,y軸,垂足為D,連接CP2,如圖1 .二點C的坐標(biāo)為(3, 2,3), .CD=3, OD=273 .Pi、巳是。C與 y 軸的交點,/ ARB=/AP2B=30°. CP2=CA=4, CD=3, ,DP2=432' = ".點 C 為圓心,CD)± P
24、1P2,PiD=P2D=V7 ,Pi (0, 273+77) , P2 (0, 2瓜-幣).(3)當(dāng)過點A、B的。E與y軸相切于點P時,/APB最大.理由:可證: /APB=/AEH,當(dāng)/APB最大時,/AEH最大.由sinZAEHk 得當(dāng) AEAE最小即PE最小時,/AEH最大.所以當(dāng)圓與 y軸相切時,/APB最大./APB為銳角, .sin/APB隨/ APB增大而增大,.連接EA,彳EHI±x軸,垂足為H,如圖2. OE與y軸相切于點P,. PE±OP. EHXAB, OPXOH, . / EPO=/POH=/EHO=90 ; . .四邊形 OPEH是矩形,. . O
25、P=EH,2 2PE=OH=3,EA=3. sinZ APB=sinZAEH= ,,m 的取值氾圍是 0m.3 3T 卡 / - f fJ小圖1-圖2點睛:本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的判定與 性質(zhì),切線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識,綜合性強.同時也考查了創(chuàng)造性思維,有一 定的難度.構(gòu)造輔助圓是解決本題關(guān)鍵.9.如圖,在 RtABC中,C 90 , AD平分/BAC,交BC于點D,點O在AB上,OO經(jīng)過A、D兩點,交AC于點E,交AB于點F.(1)求證:BC是。的切線;(2)若。O的半徑是2cm, E是弧AD的中點,求陰影部分的面積(結(jié)果保留兀和根號)【解析
26、】 【分析】(1)連接(2)連接 【詳解】(1)連接1)證明見解析OD,只要證明OD/AC即可解決問題;OD. OA=OD,/ OAD=Z ODA.OE, OE交AD于K.只要證明4AOE是等邊三角形即可解決問題. Z OAD=Z DAC,ZODA=Z DAC, ,OD/ AC, . . / ODB=/C=90 ; . . OD,BC, . BC是OO的切線.(2)連接OE, OE交AD于K.Ae De,ad./OAK=/ EAK, AK=AK, Z AKO=Z AKE=90 ; .AK必AKE, ,AO=AE=OE, .AOE是等邊三角形,ZAOE=60°,.SmS 扇形 oae-
27、 Sa aoe 602- - 22 V3 .36043【點睛】本題考查了切線的判定、扇形的面積、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、 全等三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,靈活運用所學(xué)知識 解決問題,屬于中考常考題型.10.已知:如圖,在四邊形 ABCD中,AD/BC.點E為CD邊上一點,AE與BE分別為 /DAB和/CBA的平分線.(1)請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件 ,使得四邊形 ABCD是平行四邊形,并證明你的結(jié) 論;(2)作線段AB的垂直平分線交 AB于點O,并以AB為直徑作OO (要求:尺規(guī)作圖,保 留作圖痕跡,不寫作法);(3)在(2)的條件下,。交邊AD于
28、點F,連接BF,交AE于點G,若AE=4,2)作出相應(yīng)的【答案】(1)當(dāng)AD=BC時,四邊形ABCD是平行四邊形,理由見解析;圖形見解析;(3)圓O的半徑為2.5.【解析】分析:(1)添加條件AD=BC,利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形驗證即可;(2)作出相應(yīng)的圖形,如圖所示;(3)由平行四邊形的對邊平行得到AD與BC平行,可得同旁內(nèi)角互補,再由AE與BE為角平分線,可得出 AE與BE垂直,利用直徑所對的圓周角為直角,得到AF與FB垂直,可得出兩銳角互余,根據(jù)角平分線性質(zhì)及等量代換得到/AGF=/ AEB,根據(jù)sin/AGF的值,確定出sin/AEB的值,求出AB的長,即可確定出圓的
29、半徑.詳解:(1)當(dāng)AD=BC時,四邊形 ABCD是平行四邊形,理由為:證明:AD/ BC, AD=BG四邊形ABCD為平行四邊形;故答案為:AD=BC;(2)作出相應(yīng)的圖形,如圖所示;(3) .AD/BC, / DAB+/ CBA=180 ;.AE與BE分另1J為/ DAB與/CBA的平分線, / EAB+Z EBA=90 ,°/ AEB=90 ; AB為圓O的直徑,點F在圓。上,/ AFB=90 ,° / FAG+Z FGA=90 ,° . AE 平分 / DAB,Z FAG=Z EAB,/ AGF=Z ABE,- sin Z ABE=sinZ AGF=,5
30、AB.AE=4,.AB=5,則圓O的半徑為2.5.點睛:此題屬于圓綜合題,涉及的知識有:圓周角定理,平行四邊形的判定與性質(zhì),角平 分線性質(zhì),以及銳角三角函數(shù)定義,熟練掌握各自的性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.11.如圖,PA切。于點A,射線PC交。于C、B兩點,半徑ODLBC于E,連接BD、DC和OA, DA交BP于點F;(1)求證:/ ADC+-Z CBD= - / AOD.2,(2)在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖中相等的線段.【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;【解析】【分析】1根據(jù)垂徑定理得到 ",根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD CD11ODA 180o AOD 90
31、176; AOD ,即可得到結(jié)論; 222根據(jù)垂徑定理得到 BE CE , BD CD ,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ADO OAD ,根據(jù)切線的性質(zhì)得到PAO 900,求得 OAD DAP 900,推出 PAFPFA,根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論.【詳解】1 證明:QOD BC, n n BD CD,CBD DCB,Q DFE EDF 900,EDF 90o DFE ,QOD OA,1 oo 1ODA 180 AOD 90 AOD ,22oo 190 DFE 90 AOD ,21DEF AOD,2Q DFE ADC DCB ADC CBD ,_1 分ADCCBD AOD ;22 解:QO
32、D BC,BE CE,BD CD,BD CD ,QOA OD ,ADO OAD,Q PA切e O于點A,PAO 900,OAD DAP 900,Q PFA DFE ,PFA ADO 900,PAF PFA ,PA PF .【點睛】本題考查了切線的性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),垂徑定理,圓周角定理,正確的識別 圖形是解題的關(guān)鍵.12.如圖1,等腰直角 ABC中,Z ACB=90°, AC=BQ過點A, C的圓交 AB于點D,交BC 于點E,連結(jié)DE(1)若AD=7, BD=1,分別求 DE, CE的長(2)如圖2,連結(jié)CD,若CE=3, 4ACD的面積為10,求tan / BCD(3)
33、如圖3,在圓上取點 P使得/PCD=Z BCD (點P與點E不重合),連結(jié) PD,且點D是4CPF的內(nèi)心請你畫出CPE說明畫圖過程并求 /CDF的度數(shù) 設(shè)PC=a, PF由 PD=c,若(a-J2c) (b-J2c) =8,求 CPF的內(nèi)切圓半徑長.Bi02圖3【答案】(1) DE=1, CE=3應(yīng);(2) tan/BCD=; ;(3) 135。;2.【解析】【分析】(1)由A、C、E、D四點共圓對角互補為突破口求解;(2)找/ BDF與/ ODA為對頂角,在 0O中,Z COD=2Z CAD,證明OCD為等腰直角三 角形,從而得到 Z EDC+Z ODA=45 ,即可證明/CDF=135;(
34、3)過點D做DH CB于點H,以D為圓心,DH為半徑畫圓,過點 P做eD切線PF 交CB的延長線于點F,結(jié)合圓周角定理得出 / CPD=Z CAD=45 ,再根據(jù)圓的內(nèi)心是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點,得出/CPF=90,然后根據(jù)角平分線性質(zhì)得出_1_DCF CFD PCF2【詳解】由勾股定理得:出c值,即求出4CPF的內(nèi)切圓半徑長為 巨 c21 _PFC 45 ,最后再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求 2解;證明/DCF+Z CFD=45,從而證明/CPF是直角,再求證四邊形 PKDN是正方形,最后以4PCF面積不變性建立等量關(guān)系,結(jié)合已知(a-J2c) (b-J2c) =8,消去字母a, b求A
35、C2+BC2=AB2, . AB=AD+BD, AD=7, BD=1, .x2+x2=82, 解得:x=4、/2 . O O內(nèi)接四邊形,/ ACD=90 ,° / ADE=90 ;/ EDB=90 ; / B=45 ; .BDE是等腰直角三形.DE=DB,又DB=1,.DE=1,又 CE=BC-BE-CE=472 72 3<2又.<£=3, ,BC=3+y,1/ Saacb=SAcd+Sdcb,1-114.2 4'.;2 103 y y222解得:y=2或y=-11 (舍去).,EM=1,CM=CE+ME=1+3=4又 / BCD=Z MCD,tanZ
36、BCD=tanZ MCD,在 RtDCM 中,tanZ MCD=-DM- = 1 ,CM 4 .tan / BCD=1 .4(3)如下圖所示:過點D做DH CB于點H,以D為圓心,DH為半徑畫圓,過點 P做eD切線PF交CB的延長線于點F. Z CAD=45 ;c C CPD=Z CAD=45又.點D是 CPF的內(nèi)心,.PD、CD DF都是角平分線,/ FPD=Z CPD =45, / PCD叱 DCF, / PFD=Z CFD/ CPF=90 ° / PC% PFC=90 °一 一 1-1-DCF CFD PCF PFC 45 22/ CDF=180-Z DCF-/ CF
37、D F=90+45 = 135 ;即/CDF的度數(shù)為135°.如下圖所示2N三點,過點D分別作 DK, PC, DM ± CF, DNPF于直線PC, CF和PF于點K, M , 設(shè) PCF內(nèi)切圓的半徑為 m,則DN=m, 點D是 PCF的內(nèi)心,.DM=DN=DK,又/ DCF+Z CFD+Z FDC=180 , / FDC=45 , / DCFtZ CFD=45 ,°又 DC, DF分別是/ PCF和/ PFC的角平分線,/ PCF=2Z DCF, / PFC=2Z DFC, / PCF吆 PFC=90, °/ CPF=90.°在四邊形 PK
38、DN 中,Z PND=Z NPK=Z PKD=90 ,四邊形PKDN是矩形,又 KD=ND,四邊形PKDN是正方形.又 / MBD=Z BDM=45 , / BDM= / KDP,/ KDP=45 .° . PC=a, PF=b, PD=c, ,PN=PK=&CK=a2.NF=b又. CKmCM, FM=FN, CF=CM+FM CF=a b V2c,又 S PCF=S PDF+S PDC+S DCF,2 ab1a 2 1b 3 1(a b22222化簡彳導(dǎo):ab=72 a b c c2 ( i ),又若(a- J2 c) ( b- J2 c) =8化簡彳導(dǎo):ab V2c a
39、 b 2c2 8 ( n ),將(i )代入(n )得:c2=8,解得:c 2亞,或c 2V2 (舍去),.m=2c : 2近 2, 22即 CPF的內(nèi)切圓半徑長為 2.【點睛】本題考查圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì),圓的內(nèi)心,圓心角、圓周角,同弧(或等?。┲g的相互關(guān)系,同時也考查直角三角形,勾股定理,同角或等角的三角函數(shù)值相等和三角形的面積公式,正方形,對頂角和整式的運算等知識點;難點是作輔助線和利用等式求4CPF的內(nèi)切圓半徑長.13.如圖,AB是e O的直徑,弦CD AB于點E,過點C的切線交AB的延長線于點 F ,連接DF .(1)求證:DF是e O的切線;(2)連接 BC,若 BCF 30, B
40、F 2,求 CD 的長.【答案】(1)見解析;(2) 273【解析】【分析】(1)連接OD,由垂徑定理證 OF為CD的垂直平分線,得 CF=DF / CDF=/ DCF,由 /CDO=/ OCD,再證 ZCDO +/ CDB=Z OCD+Z DCF=90,° 可得 ODDF,結(jié)論成立.(2)由/OCF=90°, /BCF=30°,得/OCB=60°,再證 A OC的等邊三角形,得 /COB=60°,可 得/CFO=30,所以FO=2OC=2OB FB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中,解直角三角形可 得CE再推出CD=2CE.【詳解】(
41、1)證明:連接OD .CF是。的切線/ OCF=90 ° / OCD+/ DCF=90 ° 直徑AB,弦CD .CE=ER即OF為CD的垂直平分線.CF=DF / CDF玄 DCF .OC=OD,/ CDO=Z OCD / CDO +/ CDB之 OCD+Z DCF=90 ODXDF .DF是。O的切線(2)解:連接OD Z OCF=90, °Z BCF=30 °/ OCB=60 °.OC=OBA OC囪等邊三角形,/ COB=60 °/ CFO=30 °FO=2OC=2OBFB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中,/
42、 CEO=90 / COE=60sin COE .CF、3.CD=2 CFCE 3OC 22.3【點睛】本題考核知識點:垂徑定理,切線,解直角三角形.解題關(guān)鍵點:熟記切線的判定定理,靈活運用含有 30。角的直角三角形性質(zhì),巧解直角三角形.14.如圖所示,ABC內(nèi)接于圓O, CD AB于D;(1)如圖1,當(dāng)AB為直徑,求證: OBC ACD ;(2)如圖2,當(dāng)AB為非直徑的弦,連接 OB,則(1)的結(jié)論是否成立?若成立請證明, 不成立說明由;(3)如圖3,在(2)的條件下,作 AE BC于E,交CD于點F,連接ED,且AD BD 2ED,若 DE 3, OB 5,求 CF的長度.【答案】(1)見
43、解析;(八 一 -142)成立.;(3(1)根據(jù)圓周角定理求出 /ACB=90,求出/ADC=90,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即 可;(2)根據(jù)圓周角定理求出 /BOC=2Z A,求出Z OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可;(3)分別延長 AE、CD交。于H、K,連接 HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延長CG交AK于M,延長KO交。O于N,連接CN、AN,求出關(guān)于a的方程,再求出a即可. 【詳解】(1)證明:.AB為直徑,ACB 90 , CD AB 于 D,ADC 90 ,OBCA 90 , A ACD 90 ,OBCACD ;A ,1OBC - 18021BOC 1
44、802 A 90 A ,2(2)成立,ADC 90 ,ACD 90 A ,OBC ACD ;(3)分別延長 AE、CD交。于H、K,連接 HK、CH、AK,AE BC, CD BA ,AEC ADC 90 ,BCD CFE 90 , BAH DFA 90 ,CFEDFA ,BCDBAH , 根據(jù)圓周角定理得:BAH BCH ,BCD BAH BCH,,由三角形內(nèi)角和定理得:CHE CFE,. CH CF, EH EF,同理DF DK ,DE 3, HK 2DE 6 ,6,在AD上取DG BD ,延長CG交AK于M,則AG AD BD 2DE BC GC,MCK BCK BAK ,CMK 90
45、,延長KO交。O于N,連接CN、AN,則 NAK 90 CMK , CM / /AN ,NCK ADK 90 , CN /AG , 四邊形CGAN是平行四邊形,AG CN 6,作OT CK于T, 則T為CK的中點, .O為KN的中點,1. OT CN 3, 2OTC 90 , OC 5, 由勾股定理得:CT 4,CK 2CT 8,作直徑HS,連接KS,HK 6, HS 10, 由勾股定理得:KS 8, tan HSK - tan HAK , 41,tan EAB tan BCD , 3設(shè) BD a, CD 3a,1. AD BD 2ED a 6, DK -AD 3. CD DK CK ,八r9解得:a 9,DK135CF CK 2DKc 26148 本題考查了垂徑定理、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理等知識 點,能綜合運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵,綜合性比較強,難度偏大.15.對于平面內(nèi)的OC和。C外一點Q,給出如下定義:若過點 Q的直線與OC存在公共 點,記為點A, B,設(shè)k與薩'則稱點A (或點B)是。C的加關(guān)依附點工特別,一 一, 一 ,一2
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