中考數(shù)學(xué)壓軸題專題-動點(diǎn)綜合問題（解析版）

1、決勝2021中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘精品專題15 動點(diǎn)綜合問題【考點(diǎn)1】動點(diǎn)之全等三角形問題【例1】1如圖,CABC,垂足為C,AC=2Cm,BC=6cm,射線BMBQ,垂足為B,動點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度沿射線CQ運(yùn)動,點(diǎn)N為射線BM上一動點(diǎn),滿足PN=AB,隨著P點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動_秒時，BCA與點(diǎn)P、N、B為頂點(diǎn)的三角形全等.(2個全等三角形不重合)【答案】0；4；8；12【分析】此題要分兩種情況：當(dāng)P在線段BC上時，當(dāng)P在BQ上，再分別分兩種情況ACBP或ACBN進(jìn)行計算即可【詳解】解：當(dāng)P在線段BC上，ACBP時，ACBPBN，AC2，BP2，CP624，點(diǎn)P的運(yùn)動時間為4

2、÷14（秒）；當(dāng)P在線段BC上，ACBN時，ACBNBP，這時BCPN6，CP0，因此時間為0秒；當(dāng)P在BQ上，ACBP時，ACBPBN，AC2，BP2，CP268，點(diǎn)P的運(yùn)動時間為8÷18（秒）；當(dāng)P在BQ上，ACNB時，ACBNBP，BC6，BP6，CP6612，點(diǎn)P的運(yùn)動時間為12÷112（秒），故答案為0或4或8或12【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等時必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角【變式1-1】已知正方形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是線段OB、OC上的動點(diǎn)（1）如果動點(diǎn)E、F滿足BEO

3、F（如圖），且AEBF時，問點(diǎn)E在什么位置？并證明你的結(jié)論；（2）如果動點(diǎn)E、F滿足BECF（如圖），寫出所有以點(diǎn)E或F為頂點(diǎn)的全等三角形（不得添加輔助線）【答案】（1）當(dāng)AEBF時，點(diǎn)E在BO中點(diǎn)，見解析；（2）以點(diǎn)E或F為頂點(diǎn)的全等三角形有ABEBCF，AOEBOF，ADEBAF.【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)及已知條件得出BEMAEO，BEMBOF，再根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可得出答案；（2）根據(jù)正方形性質(zhì)及BECF即可得出全等的三角形【詳解】解：（1）當(dāng)時，點(diǎn)在中點(diǎn)證明如下：延長交于點(diǎn)，如圖所示：，故當(dāng)時，點(diǎn)在中點(diǎn)；（2）四邊形是正方形，在ABE和BCF中，同理可得，；以點(diǎn)或為頂點(diǎn)的全等三

4、角形有，；【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，比較綜合，難度較大，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【變式1-2】如圖，將長方形紙片沿對角線剪成兩個全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB8cm，BC6cm，AC10cm現(xiàn)將ABC和EDF按如圖的方式擺放（點(diǎn)A與點(diǎn)D、點(diǎn)B與點(diǎn)E分別重合）動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以2cm/s的速度向點(diǎn)C勻速移動；同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)，沿射線ED以acm/s （0a3）的速度勻速移動，連接PQ、CQ、FQ，設(shè)移動時間為ts （0t5）（1）當(dāng)t2時，SAQF3SBQC，則a ；（2）當(dāng)以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與BQC全等

5、時，求a的值；（3）如圖，在動點(diǎn)P、Q出發(fā)的同時，ABC也以3cm/s的速度沿射線ED勻速移動，當(dāng)以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與EFQ全等時，求a與t的值【答案】（1）1；（2）；（3）a2時，t2；或a2.3時，t5【分析】（1）由題意得BAFABC90°，BQat2a，AFBC，由三角形面積得AQ3BQ，則AB4BQ8，得BQ22a，則a1；（2）由題意得點(diǎn)P與B為對應(yīng)頂點(diǎn)，PQBQat，PCBC6，CPQABC90°，則APACPC4，PQAC，得t2，則PQBQ2a，再由三角形面積關(guān)系即可得出答案；（3）分兩種情況：AP與EQ為對應(yīng)邊，AQ與EF為對應(yīng)邊，則APEQ，

6、AQEF10，求出a2，BQBEEQt，則AQAB+BQ8+t10，解得t2；AP與EF為對應(yīng)邊，AQ與EQ為對應(yīng)邊，則APEF10，AQEQ，求出t5，則AQEQ5a，得BQ155a，或BQ5a15，再分別求出a的值即可【詳解】解：（1）由題意得：BAFABC90°，BQat2a，AFBC，SAQF3SBQC，SAQFAF×AQ，SBQCBC×BQ，AQ3BQ，AB4BQ8，BQ22a，a1；故答案為：1；（2）以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與BQC全等，CQ是公共邊，點(diǎn)P與B為對應(yīng)頂點(diǎn)，PQBQat，PCBC6，CPQABC90°，APACPC1064，

7、PQAC，AP2t4，t2，PQBQ2a，ABC的面積ACQ的面積+BCQ的面積，×8×6×10×2a+×2a×6，解得：a；（3）由題意得：AE，A與E為對應(yīng)角，分兩種情況：AP與EQ為對應(yīng)邊，AQ與EF為對應(yīng)邊，則APEQ，AQEF10，EQat，at2t，a2，EQ2t，BE3t，BQBEEQt，AQAB+BQ8+t10，解得：t2；AP與EF為對應(yīng)邊，AQ與EQ為對應(yīng)邊，則APEF10，AQEQ，2t10，t5，AQEQ5a，BE3t15，BQ155a，或BQ5a15，當(dāng)BQ155a時，AQ155a+8235a，或AQ8（15

8、5a）5a7，5a235a，或5a5a7（無意義），解得：a2.3；當(dāng)BQ5a15時，AQ5a15+85a7，或AQ8（5a15）75a，5a5a7（無意義），或5a75a，解得：a0.7，不合題意，舍去；綜上所述，a2時，t2；或a2.3時，t5【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的綜合問題及動點(diǎn)問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到動點(diǎn)之間的聯(lián)系，然后結(jié)合全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解問題即可，注意分類討論思想的運(yùn)用【考點(diǎn)2】動點(diǎn)之直角三角形問題【例2】如圖，在四邊形紙片中，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，點(diǎn)是折線上的動點(diǎn)，將紙片沿直線折疊，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上，連接，若是直角三角形，則的長為_【答案】1或【分析】如圖（見解析），

9、先利用解直角三角形、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)求出AB的長，再分和兩種情況，分別求出的長，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)、線段的和差即可得【詳解】如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作于點(diǎn)N，四邊形CDNM是矩形，在中，在中，由折疊的性質(zhì)得：，點(diǎn)在邊上，即，由題意，分以下兩種情況：（1）當(dāng)時，是直角三角形，在中，；（2）當(dāng)時，是直角三角形，在中，；綜上，AE的長為1或，故答案為：1或【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識點(diǎn)，依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵【變式2-1】（2019·遼寧中考模擬）如圖，已知二次函數(shù)yax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A(4，0)

10、和點(diǎn)D(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作BC平行于x軸交拋物線于點(diǎn)B，連接AC(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動；點(diǎn)N從點(diǎn)B同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停動，過點(diǎn)N作NQ垂直于BC交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)MQ.求AQM的面積S與運(yùn)動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量的取值范圍；當(dāng)t為何值時，S有最大值，并求出S的最大值；是否存在點(diǎn)M，使得AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【答案】(1)yx2+3x+4；(2)S=-t2+t+2；0t2；t時，S最大值；存在，點(diǎn)M的

11、坐標(biāo)分別為(1，0)和(2，0)【解析】【分析】(1)由待定系數(shù)法將AD兩點(diǎn)代入即可求解(2)分別用t表示出AM、PQ，由三角形面積公式直接寫出含有t的二次函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的最大值可得答案；分類討論直角三角形的直角頂點(diǎn)，然后解出t，求得M坐標(biāo)【詳解】(1)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(4，0)和點(diǎn)D(1，0)，解得，所以，二次函數(shù)的解析式為yx2+3x+4(2)延長NQ交x軸于點(diǎn)P，BC平行于x軸，C(0，4)B(3，4)，NPOA根據(jù)題意，經(jīng)過t秒時，NBt，OM2t，則CN3t，AM42tBCAMAQ45°，QNCN3t，PQNPNQ4(1t)1+t，SAMQ=AM×PQ

12、=(4-2t)(1+t)t2+t+2S=-t2+t+2=-(t-)2+a10，且0t2，S有最大值當(dāng)t時，S最大值存在點(diǎn)M，使得AQM為直角三角形設(shè)經(jīng)過t秒時，NBt，OM2t，則CN3t，AM42t，BCAMAQ45°若AQM90°，則PQ是等腰RtMQA底邊MA上的高PQ是底邊MA的中線，PQAPMA，1+t(42t)，解得，t，M的坐標(biāo)為(1，0)若QMA90°，此時QM與QP重合QMQPMA，1+t42t，t1，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)所以，使得AQM為直角三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(1，0)和(2，0)【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了三角形的面

13、積，要注意利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù)【變式2-2】如圖，在矩形中， ，為中點(diǎn)，連接. 動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)運(yùn)動，兩個動點(diǎn)同時出發(fā)，速度都是每秒1個單位長度，連接，設(shè)運(yùn)動時間為（秒）. 則_時，為直角三角形【答案】或【分析】CMN是直角三角形時，有三種情況，一是CMN=90°，二是MNC=90°，三是MCN=90°，然后進(jìn)行分類討論求出t的值【詳解】解：過點(diǎn)N作OA的垂線，交OA于點(diǎn)F，交CH于點(diǎn)E，如圖1，B點(diǎn)是CH的中點(diǎn)，BH=CH=OA=6，AH=OC=8，由勾股定理可求

14、：AB=10，AN=t，BN=10-t，NEAH， BENBHA， ， ，EN= FN=8-EN=，當(dāng)CMN=90°，由勾股定理可求：AF=，OM=t，AM=12-t，MF=AM-AF=12-t- =12-，OCM+CMO=90°，CMO+FMN=90°，OCM=FMN，O=NFM=90°，COMMFN， ，t=，當(dāng)MNC=90°，F(xiàn)N=EN=MF=12-CE=OF=OM+MF=12-MNF+CNE=90°，ECN+CNE=90°，MNF=ECN，CEN=NFM=90°，CENNFM， ， ，0t5，；當(dāng)NCM=9

15、0°，由題意知：此情況不存在，綜上所述，CMN為直角三角形時，t=或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，有一定的綜合性【考點(diǎn)3】動點(diǎn)之等腰三角形問題【例3】如圖，是的直徑，是弦，若點(diǎn)是直徑上一動點(diǎn)，當(dāng) 是等腰三角形時，_【答案】、或【解析】解：為頂點(diǎn)即時，為頂點(diǎn)即時，中：，為頂點(diǎn)即時，與重合，綜上為，或故答案為：，或點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵分三種情況討論：BC=BP；CP=CB，CP=BP【變式3-1】如圖，已知正方形邊長為2，點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是點(diǎn)，連結(jié)、.設(shè)AP=x.（1）當(dāng)時，求長；（2）如圖，若的延長線交邊于，并且，求證：為等腰三角

16、形；（3）若點(diǎn)是射線上的一個動點(diǎn)，則當(dāng)為等腰三角形時，求的值.【答案】（1）BP=；（2）證明見解析；（3）CDQ為等腰三角形時x的值為4-2、2+4.【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BP的長即可；（2）根據(jù)對稱性質(zhì)及正方形的性質(zhì)可得AB=BQ=BC，A=BQP=BCE=90°，可得BQE=90°，由第一視角相等性質(zhì)可得BCQ=BQC，根據(jù)同角或等角的余角相等的性質(zhì)可得EQC=ECQ，可得EC=EQ，可得結(jié)論；（3）若CDQ為等腰三角形，則邊CD邊為該等腰三角形的一腰或者底邊又Q點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于PB的對稱點(diǎn)，則AB=QB，以點(diǎn)B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，則Q點(diǎn)只能在弧

17、AB上若CD為腰，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)即為使得CDQ為等腰三角形（CD為腰）的Q點(diǎn)若CD為底邊，則作CD的垂直平分線，其與弧AC的交點(diǎn)即為使得CDQ為等腰三角形（CD為底）的Q點(diǎn)則如圖所示共有三個Q點(diǎn)，那么也共有3個P點(diǎn)作輔助線，利用直角三角形性質(zhì)求之即可【詳解】（1）AP=x=1，AB=2，BP=，（2）四邊形ABCD是正方形，AB=BC，A=BCD=90°Q點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于BP的對稱點(diǎn)，AB=QB，A=PQB=90°，QB=BC，BQE=BCE=90°，BQC=BCQ，EQC+BQC=ECQ+BCQ=90°，EQC =ECQ，EQ

18、=EC，即CEQ為等腰三角形.（3）如圖，以點(diǎn)B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長為半徑畫弧，兩弧分別交于Q1，Q3此時CDQ1，CDQ3都為以CD為腰的等腰三角形作CD的垂直平分線交弧AC于點(diǎn)Q2，此時CDQ2以CD為底的等腰三角形討論Q1，如圖，連接BQ1、CQ1，作PQ1BQ1交AD于P，過點(diǎn)Q1，作EFAD于E，交BC于F，BCQ1為等邊三角形，正方形ABCD邊長為2，F(xiàn)C=1，Q1F=，Q1E=2-，在四邊形ABPQ1中，ABQ1=30°，APQ1=150°，EPQ1=30°，PEQ1為含30°的直角三角形，PE=EQ1=2

19、-3，EF是BC的垂直平分線，AE=AD=1，x=AP=AE-PE=1-(2-3)=4-2.討論Q2，如圖，連接BQ2，AQ2，過點(diǎn)Q2作PGBQ2，交AD于P，交CD于G，連接BP，過點(diǎn)Q2作EFCD于E，交AB于F，EF垂直平分CD，EF垂直平分AB，AQ2=BQ2AB=BQ2，ABQ2為等邊三角形AF=AE=1，F(xiàn)Q2=，在四邊形ABQ2P中，BAD=BQ2P=90°，ABQ2=60°，APQ2=120°，EQ2G=DPG=180°-120°=60°，EQ2=EF-FQ2=2-，EG=EQ2=2-3，DG=DE+GE=1+2-3

20、=2-2，DG=PD，即PD=2-，x=AP=2-PD=.對Q3，如圖作輔助線，連接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，過點(diǎn)Q3作PQ3BQ3，交AD的延長線于P，連接BP，過點(diǎn)Q1，作EFAD于E，此時Q3在EF上，記Q3與F重合BCQ1為等邊三角形，BCQ3為等邊三角形，BC=2，Q1Q2=2，Q1E=2-，EF=2+，在四邊形ABQ3P中ABF=ABC+CBQ3=150°，EPF=30°，EP=EF=2+3，AE=1，x=AP=AE+PE=1+2+3=2+4.綜上所述：CDQ為等腰三角形時x的值為4-2、2+4.【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合、正方形的性質(zhì)、含30°

21、;角的直角三角形的性質(zhì)，第三問是一個難度非常高的題目，可以利用尺規(guī)作圖的思想將滿足要求的點(diǎn)Q找全另外求解各個P點(diǎn)也是勾股定理的綜合應(yīng)用熟練掌握并靈活運(yùn)所學(xué)知識是解題關(guān)鍵【變式3-2】（2019·河南中考模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx+3交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B（-3，0）和點(diǎn)C（1，0），頂點(diǎn)為點(diǎn)M（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點(diǎn)E為x軸上一動點(diǎn)，若AME的周長最小，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)F為直線AB上一個動點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一個動點(diǎn)，若BFP為等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)【答案】（1） ；（2）E（-，0）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-5）或（1，0）【解析】

22、【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得此拋物線的解析式；（2）作A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A（0，-3），連接MA交x軸于E，此時AME的周長最小，求出直線MA'解析式即可求得E的坐標(biāo)；（3）如圖2，先求直線AB的解析式為：y=x+3，根據(jù)解析式表示點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m+3），分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)PBF=90°時，由F1Px軸，得P（m，-m-3），把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得結(jié)論；當(dāng)BF3P=90°時，如圖3，點(diǎn)P與C重合，當(dāng)BPF4=90°時，如圖3，點(diǎn)P與C重合，從而得結(jié)論【詳解】（1）當(dāng)

23、x=0時，y=3，即A（0，3），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），把A（0，3）代入得：3=-3a，a=-1，y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3，即拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3；（2）y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，M（-1，4），如圖1，作點(diǎn)A（0，3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'（0，-3），連接A'M交x軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E就是使得AME的周長最小的點(diǎn)，設(shè)直線AM的解析式為：y=kx+b，把A'（0，-3）和M（-1，4）代入得：，解得：直線A'M的解析式為：y=-7x-3，當(dāng)y=0時，-7x-3=0，x=-，點(diǎn)E（-，0

24、），（3）如圖2，易得直線AB的解析式為：y=x+3，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m+3），當(dāng)PBF=90°時，過點(diǎn)B作BPAB，交拋物線于點(diǎn)P，此時以BP為直角邊的等腰直角三角形有兩個，即BPF1和BPF2，OA=OB=3，AOB和A'OB是等腰直角三角形，F(xiàn)1BC=BF1P=45°，F(xiàn)1Px軸，P（m，-m-3），把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=-x2-2x+3中得：-m-3=-m2-2m+3，解得：m1=2，m2=-3（舍），P（2，-5）；當(dāng)BF3P=90°時，如圖3，F(xiàn)3BP=45°，且F3BO=45°，點(diǎn)P與C重合，故P（1，0）

25、，當(dāng)BPF4=90°時，如圖3，F(xiàn)4BP=45°，且F4BO=45°，點(diǎn)P與C重合，故P（1，0），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-5）或（1，0）【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，周長最短問題，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合和分類討論思想的應(yīng)用【變式3-3】（2019·廣西中考真題）已知拋物線和直線都經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)（1）求的值；（2）當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）滿足（2）的條件時，求的值【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）的值為

26、或【解析】【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出的值；(2)由(1)可得出拋物線及直線的解析式，繼而可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得出的值，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于的方程，解之即可得出結(jié)論；(3)過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，由點(diǎn)的坐標(biāo)可得出的長，再利用正弦的定義即可求出的值【詳解】(1)將代入，得：，；將代入，得：，；(2)由(1)得：拋物線的解析式為，直線的解析式為，當(dāng)時， ，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為， 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，是以為底邊的等腰三角形，即，整理，得：，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；(3)過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，；當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，滿足(2)的條件時，的

27、值的值為或【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出的值；(2)利用勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，找出關(guān)于的方程；(3)通過解直角三角形，求出的值【考點(diǎn)4】動點(diǎn)之相似三角形問題【例4】如圖，ADBC，ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，點(diǎn)P為AB邊上一動點(diǎn)，若PAD與PBC是相似三角形，求AP的長【答案】AP=或AP=2或AP=6【分析】由AD/BC, B=90°,可證PAD=PBC=90°,又由AB=

28、8,AD=3,BC=4,設(shè)AP的長為x,則BP長為8-x,然后分別從APDBPC與APDBCP去分析,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解即可求得答案【詳解】解： ABBC, B=90°, ADBC, A=180°B=90°, PAD=PBC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,設(shè)AP的長為x,則BP長為8x,若AB邊上存在P點(diǎn),使PAD與PBC相似,那么分兩種情況:若APDBPC,則AP:BP=AD:BC,即x:（8x）=3:4,解得x=,若APDBCP,則AP:BC=AD:BP，即x:4=3:（8x）,解得x=2或x=6,所以AP=或AP=2或AP=6

29、【變式4-1】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC是直角三角形，ACB90°，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（3，0），C（1，0），BCAC（1）求過點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在x軸上找一點(diǎn)D，連接DB，使得ADB與ABC相似（不包括全等），并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動點(diǎn)，連接PQ，設(shè)APDQm，問是否存在這樣的m，使得APQ與ADB相似？如存在，請求出m的值；如不存在，請說明理由【答案】（1）yx+；（2）D點(diǎn)位置見解析，D（，0）；（3）符合要求的m的值為或【解析】【分析】（1）先根據(jù)A（3，1），C（1，0），求出AC進(jìn)而得出BC3

30、求出B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式即可；（2）運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）由于APQ與ADB已有一組公共角相等，只需分APQABD和APQADB兩種情況討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)建立關(guān)于m的方程，就可解決問題【詳解】解：（1）A（3，0），C（1，0），AC4，BCAC，BC×43，B（1，3），設(shè)直線AB的解析式為ykx+b，直線AB的解析式為yx+；（2）若ADB與ABC相似，過點(diǎn)B作BDAB交x軸于D，ABDACB90°，如圖1，此時，即AB2ACADACB90°，AC4，BC3，AB5，254AD，AD，ODADAO3，

31、點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）；（3）APDQm，AQADQDm、若APQABD，如圖2，則有，APADABAQ，m5（m），解得m；、若APQADB，如圖3，則有，APABADAQ，5m（m），解得：m，綜上所述：符合要求的m的值為或【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了是待定系數(shù)法，相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，也考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)相似建立方程求解【變式4-2】如圖，正方形ABCD，點(diǎn)P為射線DC上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，連接PQ，DQ，過點(diǎn)P作PEDQ于點(diǎn)E（1）請找出圖中一對相似三角形，并證明；（2）若AB4，以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三角形與A

32、DQ相似，試求出DP的長【答案】（1）DPEQDA，證明見解析；（2）DP=2或5【分析】（1）由ADCDEPA90可證明ADQEPD；（2）若以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三角形與ADQ相似，有兩種情況，當(dāng)ADQEPQ時，設(shè)EQx，則EP2x，則DE2x，由ADQEPD可得，可求出x的值，則DP可求出；同理當(dāng)ADQEQP時，設(shè)EQ2a，則EPa，可得，可求出a的值，則DP可求【詳解】（1）ADQEPD，證明如下：PEDQ，DEPA90，ADC90，ADQEDP90，EDPDPE90，ADQDPE，ADQEPD；（2）AB4，點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，AQBQ2，DQ，PEQA90，若以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三

33、角形與ADQ相似，有兩種情況，當(dāng)ADQEPQ時，設(shè)EQx，則EP2x，則DE2x，由（1）知ADQEPD，xDP5；當(dāng)ADQEQP時，設(shè)EQ2a，則EPa，同理可得，a，DP綜合以上可得DP長為2或5，使得以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三角形與ADQ相似【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【考點(diǎn)5】動點(diǎn)之平行四邊形問題（含特殊四邊形）【例5】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，且滿足，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接，點(diǎn)是軸一動點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，若以、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，請

34、直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)備用圖【答案】（1）;（2），；（3），【分析】（1）由待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，可得OA=OC=3，由面積關(guān)系列出方程即可求解；（3）分兩種情況討論，利用平行四邊形的性質(zhì)可求解；【詳解】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（1，0），解得：，拋物線的解析式為：，拋物線的解析式為：，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），即OA=OC=3；（2）過點(diǎn)P作PMAO于點(diǎn)M，PNCO于點(diǎn)N，設(shè)P(，)， ，AO=3，CO=3，PM=2PN，即，當(dāng)點(diǎn)P在第一、三象限時，解得，；，當(dāng)點(diǎn)P在第二、四象限時，解得，；，；（3）若BC為邊，且四邊形BCFE是平行四邊形

35、，CFBE，點(diǎn)C與點(diǎn)F縱坐標(biāo)相等，解得，（舍去），點(diǎn)F（-2，3），若BC為邊，且四邊形BCFE是平行四邊形，BE與CF互相平分，BE中點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，且點(diǎn)C縱坐標(biāo)為3，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為-3，解得，或，若BC為對角線,則四邊形BECF是平行四邊形，BC與EF互相平分，BC中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，且點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為0，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為3，點(diǎn)F（-2，3），綜上所述，點(diǎn)F坐標(biāo)為：，；【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式5-1】（2019·江西中考真題）在圖1，2，3中，已知，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，連接，以為邊向上作菱形，且（1）如圖1，當(dāng)

36、點(diǎn)與點(diǎn)重合時，_°；（2）如圖2，連接填空：_（填“>”，“<”，“=”）；求證：點(diǎn)在的平分線上；（3）如圖3，連接，并延長交的延長線于點(diǎn)，當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求的值【答案】（1）60°；（2） =，見解析；（3）4【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)計算；（2）證明，根據(jù)角的運(yùn)算解答；作于，交的延長線于，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的判定定理證明結(jié)論；（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，證明四邊形為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)計算，得到答案【詳解】解：（1）四邊形是菱形，故答案為：；（2）四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，故答案為：；作于，交的延長線于

37、，則，又，為等邊三角形，在和中，又，點(diǎn)在的平分線上；（3）四邊形是菱形，四邊形為平行四邊形，又，四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，平行四邊形為菱形，【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì).掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【變式5-2】（2019·湖南中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）在x軸上方作x軸的平行線，交二次函數(shù)圖象于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)C當(dāng)矩形ABCD為正方形時，求m的值；（3）在（2）的條件下，動

38、點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB以每秒1個單位長度勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AD勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)D時立即原速返回，當(dāng)動點(diǎn)Q返回到點(diǎn)A時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（）過點(diǎn)P向x軸作垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，問：以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能否是平行四邊形若能，請求出t的值；若不能，請說明理由【答案】（1）；（2）當(dāng)矩形ABCD為正方形時，m的值為4；（3）以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能為平行四邊形，t的值為4或6.【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)A

39、，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，再利用正方形的性質(zhì)可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論；（3）由（2）可得出點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，由且以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形可得出，分，三種情況找出AQ，EF的長，由可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其合適的值即可得出結(jié)論【詳解】（1）將，代入，得：，解得，該二次函數(shù)的解析式為（2）當(dāng) 時，解得：，點(diǎn)a的坐標(biāo)為（，m），點(diǎn)b的坐標(biāo)為（，m），點(diǎn)d的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)c的坐標(biāo)為（，0）矩形abcd

40、為正方形，解得：，（舍去），當(dāng)矩形ABCD為正方形時，m的值為4（3）以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能為平行四邊形由（2）可知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為 設(shè)直線AC的解析式為，將，代入，得，解得，直線ac的解析式為當(dāng)時， ，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，-t+4）以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，且 ，分三種情況考慮：當(dāng)時，如圖1所示，EF=，解得：（舍去），；當(dāng)時，如圖2所示，EF=，解得：（舍去），；, EF=，解得（舍去），（舍去）綜上所述，當(dāng)以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形時，t的值為4或6【點(diǎn)睛】本題考查

41、了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用正方形的性質(zhì)，找出關(guān)于m的方程；（3）分，三種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)找出關(guān)于t的一元二次方程【變式5-3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動點(diǎn).（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為_；（2）若點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理

42、由；（3）若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不與、重合），當(dāng)四邊形為菱形時，過點(diǎn)分別作直線和直線的垂線，垂足分別為、，當(dāng)?shù)闹底钚r，求出點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（3，1）；（2），；（3）（2，2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)（a，b）關(guān)于y=x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，a）直接寫出答案即可；（2）首先求得反比例函數(shù)的解析式，然后設(shè)P（m，m），分若PC為平行四邊形的邊和若PC為平行四邊形的對角線兩種情況分類討論即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）連接AQ，設(shè)AB與PO的交點(diǎn)為D，利用四邊形AOBP是菱形，得到SAOP=SAOQ+SAPQ，從而得到POAD=AOQE+APQF，確定QE+QF=為定值，從而求解【詳解】解：（

43、1）B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1）；（2）反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，3），k=1×3=3，反比例函數(shù)的解析式為，點(diǎn)P在直線y=x上，設(shè)P（m，m）PC為平行四邊形的邊，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)比點(diǎn)B的橫坐標(biāo)小2，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)比點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大2，點(diǎn)C在點(diǎn)P的下方，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m+2，m-2）如圖1，若點(diǎn)C在點(diǎn)P的上方，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m-2，m+2）如圖2，把C（m+2，m-2）代入反比例函數(shù)的解析式得：，m0，同理可得另一點(diǎn)，若PC為平行四邊形的對角線，如圖3，A、B關(guān)于y=x對稱，OPAB此時點(diǎn)C在直線y=x上，且為直線y=x與雙曲線的交點(diǎn)，由解得：，（舍去），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C有三個，坐

44、標(biāo)分別為： ，；（3）連接AQ，設(shè)AB與PO的交點(diǎn)為D，如圖4，四邊形AOBP是菱形，AO=APSAOP=SAOQ+SAPQ，POAD=AOQE+APQFQE+QF=為定值，要使QE+QF+QB的值最小，只需QB的值最小，當(dāng)QBPO時，QB最小，所以D點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，A（1，3），B（3，1）D（2，2），當(dāng)QE+QF+QB的值最小時，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）【點(diǎn)睛】本題是對反比例函數(shù)的綜合知識的考查，熟練掌握反比例，四邊形知識及分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵，難度較大【考點(diǎn)6】動點(diǎn)之線段面積問題【例6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形如圖放置，將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°

45、;得到平行四邊形拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C、A三點(diǎn)（1）求A、A、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求平行四邊形和平行四邊形重疊部分的面積；（3）點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，問點(diǎn)M在何處時，的面積最大？最大面積是多少？并寫出此時M的坐標(biāo)【答案】（1）A（0,3）A（3,0）C（1,0）；（2）；（3）當(dāng)時,取到最大值為；M（）【解析】試題分析：（1）當(dāng)y=0時，求出x的值，得到點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，當(dāng)x=0，求出y的值，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而求出OB的長度和AOB的面積，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到ACO=OCD，根據(jù)ACO=ABO得到ABO=OCD，從而說明 COD BOA，根據(jù)相似三角形得出C

46、OD的面積；設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（），連接OM，得到AMA的面積與m的函關(guān)系式，從而得出最大值和點(diǎn)M的坐標(biāo)試題解析：（1）解：（1）當(dāng)時，解得C（-1，0），A（3，0）當(dāng)x=0時，y=3A（0，3）（2）C（-1，0），A（0，3）， B（1,3） AOB的面積為又平行四邊形ABOC旋轉(zhuǎn)得平行四邊形ABOC，ACO=OCD又ACO=ABO，ABO=OCD 又COD=AOB， COD BOA （3）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（），連接OM=當(dāng)時,取到最大值為M（）考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用、三角形相似、旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)【變式6-1】（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)為線段外一動點(diǎn)，且，當(dāng)點(diǎn)位于 時，線段的長取得最

47、大值，最大值為 （用含的式子表示）；（2）應(yīng)用：如圖2，點(diǎn)為線段外一動點(diǎn)，以為邊作等邊，連接，求線段的最大值；（3）拓展：如圖3，線段，點(diǎn)為線段外一動點(diǎn)，且，求線段長的最大值及此時的面積【答案】（1）CB的延長線上，a+b；（2）6；（3）最大值為3+，PBM的面積為【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=60°，推出CADEAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE，利用（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；（3）將APM繞著點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AP'N，連接B

48、N，得到APP'是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到P'A=PA=2，AN=AM，根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值為+3，過點(diǎn)P作PQAB的延長線于點(diǎn)Q，利用勾股定理求出PB的長，根據(jù)PBM為等腰直角三角形，可求出面積.【詳解】解：（1）點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn)，且BC=a，AB=b，當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，故答案為：CB的延長線上，a+b；（2）如圖2中，以AC為邊向上作等邊ACE，連接BEABD與ACE是等邊三角形，AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=60°，BAD+

49、BAC=CAE+BAC，即CAD=EAB，在CAD與EAB中，CADEAB（SAS），CD=BE；線段BE長的最大值=線段CD的最大值，由（1）知，當(dāng)線段BE的長取得最大值時，點(diǎn)E在BA的延長線上，最大值為=4+2=6線段CD的最大值為6；（3）解：如圖3中，將APM繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AP'N，連接BN，PPAPMAP'N，AN=AM，AP=AP'=2，線段AM長的最大值=線段AN長的最大值，當(dāng)N在線段AB的延長線時，線段AN取得最大值，最大值=AB+BN，PAP'=90°，APP'是等腰三角形，PP'=，BPM是等

50、腰直角三角形，BPM=MAN=90°，PM=PB=P'N，AMP=ABP=N，PBP'N，四邊形PBNP'是平行四邊形，BN=PP'，AN的最大值為：AB+BN=AB+PP'=3+，AM的最大值為3+，過點(diǎn)P作PQAB的延長線于點(diǎn)Q，PAP=90°，PAB=PPA=45°，PAQ=45°，PAQ為等腰直角三角形，AP=2，由勾股定理可得：AQ=PQ=，在PBQ中，PQ2+BQ2=PB2，即，PB2=，PBM為等腰直角三角形，此時PBM的面積=×=.【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，掌握旋轉(zhuǎn)法添加輔助線【變式6-2】如圖，矩形中，點(diǎn)是對角線上一動點(diǎn)（不與重合），連接，過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，以線段為鄰邊作矩形，過點(diǎn)作。分別交于點(diǎn)。（1）求證：的值；（2）求的值；（3）求矩形的面積的最小值。【答案】（1）見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和同角的余角相等證明，從而求證三角形相似；（2）設(shè)，由相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，從而求解；（3）當(dāng)時，矩形面積最小，從