2018屆高考數(shù)學(xué)問題2.2函數(shù)中的存在性與恒成立問題提分練習(xí)

1、2.2函數(shù)中的存在性與恒成立問題、考情分析函數(shù)內(nèi)容作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的核心，也是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn).在新課標(biāo)下的高考越來越注重對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)的考察，恒成立與存在性問題便是一個(gè)考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，它主要涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)及不等式等知識(shí)，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用，故備受高考命題者的青睞，成為高考能力型試題的首選.二、經(jīng)驗(yàn)分享 設(shè) f (x) =ax2 +bx + c(a = 0) , ( 1) f (x) >0x= R上恒成立 u a>0 且

2、A<0； (2)f (x) < 0在x w R上恒成立仁a < 0且 < 0 .(2)對(duì)于一次函數(shù) f (x) = kx+b,x w m, n有：la、 f (m) >0la、 f (m) <0“乂)A0恒成立之，“乂)<0何成立匕3J(n)>0J(n)<0(3)根據(jù)方程有解求參數(shù)范圍，若參數(shù)能夠分離出來，可把求參數(shù)范圍轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域.(4)利用分離參數(shù)法來確定不等式f(x,九)20, ( xw D,九為實(shí)參數(shù))恒成立中參數(shù) 九的取值范圍的基本步驟：將參數(shù)與變量分離，即化為g(九)之f (x )(或g(7uf (x )恒成立的形式；求f

3、(x )在xw D上的最大(或最小)值；解不等式g (九心f (x)max (或g (九f (x L ),得九的取值范圍.(5)對(duì)于參數(shù)不能單才放在一側(cè)的，可以利用函數(shù)圖象來解.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍.(6)某些含參不等式恒成立問題 ，在分離參數(shù)會(huì)遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時(shí)，可考慮變換思維角度.即把主元與參數(shù)換個(gè)位置，再結(jié)合其它知識(shí)，往往會(huì)取得出奇制 勝的效果.三、知識(shí)拓展(1)恒成立問題.？ xC D,均有 f(x)>A恒

4、成立,則 f (x)min>A; .？ xC D,均有 f(x) < A恒成立,則 f (x)ma<A ； .?xCD,均有 f(x)> g( x)恒成立，則F( x)= f(x)-g(x) >0,F(x)min >0 ; .？ xCD,均有 f(x)<g(x)恒成立，則F(x)= f(x)-g(x) <0,F(x)max<0； .？xi CD?x2 C E,均有 f( xi)>g(x2)恒成立，則 f(x)min> g ( x) max ； .?xiCD?x2C E,均有 f(xi)<g(x2)恒成立，則 f(x)max

5、 < g ( x) min.(2)存在性問題.？XoCD 使彳# ”Xo)>A 成立，則 f(x) max >A； .? XoC D 使彳導(dǎo) f(Xo) < A 成立，則 f (x) min < A； .？x°CD 使彳#f(xo) > g(Xo)成立，設(shè)F(x)= f(x)-g(x),F( x)max >0 ； .?Xo CD 使彳導(dǎo)f (Xo) < g( Xo)成立,設(shè)F( x)= f( x)-g(x),F(x)min <0 ； .？X1CD?X2 E, 使得 f (X1) > g( X2)成立，則 f(x) max &

6、gt; g (X) min ； .？X1 CD?X2 CE均使得 f(X1) < g(X2)成立，貝U f(x) min < g( x) max.(3)相等問題若f(x)的值域分別為AB,則.？X1CD ? X2 E 使彳# f (X1)=g(X2)成立，則 A J B ；？ X1CD ?x2CE,使彳# f (X1)=g(X2)成立，則 aP|B 00 .(4)恒成立與存在性的綜合性問題？ X1 C D?X2 E,使得 f (X1) >g( X2)成立，貝U f (X) mn > g(x) min ；？ X1 C D?X2 CE,使得 f ( X1) <g( X

7、2)成立，則 f (x) max < g (X) max.四、題型分析解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)的存在性與恒成立問題常用以下幾種方法：函數(shù)性質(zhì)法；分離參數(shù)法；主參換位法；數(shù)形結(jié)合法等.(一)函數(shù)性質(zhì)法【例1】已知函數(shù)f (x) =x3ax2+10，若在區(qū)間1,2內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得f (x)<0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【分析】本題實(shí)質(zhì)是存在性問題【解析】解法：加)=3爐-功=34-粉(1*), 當(dāng)I始1,即母寸汶而在口 N上為增朗數(shù).故用詞口=仆)=IL a所以11 - kOQll法與 號(hào)盾.2322當(dāng)19公2即產(chǎn)X3時(shí),當(dāng)1M鏟陽<5當(dāng)產(chǎn)<回。)>0, j占nj2

8、一所以工二乎時(shí)用)取最小值， 因此有巖，<0,即梟3 -1 + 10=-/5 + 10<0.解得d>3 J|逮與|<&4矛盾;90當(dāng)產(chǎn)Z即應(yīng)3時(shí)JCO如國在口鼻上為城函翻廝認(rèn)便南0= 18 -他所以18 -缶a解得心市這符合應(yīng)3.綜上所述R的取值范圍為 吟X3+1010解法二：由已知得：a>X2= x+xT，設(shè) g(x) =x+10"(1 WxW2), g，(x) = 123, xx1W xW2, . g' (x)<0,所以 g(x)在1,2上是減函數(shù).g(x)mn = g(2),所以 a>9【點(diǎn)評(píng)】解法一在處理時(shí)，需要用分類

9、討論的方法，討論的關(guān)鍵是極值點(diǎn)與區(qū)間1,2的關(guān)系；解法二是用的參數(shù)分離，由于ax2>x3+ 10中x2e 1,4,所以可以進(jìn)行參數(shù)分離，而無需要分類討論.【牛刀小試】【2017山西大學(xué)附中第二次模擬】設(shè)函數(shù) f (x)=ex(2x1)ax + a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)t,使得f (t )<0,則a的取值范圍是()A. 一旦 1一 2e,一旦3IL 2e,423IL2e ,4一,1IL2e【答案】D【解析】令g (x )=ex (2x T ),h(x ) = ax-a.由題意知存在唯一整數(shù)t，使得g(t)在直線h(x)的下方.g'僅)=ex(2x+1),當(dāng)x &

10、lt;1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x a 1,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x = 一,時(shí)，函數(shù)取得最222J小值為2e 2.當(dāng) x =0時(shí)，g(0) = T，當(dāng) x =1 時(shí)，g(1) = e >0 ,直線 h(x )= ax a過定點(diǎn)(1,0 ),斜率為 a ,故a > g(0 叩 g (-1 )= -3e，之a(chǎn) a ,解得 me |,1 I._2e(二)分離參數(shù)法【例2】已知函數(shù)f(x) =ax+xln x的圖象在點(diǎn)x = e (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線的斜率為3.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若f(x) <kx2對(duì)任意x A 0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【分析】(1)由f (x) wnx

11、l 結(jié)合條件函數(shù)f (x) = ax+ x ln x的圖象在點(diǎn)x = e處的切線的斜率為 3,2可知f'(e) =3,可建立關(guān)于a的萬程：a+lne+1 =3，從而解得a = 1；(2)要使f(x)wkx對(duì)任意x>0恒f (x)1 ln x成立，只需k有一Vmax即可，而由(1)可知f (x) =x + xln x, .問題即等價(jià)于求函數(shù)g(x) =的最xx1x 一(1 1n x) ln x大值，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) g(x)的單調(diào)性，從而求得其最值：g '(x)=幺2=-9,令xxg'(x) =0，解得 x =1，當(dāng) 0 <x <1 時(shí)，g '

12、;(x) >0, g(x)在(0,1)上是增函數(shù)；當(dāng) x>1時(shí)，g'(x) <0, g(x)在(1,心)上是減函數(shù)，因此g(x)在x = 1處取得最大值g(1) = 1, . k>1即為所求.【解析】(1) = f (x) =ax +x ln x , f'(x) = a+ln x+1,又 f(x)的圖象在點(diǎn)x = e處的切線的斜率為 3, . f'(e)=3,即 a +lne +1 =3, a =1 ；(2)由(1)知，f(x)=x+xlnx,2-1 ln x一f(x) <kx對(duì)任意xa0成立匕k之對(duì)任意x>0成立，x“1 ln x令

13、g(x) = x,則問題轉(zhuǎn)化為求g(x)的最大值，1x-(1 lnx) lnxg'(x)=叢2=-,令 g'(x) =0,解得 x=1,xx當(dāng) 0 cx <1 時(shí)，g'(x) >0 , g(x)在(0,1)上是增函數(shù)；當(dāng)x >1時(shí)，g '(x) <0, g(x)在(1,收)上是減函數(shù).故g(x)在x=1處取得最大值g(1)=1, k之1即為所求.【點(diǎn)評(píng)】在函數(shù)存在性與恒成立問題中求含參數(shù)范圍過程中，當(dāng)其中的參數(shù)(或關(guān)于參數(shù)的代數(shù)式)能夠與其它變量完全分離出來并，且分離后不等式其中一邊的函數(shù)(或代數(shù)式)的最值或范圍可求時(shí)，常用分離參數(shù)法.此

14、類問題可把要求的參變量分離出來，單獨(dú)放在不等式的一側(cè)，將另一側(cè)看成新函數(shù)，于是將問題轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最值問題.利用分離參數(shù)法來確定不等式f (x,九)20, ( xw D,人為實(shí)參數(shù))恒成立中參數(shù) 人的取值范圍的基本步驟將參數(shù)與變量分離,即化為g(九戶f (x)(或g(五尸f (xp恒成立的形式；(2)求f (x堆x W D上的最大(或最小)值；解不等式g (九)2 f (x :max (或g(九產(chǎn)f (x Jmin)，得大的取值范圍.【牛刀小試】【2017湖南省郴州市上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)】已知函數(shù)f (x) =loga x, g(x) =2log a(2x +t 2),其中 a>0

15、且 a=1,tWR. 1 (I)若t =4,且x W,2時(shí)，F(xiàn)(x) = g(x) f(x)的最小值是2,求實(shí)數(shù)a的值; 41(2)若0<a<1,且xw,2時(shí)，有f(x)之g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 4【答案】(1) 1 ； (2) 2,依). 5【解析】=F(x) = g(x) -/(x) = 21oga(2x-h2) - logx =x= logJ4<+-+2)JC易證AW = 4(兀+工十2)在。J上單調(diào)遞遍在L2上單調(diào)遞胤且足)> A(2), x 444，當(dāng)口 >1時(shí),尸(力叩=10gti16,由1。%16 = -2,解得。=?(舍去)4當(dāng) 0

16、< 口 < 1B1 Eg. = loEd 25,由 loEfl 25 : -2,解得 a =：.綜上知實(shí)數(shù)Q的值是9. 5(2) , f(x)之 g(x)恒成立，即 logax2loga(2x+t2)恒成立, 1-lOga x -lOga(2x t -2). 2又< 0 <a <1, x1 2, Vx 2x +t -2,4,t >-2x + x+2 恒成立, t -(-2X,X 2)max.人 1 2 171令 y = -2x、x 2 = -2(、x )2 (x ,2),484ymax =2 .故實(shí)數(shù)t的取值范圍為2,).(三)主參換位法【例3】已知函數(shù)f

17、3 =ln(ex+a)(a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x )=如(x)+sinx是區(qū)間口,1上的減函 數(shù),(1)求a的值；(2)若g(x)«+*+1在xW,l上恒成立，求t的取值范圍.【分析】在第二小題所給條件中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：九及t ,那么解題的關(guān)鍵恰恰就在于該把其中哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù).而根據(jù)本題中的條件特征顯然可將九視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在(V內(nèi)關(guān)于九的一次函數(shù)大于等于0恒成立的問題，問題即可求解.【解析】(1)a=1(2)由(1)知：f (x) =x , j.g(x) =7/4sinx ,7g(x)在 卬 正單調(diào)遞減,.g (x) =，c

18、osx _0., < -cosx在1-1 , 1 1上恒成立，. M“g(x) lax =g(-D -sin1 ,二只需-Zsin1 <t2 +Zi -+1,j.(t+)九+t2 +sin1十之0 (其中 九=)恒成立，由上述結(jié)論：可令 f -(t 1)' t2 sin1 1 _0( _-1),則 £- -0,I t1 t sin1，1 .:0,二 tJ 一, t2 -t +sin1 為，而"t +sin1 如恒成立，t MT.【點(diǎn)評(píng)】某些函數(shù)存在性與恒成立問題中，當(dāng)分離參數(shù)會(huì)遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量但函數(shù)的最值卻難以求出時(shí)，可考慮變

19、換思維角度.即把主元與參數(shù)換個(gè)位置，再結(jié)合其它知識(shí)，往往會(huì)取得出奇制勝的效果.此類問題的難點(diǎn)常常因?yàn)閷W(xué)生的思維定勢(shì)，易把它看成關(guān)于 】的不等式討論，從而因計(jì)算繁瑣出錯(cuò)或者中途夭折；若轉(zhuǎn)換一下思路，把待求的x為參數(shù)，以期為變量，構(gòu)造新的關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，再來求解參數(shù)X應(yīng)滿足的條件這樣問題就輕而易舉的得到解決了【牛刀小試】若不等式 2x -1 >m（x2 -1網(wǎng)任意mW -1,1恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.【答案】.3 -1 ：x 2【解析】2x 1 >m（x2 -1 ）可轉(zhuǎn)化為 m（x2 -1） 2x+1 <0,設(shè) f（m）=m（x21）2x + 1<0,則 f（m）2是關(guān)

20、于m的一次型函數(shù)，要使f（m）<0恒成立，只需I f=x2-2x<0，解得、3 一 1 ：二 x :二 2.f -1 - -x2 -2x 2 :二 0（四）數(shù)形結(jié)合法【例4】已知函數(shù)f （x）=x2 _2kx+2,在x >1恒有f（x）”，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【分析】為了使題中的條件f（xk在xwU丑）恒成立，應(yīng)能想到構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)尸0尸£?）-人則可把原題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造新的函數(shù)在區(qū)間口,也方恒大于等于0的問題，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論，即可使問題得到圓滿解決.【解折】令F（工片/-於-七則F（“R 0對(duì)女Te卜恒成立而方（工）是開口向上的拋物線當(dāng)圖象

21、與乂軸無交點(diǎn)滿足“ 0即&,4肥-年-巧（ 0.解得Tdl.當(dāng)圖象與X軸有交息且在工H-L2）時(shí)/冽,則由二次心數(shù)根與系數(shù)的分布失觸及圖象可得：A>0/(-1)> 02解得故由知一【點(diǎn)評(píng)】如果題中所涉及的函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象、圖形較易畫出時(shí),往往可通過圖象、圖形的位置關(guān)系建立不等式從而求得參數(shù)范圍.解決此類問題經(jīng)常要結(jié)合函數(shù)的圖象,選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖像的上、下位置關(guān)系來確定參數(shù)的范圍.利用數(shù)形結(jié)合解決不等式問題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，準(zhǔn)確做出函數(shù)的圖象.常見的a .022有兩類函數(shù)：若二次函數(shù)y=ax +bx+c("°氏于0恒成立，則有心父0,同理，若二次

22、函數(shù)y=ax +bx+c(a*0)a ：二0小于0恒成立，則有 也<0.若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解.【牛刀小試】【2017河北省武邑上學(xué)期第三次調(diào)研考試】已知定義在R上的奇函數(shù)£(乂)滿足：當(dāng)乂至0時(shí)，f(x)=x3,若不等式f (Mt )> f (2m+mt2 p寸任意實(shí)數(shù)t恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(°°, y/2 )B. ( V2,0 )C. (*,0 上(&,F)D. (-00,-72 )(72,+)【答案】A【解析】當(dāng)乂父0時(shí)，£(乂)=“乂)=乂3= f (

23、x) = x3(xw R)= f (x)在R上是增函數(shù)22二-4t >2m +mt對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立二-4t >mt +4t+2m對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖象可得I m ： 0一=42= m w (3,一 J2 ),故選 A.16-8m2 ：0(五)存在性之常用模型及方法1 a【例5】設(shè)函數(shù)f (x) = aln x+-x2 -bx, a= R且a#1.曲線y= f (x )在點(diǎn)(1, f(1)處的切線的斜率 為0.(1)求b的值；(2)若存在xw 1,收),使彳導(dǎo)f(x)c-a-,求a的取值范圍.a -1【分析】(1)根據(jù)條件曲線y = f(x )在點(diǎn)(1,f (1 )處

24、的切線的斜率為0,可以將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a, b的方程，a進(jìn)而求付 b 的值：f (x )= +(1a )xb, f (1 )=0= a + (1a)b=0= b = 1 ； (2)根據(jù)題意分析 x可得若存在x1,+=c),使得不等式f (x )<a成立，只需一aA f(x)min即可，因此可通過探求 f(x)的 a -1a T單調(diào)性進(jìn)而求得 f(x)的最小值，進(jìn)而得到關(guān)于a的不等式即可，而由(1)可知f (xalnx+Ux2-x, 2一 . x -1 卷 1 -a x -a則f (x) ='",因此需對(duì)a的取值范圍進(jìn)行分類討論并判斷f (x)的單調(diào)性，從而可以解得a的取值

25、范圍是(_J2_1,J2_1 *J(1,ya【斛析】(1) f'(x )=+(1 a )x b, x由曲線y = f (x )在點(diǎn)(1,f (1 )處的切線的斜率為 0,得f'(1 )=0,即 a+(1 a )b=0, b=1 ； 4 分(2)由(1)可得，f (x) = alnx +a1 - a x2f x=-1-ax-1=-x a x-1ii：1-ax-a令 f '(x )=0,得 x =1 , x2 =a 甫 a /,而-12a -11 -a_ ,1當(dāng)a w時(shí), 2a- -1,1 -a在 1, ,二)±, f x 戶 0, f(x )為增函數(shù),(f (x

26、)min1-1令 a1 <-,即 a2 +2a -1 <0,解得一721 <a <721. 2 a -1f x = f min 1-a=a In aa a+>1。a2 1 -aa -1a 7x1 -a a5 "<1 -a1f'(x)0+f (x)L極小值La1,1 -a一. 1當(dāng)一< a父1時(shí), 2不合題意，無解,10分當(dāng)a >1時(shí)，顯然有f (x) <0, a>0, 不等式f(x) <a恒成立，符合題意，a -1a -1綜上，a的取值范圍是(J51,J21 U(1,+g).,先求其否定【點(diǎn)評(píng)】解決函數(shù)中存在性

27、問題常見方法有兩種：一是直接法同上面所講恒成立；二是間接法(恒成立)，再求其否定補(bǔ)集即可解決.它的邏輯背景：原命題為"Vx= M , P(x)"的否定為"三x w MP(x)"；原命題為"三xw M , P(x)"的否定為" Vx M ,P(x)".處理的原則就是：不熟系問題 轉(zhuǎn)化為熟悉問題1 o【牛刀小試】已知 f (x) = 1 x2 x, g(x) = ln( x 1) _ a , 2(1)若存在xi，x2 w0,2,使得f(xi)>g(x2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若存在“2 w0,2,使得f(x

28、1)=g(x2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.t解析】了刃,烈司在62上都是墻便顏,所以八句的值域衛(wèi)=94,式工)的值域8 =HMn3一句. 若存在西,已口的,使得/(再)>田8上則_/(幻皿 >6>%即4>-/所以曰二-4一若存在三天使得了缶) =如力則4。月#"，-白M4且E3口之0二支數(shù)門的取值圍是TJn3 一 五、遷移運(yùn)用1.12018屆江西省上高縣高三上學(xué)期第四次月考】若不等式3x2 - log： <0對(duì)任意xw 0l恒成立，則實(shí),3數(shù)a的取值范圍為A.工,1)B.271八一,1 C. 27D.10,一,27【解析】構(gòu)造函數(shù)f (x) =3x2,g(x

29、) =-lOg ax,八10,3不等式3x2-log ax0對(duì)任意x三f0,- i恒成立 ,3.f (1)311. aw g ( ) 3?log a < 0.0<a< 11 1 、，且a> ,，實(shí)數(shù)a的取值范圍為',1),故選A27272.12018屆廣西貴港市高三上學(xué)期121 32x1 -a 3月聯(lián)考】若不等式lnx- x-1 ln3對(duì)任意的3xe (-°°,1】值成立，則a的取值范圍是(A.一二笆B.笆二,3一3,C.2 二 D. -二,21【解析】由題意結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則有:1 32x1 - a 3xln3x>ln ,由對(duì)數(shù)函數(shù)的

30、單調(diào)性有: 31 32x 1 -a3x3x之一，整理可得： 3.13a < ，由恒成立的條件有： a< 3x1 32x3xmin1 +32Xfl 'Xv , , , r,-1 +32Xy1 I +3x22,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.即x=0時(shí)，函數(shù)y = 取得最小值2.3x 33x綜上可得：aw2.本題選擇D選項(xiàng).3.2018屆福建省閩侯高三12月月考】已知函數(shù)f (x)=«2-x2x, x , 02x -2x,x 二 0若關(guān)于工的不等式f2(x )l+af (x)<0恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的最大值是()A. B. C. 5 D.【答案】D【解析】函數(shù)了(

31、力的圖象加圖所示，關(guān)于K的不等式(時(shí)+ /(兀)<0,當(dāng)日 > 0時(shí)，一口< /(X)< 5由于關(guān)于X的不等式/(力+曠(引< 0恰有1個(gè)整數(shù)解,因此其整數(shù)解為3漢3) = -9+ 6 = T,所以一。< 3 <。. 一n/(4)= -8, 則8之口 > 3，所以實(shí)數(shù)0的最大值為8力攵選D.14.12018屆甘肅省局臺(tái)局二上學(xué)期第五次模擬】已知函數(shù) f (x) = x+x,若對(duì)任意xe R, f(x)ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. :；：t、1 -eb.1 e,11 C.1,e-1 i d. 1-,二【答案】B 1.11【斛析】函數(shù) f

32、 (x )= x+-x，對(duì)任息x匚R, f (x )>ax恒成立，x + x Aax恒成立，即一x >(a-1 )x x eee，如圖所示;且過g(x)圖象上點(diǎn)(刈，y0)的切線方程為y _y0=_e (x -x0),且該切線方程過原點(diǎn)(0,0),則 y0=-e受 % ,即 e*5 =e*5 x。，解得 x0 = 1 ；切線斜率為 k =-e。=-e, .應(yīng)滿足 a-1>-e,即a>1-e；又a-1? 0,a? 1,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1 -e,1.故選B.5.12018屆廣東省五校高三 12月聯(lián)考】已知函數(shù) f (x )=lnx + (a-2 )x 2a + 4(a&

33、gt; 0),若有且只有兩個(gè)整數(shù)為，x2使得f (x )>0,且f優(yōu))>0,則a的取值范圍是()A. ln3,2 B. l2-ln3,2 C. 0,2 -ln31 D. 0,2 - ln3由題意可知，f (x)A0,即 lnx+(a2)x2a+4A0,(a>0), ，ax 2aA 2x lnx 4(a > 0),設(shè)2x -1一.一 1，、，可知 g(x)=2x lnx 4,在 0,一 上為2,，c 1g(x )=2x -lnx -4,h(x )=ax_2a ,由 g (x )=2 -x減函數(shù)，在'-j -He )上為增函數(shù)，h(x )=ax 2a的圖象恒過點(diǎn)(2

34、,0),在同一坐標(biāo)系中作出 g(x),h(x)的 2圖象如下：若有且只有兩個(gè)整數(shù)x1，x2，使得f (x1 )>0,且f (x2 )>0,則a 0a 0 h(1 )>g(1 )，即 a>2 ，解得 0<aw2ln3,故選 C.h 3 Mg 3 a <2 -ln316.【2018屆陜西省西安局二上學(xué)期期中】已知函數(shù)f (x ) = x3 a2x ,若對(duì)于任意的x1,x2 w 0,1,都有3f (x1卜f (x2 J <1成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A尋W B. 喜考C. 一班,00,D.。2,0口0,女：3 八3 一 I 3 八3 J【答案】A【解析】

35、利用排除法，當(dāng)日=0吐 兀) = ；式 /(力=/之函氮在定義域上里調(diào)遞增，|/(西)一(巧)| 4/(0)= g V L滿足題意，排除CD選項(xiàng).當(dāng)出二竽時(shí)，/(X)= ： x3 _ g x./(X)=，一 g < 5函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減|心百)一去)性。)一/=1L滿足題意，排除B選項(xiàng).故選A7.12017寧夏育才中學(xué)上學(xué)期第二次月考】設(shè)函數(shù) f (x) =x3 + x , xW R.若當(dāng)0<0<三時(shí)，不等式2f(msin日)+f(1 -m) A0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. (1 ,1B.(1 ,1)C.1,二)D. (一二，122【答案】D【解析】易得f(x)

36、是奇函數(shù)，f'(x) =3x2+1 >0= f (x)在R上是增函數(shù)，又1.1.f (msin 日)a f (m -1)= msin & >m -1= m <-,0 <sin 8 <1= -=> m < 1,故選 D.1 -sin1 -sin -8.12017河北省武邑中學(xué)2高三上學(xué)期第三次調(diào)研】若又Vx,yW 10,y，不等式4ax Wex4y"+exT"+2 ,恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是()A. 1B. 1C.2D. 142【答案】D【解析】exHy- +ex- +2 2 2e/eeey +2 = 2ex&quo

37、t; +2=> 4ax £ 2ex/+ 2恒成立= a <、幾 /、 ex? 1“、 xex(ex，1) (x-l)ex -1x2 d /，、設(shè) g(x) = g '(x) =2=2,再設(shè) h(x) =(x -1)e 1= h'(x)=xxxx 2(x-2)e -,令 h'(x)=0= x=2=當(dāng) 0 <x <2,h'(x) <0,當(dāng) x >2,h'(x) a0= h(x)之 h(2) = 0 =,，、一“一 ，、 一、，1 ,g'(x) =0僅有一解 x=2，且 g(x)之 g(2) =1= a M

38、,故選 D.2 1nx (x _ b)219.12017山西省孝義市局三上學(xué)期二輪模考】已知函數(shù)f(x)=()-(bW R),若存在x- ,2,x2使得f (x) >-x .f '(x),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A.(°0, /2)B - ( °0, )C.(°°,_) D . (°0,3)24【答案】C221 2x(x-b)-ln x-(x-b)lnx (x-b)【解析】由題意，得 f '(x)=-，則 f (x) + xf '(x)=xx， 一， 、，,、2，一，,、，1 2x(x-b)-ln x-(x。b)

39、1 2x(x-b)十十十 11 o-=-右存在 x一，2,使彳導(dǎo) f(x)>-x f'(x)，則 xx2_11.12x2-11、21 +2x(x -b) >0 ,所以 b <x +.設(shè) g(x) = x 十,則 g (x) =1 2 =-，當(dāng)一 E x E 2x2x2x22x222時(shí)，g'(x)<0;當(dāng)乎Mx E2時(shí)，g'(x) >0,所以g(x)在；/上單調(diào)遞減，在?,2上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x =2，函數(shù)g(x)取最大值，最大值為g(2)199=2+ =,所以 b<g(x)max =一,故選 C.44410 .12018屆江蘇南通市高

40、三第二次階段測(cè)試】若不等式2ex -nx+15>0在實(shí)數(shù)集R上恒成立，則正整數(shù)n的最大值是.參考數(shù)據(jù)：7 <e2 < 2【答案】n=14【解析】不等式2ex -nx +15 >0在實(shí)數(shù)集R上恒成立,等價(jià)于y = 2ex的圖象恒在y = nx -15上方,y = nx -15與y =2ex的圖象相切時(shí)斜率 n最大，設(shè)y = nx_15與y = 2ex的圖象相切時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為X0 ,則n = 2ex0 ,切線方程為y 2e" =2ex° (x /)，將點(diǎn)(0 , 1 5代入切線方程可得 g(x0 ) = 2ex0(% 1 )15=0 , g(x)在(1,收

41、)上遞增，g(2X0,g(3)0, 乂。12,3), n = 2ex0 w (2e2,2e3),y=2ex的圖象恒在y=nx15 上方，所以 nW2ex0E 2e2,而 2e2w(14,15),所以正整數(shù)n的最大值是14 ,故答案為n =14 .1cb11 .12018屆河南省瀑河局三上學(xué)期第四次模擬】已知ffx=x2+b+c( b, c為常數(shù))和 2 x11g(x ) = x+是定義在M = x|1x 4上的函數(shù)，對(duì)于任意的xW M ,存在 W M 使得 4 xf ( x)之f( °x), g (x心g (沏),且f (x0 )=g(x0，則f (x )在M上的最大值為 . 【答案

42、】51111【斛析】 g (x )= x +之2 x M =1 ,(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號(hào)成立)， 4x- 4x. obb,12 b12 b . b一 f(2)=2+c = g(2)=1,.c = -1,.f(x)= x +c = x +_, 222 x2 x2bx3 - b一 一 一f '(x ) = x -2 = 2， - f(x)在x=2 處有最小值,.f 2)=0,即 b=8,故 c=-5, x x一1 2 8x -8 故f (x) = x +5, f (x ) = -2，故f(x)在1,2上是減函數(shù)，在2,4上是增函數(shù)，2 xx1 7 一. .而 f 1 =+85= , f

43、4 =8 + 25=5，故 f(x)的最大值為 5.2 212.設(shè)函數(shù)f (x) = ax+sin x + cosx.若函數(shù)f (x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A B使得曲線y=f(x)在點(diǎn)AB處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .【答案】-1,1【解析】因?yàn)?f (x) = a cosx - sin x = a，. 2 cos(x ),4則存在實(shí)數(shù) x1,x2,使得(a + V2 cos(x1 +)(a +炎 cos(x2 +) = -1 成立.44不妨設(shè) k1 =a + 22 cos(x1 +：) w (0,a +«2,則 k2 =a 72 cos(x2 +；)立a 72,0).

44、因此 0 <k1 ( -k2) -2 -a2,1 -2 -a2,a2 -1,-1 -a -1.21 e13.12017山西省孝義市高三上學(xué)期二輪模考】設(shè)函數(shù) f(x)=ax2a lnx, g(x)=_；,其中 x exaw R, e=2.718|W|為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論f (x)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng) x >1 時(shí)，g(x)>0；(3)確定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在(1,y)區(qū)間內(nèi)恒成立.1 2ax2 -1【解析】(1)由 f (x) =ax aln x,得 f'(x) =2ax =(x>0).x x當(dāng)a W0時(shí)，f '(

45、x) <0在(0,收)成立，則f (x)為(0,收)上的減函數(shù)；1公2a 2a當(dāng) a>0時(shí)，由 f'(x)=0，得 x=土2a2a當(dāng) xe(0,)時(shí)，f '(x) <0,當(dāng) x w (,收)時(shí)，f '(x)>0 .則 f (x)在(0,上為減函數(shù)，在收)上為增函數(shù).八，一 ，一. 2a 2a綜上，當(dāng)aM0時(shí)，f(x)為(0,f)上的減函數(shù)；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,、幺)上為減函數(shù)，在(三4,收)上2a2a為增函數(shù).x1 e1 ee(2)證明：要證g(x) A0(x>1),即14A0,即證A與，也就是證 >e.xe令 h(x)

46、=一，則 h'(x)=xex(x-1),h(x)在(1,收)上單調(diào)遞增，則 h(x)min =h(1) = e,即當(dāng) x >1 時(shí)，h(x) >e, .當(dāng) x>1 時(shí)，g(x) >0 ;1(3)由 f (x) >g(x)，得 ax2 a ln x +e1 >0. x設(shè) t(x) =ax2 -a -In x - +e1* >0 ,由題意知，t(x) >0在(1, +望)內(nèi)恒成立. x. t(1)=0, .有 t'(x) =2ax1+工e1. =2ax + 1x-e1" >0 在(1,)內(nèi)恒成立. x xx1 x1 -

47、x121 xx 21 -x令(x) =2ax +2- -e ，則'(x) =2a+2一下+e = 2a +3 +e , xx xx當(dāng) x 至2時(shí)，9'(x) >0,x 2-2x 6令 h(x) =一, h'(x)=產(chǎn)，函數(shù)在1,2)上單調(diào)遞增.，h(x)min =h(1)=1.xx又 2a 之1, e1* >0,1 <x<2, G'(x) >0 .綜上所述，X>1,'(X) >0,6(X)在區(qū)間(1,y)單調(diào)遞增,一 ,、 ，1 t'(x) >t'(1)之 0,即 t(x)在區(qū)間(1, y)

48、單調(diào)遞增，a 士.214.【2017四川省資陽市高三上學(xué)期第一次診斷】已知函數(shù) f(x)=a(x + b)+blnx(其中a, bw R ). XI)當(dāng)b=_4時(shí)，若f(X)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍;n)當(dāng)a=1時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)b,使得當(dāng)Xe, e2時(shí)，不等式f (x) >0恒成立，如果存在，求b的取值范圍，如果不存在，說明理由(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828)【解析】(I)由題X0,4.44f (x) =a(x ) -4ln x f (x) = a(1 2)-ax2 - 4x，4a當(dāng)aM0時(shí)，知f'(X)<0,則f(X)是單調(diào)遞減函數(shù);當(dāng)a A0

49、時(shí)，只有對(duì)于X >0,不等式ax2-4x+4a > 0恒成立，才能使f ( X )為單調(diào)函數(shù)，只需 =( U)2 -16a2 & 0，解之得 a & -1 或a > 1，此時(shí) a 之 1.綜上所述，a的取值范圍是(-00,0 U1,收).(n) f (x)=blnxxb ,其中 X,2,b , b-x bx bX 0, f (x) =- -1 '=2X X X(i )當(dāng) bW0 時(shí)，f (X)<0 ,于是f (x)在(0,+如)上為減函數(shù)，則在e, e2上也為減函數(shù)，b 1知他).=f(e) =b -e- =(1 Fb-e<0恒成立，不合題

50、意,舍去.(口當(dāng)b>0時(shí)，由f (x) =0得x=b_竺.列表得2X(0 b + Jb2 +4b )，2b +Jb2 +4b2(b+Jb2 +4b ,y) 2，f (X)十0一f(X)極大值2e2-；5uf(x)在e, e上單調(diào)遞減，e 1若b +后+4b入,即bw2,b 111 e-2e知 f(x)max = f (e)=be=(1一一)b-e,而(1 一一)b -e< (1-e= <0 ,e eee e 1 e 1是f (X)max <0恒成立，不合題意，舍去.若 產(chǎn)后,4b Ae,即b A則 f(x)在(e,b+、b2 +4b )上為增函數(shù),在(b+也2+4b ,

51、-)上為減函數(shù)，要使在e, e2恒有f(x) >0恒成立，則必有?(e)>0, f(e)。,-24一 be eb - e 0 ?b- 32)則« e 所以，e 一4 e -e由于e32b -e2，0,b e.e. 2e -12所以b > J .e -1244e2 _(2e2 _1) = e3 -3e2 +1<0,則-e = 3e 2 >e- e-1 e -e 2e -115.12017湖北省襄陽市四校高三上學(xué)期期中聯(lián)考】已知函數(shù)f (x) =(x-1)ex-ax2 (a R)2(I )當(dāng)a M1時(shí)，求f (x)的單調(diào)區(qū)間；32(II )當(dāng)x u (0,+

52、g)時(shí)，y = f (x)的圖象恒在y = ax +x (a1)x的圖象上萬，求a的取值范圍解析】(I) f =加1 - R： =- a)當(dāng)a K0時(shí),/ 口 > 0尢匕(9.0)時(shí),f<0,/(x)單調(diào)遞減R e (0,4®)吐> 0,/(x)單調(diào)I遞增當(dāng)OvoKl時(shí)，令了(外=0得=0或x = lno .(i)當(dāng)0<口<1時(shí),lna<0,故：x e (to,In時(shí)JU> >。,/力單調(diào)遞招力£曲風(fēng)。)吐尸3<0J單調(diào)遞減x e 0 m)吐丁> 0 J3單調(diào)遞增孑(ii) 當(dāng) a=1 時(shí)，lna=0, f 

53、9;(x) = xex 一 ax = x(ex - 1)2 0 恒成立，f(x)在(,上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；綜上，當(dāng)a £0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,收)，單調(diào)減區(qū)間是(血,0)；當(dāng)0 <a <1時(shí)，f (x)的單調(diào)增區(qū)間是(00,ln a)和(0,十/)，單調(diào)減區(qū)間是(ln a,0)； 當(dāng)a =1時(shí)，f (x)的單調(diào)增區(qū)間是(口,+8)，無減區(qū)間.(II )由(I 族口 f (x) =xex - ax當(dāng)x w (0, + g)時(shí)，y = f'(x)的圖象恒在y = ax3+x2 -(a-1)x的圖象上方，即 xex -ax >ax3 +x2 - (a

54、 -1)x對(duì) xe (0, +°0)恒成立即 ex ax2 - x 1 > 0 對(duì) x 匚(0, + *)恒成立x 2x _記 g(x) =e ax x1(x >0), , g (x) =e -2ax-1 = h(x)xh x =e -2a一 ，.1 一一x 一 一. 當(dāng)a W時(shí)，h'(x) = e 2a >0恒成立，g'(x)在(0, +)上單調(diào)遞增，g(x) >g'(0) =0，二 g(x)在(0,收)上單調(diào)遞增二 g(x) >g(0) =0,符合題意；1.(ii) 當(dāng) a A時(shí)，令 h'(x ) = 0得* =m(2 2)二 xw (0,ln(2a)時(shí)，h'(x)<0,. g'(x)在(0,ln(2 a)上單調(diào)遞減二 xw(0,ln(2a)時(shí)，g(x)<g'(0)=0，g(x)在(0,ln(2 a)上單調(diào)遞減, xw(0,ln(2 a)時(shí)，g(x) <g(0) =0 不符合題意,1綜上可得a的取值范圍是(-m,1.216.12017廣東省惠州市第二次調(diào)研】已知函數(shù)f(x)=lnx, h(x)=ax(aw R).(I)函數(shù)f (x)的圖象與h(x)的圖象無公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； x1 me(n)是否存在實(shí)