2018年高考數(shù)學(xué)破解命題陷阱專題14統(tǒng)計(jì)易錯(cuò)大全

1、專題14統(tǒng)計(jì)易錯(cuò)大全.知識(shí)列表本講模塊同f f H局考要求了解理解掌握古典概型頻率信計(jì)概率A互斥事件與對(duì)立事件C古典概型C幾何概型長(zhǎng)度型幾何概型B面積型幾何概型C體積型幾何概型B統(tǒng)計(jì)回歸直線B獨(dú)立性檢驗(yàn)C離散型隨機(jī)變量的分布列及期望方差C二.基礎(chǔ)知識(shí)：古典概型1 .頻率和概率(1)在相同條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件 A是否出現(xiàn)，則n次試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù)m為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件 A出現(xiàn)的比例fn(A) m為事件A出現(xiàn)的頻率；n(2)如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件 A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記為P(A),稱為事件A的概率.簡(jiǎn)稱為A的概率；(3)頻率和概率有本質(zhì)

2、區(qū)別，頻率隨試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化，概率卻是一個(gè)常數(shù)；對(duì)于給定的事件A,由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A).概率的取值范圍： 0 P(A) 12 .互斥事件：如果 A，B為不可能事件 aQb,則稱事件 A與事件B互斥，即事件 A與事件B在任何一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生.互斥事件的概率加法公式：P(aJ B) P(A B) P(A) P(B)P(a"a2U h P(A)P(A2)P(An)3 .對(duì)立事件：若 A。B為不可能事件，而 ab為必然事件，那么事件 A與事件B互為對(duì)立事件，其含義 是事件A與事件B在任何一次試

3、驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生.對(duì)立事件的概率：P(A) 1 P(A)4 .古典概型(1)基本事件：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件基本事件的特點(diǎn)：任何兩個(gè)基本事件是互斥.任何事件都可以表示成基本事件的和.(2)古典概型的兩大特點(diǎn)：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.5 .古典概型的概率計(jì)算公式：包含的某本事件個(gè)數(shù) mP A 二17二二二 m ( n為總的基本事件個(gè)數(shù)， m為事件A的結(jié)果數(shù)). 總的基本事件個(gè)數(shù) n6 .幾何概型(1)幾何概型的概念如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾

4、何概型.(2)幾何概型的概率公式構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)p a 試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的的區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)7 .統(tǒng)計(jì)8 .抽樣方法(1)抽樣要具有隨機(jī)性、等可能性，這樣才能通過對(duì)樣本的分析和研究更準(zhǔn)確的反映總體的情況，常用的抽 樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣.(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是指一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為四(較小的有限數(shù))，通過逐個(gè)抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的兩種常用方法為抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.(3)分層抽樣是總體由差異明顯的幾部分組成，常將總體按差異分成幾個(gè)部分，然后按各部分所占比例抽樣, 其中所分成的各部分叫做層.(4)系統(tǒng)抽樣是當(dāng)總體

5、中的個(gè)數(shù)較多時(shí)，將總體均分成幾部分，按事先按確定的在各部分抽取.9 .總體分布的估計(jì)(1)作頻率分布直方圖的步驟：求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)決定組距與組數(shù)將數(shù)據(jù)分組列頻率分布表(下圖)分組頻數(shù)頻率累計(jì)頻率t。，ti)rififiti, t2)2f2fi+ f2tkT' tkkfkf2+m+fk=i畫頻率分布直方圖，將區(qū)間a, b)標(biāo)在橫軸上，縱軸表示頻率與組距的比值，以每個(gè)組距為底，以各頻率除以組距的商為高，分別畫矩形，共得k個(gè)矩形，這樣得到的圖形叫頻率分布直方圖.頻率分布直方圖的性質(zhì)：第i個(gè)矩形的面積等于樣本值落入?yún)^(qū)間ti1, ti)的頻率；由于 fi+ f2+ |+

6、fk=1 ,所以所有小矩形的面積的和為1.(2)連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上邊的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖，隨著樣本容量的增加，折線圖會(huì)越來越近似于一條光滑曲線，稱之為總體密度曲線.(3)統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫莖葉圖，莖是中格中間的一列數(shù)， 葉是從莖旁邊長(zhǎng)出來的一列數(shù) .用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)：一是從統(tǒng)計(jì)圖上沒有原始信息的損失，所有的數(shù)據(jù)信息都可以從莖 葉圖中得到；二是莖葉圖可以在比賽時(shí)隨時(shí)記錄，方便記錄與表示.10 平均數(shù)和方差的計(jì)算,Xn,則 X (Xi+X2 + | Xn)X2,如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x，；(Xi-X)2+(X2-X)2+|“(Xn- X)2叫做這組數(shù)據(jù)

7、的平均數(shù)，s叫做標(biāo)準(zhǔn)差.叫做這組數(shù)據(jù)的方差，而(2)公式 s2 1(x12+x22+|j | xn2) nx (3)當(dāng)一組數(shù)據(jù)Xi, X2, , Xn中各數(shù)較大時(shí)，可以將各數(shù)據(jù)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)a,得到Xi =xi- a,21'2'2'2、一2X2 =X2- a,，Xn = Xn- a,則 s(x +X2 +| Xn ) nx 11 利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)值.(2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形的面積乘以矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和(3)眾數(shù)：最高的矩形白中點(diǎn)的橫坐

8、標(biāo).(4)極差=最大數(shù)最小的數(shù).12 兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系(1)如果兩個(gè)變量之間沒有函數(shù)關(guān)系所具有的確定性，它們的關(guān)系帶有隨機(jī)性，則稱這兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系.(2)有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，若一個(gè)變量的值由小到大時(shí)，另一個(gè)變量的值也是由小到大，這種相關(guān)稱為正相關(guān)；反之，一個(gè)變量的值由小到大，另一個(gè)變量的值由大到小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān)(3)如果散點(diǎn)圖中，具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量所有觀察值的數(shù)據(jù)點(diǎn)，分布在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，方程為 nXiyi nx y 其中 I? ? y b?XXi2 n(x)2 i 1(4)樣本的相關(guān)系數(shù)(X X)2i 1n(x y)2i

9、 1當(dāng)r 0時(shí)，表示兩個(gè)變量正相關(guān)，當(dāng)r 0時(shí),表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，|r|越接近于1,表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；|r|越接近于0,表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常當(dāng)|r| 0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系13 獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)分類變量用變量的不同“值”， 表示個(gè)體所屬的不同類別， 這種變量稱為分類變量.例如：是否吸煙，宗教信仰,(2)列聯(lián)表：即列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表：一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量 7和它們的值域分別為X1,X2和y i, y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2X2列聯(lián)表)為:y1y合計(jì)Xiaba bX2cdc d合計(jì)a cb dn其中n a b c d為樣本

10、容量.(3)可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較為準(zhǔn)確地給出這種判斷的可靠程度，具體做法是：根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算由公式K22n(ad bc)(a b)(a c)(c d )(b d)所給出的檢驗(yàn)隨機(jī)變量的觀測(cè)值k ,并且k的值越大，說明“ X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大，同時(shí)可以利用以下數(shù)據(jù)來確定“X與Y有關(guān)系”的可信程度這種利用隨機(jī)變量 K2來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).3.典例分析例1.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下:排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：

11、(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少;(2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少.【答案】C【解析】記“無人排隊(duì)等候”為事件 A , “1人排隊(duì)等候”為事件 B , “2人排隊(duì)等候”為事件 C , “3人排 隊(duì)等候”為事件 D , “4人排隊(duì)等候”為事件 E , “5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件 F ,則事件 A,B,C,D,E,F 互斥.(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件 G ,則G A B C ,所以P(G) P(A) P(B) P(C) 0.1 0.16 0.3 0.56.(2)方法一：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件 H ,則H D E F ,所以P(H) P(D) P(E) P(F) 0.3 0.

12、1 0.04 0.44.方法二：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件 H ,則其對(duì)立事件為事件 G ,所以P(H ) 1 P(G) 1 0.56 0.44.練習(xí)1.在12件瓷器中，有10件一級(jí)品，2件二級(jí)品，從中任取 3件.(1) “3件都是二級(jí)品”是什么事件？(2) “3件都是一級(jí)品”是什么事件？(3) “至少有一件是一級(jí)品”是什么事件？【答案】(1)不可能事件(2)隨機(jī)事件(3)必然事件【解析】 (1)因?yàn)?2件瓷器中，只有 2件二級(jí)品，取出3件都是二級(jí)品是不可能發(fā)生的，故是不可能事件.(2) “3件都是一級(jí)品”在題設(shè)條件下是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的，故是隨機(jī)事件(3) “至少有一件是一級(jí)品”是必然

13、事件，因?yàn)?12件瓷器中只有2件二級(jí)品，取三件必有一級(jí)品 .練習(xí)2.盒中僅有4只白球5只黑球，從中任意取出一只球 .(1) “取出的球是黃球”是什么事件？它的概率是多少？(2) “取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？(3) “取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？4【答案】(1) 0, (2) (3) 19【解析】 門)”取出的球是黃球”在題設(shè)條件下根本不可育線生 因此它是不可肯痔件j其概率為0.4)X取出的球是白球”是隨機(jī)事件，它的概率是？.9(3)”取出的球是白球或黑球R在題設(shè)條件下必然要發(fā)生，因此它是心然事件它的概率是L例2.已知a,b,c為集合A 1,2,3,4,5

14、,6中三個(gè)不同的數(shù)，通過右邊框圖給出的一個(gè)算法輸出一個(gè)整數(shù)【解析】根據(jù)框圖判斷，本框圖輸出的a為輸入的三個(gè)數(shù)a,b,c中的最大值11最大值是3的情況，輸入的三個(gè)數(shù)為 1, 2, 3 , 1種情況最大值是4的情況，輸入的三個(gè)數(shù)為1, 2, 3里兩個(gè)以及4 , 3種情況最大值是5的情況，輸入的三個(gè)數(shù)為最大值是6的情況，輸入的三個(gè)數(shù)為1, 2, 3, 4里兩個(gè)數(shù)以及5 , 6種情況1, 2, 3, 4, 5里兩個(gè)數(shù)及6, 10種情況2a 5的概率=一.5,2故答案為2.5練習(xí)1.五個(gè)人圍坐在一張圓桌旁，每個(gè)人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時(shí)翻轉(zhuǎn)自己的硬幣.若硬幣正面朝上，則這個(gè)人站起來；若硬幣正面

15、朝下，則這個(gè)人繼續(xù)坐著.那么，沒有相鄰的兩個(gè)人站起來的概率為A. 1 B. 15 C. 11 D.勺2323216【答案】Ct解析】五個(gè)人的編號(hào)為1234,5由題意,所有事件共有笳=32種，沒有相鄰的兩個(gè)大站起來的基本事件有,（電,44）（24）, 再力吐（25）,0,5）沒有人站起來的可能有1種，共11種情況, 所以沒有相鄰的兩個(gè)人站起來的斛為范故答案選C日銷售量（枝）04950 99100149150199200250銷售天數(shù)（天）3天3天15天6天3天練習(xí)2. 一鮮花店一個(gè)月（30天）某種鮮花的日銷售量與銷售天數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:將日銷售量落入各組區(qū)間的頻率視為概率.（1）試求這30天中日銷售量

16、低于 100枝的概率；（2）若此花店在日銷售量低于 100枝白6 6天中選擇2天作促銷活動(dòng)，求這 2天的日銷售量都低于 50枝的 概率（不需要枚舉基本事件）.【答案】(1) 1; (2)- 5531【解析】（1）設(shè)日銷售量為x,則P0 x 49， P 50 x 10030 10由互斥事件的概率加法公式，3130 10P 0 x 100 P 0 x 49 P 50 x 100注：直接按照古典概型的計(jì)算公式，得 P 0 x 100111 -.10 1053 31同樣給分.305（2）日銷售量低于100枝共有6天，從中任選兩天促銷共有n 15種情況；日銷售量低于 50枝共有3天,從中任選兩天促銷共有

17、 m 3種情況.由古典概型的概率計(jì)算公式，所求概率15 5【防陷阱措施】求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇.例3.在區(qū)間0,4上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p ,則方程x2px 3p 8 0有兩個(gè)正根的概率為A. 13【答案】B.C.D.方程px3p0有兩個(gè)正根，則有xx2xx20一八88或一34,又p 0,4，由幾何概型概率公式可得方程x2px 3p 8 0有兩個(gè)正根的概率為練習(xí)1.在棱長(zhǎng)為a的正方體中隨機(jī)地取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P與正方體各表面的距離都大于a的概率為（）

18、3A.工27【答案】B.-C.16【解析】符合條件的點(diǎn) P落在棱長(zhǎng)為a一的正萬體內(nèi),3根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得P3a31a327練習(xí)2.正方體ABCD A1B1C1D1中，點(diǎn)P在A1C上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則BP與AD1所成角的取值范圍A. , - B. -, - C. -, - D. -,4 34 26 26 3【解析】以點(diǎn)。為原點(diǎn),皿比.題分別為小六1建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為L(zhǎng)設(shè)點(diǎn)產(chǎn)坐標(biāo)為（工1-%三），則蕨=（x-Lr2）,苑=（-L0l）謾下瓦 的夾角為以，所以CO5SZ =BP BCy（工-l j +工工鼠&,所以當(dāng)工二工時(shí)f cos a取最大值 十|磁6131

19、時(shí)，cos因?yàn)锽C1 / /AD1 .故選D.例4.太極圖是以黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖形圖案,它形象化地表達(dá)了陰陽輪轉(zhuǎn)，相反相成是萬物生成變化根源的哲理，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的形式美.按照太極圖的構(gòu)圖方法，在平面直角坐標(biāo)系中，圓其中小圓的半徑均為1,現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則O被y 3sin x的圖象分割為兩個(gè)對(duì)稱的魚形圖案,6此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（D.12A. B. C.3618【答案】B【解析】設(shè)大圓的半徑為R,貝U：則大圓面積為：S1R2 36 ，小圓面積為：S212 2 221則滿足題意的概率值為：p 一.本題選擇b選項(xiàng).3618練習(xí)1.北宋歐陽修在賣油翁中寫道： “（翁）乃取

20、一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕，因曰：“我亦無他，唯手熟爾.”可見技能都能通過反復(fù)苦練而達(dá)至熟能生巧之境地.若銅錢是半徑為1.2cm的圓，中間有邊長(zhǎng)為0.4cm的正方形孔，你隨機(jī)向銅錢上滴一滴油，則油滴（油滴的大小忽略不計(jì)）正好落入孔中的概率為（A. 4-B. C. 5-D.996【答案】B【解析】概率為幾何概型，測(cè)度為面積，概率0.421.22練習(xí)2.甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)地到達(dá)，則這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待的概率是（）A7B.C.D.1621618【解析】諛甲到達(dá)的時(shí)刻為兄, 乙到達(dá)的時(shí)刻為y,則斫

21、書基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?2（編了）|04工，24,0«尸424，謾“這兩艘船中至少有一艘在停堂泊位時(shí)必須等待”為事件/，則 事件A包含的基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)殓?（兀y）恒V工< NO < T V 24,卜*| M 6,如圖中陰影部分 所示.乙船到達(dá)時(shí)間(由幾何概型概率公式得P A吐=118 18二工，即這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時(shí)必須等待S 24 2416的概率為工，選U.16【防陷阱措施】求解幾何概型的概率問題，一定要正確確定試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，從而正確選擇合理的測(cè)度，進(jìn)而利用概率公式求解.幾何概型應(yīng)注意：（1）求與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的方法，是把題中所

22、表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度，然后求解;（2）依據(jù)幾何概型的特點(diǎn)判斷基本事件應(yīng)從“等可能”的角度入手，選擇恰當(dāng)合理的觀察角度；（3）求與角度有關(guān)的幾何概型的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化成角度，然后求解例5.雙十一網(wǎng)購狂歡，快遞業(yè)務(wù)量3增.甲、乙兩位快遞員11月12日到18日每天送件數(shù)量的莖葉圖如圖所示.（I）根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)快遞員的平均送件數(shù)量較多（寫出結(jié)論即可）（n）求甲送件數(shù)量的平均數(shù);（出）從乙送件數(shù)量中隨機(jī)抽取 2個(gè)，求至少有一個(gè)送件數(shù)量超過甲的平均送件數(shù)量的概率.甲24252627乙52 6【答案】（I）乙快遞員的平均送件數(shù)量較多（n）254 （出）20213 5 9【解析

23、】（I）由莖葉圖知甲快遞員 11月12日到18日每天送件數(shù)量相對(duì)乙來說位于莖葉圖的左上方偏多,，乙快遞員的平均送件數(shù)量較多.（H）甲送件數(shù)量的平均數(shù)：_ 1x 244 246 251 253 254 262 2682547（111）從乙送件額量中隨機(jī)抽取2個(gè)基本事件總數(shù)網(wǎng) 211至少有一個(gè)送件數(shù)量超過甲的平均送件數(shù)量的對(duì)立事件是i由取的2個(gè)送件量都不大于254,至少有一個(gè)送件數(shù)量超過甲的平均送件數(shù)量的班率：練習(xí)1.在某公司的職工食堂中,食堂每天以3元/個(gè)的價(jià)格從面包店購進(jìn)面包， 然后以5元1個(gè)的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的面包以1元/個(gè)的價(jià)格賣給飼料加工廠.根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，得到食堂每天面

24、包需求量的頻率分布直方圖如圖所示.食堂某天購進(jìn)了 90個(gè)面包，以x （個(gè)）（其中60 x 110）表示面包的需求量，T （元）表示利潤(rùn)（1）根據(jù)直方圖計(jì)算需求量的中位數(shù);（2）估計(jì)利潤(rùn)T不少于100元的概率;【答案】(1)85 個(gè);(2)0.75；(3)142.t解析】需求量的中位數(shù)吧M=B5 （個(gè)）（其它解法也給分）(2)由題意:當(dāng)604五工90時(shí)利J閏丁 = 5£ + 1-(90萬)-3x90 = 4% IX比當(dāng)時(shí)利潤(rùn)丁 = 5x903x90 = 180,4，180(60 V XV 90)即7 =. 1. J18O(9O< T<110)設(shè)利潤(rùn)T不少于100元為事件 A

25、,利潤(rùn)T不少于100元時(shí)，即4X 180 100,X 70,即70 X 110,由直方圖可知，當(dāng) 70 X 110時(shí)，所求概率： P A1 P A 1 0.025 70 600.75練習(xí)2. 2017年“十一”期間，高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔 50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能囁伲╧m/t）分成六段： 60,65 ,65,70 ,70,75 ,75,80 ,80,85 ,85,90 ,后得到(1)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值；(2)若從車速在 60,70的車輛中任抽取2輛，求車速

26、在 65,70的車輛恰有一輛的概率.【答案】(1) 77.5 , 77.5. (2) P -8.15【解析】(1)眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)門即眾數(shù)的估計(jì)值等于77.5, 說圖中虛線所對(duì)應(yīng)的車速為#,則中位麴的估計(jì)值為：O.OIx5+OO2x5-fCO4x5+O,06x(jc-75)=0.5;解得x=775 .即中位翻的估計(jì)值為77-5 .(2)從圖中可知，車速在 60,65的車輛數(shù)為：m1 0.01 5 40 2 (輛),車速在65,70的車輛數(shù)為：m2 0.02 5 40 4 (輛), 設(shè)車速在 60,65的車輛設(shè)為a, b,車速在65,70的車輛設(shè)為c, d , e, f ,則所有基

27、本事件有：a,b ,a,c, a,d, a,e, a, f, b,c , b,d , b,e , b, f , c,d , c,e ,c, f ,d,e, d, f, e, f共 15種，其中車速在 65,70的車輛恰有一輛的事件有：a, c , a, d , a, e , a, f , b,c , b, d ,8b,e , b, f共8種.所以，車速在 65,70的車輛恰有一輛的概率為P 一.15例6.某媒體為調(diào)查喜愛娛樂節(jié)目A是否與觀眾性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了 30名男性和30名女性觀眾，抽查結(jié)果用等高條形圖表示如圖:界性艱眾女性現(xiàn)眾I I喜歡節(jié)目金不言取節(jié)目H(1)根據(jù)該等高條形圖，完成下列

28、 2 2列聯(lián)表，并用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法分析，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜歡娛樂節(jié)目A與觀眾性別有關(guān)？喜歡節(jié)目總不喜歡節(jié)目A總計(jì)男性觀眾女性觀眾總計(jì)6。(2)從性觀眾中按喜歡節(jié)目 A與否，用分層抽樣的方法抽取 5名做進(jìn)一步調(diào)查.從這 5名中任選2名，求恰有1名喜歡節(jié)目A和1名不喜歡節(jié)目A的概率.附:P K2 k0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82822n ad bcK2 abcdacbd【答案】(1)列聯(lián)表見解析，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過 0.05的前提下認(rèn)為喜歡娛樂節(jié)目A與觀眾性別有關(guān);(2)【解析】(1)由題意得2 2列聯(lián)表如表:喜

29、歡節(jié)目A/、喜歡節(jié)目A總計(jì)男性觀眾24630女性觀眾151530總計(jì)392160假設(shè)Ho ：喜歡娛樂節(jié)目A與觀眾性別無關(guān),皿 260 24 15 15 6540則K2的觀測(cè)值k 5.934 3.841,39 21 30 3091所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜歡娛樂節(jié)目A與觀眾性別有關(guān).5(2)利用分層抽樣在男性觀眾30名中抽取5名，其中喜歡娛樂節(jié)目 A的人數(shù)為24 & 4,不喜歡節(jié)目30A的人數(shù)為6 1.3020被抽取的喜歡娛樂節(jié)目A的4名分別記為a , b , c , d ;不喜歡節(jié)目A的1名記為B .則從5名中任選2人的所有可能的結(jié)果為:a,b , a,c , a

30、,d , a, B ,45c,d , b,c , d, B共有10種，其中恰有1名喜歡節(jié)目A和1名不喜歡節(jié)目 A的有a, B , b, B ,b,c , d, B 共 4 種，42所以所抽取的觀眾中恰有 1名喜歡節(jié)目A和1名不喜歡節(jié)目 A的觀眾的概率是 -.105練習(xí)1.假設(shè)某種設(shè)備使用的年限 x (年)與所支出的維修費(fèi)用 y (萬元)有以下統(tǒng)計(jì)資料:使用年限x23456維修費(fèi)用y24567若由資料知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求:(1)求X, y； (2)線性回歸方程 y bx a； (3)估計(jì)使用10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少?附：利用“最小二乘法”計(jì)算a,b的值時(shí)，可根據(jù)以下公式:nXi yi n

31、x ya? y bxi 1n2_ 2xin(x)i 1【答案】(1) x 4, y 4,8 (2) y 1.2x (3)維修費(fèi)用為12萬元【解析】試題分析：(1)利用x, y的計(jì)算公式即可得出；(2)利用b的計(jì)算公式得出結(jié)果，再求 a ；(3)利用第(2)問得出的回歸方程，計(jì)算 x=10時(shí)的結(jié)果.試題解析:7、_ 2 -F3+4+ 5+6 . _ 2+4+5 + 6+7 # _ 1 x = 4, j? =4.13<2)= 2x2+3x4 + 4x5 +5x6+ 6x7 = IOS ,產(chǎn)兩=54W = 96 ,-I a Id-966rl如一勖2 = y裝=4衛(wèi)一12x4=0,所以，線性回歸

32、方程為尸= L2 .（3）當(dāng)x=10時(shí)，y=12,所以該設(shè)備使用10年，維修費(fèi)用為12萬元.練習(xí)2.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的傳播速度很快，這已經(jīng)成為全球性的威脅，為了考察某種埃博拉病毒疫苗的效果，現(xiàn)隨機(jī)抽取 100只小鼠進(jìn)行試驗(yàn)，得到如下聯(lián)表：感染未感染總計(jì)服用104050未服用203050總計(jì)30701002參考公式：k2ncabcd acbd_2P K k0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參照附表，在犯錯(cuò)誤的概率最多不超過 （填百分比）的前提下，可認(rèn)為“該種疫苗由預(yù)防埃博拉病毒感染的

33、效果”.【答案】5%21- 口210010 30 20 40乙 一口 ，w /【解析】由題意可得，k2 4.762 3.841,參照附表，可得：在犯錯(cuò)誤的概50 50 30 70率不超過5%的前提下，認(rèn)為“小動(dòng)物是否被感染與有沒有服用疫苗有關(guān)”，故答案為5%.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于中檔題.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制2 一 .一。n ad bc一 。成2 2列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式 K2 計(jì)算K2的值；（3）查表比較K2與臨界abad acbd值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷.（注意：在實(shí)際問題中，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論也僅僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系，得到的結(jié)論也可能犯錯(cuò)誤.）【防

34、陷阱措施】1.頻率分布直方圖的有關(guān)特征數(shù)問題，利用眾數(shù)是最高矩形的底邊中點(diǎn)；中位數(shù)是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值；平均數(shù)等于各個(gè)小矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)的矩形的底邊中點(diǎn)的和等知識(shí).把統(tǒng)計(jì)和概率結(jié)合在一起，比較新穎，也是高考的方向，應(yīng)引起重視.2.求解回歸方程問題的三個(gè)易誤點(diǎn)： 易混淆相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系，兩者的區(qū)別是函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定的 關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.回歸分析中易誤認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)必在回歸直線上，實(shí)質(zhì)上回歸直線必過（又刀）點(diǎn)，可能所有的樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)都不在直線上. 利用回歸方程分析問題時(shí)，所得的數(shù)據(jù)易誤認(rèn)為準(zhǔn)確

35、值，而實(shí)質(zhì)上是預(yù)測(cè)值（期望值）.類型7.兩點(diǎn)分布,_1,正面向上例7.拋擲一枚硬幣，記X ,，則E x （）1,反面向上1nl回1印叵國2【答案】3【解析】E X 1 111 0 ,選國22練習(xí)1.設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的 0倍，用隨機(jī)變量團(tuán)描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則 團(tuán)的值可以是.I【答案】H【解析】 這里“成功率是失敗率的 時(shí)”是干擾條件，對(duì) 1次試驗(yàn)的成功次數(shù)沒有影響，故 因可能取值有 兩種，即_J練習(xí)2.籃球比賽中每次罰球命中得 1分，不中的0分.已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中率為 0.7,求他一次罰球得分 的分布列及均值.【答案】P0100.30.7E X 0 0.3 1 0.7 0.7類

36、型8超幾何分布一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為XX1X2 |XiXnPP1P2 IPi一Pn則稱E(X) XR X2P2 H| XiPi JU XnPn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平若Y aX b,其中a,b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，因?yàn)镻(Y ax b) P(X xj,i 1,2,1,n所以，Y的分布列為于是a(Xn b) PnPi | Pn)ppax2p 1Xpp x)pnn XYaX1 baX2 baXi baXn bPP1P2PiPnaE(X) bn2萬差 DXXi EX Pi .i 1方差刻畫了離散型隨機(jī)變量與均值的平均偏離程度n離散型隨機(jī)變量

37、分布列的性質(zhì)：(1) P 0(i1,2,3,.n)；(2)Pi1.i 1般地，在含有 M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有 X件次品，則P(Xk)k n kCM CN McN,k0,1,2,|m,其中m minM,n,且n N, M N,N,M,n N，如果隨機(jī)變量具有:例8.一個(gè)攤主在一旅游景點(diǎn)設(shè)攤，在不透明口袋中裝入除顏色外無差別的2個(gè)白球和3個(gè)紅球.游客向攤主付2元進(jìn)行1次游戲.游戲規(guī)則為：游客從口袋中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，若摸出的小球同色，則游客獲得 3元獎(jiǎng)勵(lì)；若異色則游客獲得 1元獎(jiǎng)勵(lì).則攤主從每次游戲中獲得的利潤(rùn) (單位：元)的期望值是()4.02D.0.5【答案】0【解析】游客摸

38、出的一,2因此EX 115所以選L 練習(xí)1.某人喜歡玩有三個(gè)關(guān)卡的通關(guān)游戲，根據(jù)他的游戲經(jīng)驗(yàn)，每次開啟一個(gè)新的游戲，這三個(gè)關(guān)卡他能1 1 1夠通關(guān)的概率分別為 111 （這個(gè)游戲的游戲規(guī)則是：如果玩者沒有通過上一個(gè)關(guān)卡，他照樣可以玩下一2'3 4個(gè)關(guān)卡，但玩該游戲的得分會(huì)有影響），則此人在開啟一個(gè)這種新的游戲時(shí)，他能夠通過兩個(gè)關(guān)卡的概率為,設(shè)X表示他能夠通過此游戲的關(guān)卡的個(gè)數(shù)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為113【答案】113412【解析】隨機(jī)變量 X的所有可能取值為PJ23.111111111111123 4 234 2 344111111111 一 一 1 -1 -1 - 一234234

39、 2411112 3 4 24所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P11111424424,，、一 1111113隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E X 01111223 .42442412練習(xí)2. 一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有1件次品.用戶先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行隨機(jī)抽檢以決定是否接受.抽檢規(guī)則如下：至多抽檢 3次，每次抽檢一件產(chǎn)品(抽檢后不放回)，只要檢驗(yàn)到次品就停止繼續(xù)抽檢，并拒收這多f產(chǎn)品；若3次都沒有檢驗(yàn)到次品，則接受這箱產(chǎn)品，按上述規(guī)則，該用戶抽檢次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是10101010故答案為271010【解析】根據(jù)題意用戶抽檢次數(shù)的可能取值為OZU,那么可知1911988P 1 ,P 2 1 P

40、 2-98 ，故根據(jù)期望公式可知為1010910109101 c 1。8271 2 3 ,類型9.期望方差 例9.設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列X1,X2,X3,|X9的公差，隨機(jī)變量 等可能地取值X1,X2,X3,|“，X9,則方差困區(qū)2田3d2E10d2回6d233【答案】周【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列X1, x2,x3J”,x9的公差是目，所以X 1 9X1 -8dX1 4d ,921 222222222202 4“、4同D( ) - 4d 3d 2d d 0 d 2d 3d 4d d 故選小 93練習(xí)1.袋中有大小相同的三個(gè)球，編號(hào)分別為1,2,2 ,從袋中每次取出一個(gè)球，若取到球的編號(hào)為奇數(shù)，則取球

41、停止，用 國1表示所有被取到的球的編號(hào)之和，則IE的方差為 .【答案】8 3【解析】國的分布列為練習(xí)2.已知隨機(jī)變量的分布列如下:i-101P13ab升 1,若E ，則D ()4圖5 e 41 De. u a |i答案】01117【解析】由數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式有：110a1b- b -, b ,33412,1 一 一1 -1由一 a b 1 可得： a 1 - b 一, 3312222111111411-0-1-434124448本題選擇球選項(xiàng).1例10.已知隨機(jī)變量 X的分布列為P X k - , k 1,2,3，則D 3X 5等于（）3O 甌c3 晅【答案】3一，1【解析】由題意，E X 12

42、 3-2, D X3D 3X 5 9D X 9 2 6,3故選A.練習(xí)1.設(shè)10X1X2X3X4104, X5 105.隨機(jī)變量1取值X1,X2,X3,X4,X5的概率均為0.2,隨機(jī)變量2取值 匚紅,X_,當(dāng)_,包上,X_的概率也為0.2.若記D 1 ,D 2分別為1, 2的 22222方差，則 （）口 D1 D2初 D1 D2EZd1 D2叵1Id1與D2的大小關(guān)系與X1,X2,X3,X4，的取值有關(guān)【答案】0【解析】由題意可知E 1 1 X1 x2 % x4 x5 , 51 x1x2X2X3X3X4X4X5X5X12222XiX2 X3 X4 X5 ，期望相等，設(shè)都為m D i 1Xim

43、2522Ik5 m2 ,D 21Tmi|號(hào) m45P 10 X1 X2 X3 X4 10 , X5 10 .練習(xí)2.若樣本數(shù)據(jù)X1,X2,X3,X10的平均數(shù)是10,方差是2,則數(shù)據(jù)2X1 1,2X2 1,2X3 1, 2xo平均數(shù)與方差分別是()口 20日 | 亂 21,12| 仁 22N21回【答案】畫【解析】由題意知，覆+溝+瑪+= 10x10 = 100D二孤巧TO)一(覆T°>' +(%T°用Dq(端+$)T0xm口 =2 數(shù)據(jù)為+L 29 + L2三+-2x10 +1的平均熱E(X)=2工1 十LN.十L2巧 +1, -2xlfl +1 )=已以%

44、十與十-+x1(>)十 1x10 = 21數(shù)據(jù)2/十L25十L2三十I, 2叫。+1的方差D(2X+1) = (4 +4巧工十 十4為J)-lOxlS所以答案為四.例11.來自某校一班和二班的共計(jì) 9名學(xué)生志愿服務(wù)者被隨機(jī)平均分配到運(yùn)送礦泉水、清掃衛(wèi)生、維持秩20序這三個(gè)崗位服務(wù)，且運(yùn)送礦泉水崗位至少有一名一班志愿者的概率是-20 .21(I )求清掃衛(wèi)生崗位恰好一班 1人、二班2人的概率；(n)設(shè)隨機(jī)變量 X為在維持秩序崗位服務(wù)的一班的志愿者的人數(shù)，求X分布列及期望.5一一一【答案】(1)5;(n)見解析.14【解析】(I)記“至少一名一班志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”為事件 A ,則A

45、的對(duì)立事件為“沒有 志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”，. . 一，.FCH設(shè)有一班志愿者 x個(gè)，1 x 9,那么P A 1 CWC320 l r ，一 ，,解得x 5,即來自一班的志愿者有 5人,21來自二班志愿者 4人;那么p Cc5c25記“清掃衛(wèi)生崗位恰好一班 1人，二班2人”為事件C ,5所有清掃衛(wèi)生崗位恰好一班 1人，二班2人的概率是 .14（n） X的所有可能值為0,1 , 2,3 .PX1等小。X 2C；C：10cvcC3C：5,PX3-534,C321C；42X I0123D15105P21142142所以X的分布列為L(zhǎng)、，-1, 5c 10 c 55EX 01 - 23 一 一2

46、11421423練習(xí)1.袋子中裝有大小相同的八個(gè)小球，其中白球五個(gè)，分別編號(hào)h 2、口里 可；紅球三個(gè)，分別編號(hào),現(xiàn)從袋子中任取三個(gè)小球，它們的最大編號(hào)為隨機(jī)變量X ,則P X 3等于（）28_1556【答案】0【解析】X=3第一種情況表示1個(gè)當(dāng) 月=工乎14第二種情況表示2個(gè)3, 6 =14312所以產(chǎn)（五=3）=耳+鳥=值+萬=二 故選D.練習(xí)2.為了參加第二屆全國數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，長(zhǎng)郡中學(xué)在高二年級(jí)舉辦了一次選拔賽，共有60名高二學(xué)生報(bào)名參加，按照不同班級(jí)統(tǒng)計(jì)參賽人數(shù)，如表所示:班級(jí)宏志班珍珠班英才班精英班參賽人數(shù)20151510(I)從這60名高二學(xué)生中隨機(jī)選出 2人，求這2人在同一班級(jí)的

47、概率;(n)現(xiàn)從這60名高二學(xué)生中隨機(jī)選出 2人作為代表，進(jìn)行大賽前的發(fā)言，設(shè)選出的2人中宏志班的學(xué)生人數(shù)為X ,求隨機(jī)變量 X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(I) p 89L (n) E X 118 354177【解析】(I ) 060名高二學(xué)生中隨機(jī)選出2名的基本事件總數(shù)為/ = 1770 ,且這2人在同一班級(jí)的基本事件個(gè)數(shù)為4一3+3+囁二*5，故所求概率P二絲二.1770 3542C2026C2059(n)由題意的 X的所有可能的取值為 0,1,2 .c2o c4o 80 p X 2c0 29屋 177'C6o 177'所以X的分布列為:x|012P26598017719

48、177c 26 (80 c 191180 - 1 2 59177177177【防陷阱措施】 求離散型隨機(jī)變量均值與方差的基本方法(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差，按定義求解.(2)已知隨機(jī)變量因的均值、方差，求因的線性函數(shù)匹西畫的均值、方差，可直接用 團(tuán)的均值、方差的性質(zhì) 求解.(3)如果所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，利用它們的均值、方差公式求解.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是：考察對(duì)象分兩類；已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè) 體個(gè)數(shù)二的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的

49、小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型. 類型10.二項(xiàng)分布的期望與方差獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義：指在同樣條件下進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式:一般地，如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率Pn（Xk） CkPk（1 P）n k,k 0,1,2,|n .稱這樣的隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布它的數(shù)學(xué)期望：E X np,方差為：D X np（1 p）例12.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且期望 E XC1 一、,3 , p -,則方差D X等于（）5A.B.4 C.12 CD.【解析】由于二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望EX=叩=3,所以二項(xiàng)分布的方差 口

50、公）二叩（1-0 = 3。-7） 二 £/應(yīng)填選答案C練習(xí)1.已知隨機(jī)變量，且 服從二項(xiàng)分布 B 10,0.6，則E 和D的值分別是（）國口2.40. 2 和 2.4 口和 5.6 回和 5.6【答案】3【解析】根據(jù)二項(xiàng)分布的特征可得：E np 10 0.6 6, D np 1 p 10 0.6 0.4 2.4,故選A.練習(xí)2.一款砸金蛋游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需要砸三個(gè)金蛋，每次砸蛋要么出現(xiàn)金花，要么不出現(xiàn)，1已知每次砸蛋出現(xiàn)金花的概率為1,且各次砸蛋出現(xiàn)金花與否相互獨(dú)立.則玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)2金花的I率為（）A.些 B.見 C. % D. 7 1024512648【答案】01221 113- 113【解析】砸蛋三次出現(xiàn)一次金花概率為C1 11 13 ,出現(xiàn)兩次