數(shù)學(xué)建模之減肥問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

1、東北大學(xué)秦皇島分校數(shù)學(xué)模型課程設(shè)計(jì)報(bào)告減肥問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模學(xué) 院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院專 業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)學(xué) 號(hào)5133117姓 名楚文玉指導(dǎo)教師張尚國(guó) 劉超成 績(jī)教師評(píng)語(yǔ)：指導(dǎo)教師簽字： 2016年01月09日 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院課程設(shè)計(jì)（實(shí)習(xí)）報(bào)告 第 11 頁(yè) 摘要肥胖已成為公眾日益關(guān)注的衛(wèi)生健康問(wèn)題. 肥胖是與目前嚴(yán)重危害人類健康疾病，如糖尿病、高血壓、冠心病、血脂異常、膽囊疾病、痛風(fēng)、骨關(guān)節(jié)病、阻塞性睡眠呼吸暫停、某些癌癥等的發(fā)病有明顯相關(guān)的危險(xiǎn)因素之一. 但是實(shí)際情況卻是人們不會(huì)理性的對(duì)待自己的身體狀況，經(jīng)常使用一些不健康的方式減肥，到最后適得其反，給自己的身體造成很大的傷害. 本文特別的從數(shù)學(xué)

2、模型的角度來(lái)考慮和認(rèn)識(shí)問(wèn)題，通過(guò)該模型的建立，科學(xué)的解釋了肥胖的機(jī)理，引導(dǎo)群眾合理科學(xué)的減肥.本文建立了減肥的數(shù)學(xué)模型，從數(shù)學(xué)的角度對(duì)有關(guān)身體肥胖的規(guī)律做進(jìn)一步的探討和分析. 在研究此問(wèn)題時(shí)，體重的實(shí)時(shí)變化數(shù)據(jù)是我們研究的核心數(shù)據(jù)，這就會(huì)使我們聯(lián)系到變量的變化率或?qū)?shù)，這樣所得到變量之間的關(guān)系式就是微分方模型. 微分方程模型反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，在研究體重，能量與運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系時(shí)，得到直接關(guān)系就得求解微分方程.本文利用了微分方程模型求解減肥的實(shí)際問(wèn)題，根據(jù)基本規(guī)律寫出了平衡關(guān)系式再利用一定的轉(zhuǎn)換條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單明了的式子，求解出模型關(guān)系式然后根據(jù)建立的模型表達(dá)式來(lái)解決一些實(shí)際的減

3、肥問(wèn)題，給出數(shù)學(xué)模型所能解答的一些實(shí)際建議.關(guān)鍵字： 微分方程模型 能量守恒 能量轉(zhuǎn)換系數(shù)1 問(wèn)題重述1.1 課題的背景隨著社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展，人們的生活水平在不斷提高，飲食營(yíng)養(yǎng)攝入量的改善和變化、生活方式的改變，使得肥胖成了社會(huì)關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題. 為此，聯(lián)合國(guó)世界衛(wèi)生組織曾頒布人體體重指數(shù)（簡(jiǎn)記BMI）：體重（單位：kg）除以身高（單位：m）的平方，規(guī)定BMI在18.5至25為正常，大于25為超重，超過(guò)30則為肥胖.據(jù)悉我國(guó)有關(guān)機(jī)構(gòu)針對(duì)東方人的特點(diǎn)，擬將上述規(guī)定中的25改為24，30改為29.無(wú)論從健康的角度，是從審美的角度，人們?cè)絹?lái)越重視減肥，大量的減肥機(jī)構(gòu)和商品出現(xiàn)，不少自感肥胖的人加入了減

4、肥的行列，盲目的減肥，使得人們感到不理想，如何對(duì)待減肥問(wèn)題，不妨通過(guò)組建模型，從數(shù)學(xué)的角度，對(duì)有關(guān)的規(guī)律作一些探討和分析.根據(jù)背景知識(shí)，我們知道任何人通過(guò)飲食攝取的能量不能低于用于維持人體正常生理功能所需要的能量，因此作為人體體重極限值的減肥效果指標(biāo)一定存在一個(gè)下限，當(dāng)時(shí)表明能量的攝入過(guò)低并致使維持他本人正常的生理功能的所需不足，這種減肥所得到的結(jié)果不能認(rèn)為是有效的，它將危機(jī)人的身體健康，是危險(xiǎn)的，稱為減肥的臨界指標(biāo).另外，人們認(rèn)為減肥所采取的各種體力運(yùn)動(dòng)對(duì)能量的消耗也有一個(gè)所能承受的范圍，記為，當(dāng)能量的攝取量高于體重時(shí)，這是體重不會(huì)從減少，所以可以看到單一的措施達(dá)不到減肥效果.1.2 具體的

5、問(wèn)題和相關(guān)數(shù)據(jù)現(xiàn)有五個(gè)人，身高、體重和BMI指數(shù)分別如下表1.1所示，體重長(zhǎng)期不變，試為他們按照以下方式制定減肥計(jì)劃，使其體重減至自己的理想目標(biāo)，并維持下去： 表1.1 身高，體重和BMI指數(shù)表人數(shù)編號(hào)12345身高1.71.681.641.721.71體重100112113114124BMI34.633.535.234.835.6理想目標(biāo)7580808590每天攝入能量28572543273426892776題目具體要求如下：（1）在基本不運(yùn)動(dòng)的情況下安排計(jì)劃，每天吸收的熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)；（2）若是加快進(jìn)程，增加運(yùn)動(dòng)，重新安排計(jì)劃，經(jīng)過(guò)查找資料得到以下各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)每小時(shí)每kg體重的消耗

6、的熱量如下表1.2所示：表1.2 每小時(shí)每kg體重的熱量消耗運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車（中速）游泳（50m/min）熱量消耗7.03.04.42.57.9（3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案.2 模型假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明2.1 問(wèn)題分析本問(wèn)題要建立減肥的數(shù)學(xué)模型，減肥是一個(gè)比較長(zhǎng)期和不定的過(guò)程，因此要用數(shù)學(xué)的方法對(duì)減肥這一問(wèn)題建模，就需要選定一個(gè)測(cè)量肥胖的標(biāo)準(zhǔn)量. 因?yàn)槿梭w的脂肪是能量的主要貯存和提供的方式，而且也是減肥的主要目標(biāo). 因此，我們以人體脂肪的重量作為體重的標(biāo)志. 已知脂肪的能量轉(zhuǎn)換率為100，每千克脂肪可以轉(zhuǎn)換為8000kcal，稱為脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù).肥胖主要是體現(xiàn)在人的身體上，減肥其實(shí)就

7、是將人的體重降下來(lái)，所以歸根到底，研究減肥就是要研究體重的變化，因此在減肥過(guò)程中我們要對(duì)人的體重進(jìn)行持續(xù)的檢測(cè)，忽略個(gè)體間的差異（年齡、性別、健康狀況等）對(duì)減肥的影響，可以將人體的體重看成是時(shí)間的函數(shù).在減肥的過(guò)程中，無(wú)論是由于進(jìn)食攝取能量導(dǎo)致體重的增加，還是由于體力活動(dòng)消耗能量致使體重的減少，異或還有其他一些不可預(yù)知的因素，這都是一個(gè)漸變的過(guò)程,所以認(rèn)定是連續(xù)光滑的.所以我們認(rèn)為能量的攝取和消耗都是隨時(shí)發(fā)生的，而不同的活動(dòng)對(duì)能量的消耗是不同的. 所以我們?cè)诮５倪^(guò)程中需要設(shè)定一個(gè)參數(shù)用來(lái)表示某種活動(dòng)消耗的人體能量. 記為某一種活動(dòng)每小時(shí)所消耗的能量，記為1kg體重每小時(shí)所消耗的能量.2.2

8、模型假設(shè)1 假設(shè)以人體脂肪的重量作為體重的標(biāo)志.2 假設(shè)體重隨時(shí)間的變化是連續(xù)而且充分光滑的.3 假設(shè)在單位時(shí)間人體的能量消耗與其體重成正比.4 假設(shè)人體每天攝入的能量是一定的.記為.5 正常代謝引起的減少正比于體重，每人每千克體重消耗熱量一般為 28.7545.71kcal，且因人而異.6 假設(shè)在研究減肥的過(guò)程中，我們忽略個(gè)體間的差異對(duì)減肥的影響.7 人體每天攝入量是一定的，為了安全和健康，每天吸收熱量不要小于1429kcal.8 假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)人體由于基礎(chǔ)代謝和食物特殊動(dòng)力作用所消耗的能量正比于人 的體重.2.3 符號(hào)說(shuō)明： 脂肪的能量轉(zhuǎn)化系數(shù).：人體的體重關(guān)于時(shí)間的的函數(shù).： 每千克體重

9、每小時(shí)運(yùn)動(dòng)所消耗的能量.： 每千克體重每小時(shí)所消耗的能量.： 每天攝入的能量.： 五個(gè)人理想的體重目標(biāo)向量.： 五個(gè)人每天分別攝入的能量.： 五個(gè)人減肥前的體重.： 每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗.3 模型建立與求解3.1 一般模型建立如果以1天為時(shí)間的計(jì)量單位，于是每天基礎(chǔ)代謝的能量消耗量應(yīng)，由于人的某種運(yùn)動(dòng)一般不會(huì)是全天候的，不妨假設(shè)每天運(yùn)動(dòng)小時(shí)，則每天由于運(yùn)動(dòng)所消耗的能量應(yīng)為. 按照假設(shè)2， 體重隨時(shí)間的變化是連續(xù)而且充分光滑的，我們可以在任何一個(gè)時(shí)間段內(nèi)考慮由于能量的攝入與消耗引起人的體重的變化.按照能量的平衡原理，任何時(shí)間段內(nèi)由于體重的改變所引起的人體內(nèi)能量的變化應(yīng)該等于這段時(shí)

10、間內(nèi)攝入的能量與消耗的能量之差. 我們選取某一段時(shí)間，在時(shí)間段內(nèi)考慮能量的改變:設(shè)體重改變的能量變化為,則有 （3.1）設(shè)攝入與消耗的能量之差為，則有 （3.2）根據(jù)能量平衡原理有 （3.3）得： （3.4）取，可得 （3.5）其中，（模型開(kāi)始考察時(shí)刻），即減肥問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型模型求解得 （3.6） 表示由于能量的攝入而增加的體重，而表示由于能量的消耗而失掉的百分?jǐn)?shù)（每單位體重中由于基礎(chǔ)代謝和活動(dòng)而消耗掉的那部分）.3.2 針對(duì)實(shí)際問(wèn)題的模型建立1. 由一般模型的建立已經(jīng)知道減肥問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為微分方程模型（3.6），利用此方法可求解出每個(gè)人要達(dá)到自己的理想體重的天數(shù).首先確定此人每天每千克體重

11、基礎(chǔ)代謝的能量消耗，因?yàn)闆](méi)有運(yùn)動(dòng)，所以有，根據(jù)式（3.6）式，得 （3.7）從而得到每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗從假設(shè)5可知，這些人普遍屬于代謝消耗相當(dāng)弱的人，加上吃得比較多，有沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，所以會(huì)長(zhǎng)胖，進(jìn)一步，由 (五人的理想體重)，（五人減肥前的體重），D=8000kcal/kg（脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù)），根據(jù)式（3.6）式有 （3.8）將（五個(gè)人每天分別攝入的能量）的值代入上式時(shí)，就會(huì)得出五個(gè)人要達(dá)到自己的理想體重時(shí)的天數(shù)，如下表3.1所示表3.1 達(dá)到理想體重所需天數(shù)表人12345天數(shù)194372313266298Matlab源程序：R = 0;D = 8000; %能量轉(zhuǎn)換系數(shù)W1

12、= 75 80 80 85 90 ; %理想的體重目標(biāo)A = 2857 2543 2734 2689 2776 ; %每人每天攝入的能量W = 100 112 113 114 124 ; %每人的體重n = length( W );B = A./W %每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗a = A./D d = (B + R)./D for i = 1:n t(i) = -(D/B(i)*log(W1(i)*B(i)-A0)/(W(i)*B(i)-A0); %減肥所需要的時(shí)間end2. 為加快進(jìn)程，增加運(yùn)動(dòng)，結(jié)合查找資料得到各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)每小時(shí)每kg體重消耗的熱量表2，再結(jié)合假設(shè)3，取，根據(jù)式（4.

13、6）有 （3.9）將（五個(gè)人每天分別攝入的能量）的值代入上式時(shí)，取不同的，得到一組數(shù)據(jù)，在運(yùn)動(dòng)的情況下，我們選取的是一個(gè)小時(shí)，得到了每個(gè)人在不同運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度下，要達(dá)到自己的理想目標(biāo)所需的天數(shù)，如下表3.2所示：表3.2 不同運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度下達(dá)到理想體重所需天數(shù)運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車游泳時(shí)間/天122155141160116187261229274176173232207243164148198177206140163220196230154Matlab源程序：h = 1;r = 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ;R = h.*r;n1 = length(R);D = 8000; %能量轉(zhuǎn)換系數(shù)W

14、1 = 75 80 80 85 90 ; %理想的體重目標(biāo)A = 2857 2543 2734 2689 2776 ; %每人每天攝入的能量W = 100 112 113 114 124 ; %每人的體重n = length(W);B = A./W; %每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗for j = 1:n1 for i = 1:nt = (i,j) = -(D./(B(i) + R(j) * log(W1(i). * (B(i)+R(j) - A0)./(W(i).* (B(i) + R(j) - A0); %減肥所需要的時(shí)間 endend 3. 要使體重穩(wěn)定在一個(gè)定值，則有 （3.10

15、）根據(jù)自己的不同理想目標(biāo)和（每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗），在不同小時(shí)下的能量消耗表：（1）在的情況下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量，如下表3.3表3.3 的情況下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車游泳消耗能量(kcal)2667.002367.8002472.8002330.2002735.3002376.4002056.4002168.4002016.4002448.4002495.6002175.6002287.6002135.6002567.6002600.0002260.0002379.0002217.5002676.5002644.8002284.8002410.8002239.80

16、02725.800（2）在的情況下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量，如下表3.4表3.4 的情況下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車游泳消耗能量(kcal)3198.002592.8002802.8002517.7003327.8002936.4002296.4002520.4002216.4003080.4003055.6002415.6002639.6002335.6003199.6003195.0002515.0002753.0002430.0003348.0003274.8002554.8002806.8002464.8003436.800Matlab源程序：h = 1 2;r = 7.0 3.0

17、 4.4 2.5 7.9 ;R = h*r;D = 8000; %能量轉(zhuǎn)換系數(shù)W1 = 75 80 80 85 90 ; %理想的體重目標(biāo)A = 2857 2543 2734 2689 2776 ; %每人每天攝入的能量W = 100 112 113 114 124 ; %每人的體重n1 = length(W);B = A./W; %每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗for j = 1:n for I = 1:n1 A1(i,j) = W1(i).*(B(i)+R(1,j); %在h=1的時(shí)間下運(yùn)動(dòng)所消耗的能量 A2(i,j) = W1(i).*(B(i)+R(2,j); %在h=2的時(shí)間下

18、運(yùn)動(dòng)所消耗的能量 endend4 模型的分析與討論4.1 針對(duì)一般減肥模型在式（3.6）中假設(shè)，即假設(shè)停止進(jìn)食，無(wú)任何能量攝入，于是有 （4.1） 這表明在時(shí)刻保存的體重占初始體重的百分率由給出，特別當(dāng)時(shí)，給出了單位時(shí)間內(nèi)體重的消耗率，它表明在時(shí)間內(nèi)體重的消耗率，它表明在內(nèi)體重減少的百分率，可見(jiàn)這種情況下體重的變化完全是體內(nèi)脂肪的消耗而產(chǎn)生的，如此繼續(xù)下去，由，即體重（脂肪）將消耗殆盡，可知不進(jìn)食的節(jié)食減肥方法是危險(xiǎn)的.是模型中的一個(gè)重要的參數(shù)，由于表示由于能量的攝入而增加的體重，而表示由于能量的消耗而失掉的體重,于是就表示攝取能量而獲得的補(bǔ)充量,綜合以上的分析可知, 時(shí)刻的體重由兩部分構(gòu)成,

19、 一部分是初始體重中由于能量消耗而被保存下來(lái)的部分. 另一部分是攝取能量而獲得的補(bǔ)充部分,這一解釋從直觀上理解也是合理的.由式（3.5）即,體重從遞減, 這是減肥產(chǎn)生效果,另外由式（3.6）可以看到時(shí),也就是說(shuō)式（3.5）的解漸進(jìn)穩(wěn)定于,它給出了減肥過(guò)程的最終結(jié)果,因此不妨稱為減肥效果指標(biāo),由，因?yàn)槭腔A(chǔ)代謝的能量消耗，它不能作為減肥的措施隨著每個(gè)人的意愿進(jìn)行改變，對(duì)于每個(gè)人可以認(rèn)為它是一個(gè)常數(shù)，于是就有如下結(jié)論：減肥的效果主要是由兩個(gè)因素控制的，包括由于進(jìn)食而攝入的能量以及由于運(yùn)動(dòng)消耗的能量，從而減肥的兩個(gè)重要措施就是控制飲食和增加運(yùn)動(dòng)量，這恰是人們對(duì)減肥的認(rèn)識(shí).人體體重的變化時(shí)有規(guī)律可循的

20、，減肥也應(yīng)科學(xué)化，定量化，這個(gè)模型雖然只是揭示了飲食和鍛煉這兩個(gè)主要因素與減肥的關(guān)系，但它們對(duì)人們走出盲區(qū)減肥的誤區(qū)，從事減肥活動(dòng)有一定的參考價(jià)值.4.2 針對(duì)具體問(wèn)題從上幾個(gè)表可知，普遍觀察得出結(jié)論，游泳是減肥的最佳方法，無(wú)論是在長(zhǎng)時(shí)間還是短時(shí)間內(nèi)，從結(jié)果來(lái)看，游泳消耗的能量是最多的，也是達(dá)到快速減肥的最佳方法，也可從下圖可知，圖4.1表示每個(gè)人的能量消耗圖，都是離散的，并且都是遞增的，表明了游泳時(shí)能量消耗最快的，選此方法減肥是最合理有效的.Matlab源程序：x = 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ;y = 2667.002367.8002472.8002330.2002735.3002376.4002056.4002168.4002016.4002448.4002495.6002