數(shù)學(xué)平行四邊形的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題及詳細(xì)答案

1、一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1.如圖1,正方形ABCD的一邊AB在直尺一邊所在直線MN上，點(diǎn)0是對(duì)角線AC、BD 的交點(diǎn)，過點(diǎn)。作OE_LMN于點(diǎn)E.（1）如圖1,線段AB與0E之間的數(shù)量關(guān)系為.（請(qǐng)直接填結(jié)論）（2）保證點(diǎn)A始終在直線MN上，正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)0 （0<0<90°）,過點(diǎn)B作 BFJLMN 于點(diǎn) F.如圖2,當(dāng)點(diǎn)0、B兩點(diǎn)均在直線MN右側(cè)時(shí)，試猜想線段AF、BF與0E之間存在怎樣 的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.如I冬13,當(dāng)點(diǎn)0、B兩點(diǎn)分別在直線MN兩側(cè)時(shí)，此時(shí)中結(jié)論是否依然成立呢？若成 立，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)寫出變化后的結(jié)

2、論并證明.當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖4的位置時(shí)，線段AF、BF與0E之間的數(shù)量關(guān)系 為.（請(qǐng)直接填結(jié)論）【答案】（1）AB=20E； （2）AF+BF=20E,證明見解析;AF-BF=20E證明見解析;BF -AF=20E,【解析】試題分析：（1）利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)B作BH_L0E于H,可得四邊形BHEF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得 EF=BH, BF=HE,根據(jù)正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分可得0A=0B, Z AOB=90°,再根 據(jù)同角的余角相等求出NA0E=N0BH,然后利用“角角邊證明 A0E和aOBH全等，根據(jù) 全等三

3、角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OH=AE, OE=BH,再根據(jù)AF-EF=AE,整理即可得證：過點(diǎn)B作BHJ_OE交0E的延長(zhǎng)線于H,可得四邊形BHEF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等 可得EF=BH, BF=HE,根據(jù)正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分可得OA=OB, Z AOB=90 再根據(jù)同角的余角相等求出N AOE=Z OBH,然后利用“角角邊”證明 AOE和 OBH全等， 根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OH=AE, OE=BH,再根據(jù)AF-EF=AE,整理即可得證： 同的方法可證.試題解析：（1）;AC, BD是正方形的對(duì)角線，/. OA=OC=OB, Z BAD=Z ABC=90°,/ OE&

4、#177;AB.1，OE=-AB,2, AB=20E,(2) ©AF+BF=20E證明：如圖2,過點(diǎn)B作BHJ_OE于點(diǎn)H, Z BHE=Z BHO=90°OEJLMN, BF±MNZ BFE=Z OEF=90°四邊形EFBH為矩形/. BF=EH, EF=BH四邊形ABCD為正方形/. OA=OB, Z AOB=90°/. Z AOE+Z HOB=Z OBH+Z HOB=90°Z AOE=Z OBH/. AEO合 OHB( AAS)/. AE=OH, OE=BH/. AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE

5、.AF - BF=2OE證明：如圖3,延長(zhǎng)OE,過點(diǎn)B作BHLOE于點(diǎn)HOE±MN> BF±MN/. Z AEO=Z HEF=Z BFE=90°四邊形HBFE為矩形/. BF=HE, EF=BHv四邊形ABCD是正方形/. OA=OB, Z AOB=90°/. Z AOE+Z BOH=Z OBH+Z BOH/. Z AOE=Z OBHa AOE合 OBH (AAS)AE=OH, OE=BH,AF BF=AE+EF - HE=OH - HE+OE=OE+OE=2OEBF - AF=2OE,如圖4,作OGJLBF于G,則四邊形EFGO是矩形, EF=G

6、O, GF=EO, Z GOE=90%Z AOE+Z AOG=90°.在正方形 ABCD 中,OA=OB, Z AOB=90%Z AOG+Z BOG=90°,Z AOE=Z BOG.OGJLBF, OEJLAE,/. Z AEON BGO=90°.a AOE合 BOG (AAS),/. OE=OG, AE=BG.AEEF=AF, EF=OG=OE> AE二BG=AF+EF=OE+AF,BF - AF=BG+GF - (AE - EF) =AE+OE - AE+EF=OE+OE=2OE./. BF - AF=2OE.2.如果兩個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)相等，夾角互補(bǔ)

7、，那么這兩個(gè)三角形叫做互補(bǔ)三角形，如 圖2,分別以AABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和ACGF,則圖中的兩個(gè)三角形 就是互補(bǔ)三角形.(1)用尺規(guī)將圖1中的 ABC分割成兩個(gè)互補(bǔ)三角形；（2）證明圖2中的 ABC分割成兩個(gè)互補(bǔ)三角形：（3）如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上再以BC為邊向外作正方形BCHI.已知三個(gè)正方形面積分別是17、13、10,在如圖4的網(wǎng)格中（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的 邊長(zhǎng)為1）畫出邊長(zhǎng)為V17、欠、口11的三角形，并計(jì)算圖3中六邊形DEFGHI的而積.若 ABC的而積為2,求以EF、DL HG的長(zhǎng)為邊的三角形面積.（圖L）【答案】（1）作圖見解析（2）證明見解析（3）62：6

8、【解析】試題分析：（1）作BC邊上的中線AD即可.（2）根據(jù)互補(bǔ)三角形的定義證明即可.（3）畫出圖形后，利用割補(bǔ)法求而積即可.平移ACHG到AMF,連接EM, IM,則AM=CH=BK只要證明Sa efm=3Sa abc即可.試題解析：（1）如圖1中，作BC邊上的中線AD, ABD和 ADC是互補(bǔ)三角形.（2）如圖2中，延長(zhǎng)FA到點(diǎn)H,使得AH二AF,連接EH.02）四邊形ABDE,四邊形ACGF是正方形,AB=AE, AF=AC, Z BAE=Z CAF=90°,Z EAF+Z BAC=180°,AEF和a ABC是兩個(gè)互補(bǔ)三角形.Z EAH+Z HAB=Z BAC+Z

9、HAB=90°,/. Z EAH=Z BAC,t AF=AC,/. AH=AB,在 AEH和 ABC中, AE= AB乙 EAR = Z.BACAH = AC：. AEH2 ABC,Sa aef=Sa aeh二Sa abc-(3)邊長(zhǎng)沏產(chǎn)人小、«口的三角形如圖4所示.（圖4）: Saabc=3x4 - 2 - 1.5 - 3=5.5,S 木邊形=17+13+10+4x5.5=62.如圖 3 中，平移 CHG 至lj AMF,連接 EM, IM,則 AM=CH=BI,設(shè)N ABC=x,（圖3）AM II CH, CHJLBC,J AM_LBC,/. Z EAM=90°

10、;+90° - x=180° - x,/ Z DBI=360° - 90° - 90° - x=180° - x,/. Z EAM=Z DBb / AE=BD, AEM合 & DBI,丁在 DBI 和 ABC 中,DB=AB, BI=BC, Z DBI+Z ABC=180% DBI和 ABC是互補(bǔ)三角形，Sa aem=Sa aef=Sa afm=2 >Sa efm=3Sa abc=6.考點(diǎn)：1、作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，2、三角形面積3.在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AO8c是矩形，點(diǎn)O (0, 0),點(diǎn)4 (5, 0),點(diǎn)8 (0

11、.3).以點(diǎn)4為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形4O8C,得到矩形4DEF,點(diǎn)O, B. C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別 為 D, E, F.（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)。落在8c邊上時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)：（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)D落在線段8E上時(shí)，AD與BC交于點(diǎn)H.求證 ADB 口 AOB-求點(diǎn)”的坐標(biāo).（3）記K為矩形408C對(duì)角線的交點(diǎn)，S為aKDE的面積，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)圖圖17【答案】 D （1, 3） ； （2）詳見解析：H（ , 3） ； （3）30-3后<$<30 + 3后4 4,【解析】【分析】（1）如圖，在心 ACD中求出CD即可解決問題：（2）根據(jù)HL證明即可：，設(shè) AH=BH=m,貝lj HC=B

12、C-BH=5-m,在 RSAHC 中，AH2=HC2+AC2,構(gòu)建方程求出 m即可解決問題：（3）如圖中，當(dāng)點(diǎn)D在線段BK上時(shí)，ADEK的面積最小，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上 時(shí)，ADEK的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題：【詳解】圖丁 A (5, 0) , B (0, 3),/. OA=S, OB=3,四邊形AO8c是矩形，：.AC=OB=3, OA=BC=5, Z OBC=Z C=90°,V矩形ADEF是由矩形4O8C旋轉(zhuǎn)得到， ：.AD=AO=5,在 Rth ADC 中，CD= AD? - AC2 =4,/. BD=BCCD=1,：.D (1, 3).圖由四邊形AD

13、EF是矩形，得到NADE=90。，.,點(diǎn)D在線段8E上， N AD8=90°,由(1)可知，AD=AO,又 48=48, N 408=90。，/. RfA ADB RtA AOB (HL).如圖中，由 4。的 408,得到N84D=N840,又在矩形AO8c中,OAW BC,：.Z CBA=A OAB, /. Z BAD=A CBA.BH=AH,AH=BH=m,貝lj HC=8C-8H=5-m,在 RS AHC 中，: AH2=HC2AC29m2=32+ (5-n?) 2,17 m=,17BH= 9 5(3)如圖中，當(dāng)點(diǎn)。在線段8K上時(shí)，AOEK的面積最小，最小值=1DEDK=；x3

14、x當(dāng)點(diǎn)。在84的延長(zhǎng)線上時(shí)，aOEK的而積最大，最大面積=1xOFxKO=Lx3x22后30 + 3后(+).24綜上所述，30-3后=3。+ 3后44【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等 知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決 問題.4.如圖1,在 ABC中，AB = AC, AD_LBC于D,分別延長(zhǎng)AC至E, BC至F,且CE = EF, 延長(zhǎng)FE交AD的延長(zhǎng)線于G.(1)求證:AE = EG：(2)如圖2,分別連接BG, BE,若BG = BF,求證：BE = EG：(3)如圖3,取GF的中點(diǎn)M,

15、若AB = 5,求EM的長(zhǎng).2【解析】【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得：ZCAD=ZG,可得AE = EG：(2)作輔助線，證明 BEa a GEC (SAS),可得結(jié)論：（3）如圖3,作輔助線，構(gòu)建平行線，證明四邊形DMEN是平行四邊形，得EM = DN =?AC,計(jì)算可得結(jié)論.2【詳解】證明：（1）如圖1,過E作EHJ_CF于H,圖17 AD_LBC,/. EH II AD, , N CEH = N CAD, N HEF = N G, / CE = EF, . Z CEH = Z HEF,Z CAD=Z G, , AE = EG；（2）如圖2,連接GC,圖2AC

16、=BC, ADJLBC, , BD=CD,AG是BC的垂直平分線, . GC=GB, , Z GBF = Z BCG,BG = BF, . GC=BE, / CE = EF, . Z CEF = 180° - 2Z F,BG = BF,/. ZGBF = 180°-2Z F, Z GBF = Z CEF,Z CEF = Z BCG,Z BCE = Z CEF+Z F, Z BCE=Z BCG+Z GCE,/. Z GCE = Z F,在 BEF和 GCE中，CE = EF/< ZGCE = ZF,CG = BF BEF2 GEC （SAS）,/. BE = EG；（3

17、）如圖3,連接DM,取AC的中點(diǎn)N,連接DN,圖3由（1）得 AE = EG,/. Z GAE = N AGE,在R3ACD中，N為AC的中點(diǎn)，1 , DN=-AC=AN, Z DAN = Z ADN, 2/. Z ADN = Z AGE, , DNII GF,在RtA GDF中，M是FG的中點(diǎn)，1，DM= - FG = GM. Z GDM = Z AGE, 2/. Z GDM = Z DAN,/. DM II AE,/.四邊形DMEN是平行四邊形，1/. EM = DN=-AC,2AC=AB = 5,【點(diǎn)睛】 本題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性 質(zhì)

18、，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助 線，并熟練掌握全等三角形的判定方法，特別是第三間，輔助線的作法是關(guān)鍵.5.如圖所示，矩形ABCD中，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，使CE=AC,連接AE,點(diǎn)F是AE的 中點(diǎn)，連接BF、DF,求證：BF±DF.【答案】見解析.【解析】【分析】延長(zhǎng)8F,交04的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連接8D,進(jìn)而求證 AFA色 EFB,得FB=FM,即可求得8c+8E=/W+AM,進(jìn)而求得8D=8M,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即 可求證8F_LD£【詳解】延長(zhǎng)8F,交。4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連接8D.四邊形 ABCD 是矩形，. MDW

19、 8C,，Z AMF=A EBF, Z E=N MAF,又 FA=FE,：. AFM EFB, ：. AM=BE, FB=FM.矩形 A8C。中,/. AC=BD9 AD=BC9 ：. BCBE=AD-AM,即 CE=MD. CE二AC, ：. AC=CE= BD =DM., FB;FM, ：. BF±DF.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的 性質(zhì)，本題中求證。8=DM是解題的關(guān)鍵.6.如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，EF±EC且EF=EC.(1)求證： AEF合 DCE.(2)若DE=4cm,

20、矩形ABCD的周長(zhǎng)為32cm,求AE的長(zhǎng).【答案】（1）證明見解析：（2） 6cm.【解析】分析：（1）根據(jù)EFLCE,求證N AEF=Z ECD.再利用AAS即可求證 AEFW DCE.（2）利用全等三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊相等，再根據(jù)矩形ABCD的周長(zhǎng)為32cm,即可求得AE的長(zhǎng).詳解：（1）證明：EF_LCE,. Z FEC=90。，/. Z AEF+Z DEC=90°,而N ECD+Z DEC=90°,Z AEF=Z ECD.在 R3 AEF 和 DEC 中，Z FAE=Z EDC=90 Z AEF=Z ECD, EF=EC. AEF合 Q DCE.（2）解：: AEF

21、合 DCE.AE=CD.AD=AE+4.矩形ABCD的周長(zhǎng)為32cm, 2 （AE+AE+4） =32.解得，AE=6 （cm）.答：AE的長(zhǎng)為6cm.點(diǎn)睛：此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌 握，難易程度適中，是一道很典型的題目.7.如圖，AB為。0的直徑，點(diǎn)E在00上，過點(diǎn)E的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,連接BE,過點(diǎn)。作BE的平行線，交。0于點(diǎn)F,交切線于點(diǎn)C,連接AC（1）求證：AC是00的切線：（2）連接EF,當(dāng)ND=。時(shí)，四邊形F0BE是菱形.【答案】（1）見解析：（2） 30.【解析】【分析】（1）由等角的轉(zhuǎn)換證明出AOCA會(huì)49CE,根據(jù)圓的

22、位置關(guān)系證得AC是。的切線.（2）根據(jù)四邊形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF,得證AO3E為等邊三角形，而得出 N3OE = 60。，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出答案.【詳解】（1）證明：:CD與。相切于點(diǎn)E,OE1CD,：.ZCEO = 90°,又OCBE,ZCOE = ZOEB，z obe=z coaOE=OB, . ZOEB = ZOBE, . ZCOE = ZCOA，X'." OC=OC, OA=OE, AOCAOCECSAS）.ZC4O = ZCEO = 90°,又；AB為OO的直徑，AC為00的切線：（2）解：四邊形FOBE是菱形，/.

23、OF=OB=BF=EF,OE=OB=BE,/.為等邊三角形，ZBOE = 60°,而。七_(dá)LCD，ND = 30。.故答案為30.【點(diǎn)睛】本題主要考查與圓有關(guān)的位置關(guān)系和圓中的計(jì)算問題，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是本題的解題關(guān) 鍵.8.如圖，點(diǎn)E是正方形48CD的邊A8上一點(diǎn)，連結(jié)CE,過頂點(diǎn)C作CF_LCE,交4）延長(zhǎng)【答案】證明見解析.【解析】分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，證出BC=CD, Z B=Z CDF, Z BCD=90°,再由垂直的性質(zhì)得到Z BCE=Z DCF,然后根據(jù)"ASA”證明 BCE合 BCE即可得到BE=DF詳解：證明：.,CF_LCE,/. Z ECF

24、=90",又；Z BCG=90%Z BCE+Z ECD =Z DCF+Z ECD . Z BCE=Z DCF,在 BCE與 DCF中， / Z BCE=Z DCF, BC=CD, Z CDF=Z EBC, . BCE合 BCE （ASA）, . BE=DF.點(diǎn)暗：本題考查的是正方形的性質(zhì)，熟知正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答 此題的關(guān)鍵.9.如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD,點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn) A、點(diǎn)D重合），將正方形紙片折卷，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H,（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，求證：4PDH的周長(zhǎng)是定值：（3）當(dāng)BE+CF

25、的長(zhǎng)取最小值時(shí)，求AP的長(zhǎng).【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析.（3） 2.【解析】試題分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出N PBC=Z BPH,進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出Z APB=Z PBC即可得出答案：（2）首先證明aAB匿a QBP,進(jìn)而得出4 BCH2 BQH.即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）過F作FMJ_AB,垂足為M,貝lj FM二BC二AB,證明 EFM合4 BPA,設(shè)AP=x,利用折 疊的性質(zhì)和勾股定理的知識(shí)用X表示出BE和CF,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.試題解析：（1）解：如圖1, PE=BE, , Z EBP=Z EPB.文

26、:Z EPH=Z EBC=90S , Z EPH-Z EPB=Z EBC-Z EBP.即N PBC=Z BPH.又二 AD II BC,/. Z APB=Z PBC. , Z APB=Z BPH.(2)證明：如圖2,過B作BQ_LPH,垂足為Q.由(1)知N APB=Z BPH,又; Z A=Z BQP=90% BP二BP,在 ABP和 QBP中，N/PB =乙BPHzlA = zlBQP = c)OqBP = BP：. ABP合 QBP (AAS),：.AP=QP, AB=BQ,又；AB=BC, , BC=BQ.又N C=N BQH=90°, BH=BH,在aBCH和aBQH中，BC=BQ ZC=Z/?QH = 9O° BH = BH . a BCH合 BQH (SAS), CH=QH.:, & PHD 的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8. PDH的周長(zhǎng)是定值.(3)解：如圖3,過F作FM_LAB,垂足為M,則FM=BC=AB.EF±BP./. Z EFM+Z MEF=Z ABP+Z BEF=90°, Z EFM=Z ABP.又 Z A=Z EMF=90",在a EFM BPA 中，乙