九年級數(shù)學(xué)上冊 第4章 銳角三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)案 （新版）湘教版-（新版）湘教版初中九年級上冊數(shù)學(xué)學(xué)案

1、4.1正弦和余弦【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：1. 知道三角形內(nèi)角的對邊、鄰邊和斜邊的含義，記住正弦的定義.2. 會構(gòu)造直角三角形，求、的正弦函數(shù)值，并能用定義利用計算器求任意角的正弦值.3. 通過探索發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.【體驗學(xué)習(xí)】：一、新知探究閱讀教材第109113頁的內(nèi)容，自主探究，回答下列問題：1. 如圖，bcac，hgac，efac，當(dāng)在不同直角三角形中時，對邊與斜邊的比是否是一個固定值？2. 請寫出正弦的定義及其表示方法（1）正弦的定義：在直角三角形中，銳角的 的比叫做角的 正弦 ，記作 .即 =.（2）表示下列角的正弦：的正弦記作：_； 的正弦記作：_；角的正弦記

2、作：_； 記作的正弦的平方：_.3. 如圖，中，若.（一般的，、的對邊分別是、）則_；_（用含、的代數(shù)式表示）.4.思考：對于任意銳角，隨的增大而增大,還是隨的增大而減??？ 請求出，的值？5.學(xué)會用計算器計算非特殊角的正弦值.sin50°=_ sin75°=_二、基礎(chǔ)演練根據(jù)以上的探究，自主解決下列問題，并與小組成員交流分享你的學(xué)習(xí)成果：思考：對于任意銳角，都有.你認(rèn)為這種說法正確嗎？cba5131.如下兩圖，分別求出每圖的的值？ 2. 已知在中，求的值.3如圖，在中，若，求的長度？四、綜合提升先嘗試獨立解決，再與小組成員合作交流，解決下列問題：1. 如圖，在的正方形網(wǎng)格中

3、，（ ） . . . .不存在2. 如圖，中，若，求的值.【當(dāng)堂檢測】：1. 如圖，在中，若，則2. 如圖，點是的邊上一點，且點的坐標(biāo)為（2，3），則=_.第1題圖第2題圖a第3題bc3. 如圖，某河道要建造一座公路橋，要求橋面離地面高度ac為3米，引橋的坡角abc為，引橋面ab的長是_米（用表示）.【學(xué)后反思】：本節(jié)課你主要學(xué)習(xí)了哪些知識方法，還有哪些困惑？_【拓展鏈接】： 神奇的正弦函數(shù)圖像我們知道一次函數(shù)的圖像是一條直線，那么正弦函數(shù)（取任意角度）的圖像又是什么樣子呢？下面使用幾何畫板畫出的圖像.大家看看，是不是很像波浪??！在我們的實際生活中應(yīng)用也很廣泛.例如正弦波（物理中的某種頻率的信

4、號的波形是數(shù)學(xué)上的正弦曲線而得名），正弦波廣泛應(yīng)用于廣播、電視、通訊，工業(yè)自動控制，測量表計， 以及高頻加熱，超聲波探傷等等方面.還有物理中的正弦交流電：大小和方向隨時間作有規(guī)律變化的電壓和電流稱為交流電，又稱交變電流.【課后精練】：1. 如圖，則_；_.2. 三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示，則的值是 a b c d3. abc中，若c=90°，bc=2，則邊ac的長為_.4.1正弦和余弦（2）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：1. 類比正弦的定義得到余弦的定義，并能構(gòu)造直角三角形求、的余弦值.2. 會根據(jù)正弦、余弦定義得到它們的關(guān)系并能夠進(jìn)行簡單的計算.3. 通過分析與討論交流，提高觀察、比較、

5、分析和概括的能力.【體驗學(xué)習(xí)】：一、新知探究閱讀教材第113115頁的內(nèi)容，自主探究，回答下列問題：1. 如圖，bcac，hgac，efac，當(dāng)在不同直角三角形中時，鄰邊與斜邊的比是否也是一個固定值？思考：固定角a的正弦值，余弦值和直角三角形邊長的比與長度大小有關(guān)系嗎？2. 類比正弦，請你寫出余弦的定義及其表示方法？ 3. 一起找找正弦與余弦之間關(guān)系，在中： 你發(fā)現(xiàn)了什么？4.對于對于任意銳角的正弦和余弦，我們可以得到什么關(guān)系？(1) （2）你能說明對于任意銳角，一定有成立嗎？你能根據(jù)定義簡單證明嗎？4. 學(xué)會用計算器計算非特殊角的余弦值cos35°=_ cos47°=_二

6、、基礎(chǔ)演練根據(jù)以上的探究，自主解決下列問題，并與小組成員交流分享你的學(xué)習(xí)成果：1. 在小組內(nèi)探究特殊角的余弦值、正弦值（不使用計算器，可以用根號表示）. _ 思考：你能說出一個銳角的正弦和余弦值的取值范圍嗎？ ，的值與大小有什么樣關(guān)系？ _ 2. 已知中，求.3. 在中，則的長為( )a. b. c. d.4. 已知，若，則 5. 計算： 四、綜合提升先嘗試獨立解決，再與小組成員合作交流，解決下列問題：1. 在直角三角形中，各邊都擴(kuò)大到原來的倍，銳角的余弦值（ ）a.擴(kuò)大為原來的倍 b.不變c.縮小為原來的倍 d.擴(kuò)大為原來的倍abc2. 已知如圖，在中，的面積為.求的值. 【當(dāng)堂檢測】：1.

7、 2. 中，若，是銳角，則的形狀是（ ）a.銳角三角形 b.直角三角形 c.等腰三角形 d.等邊三角形3. 等腰中，試求底角的正弦和余弦值.【學(xué)后反思】：本節(jié)課你主要學(xué)習(xí)了哪些知識方法，還有哪些困惑？_【拓展鏈接】： 三角函數(shù)小知識三角函數(shù)中有許多符號，其中，是最重要的符號，但是在這些符號使用以前，人們都是用文字來進(jìn)行敘述的，這樣使用起來非常麻煩.在實際應(yīng)用中，人們漸漸地用符號來代替它們. 正弦的符號開始記為，這一詞是由阿拉伯人創(chuàng)造的，但是最早把它應(yīng)用于三角函數(shù)上面的是雷基身蒙坦，他是世紀(jì)西歐數(shù)學(xué)界的領(lǐng)導(dǎo)人物，在他年著的論各種三角形一書中，首先使用了“”這本書是專門講三角學(xué)脫離了天文學(xué)，成為一

8、門獨立的數(shù)學(xué)分支. 【課后精練】：1. 如圖，在的正方形網(wǎng)格中求，.2. 在中，下列各式中不一定成立的是（ ）a. b. c. d.abcd3. 如圖，等腰梯形中，上底，高為，底角的余弦值為，求下底. 4.2 正切【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：1. 理解并掌握正切的含義，了解計算一個銳角的正切值的方法.2. 能根據(jù)銳角三角函數(shù)定義以及特殊角三角函數(shù)值進(jìn)行簡單的計算.【體驗學(xué)習(xí)】：一、新知探究閱讀教材第117119頁的內(nèi)容，自主探究，回答下列問題：1. 通過閱讀教材117頁的“探究”，我們發(fā)現(xiàn)的對邊與鄰邊的比值也是一個常數(shù)，因此你能類比正弦和余弦的定義，給出一個銳角的正切定義嗎？思考：能用三角形三邊直接表示a，

9、b的正切值的條件是什么？2. 你能否結(jié)合圖形，用三角形的三邊表示a，b的正切值？3. 你能利用圖形求出，的值嗎？4. 完成下列表格 三角函數(shù)值 三角函數(shù) 30° 45° 60°5. 學(xué)會用計算器計算非特殊角的正切值.=_ =_三、基礎(chǔ)演練根據(jù)以上的探究，自主解決下列問題，并與小組成員交流分享你的學(xué)習(xí)成果：1. 計算： 2. 如圖，在的正方形網(wǎng)格中求 .3. 等腰中，試求底角的三個三角函數(shù)值.四、綜合提升先嘗試獨立解決，再與小組成員合作交流，解決下列問題：abc1. 如圖，一根旗桿在一次強(qiáng)臺風(fēng)中被吹斷，倒下部分與地面成角，觸地點到旗桿底部的距離，求這根旗桿折斷前的高

10、度.（答案保留根號）2. 如圖，在中，是邊上的中線，求的值. 【當(dāng)堂檢測】： acb1. 如圖，在中，求 的值為_.2. 計算：acb3. 如圖，在rtabc中，c90°，bc12，求ab的值.【學(xué)后反思】：本節(jié)課你主要學(xué)習(xí)了哪些知識方法，還有哪些困惑？_【拓展鏈接】：正弦、余弦、正切值的特殊關(guān)系1.正、余弦、正切值隨銳角大小的變化（即增減性）：正弦值隨銳角的增大而增大，余弦值隨銳角的增大而減小，正切值隨銳角的增大而增大.2同角的正弦，余弦，正切間的關(guān)系：（1）平方和的關(guān)系：（2）大小比較：當(dāng)時， 當(dāng)時，.（3）正切、余切與正弦、余弦間的關(guān)系： 【課后精練】： 1. 如圖，在rtab

11、c中，cd是斜邊ab上的中線，已知cd5，ac6，則tanb的值是（）a. b. c. d. 2. 如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每格小正方形的邊長都是1，若abc的三個頂點在圖中相應(yīng)的格點上，則tanacb的值為（）a. b. c. d. 3 3. 計算： 4. 某課外活動小組測量學(xué)校旗桿的高度，當(dāng)太陽光線與地面成35°角時，旗桿ab在地面上的投影bc的長為20米（如圖）求旗桿ab的高度（sin35°0.6，cos35°0.8，tan35°0. 7）4.3解直角三角形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 知道直角三角形中五個元素的關(guān)系，學(xué)會運用勾股定理、直角三角形

12、的兩銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形.2. 綜合運用解直角三角形逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.3. 滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.【體驗學(xué)習(xí)】：一、新知探究閱讀教材第121122頁的內(nèi)容，自主探究，結(jié)合右圖回答下列問題：1. 直角三角形兩銳角的關(guān)系是什么？請用式子表示.2. 直角三角形三邊的關(guān)系是什么？請用式子表示.3. 直角三角形邊與角的關(guān)系是什么？請用式子表示.4. 每一組條件，畫一個直角三角形，然后與小組成員所畫的直角三角形進(jìn)行交流比較.（1）一個銳角；（2）一個銳角，它的鄰邊長為；（3）一個銳角，它的對邊長為； （4）一個銳角，斜邊長為；（5）斜邊長為，一直

13、角邊長為.如果全等的直角三角形算一個，那么根據(jù)每一組條件，我們畫出了多少個直角三角形？從這些問題的結(jié)論你能猜想有什么規(guī)律？這個規(guī)律正確嗎？5. 如果知道的個元素都是角，那么能求出直角三角形的邊嗎？學(xué)法指導(dǎo)：在直角三角形中，除直角外的5個元素（3條邊和2個銳角），只要知道其中的2個元素（至少有一個是邊），利用上述關(guān)系式，就可以求出其余的3個未知元素，這叫作解直角三角形.6. 在中，解這個直角三角形.在這個問題中，除直角外，已知 和 ，要求出 和 .二、基礎(chǔ)演練根據(jù)以上的探究，自主解決下列問題，并與小組成員交流分享你的學(xué)習(xí)成果：1. 中，若，求、 、.思考：已知兩邊解直角三角形通常先求哪個元素？2

14、. 中，若，求、思考：已知一邊及一銳角解直角三角形通常先求哪個元素？三、綜合提升先嘗試獨立解決，再與小組成員合作交流，解決下列問題：abcd1.如圖，在中，是上一點，求的長. 2.如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點m(2,0)，與y軸的正半軸交于點n，且.求此一次函數(shù)的表達(dá)式. y n m x o 【當(dāng)堂檢測】：1. 如右圖是教學(xué)用直角三角板，邊ac30cm，c90°，tanbac，則邊bc 的長( ). a. 30cm b. 20cm c.10cm d. 5cm2. 在中，則 .3. rt中，解這個直角三角形.【學(xué)后反思】：本節(jié)課你主要學(xué)習(xí)了哪些知識方法，還有哪些困惑？_【

15、拓展鏈接】：大約1500年前，歐洲的數(shù)學(xué)家們是不知道用“0”的.他們使用羅馬數(shù)字.羅馬數(shù)字是用幾個表示數(shù)的符號，按照一定規(guī)則，把它們組合起來表示不同的數(shù)目.在這種數(shù)字的運用里，不需要“0”這個數(shù)字.而在當(dāng)時，羅馬帝國有一位學(xué)者從印度記數(shù)法里發(fā)現(xiàn)了“0”這個符號.他發(fā)現(xiàn)，有了“0”進(jìn)行數(shù)學(xué)運算方便極了，他非常高興，還把印度人使用“0”的方法向大家做了介紹.過了一段時間，這件事被當(dāng)時的羅馬教皇知道了.當(dāng)時是歐洲的中世紀(jì)，教會的勢力非常大，羅馬教皇的權(quán)利更是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過皇帝.教皇非常惱怒，他斥責(zé)說，神圣的數(shù)是上帝創(chuàng)造的，在上帝創(chuàng)造的數(shù)里沒有“0”這個怪物，如今誰要把它給引進(jìn)來，誰就是褻瀆上帝！于是，教皇

16、就下令，把這位學(xué)者抓了起來，并對他施加了酷刑，用夾子把他的十個手指頭緊緊夾注，使他兩手殘廢，讓他再也不能握筆寫字.就這樣，“0”被那個愚昧、殘忍的羅馬教皇明令禁止了.但是，雖然“0”被禁止使用然而羅馬的數(shù)學(xué)家們還是不管禁令，在數(shù)學(xué)的研究中仍然秘密地使用“0”，仍然用“0”做出了很多數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn).后來“0”終于在歐洲被廣泛使用，而羅馬數(shù)字卻逐漸被淘汰了.【課后精練】：1. 在中，則 ， ， .2. 等腰三角形的腰和底邊的比為，則底角為 ，頂角為 .3. 已知中，求的長.4.4解直角三角形的應(yīng)用（1）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 在實際情境中，知道仰角、俯角、方位角的意義.2. 學(xué)會運用仰角、俯角、方位角解決

17、一些簡單的實際問題.3. 學(xué)會根據(jù)實際問題構(gòu)建直角三角形的基本數(shù)學(xué)模型.【體驗學(xué)習(xí)】：一、新知探究生活中，我們將視線和水平線的夾角稱為視角，視角可分為仰角和俯角.其中視線在水平線上的角叫作仰角，視線在水平線下方的角叫作俯角（如下圖）. 你能說出下左圖中的仰角和俯角分別是哪個？ 視線視線水平線二、基礎(chǔ)演練根據(jù)以上的探究，自主解決下列問題，并與小組成員交流分享你的學(xué)習(xí)成果：1. 如圖，電線桿ab的中點c處有一標(biāo)志物，在地面d處測得標(biāo)志物的仰角為45°，若點d到電線桿底部點b的距離為，則電線桿ab的長可表示為（ ）a. b. c. d. dcba37°2. 如圖，為了測量建筑物的

18、高度，用測量儀器在離建筑物的底部處米的 處，測得處的仰角為，測量儀器的高度為米，求建筑物的高度（已知，）.學(xué)法指導(dǎo)：1.先根據(jù)題意從圖中找出已知條件和所要求的邊和角.2.把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.三、綜合提升先嘗試獨立解決，再與小組成員合作交流，解決下列問題：60º30ºabcd青青草原上，灰太狼每天都想著如何抓羊，而且是屢敗屢試，永不言棄.（如下圖所示）一天，灰太狼在自家城堡頂部處測得懶羊羊所在地處的俯角為，然后下到城堡的處，測得處的俯角為.已知米，若灰太狼以的速度從城堡底部處出發(fā)，幾秒鐘后能抓到懶羊羊？（結(jié)果精確到個位）【當(dāng)堂檢測】：acdb1. 如圖，河對岸有

19、一鐵塔，在處測得塔頂?shù)难鼋菫椋蜩F塔前進(jìn)米到達(dá) 處，在處測得的仰角為，求鐵塔的高.（結(jié)果保留個有效數(shù)字）（，）【學(xué)后反思】：本節(jié)課你主要學(xué)習(xí)了哪些知識方法，還有哪些困惑？_【拓展鏈接】：aebcd要在寬米的海堤公路邊安裝路燈，路燈的燈臂長為米，且與燈柱成的角，路燈利用圓錐形的燈罩的軸線與燈臂垂直，當(dāng)燈罩的軸線通過公路路面的中線時，照明效果最理想，問：應(yīng)設(shè)計多高的燈柱，才能取得最理想的照明效果？【課后精練】：1. 如圖，測量河寬ab（假設(shè)河的兩岸平行），在c點測得，在d點測得，又cd=60m，則河寬ab為_m.（結(jié)果保留根號）2. 如圖，abc中，ac5， 則abc的面積是（ ）a b12 c1

20、4 d213. 如圖，線段ab、cd分別表示甲、乙兩建筑物的高，abbc，dcbc，從b點測得d點的仰角為60°，從a點測得d點的仰角為30°，已知甲建筑物高ab=36米.（1）求乙建筑物的高dc；（2）求甲、乙兩建筑物之間的距離bc（結(jié)果精確到0.01米）.（參考數(shù)據(jù)：，） 4.4解直角三角形的應(yīng)用（2）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 知道坡角、坡度的有關(guān)概念，學(xué)會用坡角、坡度解決實際問題.2. 在實際情境中，知道方位角的意義.3. 進(jìn)一步掌握坡角、坡度、方位角在測量中的應(yīng)用，積累設(shè)計數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗.【體驗學(xué)習(xí)】：一、新知探究閱讀教材第127129頁的內(nèi)容，自主探究，結(jié)合教材回答下列問

21、題：學(xué)法指導(dǎo)：1.“坡度”的實質(zhì)是什么？2.實際問題中怎樣將坡度轉(zhuǎn)化成解直角三角形的條件呢？1. 如何用數(shù)量來反映哪個山坡陡呢?2. 如何求一個山坡的坡度呢?3. 坡度與坡角之間的關(guān)系是什么?abcdo東西北南30°60°45°80°nesw4. 在描述方位時，通常先確定一個方位中心，根據(jù)方位中心規(guī)定上北、下南、左西、右東四個方向，如上右圖所示，的方向角表示為北偏東，即.那么，你能將、 表示的方向角分別說出來嗎?二、基礎(chǔ)演練根據(jù)以上的探究，自主解決下列問題，并與小組成員交流分享你的學(xué)習(xí)成果：1. 山坡與水平面成的傾斜角，小王上坡走了米，則他上升了 米，坡

22、度是 .2. 某水庫大壩某段的橫斷面是等腰梯形，壩頂寬米，壩底寬米，斜坡的坡度，則此處大壩的坡角是 ，壩高是 米.3. 若某人沿坡度的斜坡前進(jìn)米，則此坡面的坡角是 ，則他所在的位置比原來的位置高 米.acbd北東60°4. 如圖，一艘輪船航行到處時，燈塔在船的北偏東的方向，輪船從處向正東方向航行后到達(dá)處，此時燈塔在船的正北方向.求此時處與燈塔的距離（結(jié)果保留根號）.三、綜合提升先嘗試獨立解決，再與小組成員合作交流，解決下列問題： 龐亮和李強(qiáng)相約周六去登山，龐亮從北坡山腳c處出發(fā)，以24米/分的速度攀登，同時，李強(qiáng)從南坡山腳b處出發(fā).如圖，已知小山北坡的坡度，山坡長為240米，南坡的坡

23、角是45°，問李強(qiáng)以什么速度攀登才能和龐亮同時到達(dá)山頂a?（將山路ab、ac看成線段，結(jié)果保留根號）.【當(dāng)堂檢測】：1. 山坡與地平面成的傾斜角，某人向上直走米，則他上升 米，坡度是 .2. 學(xué)校校園內(nèi)有一小山坡ab，經(jīng)測量，坡角 ，斜坡ab長尾12米，為方便學(xué)生行走，決定開挖小山坡，使斜坡bd的坡比是1:3（即為cd與bc的長度之比），a、d兩點處于同一鉛錘線上，求開挖后小山坡下降的高度ad. 3.如圖，城氣象臺測得臺風(fēng)中心在城的正西方千米處，以每小時千米的速度向北偏東的方向移動，距臺風(fēng)中心千米的范圍內(nèi)是受這次臺風(fēng)影響的區(qū)域.（1）問城是否會受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？（2）若城受到這次臺風(fēng)的影響，那么城遭受這次臺風(fēng)影響的時間有多長？ 60º fba【學(xué)后反思】：本節(jié)課你主要學(xué)習(xí)了哪些知識方法，還有哪些困惑？_【拓展鏈接】： 今年“五一”假期，我校1005班數(shù)學(xué)活動小組組織一次登山活動.他們從山腳下點出發(fā)沿斜坡到達(dá)點，再從點沿斜坡到達(dá)山頂點，路線如圖所示.斜坡的長為米，斜坡的長為米，在點測得點的俯角為.已知點海拔米，點海拔米，你能計算出