北京郵電大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院高等數(shù)學(xué)第七章極值與最值

1、 第七章 第八節(jié)第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題三、條件極值三、條件極值多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法xyz一、一、 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 定義定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值0;在點(diǎn) (0,0) 有極大值1;在點(diǎn) (0,0) 無極值.如圖極大值和極小值統(tǒng)稱為極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz221-zxyyxz ),(),(00yxyxfz在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有xyzxyz說明說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0

2、的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) . 例如,定理定理1 (必要條件) 函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)存在),(),(00yxyxfz在點(diǎn)因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 時(shí), 具有極值定理定理2 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1) 當(dāng)A0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)證明用二元函數(shù)的泰勒公式. 時(shí), 沒有極值.時(shí), 不能確定

3、, 需另行討論.若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC例例1.1. 求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn). .得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC

4、5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC例例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此,022時(shí)當(dāng) yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值

5、.正正負(fù)負(fù)033yxz222)(yxz在點(diǎn)(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題函數(shù) f 在有界閉域上連續(xù)函數(shù) f 在有界閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí), )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )依據(jù)例例3 3.解解: 設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水問當(dāng)

6、長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí), 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233例例4. 有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板 , 把它折起來做成解解: 設(shè)折起來的邊長(zhǎng)為 x cm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面cos24xcos22x0)sin(c

7、os222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 故此點(diǎn)即為所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x三、條件極值三、條件極值極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)

8、(,(xxfz,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè) 記.),(的極值求函數(shù)yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格極值點(diǎn)必滿足0 xxf0yyf0),(yx則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(yxyxfF推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形

9、. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如例如, 求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F例例5. 要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè) x , y , z 分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？的長(zhǎng)方體開口水箱, 試問 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz得唯一駐點(diǎn),2230

10、Vzyx3024V由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的 2 倍時(shí)，所用材料最省.因此 , 當(dāng)高為,340Vxyz思考思考:1) 當(dāng)水箱封閉時(shí), 長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對(duì)稱性可知,30Vzyx2) 當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí), 欲使造價(jià)最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長(zhǎng)、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長(zhǎng)、寬、高尺寸相等 .內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡(jiǎn)單問題用代入法,

11、),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對(duì)二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題在條件求駐點(diǎn) . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點(diǎn) C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x , y),思考與練習(xí)思考

12、與練習(xí) 21031013yxkji)103, 0,0(21yx221 (0,0)94xyxy則 ACABS2110321yx設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知, 點(diǎn) C 與 E 重合時(shí), 三角形面積最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx2,3.5,DESS點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停備用題備用題 1. 求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解解: 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對(duì)的圓心角為 x , y , z ,則,2zyxzyx它們所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形面積分別為,sin2211xRS ,si

13、n2212yRS zRSsin22130,0,0zyx設(shè)拉氏函數(shù))2(sinsinsinzyxzyxF解方程組0cosx, 得32zyx故圓內(nèi)接正三角形面積最大 , 最大面積為 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx為邊的面積最大的四邊形 ,試列出其目標(biāo)函數(shù)和約束條件 ?提示提示: sin21sin21dcbaS)0,0(目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) :cos2cos22222dcdcbaba約束條件約束條件 :dcba,abcd答案答案:,即四邊形內(nèi)接于圓時(shí)面積最大 .2. 求平面上以作業(yè)作業(yè) P57 思1，2，4，5, 6，7， 8, 11, 12補(bǔ)一、二元函數(shù)的泰勒公式

14、補(bǔ)一、二元函數(shù)的泰勒公式一元函數(shù))(xf的泰勒公式: 20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(10) 1(!) 1()(nnhnxxf) 10(推廣多元函數(shù)泰勒公式 記號(hào)記號(hào) (設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)): ),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm 一般地, 表示表示定理定理.),(),(00yxyxfz在點(diǎn)設(shè)的某一鄰域內(nèi)有直到 n + 1 階連續(xù)

15、偏導(dǎo)數(shù) ,),(00kyhx為此鄰域內(nèi)任 一點(diǎn), 則有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn) 10(nR其中 稱為f 在點(diǎn)(x0 , y0 )的 n 階泰勒公式階泰勒公式,稱為其拉格拉格朗日型余項(xiàng)朗日型余項(xiàng) .時(shí), 具有極值補(bǔ)二、極值充分條件的證明補(bǔ)二、極值充分條件的證明 的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1) 當(dāng)A 0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時(shí), 沒有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(00y

16、xyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC定理定理2 (充分條件)證證: 由二元函數(shù)的泰勒公式, 并注意0),(,0),(0000yxfyxfyx則有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy,),(),(00連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)由于yxyxf所以Akyhxfxx),(00Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(0022221kCkhBhA其中其中 , , 是當(dāng)h 0 , k 0

17、時(shí)的無窮小量 ,于是z),(21khQ)(22kh ,很小時(shí)因此當(dāng)kh.),(確定的正負(fù)號(hào)可由khQz(1) 當(dāng) ACB2 0 時(shí), 必有 A0 , 且 A 與C 同號(hào), )()2(),(222221kBACkBkhBAhAkhQA)()(2221kBACkBhAA可見 ,0),(,0khQA時(shí)當(dāng)從而z0 , 因此),(yxf;),(00有極小值在點(diǎn)yx)(2o22221kkhh,0),(,0khQA時(shí)當(dāng)從而 z0,在點(diǎn)因此),(yxf;),(00有極大值yx(2) 當(dāng) ACB2 0 時(shí), 若A , C不全為零, 無妨設(shè) A0, 則 )(),(221kkBhAkhQA)(2BAC ),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直線當(dāng)時(shí), 有,0kBhAAkhQ與故),(異號(hào);),(yx當(dāng),),(0000時(shí)接近沿直線yxyy,0k有AkhQ與故),(同號(hào).可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù), 在點(diǎn)因此),(yxf;),(00無極值yxxy),(00yxo+xy),(00yxo若 AC 0