三角形手拉手模型-專題講義(無答案)

1、羽立瑋型1、等邊三角形條件MOAB, PCD均為等邊三角形結(jié)論： OACOBD ； Z4£B = 60°； OE 平分 ZAED導(dǎo)角核心:八字導(dǎo)角2、等腰直角三角形ABAB條件： OAB , 4OCD均為等腰直角三角形結(jié)論： OACOBD : Z4Efi = 90° ; 0E 平分 ZAED 導(dǎo)角核心：3、任意等腰三角形條件:厶OAB, PCD均為等腰三角形，且ZAOB = ZC0D結(jié)論： AOAC竺； ZAEB = ZAOB : OE 平分 ZAED核心條件：OA = OB ； OC = OD ZAOB = /.COD例題講解:A類 1:在直線ABC的同一側(cè)作兩

2、個等邊三角形匕ABD和2BCE ,連接AE與C D,等邊三角形要得到明型結(jié)論?要聯(lián)想到什么模型？證明：(lMABEDBC;(2)AE=DC;A E與DC的夾角為60。；(4 ) MG DFB ；(5 )厶EG B 雯AC F B ；(6 ) BH 平分zAHC;解題思路：1:出現(xiàn)共頂點(diǎn)的等邊三角形，聯(lián)想手拉手模型2:利用邊角邊證明全等；3：八字導(dǎo)角得角相等：2：如圖兩個等腰直角三角形ADC與EDG,連接AG, CE,二者相交丁"H.Z等腰直角三角形要得到哪些結(jié)論?要聯(lián)想到什么模型?問(1MADG呼CDE是否成立?(2 )AG是否與CE相等？ (3 ) AG與CE之間的夾角為多少度?(

3、4 ) HD是否平分ZAHE?解題思路：1:出現(xiàn)共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，聯(lián)想手拉手模型2:利用邊角邊證明全等；3:八字導(dǎo)角得角相等：3 :如圖，分別以“ABC的邊AB、AC同時向外作等腰直角三角形，其中AB二AE ,AC= AD,zx等腰直角三角形要得到哪些結(jié)論?要聯(lián)想到什么模型?V.yZBAE =ZCAD=90°,點(diǎn)G為BC中點(diǎn)點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，點(diǎn)H為CD中點(diǎn)。探索G F與多個中點(diǎn)，一般考慮什么?GH的位置及數(shù)量關(guān)系并說明理由。BGC解題思路：1：有兩個共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,聯(lián)想手拉手全等，連接B D,CE, BADaeAC2:多個中點(diǎn),聯(lián)想中位線，得線段關(guān)系1：如圖1,已知ZDA

4、C二9 0°, “ABC是等邊三角形點(diǎn)P為射線AD任意一點(diǎn)(P與A不重合),出現(xiàn)等邊三角形，要想到哪些？ 連結(jié)CP,將線段CP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CQ,連結(jié)QB并延長交直線AD于點(diǎn)E.旋轉(zhuǎn)60° ,要做什么?(1) 如圖猜想ZQEP二'A圖1(2 )如圖2, 3 ,若當(dāng)ZDAC是銳角或鈍角時其它條件不變,猜根ZQEP的度數(shù)，選取一 種情況加以證明；圖2圖3(3)如圖 3 ,若ZDAC二 135。，ZACP二 15°,且AC=4,求 BQ 的長有刪的鈍角，需要做什么？J丿求線段長有哪些方法？J丿解題思路:1 :旋轉(zhuǎn)60°,出現(xiàn)等邊三角形2

5、:兩個共頂點(diǎn)的三角形,聯(lián)想手拉手全等3:求線段長度，利用勾股定理2：在 AABC 中，AB = BC = 2ZABC = 90°, BD為斜邊AC±的中線，將4W£>繞點(diǎn)D等腰直角三角形斜邊的中線可以得到什么?順時針旋轉(zhuǎn)6Z(0°<«<180°)得到AEFQ,其中點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,等腰直角三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn),是什么模型?BE與FC相交于點(diǎn)H.(1 )如圖1 ,直接寫出BE與F C的數(shù)量關(guān)系:_ (2) 如圖2、N分別為EF、BC的中點(diǎn)求證：MV=-CF ；出現(xiàn)中點(diǎn)要想到什么？(3) 連接B F,

6、CE,如圖3 ,直接寫出在此旋轉(zhuǎn)過程中，線段B F、CE與AC之間的數(shù)量關(guān) 系：.線段的關(guān)系都有哪些？解題思路: 1 :等腰直角三角形斜邊的中線把三角形分成兩個相同的等腰直角三角形2:等腰直角三角形繞頂舷轉(zhuǎn),聯(lián)想手拉手模型3:等腰直角三角形中出現(xiàn)中點(diǎn),聯(lián)想斜邊中點(diǎn)4 :利用勾股定理得線段關(guān)系3 :在R3ABC中，ZACB = 90°,d是AB的中點(diǎn)DE丄B C于E,連接CD直角+中點(diǎn)，聯(lián)想什么？（1 ）如圖1 ,如果 = 30° ,那么DE與CE之間的數(shù)量關(guān)系是（2 ）如圖2,在的條件下,P是線段CB上一點(diǎn)，連接DP ,將線段D P繞點(diǎn)D逆時針 旋轉(zhuǎn)60°,得到線

7、段DF,連接BF ,請猜想DE、B F、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你 的結(jié)論.旋轉(zhuǎn)60。,要做什么，還要聯(lián)想什么?線段關(guān)系，一般有哪些？ （3 ）如圖3,如果厶M（0°va<90）p是射線CB上一動點(diǎn)（不與B、C重合），連接DP ,將線段DP繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)2a,得到線段DF ,連接B F,請直接寫出D E、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）解題思路:1:直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半2： 30。的直角三角形，得到等邊三角形3:線段關(guān)系一般有和劉咅，勾股定理4:等腰三角形共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn),聯(lián)根手拉手模型C類 1：已知:在2ABC 中，ZBAC二60° (1) 如

8、圖 1,若 AB 二 AC,點(diǎn) P 在心 ABC 內(nèi),且 ZAPC 二 150°, PA 二 3 , PC 二 4 # 把二 APC 繞看 點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B處,得到“ADB,連接DP旋轉(zhuǎn)60。,要做什么,還要聯(lián)想什么? 依題意補(bǔ)全圖1; 直接寫出PB的長；(2) 如圖 2 ,若AB二 AC ,點(diǎn) P 在SBC 外,且 PA=3 , PB=5 , PC=4 ,求ZA P C的度數(shù)；給出共頂點(diǎn)的三條線段，要做什么？當(dāng)看到3,4,5,要來你想什么?y(3 )如圖 3,若 AB二2AC,點(diǎn) P 在aABC 內(nèi)，且 PA二 VL P B = 5 , ZAPC = 120

9、6;,請直接寫出PC的長.AEDAABAB解題思路：1:共點(diǎn)的三條線段，利用旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造手拉手模型，使之放在同一三角形中2:勾股定理,勾股數(shù)3:沿用前兩問思路，構(gòu)造手拉手相似2 ：在DABCD中，E是AD上一點(diǎn),AE=AB ,過點(diǎn)E作直線EF,在EF上取一點(diǎn)G ,使得 ZEGB二ZEAB ,連接 AG .(1 )如圖1 ,當(dāng)E F與AB相交時，若ZEAB二60°,求證:EG二AG+BG；(2)如圖2 ,當(dāng)EF與AB相交時,若ZE AB二a ( 0。< a < 9 0。)，請你直接寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系(用含a的式子表示)；(3 )如圖3,當(dāng)EF與CD相交時，

10、且ZEAB二90。,請你寫出線段EG、AG、BG之間 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解題思路：1 :有60°角，聯(lián)想等邊三角形,聯(lián)想手拉手2 :線段和差,聯(lián)想截長補(bǔ)短3 :等腰三角形，構(gòu)造手拉手模型4:三條線段的關(guān)系:和差倍、勾股定理課堂練習(xí)A類1：如圖，已知A4BC和AAPE都是等邊三角形，“、C、D在一條直線上，試說明(龍與AC+CD相等的理由2:如圖，點(diǎn)C是線段A B上除點(diǎn)A、B外的任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁 作等邊AACD和等邊ABCE,連接AE交DC于乩 連接BD交CE于N,連接MN.(1) 求證：AE二BD;DE(2) 求證:MN AB.3：已知:如圖，

11、ABC、ACDE都是等邊三角形,AD. BE相交于點(diǎn)0,點(diǎn)隊(duì)N分別是線段AD、B E的中點(diǎn)(1) 求證：AD二BE;(2) 求ZD0E的度數(shù)：(3) 求證：AMNC是等邊三角形.1 :在4BC中，AB = AC , ZBAC = a(0o<a<60o)，將線段BC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60。 得到線段BD .(1)如圖1,直接寫出的大小(用含a的式子表示)；(2 )如圖2 , ZBCE = 150°, ZABE = 60° ,判斷ABE的形狀并加以證明;(3)在(2)的條件下，連結(jié)DE,若ZDEC = 45°,求a的值2 如圖1 ,在四邊形AB CD中,BA

12、 = BC, ZABC = 60°, ZADC二30° ,連接對角線BD.（1 ）將線段CD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CE,連接AE. 依題意補(bǔ)全圖1； 試判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2 ）在（1 ）的條件下，直接寫出線段DA、DB和DC之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2, F是對角線BD上一點(diǎn),且滿足ZAFC二150。，連接FA和FC ,探究線段FA、F B 和FC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（圖1）（圖2 ）3.如圖.在 A B C 中,ZACB二90° , AC二 B C二CD , zACD=a , *觀段 CD 繞點(diǎn) C 順時針旋 轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連接DE , AE, BD .（1）依題意補(bǔ)全圖1；（2 ）判斷AE與B D的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；若0