(完整版)《機械優(yōu)化設(shè)計》復習題-答案講解

1、機械優(yōu)化設(shè)計復習題解答一、填空題1、用最速下降法求 f(X)=100(X2-xi2) 2+(1-xi) 2 的最優(yōu)解時，設(shè) X =-0.5,0.5t,第一步迭代的搜索方向為-47,-50To2、機械優(yōu)化設(shè)計采用數(shù)學規(guī)劃法，其核心一是 尋找搜索方向，二是計算最優(yōu)步長。3、當優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下、任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應(yīng)用進退法來確定搜索區(qū)間時，最后得到的三點，即為搜索區(qū)間的始點、中間點和終點，它們的函數(shù)值形成高低高 趨勢。5、包含n個設(shè)計變量的優(yōu)化問題，稱為 n 維優(yōu)化問題。16、函數(shù) 一XTHX BTX C的梯度為HX+B。27、設(shè)G為nM對稱正定矩陣，若n維空間中有兩個非零向

2、量d°, d1,滿足(dTGd1"。, 則d0、d1之間存在共腕關(guān)系。8、設(shè)計變量、 目標函數(shù)、 約束條件是優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學模型的基本要素。9、對于無約束二元函數(shù) f(X1,X2),若在X0(X10,X20)點處取得極小值，其必要條件是錯誤!未找到引用源。比(kl) = 0,充分條件是 錯誤!未找到引用 源。(錯誤!未找到引用源。正定 。10、庫恩-塔克條件可以敘述為在極值點處目標函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負線性組合。11、用黃金分割法求一元函數(shù)f(X)X2 10X 36的極小點，初始搜索區(qū)間 a,b 10,10,經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為-2.36 10

3、。12、優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學模型的基本要素有 設(shè)計變量、 目標函數(shù) 、約束條件。13、牛頓法的搜索方向dk=九4 ,其計算量工，且要求初始點在極小點 附近位 置。14、將函數(shù) f(X)=x 12+x22-x1x2-10x1-4x2+60 表示成：XTHX BTX C 的形式錯誤!未找到引用源。15、存在矩陣H,向量d1,向量d2,當滿足d1THd2=0,向量d1和向量d2是關(guān)于H共 腕。16、采用外點法求解約束優(yōu)化問題時，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點形式時引入的懲罰因子r數(shù)列，具有單調(diào)遞增特點。17、采用數(shù)學規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點時，根據(jù)迭代公式需要進行一維搜索，即求 最 優(yōu)步長。18、與負梯度成

4、銳角的方向為函數(shù)值（下降）的方向，與梯度成直角的方向為函數(shù)值（變 化為零）的方向。19、對于一維搜索，搜索區(qū)間為a,b ,中間插入兩個點ai,bi,ai bi,計算出f ai f bi ,則縮短后的搜索區(qū)間為（aib）20、由于確定（搜索方向）和最佳步長的方法不一致，派生出不同的無約束優(yōu)化問題數(shù) 值求解方法。i、導出等式約束極值條件時，將等式約束問題轉(zhuǎn)換為無約束問題的方法有（消元法）和（拉格朗日法）。2、優(yōu)化問題中的二元函數(shù)等值線，從外層向內(nèi)層函數(shù)值逐漸變（處）。3、優(yōu)化設(shè)計中，可行設(shè)計點位（可行域內(nèi)）內(nèi)的設(shè)計點。4、方向?qū)?shù)定義為函數(shù)在某點處沿某一方向的（ 變化率）5、在n維空間中互相共腕的

5、非零向量個數(shù)最多有（n）個。6、外點懲罰函數(shù)法的迭代過程可在可行域外進行，懲罰項的作用是隨便迭代點逼近（邊 界）或等式約束曲面。二、選擇題i、下面C.方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法B、共腕梯度法C、牛頓型法D、 DFP法2、對于約束問題min f X x； x； 4x2 4gi X xi xf i 0g2 X 340g3 X x20根據(jù)目標函數(shù)等值線和約束曲線，判斷X1 i,iT為, X 2 5,-T2 2為。DA.內(nèi)點；內(nèi)點B.外點；外點C.內(nèi)點；外點D.外點；內(nèi)點3、內(nèi)點懲罰函數(shù)法可用于求解 B優(yōu)化問題。A無約束優(yōu)化問題B只含有不等式約束的優(yōu)化問題C只含有等式的優(yōu)化問題D含有不等式和等

6、式約束的優(yōu)化問題4、對于一維搜索，搜索區(qū)間為a, b,中間插入兩個點ai、bi, ai<bi,計算出f(ai)<f(bi), 則縮短后的搜索區(qū)間為DoA ai, biB bi, bC ai, bD a, bi5、D_不是優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學模型的基本要素。A設(shè)計變量B約束條件C目標函數(shù)D最佳步長6、變尺度法的迭代公式為xk+Zxk-okHkVKxk),下列不屬于Hk必須滿足的條件的是C oA. Hk之間有簡單的迭代形式B.擬牛頓條件C.與海塞矩陣正交D.對稱正定7、函數(shù)f(X)在某點的梯度方向為函數(shù)在該點的 A。A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四種無約束

7、優(yōu)化方法中，D-在構(gòu)成搜索方向時沒有使用到目標函數(shù)的一階或二階導數(shù)。A梯度法B牛頓法C變尺度法D坐標輪換法9、設(shè)f(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導數(shù)的函數(shù)，則 f(X)在R上為凸函數(shù)的 充分必要條件是海塞矩陣 G(X)在R上處處且。A 正定B半正定C負定D半負定10、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法 黃金分割法的敘述，錯誤的是 D,假設(shè)要 求在區(qū)間a, b插入兩點al、C2,且M<M。A、其縮短率為0.618B、oi=b-入(b-a)C、od=a+入(b-a)D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。11、與梯度成銳角的方向為函數(shù)值 5向，與負梯度成銳角的方向為函數(shù)值 _B方向，與

8、梯度成直角的方向為函數(shù)值C方向。A、上升B、下降C、不變D、為零12、二維目標函數(shù)的無約束極小點就是 _BoA、等值線族的一個共同中心B、梯度為0的點C、全局最優(yōu)解D、海塞矩陣正定的點13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為_B_向量。A相切B 正交C成銳角D共腕 14、下列關(guān)于內(nèi)點懲罰函數(shù)法的敘述，錯誤的是 A。A可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。B懲罰因子是不斷遞減的正值C初始點應(yīng)選擇一個離約束邊界較遠的點。D初始點必須在可行域內(nèi)三、問答題(看講義)1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理區(qū)別：(1)、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點

9、的位置，此點的位置確定僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法(2)、插值法：沒有函數(shù)表達式，可以根據(jù)這些點處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù) 的某種近似表達式，近而求出函數(shù)的極小點，并用它作為原來函數(shù)的近似值。這種方法 稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？答，基本原理是將優(yōu)化問題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標函數(shù)結(jié) 合形成新的目標函數(shù)一一懲罰函數(shù)求解該新目標函數(shù)的無約束極值， 以期得到原問題的約束最優(yōu)解3、試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。答主要用數(shù)值解法、利用計算機通過反復迭代計算求得最佳步長因子的近似值4

10、、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點。答：最速下降法此法優(yōu)點是直接、簡單，頭幾步下降速度快。缺點是收斂速度慢，越到 后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點是收斂比較快，對二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點是每次迭 代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時及數(shù)量比較大。5、寫出用數(shù)學規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義， 并說明迭代公式的意義。6、什么是共腕方向？滿足什么關(guān)系？共腕與正交是什么關(guān)系？四、解答題1、試用梯度法求目標函數(shù)f(X)=1.5x i2+0.5x22-xix2-2xi的最優(yōu)解，設(shè)初始點x(0)=-2 , 4T, 選代精度e =0.02(迭代一步)。解：首

11、先計算目標函數(shù)的梯度函數(shù)錯誤!未找到引用源。，計算當前迭代點的 梯度向量值 錯誤!未找到引用源。梯度法的搜索方向為 錯誤!未找到引用源。，因此在迭代點x(0)的搜索方向為12,T在此方向上新的迭代點為:錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引 源。=錯誤!未找到引用源。把新的迭代點帶入目標函數(shù)，目標函數(shù)將成為一個關(guān)于單變量 錯誤!未找到引用源 的函數(shù)錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。令 錯誤!未找到引用源。，可以求出當前搜索方向上的最優(yōu)步長錯誤!未找到引用源。新的迭代點為錯誤!未找到引用源。當前梯度向量的長度 錯誤!未找到引用源。，因此繼續(xù)進行迭代。第一迭代步完成。2、

12、試用牛頓法求f( X )=(x i-2)2+(xi-2x2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點x(0)=2,1T。解1:(注：題目出題不當，初始點已經(jīng)是最優(yōu)點，解2是修改題目后解法。)牛頓法的搜索方向為 錯誤!未找到引用源。，因此首先求出當前迭代點x(0)的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣v(0=4 富 xl 4 * x2 8* x2 - 4* xl錯誤!未找到引用源-48 .錯誤!未找到引用源。不用搜索，當前點就是最優(yōu)點。解2:上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點選擇不當。以下修改求解 題目的初始點，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。以非最優(yōu)點x(0)=1,2T作為初始點，重新采用牛頓法計算牛頓法的搜索方

13、向為 錯誤!未找到引用源。，因此首先求出當前迭代點x(0)的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣梯度函數(shù)：1- 4X1 1初始點梯度向量：錯誤!未找到引用源。海色矩陣：海色矩陣逆矩陣：叭丁,二重T當前步的搜索方向為：錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。新的迭代點位于當前的搜索方向上 ：錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。甘昔誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。把新的迭代點帶入目標函數(shù)，目標函數(shù)將成為一個關(guān)于單變量錯誤!未找到引用源。的函數(shù)錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。令 錯誤!未找到引用源。，可以求出當前搜索方向上的最優(yōu)步長錯誤!未找到引用源。新的迭

14、代點為錯誤!未找到引用源。當前梯度向量的長度 錯誤!未找到引用源。，因此繼續(xù)進行迭代。第二迭代步：Fm=4si1 - 4sx2 一 號0 L - 4*xl J吁(工)=13因此不用繼續(xù)計算，第一步迭代已經(jīng)到達最優(yōu)點。這正是牛頓法的二次收斂性。對正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點 3、設(shè)有函數(shù)f(X)=x 12+2x22-2x1X2-4x1,試利用極值條件求其極值點和極值。解：首先利用極值必要條件錯誤!未找到引用源。找出可能的極值點：令錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。求得錯誤!未找到引用源。，是可能的極值點。再利用充分條件錯誤!未找到引用源。正定(或負定)確認極值點。錯誤!未找到引

15、用源。|2| = 2 。因此錯誤!未找到引用源。正定，錯誤!未找到引用源。是極小點，極值為f(X*)=-84、求目標函數(shù)f( X )=x i2+xix2+2x22+4x1+6x2+10的極值和極值點。解法同上5、試證明函數(shù) f( X )=2x 12+5x22 +x32+2x3x2+2x3x1 -6x2+3 在點1, 1, -2T 處具有極小值。 解：必要條件：+ 2*x3 VCO= 10 * x2 + 2 x3 - 12+ 2 * x2 -F 2*將點1, 1, -2帶入上式，可得 d 0出=0 .0.充分條件4 O 21g0D= o io z.2 2 2i|4| = 4 > 0錯誤!未

16、找到引用源。=40錯誤!未找到引用源4020 10 2 = 804D 16= 2+ > 02 2錯誤!未找到引用源。正定。因此函數(shù)在點1, 1, -2T處具有極小值6、給定約束優(yōu)化問題min f（X）=（x i-3）2+（x2-2）2s.t. gi（X）= xi2X22 + 5>0g2（X）= xi 2x2+ 4> 0g3（X）= x 1 > 0g4（X）=x 2>0驗證在點X 2, 1T Kuhn-Tucker條件成立。解：首先，找出在點X 2, 1T起作用約束：gi（X） =0g2（X） =0g3（X） =2g4（X） =i因此起作用約束為gi（X）、g2（X

17、） o然后，計算目標函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標函數(shù)梯度是否可以表示 為起作用約束函數(shù)梯度的非負線性組合。錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。，錯誤!未找到引用源。求解線性組合系數(shù)錯誤!未找到引用源。錯誤!未找到引用源。得到錯誤!未找到引用源均大于0因此在點X 2, 1T Kuhn-Tucker條件成立7、設(shè)非線性規(guī)劃問題22min f（X） （x1 2）2 x；st. g（X） Xi 0g2（X） X2 0 g3（X） Xi2 x； 1 0用K-T條件驗證X*1,0 T為其約束最優(yōu)點。解法同上8、已知目標函數(shù)為f（X）= x i+x2,

18、受約束于： 2gi（X）=-x 1 +x2>0g2（X）=x 1 冷寫出內(nèi)點罰函數(shù)。解：內(nèi)點罰函數(shù)的一般公式為Pmin e（x,尸（*）=尸（工）十尸I 1 gli1xGR”其中：（1）>產(chǎn)>r（k）>0是一個遞減的正值數(shù)列r（k）= Cr（k-1）,0<c<1因此罰函數(shù)為：0（耳 r）=xl+x2 + .叫+ 五）9、已知目標函數(shù)為 f（X）=（ x1-1）2+（x2+2）2 受約束于：g1（X）=-x 2-x1-1 >0g2（X）=2-x 1-x2>0 g3（X）=x 1 >0 g4（X）=x2>0試寫出內(nèi)點罰函數(shù)解法同上10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為 x的方塊并折轉(zhuǎn), 造一個無蓋的箱子，問如何截法(x取何值)才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu) 化問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。11、某廠生產(chǎn)一個容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計此容器消耗原材 料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。12、一根長l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比例 截斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學模型以 及用MATLAB軟件求解的程序。4、設(shè)以z的比例截取鉛絲，能使何題i