線性代數(shù)新教材ch62學習教案

1、會計學1線性代數(shù)線性代數(shù)(xin xn di sh)新教材新教材ch62第一頁，共18頁。定理定理 對任意對任意n元二次型元二次型Tf x Ax，總存在正交線，總存在正交線性變換性變換xPy，化，化f為標準形為標準形 2221 12 2nnfyyy， 其中其中12,n 是矩陣是矩陣A的特征值的特征值 第第五五章章第第三三節(jié)節(jié)定定理理 3 設設A是是n階階實實對對稱稱矩矩陣陣，則則存存在在n階階正正交交矩矩陣陣Q，使使 1TQ AQQAQ為為對對角角矩矩陣陣 （對對角角矩矩陣陣由由A的的特特征征值值所所構構成成） 第2頁/共18頁第二頁，共18頁。例例 1 求一個正交線性變換求一個正交線性變換x

2、Py，將二次型，將二次型 2221231 21 32 34484fxxxx xx xx x 化為標準形化為標準形 124242421 A， 對應的特征方程為對應的特征方程為 124242421IA2(5) (4)0， 解解 二二次次型型f的的矩矩陣陣為為 第3頁/共18頁第三頁，共18頁。故故A的全部特征值為的全部特征值為 125，34 它的基礎解系為它的基礎解系為 12110 ,210 將將125代入齊次線性方程組代入齊次線性方程組() 0iIA x，得，得 1231231234240,220,4240.xxxxxxxxx 第4頁/共18頁第四頁，共18頁。正交化正交化，得得 121120

3、,2112 ， 單位化單位化，得得 12113 2240 ,3 21123 2 第5頁/共18頁第五頁，共18頁。它的基礎解系為它的基礎解系為 3212 將將34 代入齊次線性方程組代入齊次線性方程組()i0IA x，得，得 1231231235240,2820,4250.xxxxxxxxx 單位化單位化，得得 3231323 第6頁/共18頁第六頁，共18頁。則則 500050004TP AP 取取正交矩陣正交矩陣 123112323 241(,)033 2112323 2P ， 第7頁/共18頁第七頁，共18頁。作作正正交交線線性性變變換換xPy， 123112323 241(,)033

4、2112323 2P 11232233123112,323 241,33 2112,323 2xyyyxyyxyyy 則則xPy將將f化化 為標準形為標準形 222123554fyyy 即即 第8頁/共18頁第八頁，共18頁。如如果果不不限限于于用用正正交交線線性性變變換換，那那么么還還可可以以有有多多種種方方法法（對對應應有有多多個個可可逆逆線線性性變變換換）把把二二次次型型化化為為標標準準形形 以以下下介介紹紹拉拉格格朗朗日日配配方方法法，其其基基本本思思想想是是配配平平方方 現(xiàn)現(xiàn)舉舉例例說說明明這這種種方方法法 第9頁/共18頁第九頁，共18頁。例例 2 找找一一個個可可逆逆線線性性變變

5、換換，將將二二次次型型 2221231 21 3121164fxxxx xx x 化化為為標標準準形形 211232(32)fxxxx 解解 先集中所有含先集中所有含1x的項并配成完全平方，得的項并配成完全平方，得 22212322 33(32)3127xxxxx xx， 再再將將含含2x的的項項集集中中并并配配成成完完全全平平方方，得得 222123233(32)3(2)5fxxxxxx 2222323(32)1211xxxx 223(32)xx 第10頁/共18頁第十頁，共18頁。222123233(32)3(2)5fxxxxxx 令令 11232233332,2,.yxxxyxxyx 不

6、不難難驗驗證證，它它是是一一個個可可逆逆線線性性變變換換，它它的的逆逆變變換換 11232233338,2,xyyyxyyxy 仍仍是是可可逆逆線線性性變變換換， 這個線性變換化這個線性變換化f為標準形為標準形 22212335fyyy 132012001 第11頁/共18頁第十一頁，共18頁。例例 3 用用配配方方法法化化二二次次型型 2221231 21 32 325226fxxxx xx xx x 為為標標準準形形，并并求求所所用用的的可可逆逆線線性性變變換換 解解 先集中所有含先集中所有含1x的項并配成完全平方，得的項并配成完全平方，得 22212322 33()44fxxxxx xx

7、， 再再將將含含2x的的項項集集中中并并配配成成完完全全平平方方，得得 2212323()(2)fxxxxx 令令 112322333,2,.yxxxyxxyx 20() 3x 111012001 第12頁/共18頁第十二頁，共18頁。這這是是一一個個可可逆逆線線性性變變換換，它它的的逆逆變變換換 112322333,2,xyyyxyyxy 仍仍是是可可逆逆線線性性變變換換， 這個線性變換化這個線性變換化f為標準形為標準形 2212fyy 112322333,2,.yxxxyxxyx 第13頁/共18頁第十三頁，共18頁。例例 4 用配方法找一個可逆線性變換，將二次型用配方法找一個可逆線性變換

8、，將二次型 1 22 31 3262fx xx xx x 化為標準形化為標準形 解解 因因為為f中中沒沒有有平平方方項項， 故故先先作作可可逆逆線線性性變變換換 11221233,.xyyxyyxy 此此線線性性變變換換化化f為為 22121 32 32248fyyy yy y 第14頁/共18頁第十四頁，共18頁。22121 32 32248fyyy yy y 再再用用配配方方法法，可可得得 222132332()2(2)6fyyyyy 令令 11322333,2,zyyzyyzy 其逆變換為其逆變換為 11322333,2,.yzzyzzyz 第15頁/共18頁第十五頁，共18頁。將將兩個兩個變化變化合之合之，得得 1121232121233333,xyyzzzxyyzzzxyz 11322333,2,.yzzyzzyz 11221233,.xyyxyyxy 即即 11232123333,.xzzzxzzzxz 這這是是一一個個可可逆逆線線性性變變換換，它它將將二二次次型型f化化為為標標準準形形 222123226fzzz 第16頁/共18頁第十六頁，共18頁。注注意意 一一般