線性代數(shù)總復(fù)習(xí)很全PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1線性代數(shù)線性代數(shù)(xin xn di sh)總復(fù)習(xí)很全總復(fù)習(xí)很全第一頁，共68頁。 則則的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式是是設(shè)設(shè),ijijnnijaAaA jijiAAaAaAajinjiji當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng),022211 jijiAAaAaAanjnijiji當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng),02211利用展開定理，高階行列式計算可以(ky)轉(zhuǎn)化為低一階行列式的計算(j sun)。第2頁/共68頁第二頁，共68頁。特殊(tsh)關(guān)系式是是數(shù)數(shù)，則則階階方方陣陣是是設(shè)設(shè)knBA, AAAkkAnn1,1 ,121*1 nAAAA BABCABAAB 0,3第3頁/共68頁第三頁，共68頁。 3 31235,2, AAAAAB

2、 設(shè)設(shè)求求，解1213,23 AAAA 132cc B21cc 123,3 AAA 3 A 12223,2 BAAAAA 其其中中計算(j sun)下列行列式 第4頁/共68頁第四頁，共68頁。123 4121231123232112 , , , 4 =m , =n+ =? 例例題題 設(shè)設(shè)均均為為 維維列列向向量量且且四四階階行行列列式式則則第5頁/共68頁第五頁，共68頁。解方程02781941321111132xxx此為范德蒙行列式0321xxx3, 2, 1x例題(lt)第6頁/共68頁第六頁，共68頁。smA nsB nmijnmcC )(BAAB 不能推出(1)(3)(2)0AB0A

3、或0BBCAB 不能推出CB 交換律不成立(chngl)消去律不成立(chngl)轉(zhuǎn)置矩陣的運算律1 1221 sijijijissjikkjkca ba ba ba b 一、矩陣運算中注意的幾點() TTTABB A 第7頁/共68頁第七頁，共68頁。AAT 若AAT 若階梯(jit)陣A與行最簡階梯(jit)陣B 00000160007430051321A 00000210003010050021BTT-1 A A=E A =A 正正交交矩矩陣陣正正定定矩矩陣陣若A 為n階對稱(duchn)矩陣A 為n階反對稱矩陣第8頁/共68頁第八頁，共68頁。n 階方陣(fn zhn)A可逆的充要條件

4、n階方陣(fn zhn)A可逆0 AEBAEABB 或或，使，使存在方陣存在方陣, nAnn 秩秩0 的的特特征征值值全全部部A僅僅有有零零解解齊齊次次線線性性方方程程組組0 XAnn向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)。列列的的行行)(AEA第9頁/共68頁第九頁，共68頁。可逆矩陣(j zhn)的性質(zhì) 設(shè)A,B都是n階可逆矩陣(j zhn)，k是非零數(shù)，則 TTAAAkkAABABAA111111111142,31 5、求方陣(fn zhn)A的逆矩陣的方法 *1, 011AAAAA 且且可逆可逆則則如果如果BAA 1可逆，且可逆，且 則則或或使使如果存在方陣如果存在方陣,2EBAEABB 1,3

5、AAEEA可可逆逆，且且則則如如果果行行變變換換第10頁/共68頁第十頁，共68頁。nEAAAAA*1 AAA1 nAA特別(tbi)：AA11 第11頁/共68頁第十一頁，共68頁。矩陣(j zhn)的初等變換,初等方陣用初等方陣左（右）乘 A，相當(dāng)于對 A 作初等行（列）變換得到(d do)的矩陣，矩陣(j zhn)A的標(biāo)準(zhǔn)型 0, 00rm nm nEr ArA 初初等等變變換換設(shè)設(shè)則則第12頁/共68頁第十二頁，共68頁。1、R（A）：A的不等于(dngy)0的子式的最大階數(shù)。2、秩的基本(jbn)關(guān)系式： TnmARARnmAR ;,min13、關(guān)于(guny)秩的重要結(jié)論： 矩陣的

6、秩；矩陣的秩；矩陣的初等變換不改變矩陣的初等變換不改變1 003 AnARAAnARnA可逆可逆階方陣，則階方陣，則是是設(shè)設(shè) 矩矩陣陣是是階階可可逆逆矩矩陣陣，階階、分分別別是是、設(shè)設(shè)nmAnmQP 2 PAQRAQRPARAR 則則 002 AAR第13頁/共68頁第十三頁，共68頁。)(),(min()(BrArABr重要(zhngyo)結(jié)論則則設(shè)設(shè),)(,)(tnijnmijbBaA)()()()1(ABrnBrArnBrArAB)()(, 0)2(特別特別,)()3(nAr若若0, 0BAB則則且且陣陣，則則均均為為nmBA,)4()()()(BrArBAr則則階階方方陣陣為為, 2,

7、)5(nnA)(*Ar.)(,nArn. 1)(, 1 nAr. 2)(, 0 nAr第14頁/共68頁第十四頁，共68頁。1)R（A）：A的不等于(dngy)0的子式的最大階數(shù)。2）初等變換法：TA階階梯梯形形,R（A）=T的階梯(jit)數(shù)3）若P可逆，則 APRAR ,常需先驗證(ynzhng)P可逆4 ） 利利用用矩矩陣陣的的秩秩和和矩矩陣陣對對應(yīng)應(yīng)的的其其次次方方程程組組的的解解的的關(guān)關(guān)系系5 ）利利用用相相似似矩矩陣陣的的秩秩 （矩矩陣陣的的秩秩n-0n-0特特征征秩秩的的重重數(shù)數(shù)）第15頁/共68頁第十五頁，共68頁。設(shè) A、B 都是 n 階方陣(fn zhn)，則 222()2

8、 aABAABB e, ABBA 當(dāng)當(dāng)時時 成成立立 1 nABBA , ABBA 當(dāng)當(dāng)時時 成成立立, ABBA 當(dāng)當(dāng)時時 成成立立 ABABBABA bABBA 1,:1 cIfAthenA 22()() dABABAB eABBA 第16頁/共68頁第十六頁，共68頁。,nA,B,CABC = E設(shè)設(shè) 階階方方陣陣滿滿足足關(guān)關(guān)系系式式則則必必有有：1 2(3) 4ACB = ECBAEBACE BCA= E （ ）（ ）（ ）（4）第17頁/共68頁第十七頁，共68頁。 3 , 0 A BnABA,B 選選擇擇題題 設(shè)設(shè)都都是是 階階非非零零矩矩陣陣，且且，則則的的秩秩為為：1 2 (3

9、) n（ ）必必有有一一個個等等于于零零（ ）都都小小于于一一個個小小于于n ,n ,一一個個等等于于n (4) n (4) 都都等等于于n n（2）第18頁/共68頁第十八頁，共68頁。11=(,0,0,), ,222 E , TTnAEBEnAB = 設(shè)設(shè) 維維列列向向量量矩矩陣陣其其中中為為 階階單單位位矩矩陣陣則則T(1) 0 (2) -E(3) E (4) E+ （3）第19頁/共68頁第十九頁，共68頁。, 1, 23,. 3 BABA階階方方陣陣，如如果果都都是是設(shè)設(shè) BAABABAAAA 計計算算設(shè)設(shè),2321321解 3221,2ABAABA 3221,4ABAA 12124

10、,4321321 ABAAAA *1,41AA 計算計算 114141AA413 A *13,128141AA例第20頁/共68頁第二十頁，共68頁。例：設(shè)方陣 A滿足(mnz)2A2-5A-8E = 0，證明 A-2E 可逆， 12 EA求求關(guān)鍵(gunjin)：尋求方陣 B，使（A-2E）B = E分析(fnx) EEAEA 21012并且可逆所以,2EA EAEA 210121原式可寫為 010)2(2 EEAEA（重點）第21頁/共68頁第二十一頁，共68頁。例：設(shè)矩陣 X 滿足(mnz)：AXB = XB+C，求X，其中 110101,100012002,2012CBA由已知，得 A

11、XB-XB=C，則得 1CXBEA 顯然(xinrn)A-E、B均可逆，并且 1000110021,10111011111BEA 11CBEAX 11 BCEAX解（重點(zhngdin)）第22頁/共68頁第二十二頁，共68頁。2 101020 201ABA BABEAB 設(shè)設(shè)三三階階方方陣陣 、 滿滿足足，則則？2 A BABEA+ E)(A- E)B -(A+ E)= 0 解解： 由由， （ A+E, 顯顯然然可可逆逆 于于是是()AE BE, -1B = (A- E)以以下下的的做做法法有有多多種種 比比如如 求求, A A- E B求求 的的特特征征值值的的特特征征值值的的特特征征值

12、值例第23頁/共68頁第二十三頁，共68頁。 12341,3456 56780112101 ,110R AABR BA 求求設(shè)設(shè)求求12340246 0000AR(A)=2 2 R BAR A 初等變換例（重點(zhngdin)）第24頁/共68頁第二十四頁，共68頁。41312114321 TA例,4 , 3 , 2 , 1 ,41,31,21, 1 , TA ,TBNnABAn,求求解13424431233213212413121143214131211TB4第25頁/共68頁第二十五頁，共68頁。定義(dngy)定義(dngy) 極大無關(guān)組、等價等價定義（重點）第26頁/共68頁第二十六

13、頁，共68頁。2、 ,2121mm線性無關(guān)，線性無關(guān)，設(shè)向量組設(shè)向量組。3、1、矩陣初等行變換(binhun)不改變列向量組線性關(guān)系線線性性表表示示，必必可可由由則則線線性性相相關(guān)關(guān)m ,21并并且且表表法法惟惟一一。注意：求極大無關(guān)組、討論線性表示主要(zhyo)用此方法； 秩（A）= 列向量組的秩 = 行向量組的秩第27頁/共68頁第二十七頁，共68頁。線線性性表表示示可可由由向向量量m ,21有有解解 mmxxx2211 有解有解線性方程組線性方程組 mmxx121, ，mmRR,2121 第28頁/共68頁第二十八頁，共68頁。定理(dngl)線性相關(guān)線性相關(guān)向量組向量組m ,21有有

14、非非零零解解02211 mmxxx 非零解非零解線性方程組線性方程組0,121 mmxx 是向量個數(shù)是向量個數(shù)mmRm ,21第29頁/共68頁第二十九頁，共68頁。 nrnnnnn ,0,212121線性相關(guān)線性相關(guān)元元個個判別(pnbi)法 2.1元元向向量量必必線線性性相相關(guān)關(guān)個個 nn 等價(dngji)的向量組的秩相等； nrnnnnn ,0,212121線性無關(guān)線性無關(guān)元元個個部分相關(guān)，整體必相關(guān)；整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān)第30頁/共68頁第三十頁，共68頁。1212.,.,. jjmmbAB b bbBA 即添上一個分量后得向量若向量組：即添上一個分量后得向量若向量組：線性無關(guān) 則向

15、量組 ：也線性無線性無關(guān) 則向量組 ：也線性無關(guān) 反言之，若向量組 線性相關(guān) 則向量組 也線關(guān) 反言之，若向量組 線性相關(guān) 則向量組 也線性相關(guān)性相關(guān)判別(pnbi)法3 第31頁/共68頁第三十一頁，共68頁。 線性相關(guān)線性相關(guān)維向量組維向量組mn ,121DF 中中至至少少有有一一個個零零向向量量；mA ,21 對對應(yīng)應(yīng)成成比比例例；中中至至少少有有兩兩個個向向量量分分量量mB ,21 個個線線性性表表示示；余余中中每每一一個個向向量量都都可可由由其其1,21 mCm 個個線線性性表表示示；其其余余中中至至少少有有一一個個向向量量可可由由1,21 mDm mnE mRFm ,21第32頁/

16、共68頁第三十二頁，共68頁。 則則的秩為的秩為維向量組維向量組設(shè)設(shè),221rnm BC 個向量必線性無關(guān)；個向量必線性無關(guān)；中任意中任意rAm ,21 個向量必線性相關(guān)；個向量必線性相關(guān)；中任意中任意1,21 rBm 都構(gòu)成極大無關(guān)組；都構(gòu)成極大無關(guān)組；個線性無關(guān)的向量個線性無關(guān)的向量中任意中任意rCm ,21第33頁/共68頁第三十三頁，共68頁。 0000001000501104020112311113111131163421設(shè) 987675431310745432432154321 ，的一個極大無關(guān)組與秩的一個極大無關(guān)組與秩，求求54321, 解 進(jìn)進(jìn)行行初初等等行行變變換換：，對對矩

17、矩陣陣54321, A9713548510437473263421A54321,，無無關(guān)關(guān)組組線線性性表表示示。并并將將其其余余向向量量用用此此極極大大例重點(zhngdin)第34頁/共68頁第三十四頁，共68頁。 9713548510437473263421A 00000010005011040201的一個極大無關(guān)組為：的一個極大無關(guān)組為：，54321, 421 ，其余(qy)向量由此極大無關(guān)組表示為：215213542 ，所以(suy)第35頁/共68頁第三十五頁，共68頁。 1231131,1 ,7 11bbb 討討論論 取取何何值值時時，向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)？解 1)因為(y

18、n wi)行列式 1131731 11Dbbbb 所以(suy)當(dāng)b=3或b=1時，D=0，線性相關(guān)； 否則線性無關(guān)。第36頁/共68頁第三十六頁，共68頁。,3211321 設(shè)設(shè)線性無關(guān)線性無關(guān)設(shè)設(shè)證明(zhngmng) .10332211 xxx設(shè)設(shè) 03232123211 xxx即即 03312321121 xxxxxxx所以所以線性無關(guān)線性無關(guān)因為因為,321 20003132121 xxxxxxx., 0:321321線性無關(guān)線性無關(guān)故故解之得解之得 xxx.,:,321323212也線性無關(guān)也線性無關(guān)證明證明 第37頁/共68頁第三十七頁，共68頁。,mmnnmEBABmnAnm

19、滿足滿足矩陣矩陣與與矩陣矩陣設(shè)設(shè)分析(fnx)：只要證明：B的列秩= m ;證明(zhngmng) mBBR 的的列列數(shù)數(shù)顯顯然然 mERABRBRm 又因為又因為 的的列列數(shù)數(shù)所所以以BmBR 的的列列向向量量數(shù)數(shù)的的列列向向量量組組的的秩秩所所以以BmBRB 的的列列向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)。所所以以B。的的列列向向量量組組必必線線性性無無關(guān)關(guān)證證明明：并并且且Bnm, 第38頁/共68頁第三十八頁，共68頁。2)(, 03334 ArABBA矩矩陣陣且且為為矩矩陣陣，為為例例設(shè)設(shè)的的列列向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)。證證明明B3)()(0 nBrArAB證證明明：2)( Ar 1)(

20、 Br的的列列向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)。B第39頁/共68頁第三十九頁，共68頁。 1111k 1112k k1113 20kk 問 k 為何(wih)值時線線性性表表示示？，可可由由321 表示法唯一(wi y)，不唯一，不可表示。解 設(shè) 332211xxx即 01321xxxk kxxkx 3211 23211kxkxx kkkDA 111111111用克萊姆法則)3(2 kk30 kk0)3(2 kk第40頁/共68頁第四十頁，共68頁。 k = - 3 時.321線線性性表表示示，可可由由 表示法唯一(wi y)，0 k時 011101110111A同解方程組321xxx 有無窮(

21、wqing)多解。 921131210112A 1000123309211.321線線性性表表示示，不不可可由由 30 kk時方程組有唯一(wi y)解,321線線性性表表示示，可可由由 表示法不唯一，第41頁/共68頁第四十一頁，共68頁。線性方程組解的存在(cnzi)性定理各種( zhn)解法解的結(jié)構(gòu)(jigu)定理1 設(shè)有非齊次線性方程組 10, XAnm 有解；有解；則則如果如果1,2 ARAR 無無解解；則則如如果果1,1 ARAR 有惟一解；有惟一解；則則有解時，如果有解時，如果1,nAR 有無窮多解；有無窮多解；則則如果如果1, nAR 第42頁/共68頁第四十二頁，共68頁。定

22、理(dngl)1 設(shè)有齊次線性方程組（2）0 XAnm 則則設(shè)設(shè), rAR 個個解解向向量量；基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系中中含含rn 通解為：通解為：則則基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系設(shè)設(shè),21rn RkkkkkkXrnrnrn ,212211 僅有零解；僅有零解；則則如果如果,1nr 必有非零解；必有非零解；則則如果如果2,2nr 第43頁/共68頁第四十三頁，共68頁。定理(dngl)2 設(shè)有非齊次線性方程組（1） 0, XAnm 則則如如果果設(shè)設(shè),nrARARrAR 必有無窮多解；必有無窮多解；方程組方程組 AX1 ,2的一個特解的一個特解是是設(shè)設(shè) AXRkkkkkkXrnrnrn ,212211 ,基基礎(chǔ)礎(chǔ)解

23、解系系的的是是設(shè)設(shè)0,21 AXrn 的的通通解解為為：則則 AX第44頁/共68頁第四十四頁，共68頁。 討論a滿足(mnz)什么條件時，如下方程組無解、有唯一解、 23213213211aaxxxaxaxxxxax解系數(shù)(xsh)行列式aaaD111111 212111111121111222 aaaaaaaaaa所以(suy)1):有惟一解；有惟一解；時時并且并且即即當(dāng)當(dāng),21, 0 aaD增增廣廣矩矩陣陣時時當(dāng)當(dāng),2 a2): 421121211112A 300021211112213rrr有無窮多解？有無窮多解時，求其通解。（重點）例第45頁/共68頁第四十五頁，共68頁。由于同解方

24、程組中出現(xiàn)了矛盾(modn)方程:0=3,故無解.2):增增廣廣矩矩陣陣時時當(dāng)當(dāng),1 a 111111111111A1312,rrrr 000000001111 方程組為方程組為，有無窮多解，一同解，有無窮多解，一同解此時此時31 ARAR 33223211xxxxxxx則通解(tngji)為Rkkkkxxx 2121321,001101011第46頁/共68頁第四十六頁，共68頁。 0, 當(dāng)時，稱與正交。 nrr ,21nR中兩兩正交、非零向量組線性無關(guān)(wgun)。 jijiji, 1, 0, n ,21若滿足n ,21稱為規(guī)范(gufn)正交基。定義3 五、內(nèi)積、施密特正交化。元列向量）

25、元列向量）為為nTT ,(),( 第47頁/共68頁第四十七頁，共68頁。A是n階方陣,若是正交矩陣A稱EAAT 性質(zhì)(xngzh)2A的列(行)向量(xingling)組為正交單位向量(xingling)組是正交矩陣A1 AAT性質(zhì)1是正交矩陣則A可逆且A設(shè)性質(zhì)3設(shè) A、B 都是正交矩陣，則 AB 也是正交矩陣。EAAT jiji , jiji, 1, 0即 A 的 n 個列向量是單位正交向量組。性質(zhì)4設(shè) A 是正交矩陣，則 AA與與1也是正交矩陣。性質(zhì)5設(shè) A 是正交矩陣，則. 1 A第48頁/共68頁第四十八頁，共68頁。3、施密特正交化方法(fngf)321, 3R設(shè)在中為線性無關(guān)(w

26、gun)向量組11 令正交化過程(guchng)： 1111222, 222231111333, 321, 則是正交向量組，單位化iii 第49頁/共68頁第四十九頁，共68頁。內(nèi)容(nirng)： 矩陣(j zhn)的特征值與特征向量的定義,求法,性質(zhì)；相似矩陣的概念、性質(zhì)、矩陣對角化的條件和方法定義1使方程XAX ,nnijaA 設(shè)方陣,X成立數(shù) 和 n 元非零列向量第50頁/共68頁第五十頁，共68頁。1、特征值的求法個個特特征征值值的的就就是是，的的根根nAAEn 210 2、特征向量的求法 riiXAE , 0,1得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系解解對對特特征征值值 所對應(yīng)的特征向量為所對應(yīng)的特

27、征向量為i 不不全全為為零零rrrkkkk,111 第51頁/共68頁第五十一頁，共68頁。 nnnijnaA ,1個特征值分別為個特征值分別為的的設(shè)矩陣設(shè)矩陣 性質(zhì)(xngzh) .1221121nnnaaa 的跡的跡A An 212 nAA ,0321 可可逆逆全不為零。第52頁/共68頁第五十二頁，共68頁。性質(zhì)(xngzh)200,0,AA 設(shè)設(shè)是是 的的一一個個特特征征值值且且則則 01000*04400112,343356537537TmmAAAAAAAAAAE 特特征征向向量量可可逆逆時時特特征征向向量量特特征征向向量量特特征征向向量量可可逆逆時時特特征征向向量量第53頁/共68

28、頁第五十三頁，共68頁。3,AA 設(shè)設(shè)的的一一個個特特征征值值為為 ，是是相相應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量，則則2 2 11*211323444565AEAAAAAA 的的一一個個特特征征值值為為的的一一個個特特征征值值為為的的一一個個特特征征值值為為的的一一個個特特征征值值為為的的一一個個特特征征值值為為的的一一個個特特征征值值為為 1322182481322A5 .1921252例3 設(shè)A是一個(y )方陣 102030,kAEAA 如如果果，則則的的一一個個特特征征值值為為如如果果，則則的的一一個個特特征征值值為為如如果果則則的的特特征征值值必必為為 -10000kkA 第54頁/共68頁第

29、五十四頁，共68頁。設(shè)矩陣(j zhn)A、B相似，求參數(shù)a,b,c.;11,201200011bBaA解 1）因為矩陣(j zhn)A、B相似，所以 tr Atr BAB 1221 14bab 即即31ba第55頁/共68頁第五十五頁，共68頁。設(shè)矩陣A、B相似(xin s)，求參數(shù)a,b,c.2）因為矩陣A、B相似(xin s)，所以1也是A的特征值，所以 1452016 ,03Ac 并且(bngqi)1是B的一個特征值0,242060054010cccAE第56頁/共68頁第五十六頁，共68頁。1）方陣A的不同(b tn)特征值所對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)。2）實對稱矩陣(j zhn)A的

30、不同特征值所對應(yīng)的特征向量必相3）正交向量組必是線性無關(guān)組?；フ?。第57頁/共68頁第五十七頁，共68頁。1、一個(y )充分必要條件：n階方陣(fn zhn)A可對角化A有n個線性無關(guān)的特征向量2、兩個充分條件：1）如果A有n個互不相同的特征值，則A必可對角化2）如果A是實對稱矩陣，則A必可用正交矩陣對角化。3、對角化方法：nnnA ,2121，個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量的的是是設(shè)設(shè) nAPP 2114、正交對角化 可可逆逆，并并且且，則則令令是是相相應(yīng)應(yīng)的的特特征征值值PPn ,21 （重點）（重點）第58頁/共68頁第五十八頁，共68頁。,10100002xA（1）求設(shè),

31、BA相似于（1）由性質(zhì)(xngzh)., yx yx12（2）1y,10000002yB.3EA（2）解.402453EA0 xBA 的的特特征征值值相相同同與與BA112，為為的的特特征征值值為為EA3245 ，y22 第59頁/共68頁第五十九頁，共68頁。例5, 3, 2, 13321 的的特特征征值值為為階階方方陣陣設(shè)設(shè)A：對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量分分別別是是,)4 , 2 , 1(,)1 , 1 , 1(21TT ,)9 , 3 , 1(3T ).(ZnAn 求求),(321 C取取解解ACC1 321 1 CCAnnCCA)(1 111 CCCCCCAn1 CCAnn第60頁/共68頁第六十頁，共68頁。三階實對稱矩陣 的特征值分別為A, 3, 221 ,321, 秩 ,2A相應(yīng)(xingyng)的特征向量分別為已知,0111 X 1112X3.A求 的值及矩陣解秩 ,2A, 0321 A, 03 A有三個不同特征值,則 可取A03 的特征向量為,321 xxxX則 0021321xxxxx第61頁/共68頁第六十一頁，共68頁。1、二次型二次齊次多項式； 32312121222132124232,xxxxxxxxxxxxf 312111212A標(biāo)準(zhǔn)型