第13講三角形與全等三角形

1、.第13講三角形與全等三角形考試目的鎖定考綱要求備考指津1.理解三角形和全等三角形有關(guān)的概念，掌握三角形的三邊關(guān)系2.理解三角形內(nèi)角和定理及推論3.理解三角形的角平分線、中線、高的概念及畫法和性質(zhì)4.掌握三角形全等的性質(zhì)與斷定，純熟掌握三角形全等的證明.中考中多以填空題、選擇題的形式考察三角形的邊角關(guān)系，通過解答題來考察全等三角形的性質(zhì)及斷定全等三角形在中考中常與平行四邊形、二次函數(shù)、圓等知識相結(jié)合，考察學(xué)生綜合運(yùn)用知識的才能根底自主導(dǎo)學(xué)考點(diǎn)一三角形的概念及性質(zhì)1概念：1由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形2三角形按邊可分為：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分為：銳角三角形、鈍角三角形

2、和直角三角形2性質(zhì)：1三角形的內(nèi)角和是180°；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角2三角形的任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊之差小于第三邊考點(diǎn)二三角形中的重要線段1三角形的角平分線：三角形一個(gè)角的平分線和這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線特性：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心2三角形的高線：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱高特性：三角形的三條高線相交于一點(diǎn)3三角形的中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段叫做三

3、角形的中線特性：三角形的三條中線交于一點(diǎn)4三角形的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于它的一半考點(diǎn)三全等三角形的性質(zhì)與斷定1概念：可以完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形2性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等3斷定：1有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡記為SSS；2有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡記為SAS；3有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡記為ASA；4有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡記為AAS；5有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡記為HL考點(diǎn)四定義、命題、定理、公理1定義：

4、對一個(gè)概念的特征、性質(zhì)的描繪叫做這個(gè)概念的定義2命題：判斷一件事情的語句1命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成命題通常寫成“假設(shè)那么的形式，“假設(shè)后面是題設(shè)，“那么后面是結(jié)論2命題的真假：正確的命題稱為真命題；錯(cuò)誤的命題稱為假命題3互逆命題：在兩個(gè)命題中，假設(shè)第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題每一個(gè)命題都有逆命題3定理：經(jīng)過證明的真命題叫做定理因?yàn)槎ɡ淼哪婷}不一定都是真命題所以不是所有的定理都有逆定理4公理：有一類命題的正確性是人們在長期的理論中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真?zhèn)蔚脑几鶕?jù)，這樣的真命題叫公理考點(diǎn)五證明1證明：從一

5、個(gè)命題的條件出發(fā)，根據(jù)定義、公理及定理，經(jīng)過邏輯推理，得出它的結(jié)論成立，從而判斷該命題為真，這個(gè)過程叫做證明2證明的一般步驟：1審題，找出命題的題設(shè)和結(jié)論；2由題意畫出圖形，具有一般性；3用數(shù)學(xué)語言寫出、求證；4分析證明的思路；5寫出證明過程，每一步應(yīng)有根據(jù)，要推理嚴(yán)密3反證法：先假設(shè)命題中結(jié)論的反面成立，推出與條件或是定義、定理等相矛盾，從而結(jié)論的反面不可能成立，借此證明原命題結(jié)論是成立的這種證明的方法叫做反證法1假設(shè)一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為234，那么這個(gè)三角形是A直角三角形 B銳角三角形C鈍角三角形 D等邊三角形2在ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，假設(shè)BC5，那么DE的長是

6、A2.5 B5 C10 D153如以下圖，ABAC，要說明ADCAEB，需添加的條件不能是ABCBADAECADCAEBDDCBE4下面的命題中，真命題的是A有一條斜邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等B有兩條邊和一個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C有一條邊對應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等D有一條高對應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等5如圖，在ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)不與B，C重合，F(xiàn)，E分別是AD及其延長線上的點(diǎn)，CFBE.請你添加一個(gè)條件，使BDECDF不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用其他字母，并給出證明1你添加的條件是：_；2證明：規(guī)律-方法探究一、三角形的邊角關(guān)系【例1】 假設(shè)三角形三邊長分別為3,4，x

7、1，那么x的取值范圍是A0x8B2x8C0x6D2x6解析：三角形兩邊a，b的長，確定第三邊c的取值范圍，c應(yīng)滿足|ab|cab；要判斷三條線段能否組成三角形，只要檢驗(yàn)較短的兩條線段之和是否大于第三條線段即可根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理，得1x17，2x8.答案：B三角形邊的關(guān)系的應(yīng)用：1斷定三條線段是否構(gòu)成三角形；2已知兩邊的長，確定第三邊的取值范圍；3可證明線段之間的不等關(guān)系二、全等三角形的性質(zhì)與斷定【例2】 如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，CD平分ACE，CE平分BCD，CDCE. 1求證：ACDBCE；2假設(shè)D50°，求B的度數(shù)分析：此題綜合考察三角形的全等及性質(zhì)，利用“SAS斷定AC

8、DBCE后，再利用性質(zhì)可得到E50°，從而求出B解：1證明：C是線段AB的中點(diǎn)，ACBCCD平分ACE，CE平分BCD，12，23.13.又CDCE，ACDBCESAS212，23，123.360°.由ACDBCE，得DE.D50°，E50°.那么B180°E3180°50°60°70°.1斷定兩個(gè)三角形全等時(shí)，常用下面的思路：有兩角對應(yīng)相等時(shí)找夾邊或任一邊對應(yīng)相等；有兩邊對應(yīng)相等時(shí)找夾角或另一邊對應(yīng)相等2全等三角形的性質(zhì)主要是指全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角、對應(yīng)中線、對應(yīng)高、對應(yīng)角平分線、周長、面積等之間

9、的等量關(guān)系如以下圖，BACABD，ACBD，點(diǎn)O是AD，BC的交點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)試判斷OE和AB的位置關(guān)系，并給出證明三、真假命題的判斷【例3】 以下命題，正確的選項(xiàng)是A假設(shè)|a|b|，那么abB等腰梯形的對角線互相垂直C順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是平行四邊形D相等的圓周角所對的弧相等解析：A項(xiàng)不正確，例如：|2|2|，但22；B項(xiàng)不正確，等腰梯形的對角線可能垂直，但并不是所有的等腰梯形對角線都垂直；C項(xiàng)正確，可以根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的斷定得到；D項(xiàng)錯(cuò)誤，相等的圓周角所對的弧相等，必須是在同圓或等圓中答案：C對命題的正確性理解一定要準(zhǔn)確，斷定命題不成立時(shí)，有時(shí)可以舉反

10、例說明道理；命題有正、誤，錯(cuò)誤的命題也是命題四、證明的方法【例4】 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，BCDC，CF平分BCD，DFAB，BF的延長線交DC于點(diǎn)E. 求證：1BFCDFC；2ADDE.證明：1CF平分BCD，BCFDCF.在BFC和DFC中BFCDFC2如圖，連接BDBFCDFC，BF=DF.FBD=FDBDFAB，ABD=FDBABD=FBDADBC，BDA=DBCBC=DC，DBC=BDCBDA=BDC又BD是公共邊，BADBEDAD=DE.1證明問題時(shí)，首先要理清證明的思路，做到證明過程的每一步都有理有據(jù)，推理嚴(yán)密要證明線段、角相等時(shí)，證全等是常用的方法2證明的根本方法：

11、1綜合法，從條件入手，探究解題途徑的方法；2分析法，從結(jié)論出發(fā)，用倒推來尋求證題思路的方法；3兩頭“湊的方法，綜合應(yīng)用以上兩種方法找證明思路的方法知能優(yōu)化訓(xùn)練12021浙江臺州如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為ABC三邊的中點(diǎn)，假設(shè)DEF的周長為10，那么ABC的周長為A5 B10C20 D4022020內(nèi)蒙古呼和浩特以下判斷正確的有順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形的各邊中點(diǎn)一定構(gòu)成正方形中心投影的投影線彼此平行在周長為定值p的扇形中，當(dāng)半徑為時(shí)扇形的面積最大相等的角是對頂角的逆命題是真命題A4個(gè) B3個(gè) C2個(gè) D1個(gè)32020安徽蕪湖如圖，ABC中，ABC45°，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)

12、，CD4，那么線段DF的長度為62020山東德州如圖，ABAC，CDAB于D，BEAC于E，BE與CD相交于點(diǎn)O. 1求證ADAE；2連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的關(guān)系并說明理由1如圖，為估計(jì)池塘岸邊A，B的間隔 ，小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測得OA15米，OB10米，A，B間的間隔 不可能是ABDE，BCEF，ACDF；ABDE，BE，BCEF；BE，BCEF，CF；ABDE，ACDF，BE.其中，能使ABCDEF的條件共有A1組 B2組 C3組 D4組4如圖，在ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE相交于F，假設(shè)BFAC，那么ABC的大小是A40°B45

13、76;C50°D60°5如圖，OADOBC，且O70°，C25°，那么AEB_.6如圖，在ABC中，CD是ACB的平分線，A80°，ACB60°，那么BDC等于_7如以下圖，三角形紙片ABC中，A65°，B75°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在ABC內(nèi)，假設(shè)120°，那么2的度數(shù)為_8在邊長為1的等邊ABC中，中線AD與中線BE相交于點(diǎn)O，那么OA長度為_9如圖，在ABC中，ACB90°，CDAB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，CEBC，過E點(diǎn)作AC的垂線，交CD的延長線于點(diǎn)F.求證：ABFC參考答案根底自主導(dǎo)學(xué)自主測試1B2.A3.D4.D5解：1BDDC或點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，F(xiàn)DED，CFBE中任選一個(gè)即可2以BDDC為例進(jìn)展證明：CFBE，F(xiàn)CDEBD.又BDDC，F(xiàn)DCEDB，BDECDF.規(guī)律方法探究變式訓(xùn)練解：OEAB.證明：在BAC和ABD中，BACABD.OBAOAB.OAOB.又AEBE，OEAB.知能優(yōu)化訓(xùn)練中考回憶1C2.B3.B4.856解：1證明：在ACD與ABE中，AA，ADCAEB90°，ABAC，ACDABE.A