3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例

1、3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例第導(dǎo)就及其孩用、如何判斷函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性?或活屮弦纟遇到求利問(wèn)舉丈、 用料最省、數(shù)準(zhǔn)最焉菁問(wèn)龜，這 些問(wèn)龜通纟徹參優(yōu)化問(wèn)龜,通過(guò)瀟 面的拷習(xí)，我們応道，導(dǎo)敷是求 詢皺眾女（小丿值的帝力工具， 涼節(jié)我們運(yùn)用導(dǎo)敷，解決一坐或 活上的優(yōu)化問(wèn)龜，例仁海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)學(xué)校或班級(jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行 宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖3.41所示的豎向張貼 的海報(bào)，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各 空2dm,左、右兩邊各空1dm,如何設(shè)計(jì)海報(bào)的 尺寸，才能使四周空白面積最??？=103.4-1分析：已知版心的面 積，你能否設(shè)計(jì)出版心 的高，求出版心的寬、 從而列出海報(bào)四周

2、的那 積來(lái)？/丿1 22解:設(shè)版心的高為則版心的寬為伽匕時(shí)四周空白面積為12只 S(x) = (%+ 4)(+ 2)-128你還有其他解法 嗎？例如用基本 不等式行不2/xoOO 2=2x-&兀0x512 求導(dǎo)數(shù)得S(x) = 2- 解得：x二 16，x二-16(舍)512 兀 令：s'(Q = 2-羋二0于是寬為:竺二器=8x 16%w(0,16)時(shí)，s (x)<0；3xw(16,+oo)時(shí)s (%)>0.因此，x=16是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以, 當(dāng)版心高為16dm,寬為8dm時(shí)，能使四周空白面積最 小。解法二由解法得5(x) = 2x + +

3、8>2 /2x>+8xV %= 2x32 + 8 = 7251?當(dāng)且僅當(dāng)2無(wú)=，即兀=16（兀 0）時(shí)S取最小值此時(shí)y= 816答：應(yīng)使用版心寬為8為，長(zhǎng)為16dm四周空白面積最小問(wèn)題2:飲料瓶大小對(duì)飲料公司 利潤(rùn)有影響嗎？道理嗎？是不足飲料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本 是08妙2分，其中/是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1加的 飲料，制造商可獲利02分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為 6cm, (1)瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？ (2)瓶子半徑多大時(shí)，每瓶飲料的利潤(rùn)最??？解：由于瓶子的半徑為匚所以每瓶飲料的利潤(rùn)

4、是420y = /(r) = 0.2x 7T 疋0.8r2330.8tt( - r2) (0 < r 6)令f r(r) = 0.87t(r2 - 2r) = 0,= 2r(0, 2)26fr)0+f(r)減函數(shù)、-1.07k增函數(shù)/徑徑徑徑 半半半半當(dāng)即當(dāng)即r> 2時(shí)，f，(r)>0它表示f(r)單調(diào)遞增,越大，利潤(rùn)越高;V2時(shí),fJ(r)<0它表示f(r)單調(diào)遞減, 越大，利潤(rùn)越低.1半徑為2 cm時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)/(2)<0 表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本, 此時(shí)剎潤(rùn)是負(fù)值2 .半徑為6 cm時(shí)，利潤(rùn)最大1、當(dāng)半徑為2c加時(shí)，利潤(rùn)最小，這吋/(2)

5、<0,2、當(dāng)半徑為6c加時(shí)，利潤(rùn)最大。問(wèn)題3、磁盤的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題(1) 你知道計(jì)算機(jī)是如何存儲(chǔ)、檢索信息的 嗎？(2) 你知道磁盤的結(jié)構(gòu)嗎?(3) 如何使一個(gè)圓環(huán)狀的磁 盤存儲(chǔ)盡可能多的信息？例3：現(xiàn)有一張半徑為弼磁盤, 它的 存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于尸與弼 環(huán)行區(qū)域。(1)是不是廠越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大？(2)廠為多少時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量(最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息)？解：存儲(chǔ)量二磁道數(shù)X每磁道的比特?cái)?shù)設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬 度必須大于且最外面的磁道不存儲(chǔ)人何信息，所以磁道最多可達(dá),又由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相m同，為獲得最大的吞儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道

6、上的比特?cái)?shù)可達(dá)到三匚.所以，磁道總存儲(chǔ)量卅）上迥m nmn（1）它是一個(gè)關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式上可 以判斷，不是越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大.(2)為求/(%)的最大值，計(jì)算/ (r) = 0,/ (r)= mn令/'(r) = 0解得r =2RR當(dāng)廠 v時(shí)，/'(r)>0;當(dāng)廠一時(shí)，/'(r)<0,因此，當(dāng)r =-時(shí)，磁道具有最大的存儲(chǔ)量，最大2存儲(chǔ)量為NW由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，解決優(yōu)化問(wèn)題的 基本思路是：上述解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過(guò) 程。X練習(xí)：在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去 相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成 一個(gè)

7、無(wú)蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱 子容積最大？最大容積是多少？Ux ,解:設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x,則箱高h(yuǎn)=（60x）/2.箱子容積V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令 W(x) = 60x-x2=0，解得 x=0(舍去),x=40且 V(40)=16000. 2由題意可知，當(dāng)x過(guò)小（接近0）或過(guò)大（接近60）時(shí)，箱子 的容積很小，因此,16000是最大值.答:當(dāng)x=40cm時(shí),箱子容積最大，最大容積是16000cm3.A!ll32兀v云即h=2R.可以判斷S(R)只有一個(gè)極值點(diǎn)，且是最小值點(diǎn). 答罐高與底的直徑相等時(shí)，所用材料最省.三h Cl練習(xí)3如圖，在二次

8、函數(shù) f(x)=4x-x2的圖象與x軸所 圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接 矩形ABCD,求這個(gè)矩形的 最大面積.解:設(shè)B(x,0)(0vxv2),則_A(x, 4x-x2).從而 |AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).為:S(x)=| AB 11BC | =2x3-12x2+16x(0<x<2k2 ri 2J3 Sf(x) = 6x2 -24x + 16.令Sr(x) = O=2+,x2 =2-32V39"),所以驚2斗時(shí)嘰普. 因此當(dāng)點(diǎn)b為(2-斗，0)時(shí)，矩形的最大面積是 練習(xí)4:已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x22x+4y2=0,求xy的最大值. 解:由 x2-2x+4y

9、2=0 得:(x-1 )2+4y2=1.1設(shè) x = l+cosj=-sin5 由 X，y 為正實(shí)數(shù)得:0 V & V1 2xy = fcos&)sin&設(shè)/(0)=丄(1 + cos 0)sin0廣(&) = 一 一 sin? 0+(1+cos 0) cos 0 = (cos 6+l)(cos& ).2 2 令/'=0,得 cos 0 = 1, cos 0 = £；又 0 V & V0 =彳/(V)=洋，又f(O)=f(ir)=O,./()_ =誓3 oo故當(dāng)時(shí),(可爲(wèi)=¥112練習(xí)5：證明不等式：In兀(xI)2 > 1 +(1 x)3(x > 0).x 23證:設(shè)=山兀 H(x-1)2 +(x-l)3(x >0).XS貝!l/，(x) = -4-(x-l) + 2(x-l)2=(x-l)3.i,X XX令ra)=o，結(jié)合