151曲邊梯形的面積

1、-曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積問：形如上圖的曲邊梯形的概念是什么？問：形如上圖的曲邊梯形的概念是什么？ 把由直線把由直線 和曲線和曲線 所圍成的圖形稱為所圍成的圖形稱為曲邊梯形曲邊梯形. .對(duì)它的面積又如何求呢？對(duì)它的面積又如何求呢？,(),0 xa xb aby( )yf x1.5.1曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積直線直線x 0、x 1、y 0及曲線及曲線y x2所圍成的圖形（曲邊三所圍成的圖形（曲邊三角形）面積角形）面積S是多少？是多少？x yO1方案方案1方案方案2為了計(jì)算曲邊三角形的面積為了計(jì)算曲邊三角形的面積S，將它分割成許多小曲邊梯形，將它分割成許多小曲邊梯形對(duì)任意一個(gè)小曲邊梯形，用

2、對(duì)任意一個(gè)小曲邊梯形，用“直邊直邊”代替代替“曲邊曲邊”（即（即在很小范圍內(nèi)以直代曲），有以下在很小范圍內(nèi)以直代曲），有以下2種方案種方案“以直代以直代曲曲” 。 y = f(x)bax yO A1 A1 A1A A1.用一個(gè)矩形的面積用一個(gè)矩形的面積 A1近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A， 得得A A1+ A2用兩個(gè)矩形的面積用兩個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四個(gè)矩形的面積用四個(gè)矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積A， 得得 y = f(x)bax

3、yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替?zhèn)€小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯形的面積于是曲邊梯形的面積A近似為近似為A1AiAn分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無限逼近所割無限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積S。下面看一下第一種方案下面看一下第一種方案“以直代曲以直代曲”的具體操作的具體操作過程：過程：（1）分割）分割把區(qū)間把區(qū)間0，1等分成等

4、分成n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為過各區(qū)間端點(diǎn)作過各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到軸的垂線，從而得到n個(gè)小個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作曲邊梯形，他們的面積分別記作.S,S,S,Sni21 i-1n)(yxfini-1()nf（2 2）近似代替）近似代替第i個(gè)曲邊梯形2ii 1i 11S=f() x()nnniS 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，我們可以把小曲邊時(shí)，我們可以把小曲邊梯形近似看成什么圖形？又如何計(jì)梯形近似看成什么圖形？又如何計(jì)算每個(gè)近似圖形的面積算每個(gè)近似圖形的面積 ？0 x iS（用矩形代替曲邊梯形）（用矩形代替曲

5、邊梯形）(1,2,i .,n)（3）求和）求和n12nii 1nn2i 1i 1222233SSSSSi-1 1i-11f()()nnnn1012(n1) n1 (1) (21)111(1)(1)n632nnnnn (1,2,i .,n)（4）取極限）取極限分別將區(qū)間分別將區(qū)間0，1等分成等分成8，16，32，1024,等份（如下圖）等份（如下圖）,可以看到，可以看到，當(dāng)當(dāng) 即即 時(shí)，時(shí)， 從而有從而有 ,n 0 x 111(1)(1),32nSSnn1111111limlim()lim(1)(1)323nnnnniiSSfnnnn區(qū)間0，1的等分?jǐn)?shù)nS的近似值20.125 000 0040.

6、218 750 0080.273 437 50160.302 734 50320.317 871 09640.325 561 52 1280.329 437 262560.331 382 755120.332 357 4110240.332 845 21 20480.333 089 23 nS我們還可以從數(shù)值上可以看我們還可以從數(shù)值上可以看出這一變化趨勢(shì)（請(qǐng)見表）出這一變化趨勢(shì)（請(qǐng)見表）方法總結(jié)方法總結(jié)：我們能否得到求一般性曲邊梯形的面積：我們能否得到求一般性曲邊梯形的面積方法（如下圖所示）？方法（如下圖所示）？ 一般地，對(duì)如圖所示的一般地，對(duì)如圖所示的曲邊梯形曲邊梯形，我們也可采用，我們也可

7、采用分分割割、近似代替近似代替、求和求和、取極限取極限的方法，求出其面積。的方法，求出其面積。 當(dāng)分點(diǎn)非常多（當(dāng)分點(diǎn)非常多（n非常大）時(shí)，可以認(rèn)為非常大）時(shí)，可以認(rèn)為f(x)在小區(qū)間上幾乎沒有變化（或變化非常?。?，從在小區(qū)間上幾乎沒有變化（或變化非常?。?，從而可以取小區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)而可以取小區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)xi對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(xi)作為小矩形一邊的長(zhǎng)，于是作為小矩形一邊的長(zhǎng)，于是f(xi) x來近似表示來近似表示小曲邊梯形的面積小曲邊梯形的面積x)f(xx)f(xx)x(fn21 表示了曲邊梯形面積的近似值表示了曲邊梯形面積的近似值演示演示 y = f(x)bax yOx1xi-1x

8、ixn-1x2 x xi f(x xi)x x1x x2 f(x x1) f(x x2) f(x xi) xi在在 a, b中任意插中任意插入入 n 1個(gè)分點(diǎn)個(gè)分點(diǎn)得得n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間： xi 1 , xi (i=1, 2 , , n)把曲邊梯形分成把曲邊梯形分成 n 個(gè)窄曲邊梯形個(gè)窄曲邊梯形任取任取x xi xi 1，xi ，以，以f (x x i) xi近似代替第近似代替第i個(gè)窄曲邊梯形的面?zhèn)€窄曲邊梯形的面積積區(qū)間區(qū)間xi 1 , xi 的長(zhǎng)的長(zhǎng)度度 xi xi xi 1 曲邊梯形的面積近似為：曲邊梯形的面積近似為：A niiixf1)(x曲邊梯形的面積近似為：曲邊梯形的面積近似為：A niiixf1)(x y = f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 x xi f(x xi)x x1x x2 f(x x1) f(x x2) f(x xi) xi在在 a, b中任意插中任意插入入 n 1個(gè)分點(diǎn)個(gè)分點(diǎn)得得n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間： xi 1 , xi (i=1, 2 , , n)區(qū)間區(qū)間xi 1 , xi 的長(zhǎng)的長(zhǎng)度度 xi xi xi 1 練一練練一練:求直線求直線 與曲線與