矩陣模型及MATLAB運(yùn)算

1、1數(shù)學(xué)建模講座矩陣模型及MATLAB運(yùn)算2矩陣模型及MATLAB運(yùn)算 矩陣是由英國數(shù)學(xué)家凱萊于1855年作為一個獨(dú)立的概念引入數(shù)學(xué)中的，在經(jīng)濟(jì)工作中應(yīng)用廣泛 矩陣是線性代數(shù)的一個重要研究對象，在數(shù)學(xué)理論和社會生產(chǎn)中都有著廣泛的應(yīng)用，尤其是計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為矩陣應(yīng)用開辟了廣闊的前景。因此，學(xué)習(xí)和掌握矩陣的基本理論和計算方法是必不可少的。3矩陣模型及MATLAB運(yùn)算引例1 設(shè)某企業(yè)三個部門去年各季度的營業(yè)額(萬元)完成情況如下表所示一二三四180767881267688270388908786季度部門營業(yè)額4矩陣模型及MATLAB運(yùn)算取出表中的營業(yè)額數(shù)據(jù)并保持原來的相對位置，則可得到一個數(shù)表：80

2、7678816768827088908786數(shù)學(xué)上將這樣的矩形數(shù)表稱為矩陣5矩陣模型及MATLAB運(yùn)算定義1由mn個數(shù)aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的數(shù)表 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211稱為一個mn矩陣，通常記為A、B、C等大寫字母，或(aij)，也可記為Amn或(aij) mn6矩陣模型及MATLAB運(yùn)算mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211MATLAB中矩陣的生成A = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12B = 80 76 78 81; 67 68 82 70;88 90 87 867矩陣模型及MAT

3、LAB運(yùn)算000000000OMATLAB中零矩陣的生成 zeros(m,n)生成m行n列的零矩陣如：B = zeros(4,3)MATLAB還提供全1陣：ones(m,n)零矩陣8矩陣模型及MATLAB運(yùn)算行矩陣列矩陣naaa21naaa21MATLAB中只需輸入一行即可。如： A = 9 8 7 6 5 B = 1 : 5MATLAB中只需輸入一列或每個元素后面加分號。如： A = 9;8;7;6;5 b = 1:59矩陣模型及MATLAB運(yùn)算 當(dāng)m=n時，矩陣稱為n階方陣。 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211主對角線次對角線MATLAB中 zeros(n)產(chǎn)生n階全

4、零方陣； ones(n)產(chǎn)生n階全1方陣；10矩陣模型及MATLAB運(yùn)算100010001E單位矩陣MATLAB中，用eye(n)產(chǎn)生n階單位矩陣如： E = eye(4)11矩陣模型及MATLAB運(yùn)算mnnnaaaaaaA00000022211211上三角矩陣下三角矩陣mnmmaaaaaaA2122211100000012矩陣模型及MATLAB運(yùn)算矩陣的轉(zhuǎn)置 把矩陣A的行列互換就得到一個新的矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT或A。例如413021A401231TA13矩陣模型及MATLAB運(yùn)算MATLAB中常用的矩陣命令：1. 提取矩陣中指定的元素；2. 矩陣的拼接；3. 矩陣的加、減法；

5、4. 矩陣與數(shù)的乘法；5. MATLAB中矩陣與數(shù)的加法；6. 取出矩陣的行列數(shù)size和length；7. 特殊矩陣的產(chǎn)生rand,magic14矩陣模型及MATLAB運(yùn)算MATLAB中常用的矩陣命令：8. 矩陣的變換： A 矩陣的轉(zhuǎn)置 fliplr(A): 將矩陣A左右互換； flipud(A): 將矩陣A上下互換 rot90(A): 將矩陣A逆時針旋轉(zhuǎn)909. 向量函數(shù)：max min sum mean prod sort10. 取整函數(shù)：round,floor,ceil,fix,rats15矩陣模型及MATLAB運(yùn)算矩陣的乘法引例 某商場有三個分場經(jīng)銷兩類商品，用矩陣A表示各分場兩類商

6、品的營業(yè)額；用矩陣B表示兩種商品的國稅率、地稅率。323122211211aaaaaaA22211211bbbbB家電 服裝一分場二分場三分場家電服裝國稅率 地稅率問各分場應(yīng)分別上交多少國稅、地稅？16矩陣模型及MATLAB運(yùn)算 容易算出各分場應(yīng)該向國家財政和地方財政上交的稅額，并可用矩陣C表示： 2212121121121111babababaC國稅額 地稅額 21221121baba22221221baba21321131baba22321231baba這樣得到的矩陣C就是矩陣A與矩陣B的乘積。 一分場二分場三分場17矩陣模型及MATLAB運(yùn)算定義4設(shè)矩陣 和矩陣則由元素lmikaA nl

7、kjbBlkkjikljiljijiijbabababac12211)2121(njmi，；，構(gòu)成的 矩陣 nm nmlkkjiknmijbacC1稱為矩陣A與矩陣B的乘積，記作C=AB。18矩陣模型及MATLAB運(yùn)算注意：(1)左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣B的行數(shù)，兩個矩陣才能相乘；(2)矩陣C中位于第i行、第j列的元素等于左矩陣A的第i行元素與右矩陣B的第j列對應(yīng)元素乘積之和；(3)矩陣C的行數(shù)等于左矩陣A的行數(shù)，矩陣C的列數(shù)等于右矩陣B的列數(shù)。19矩陣模型及MATLAB運(yùn)算例 設(shè)矩陣求：AB和BA。321B321A321321AB332211 14321321BA96364232120矩陣模

8、型及MATLAB運(yùn)算例 設(shè)矩陣求：AB、BA、AC。2142A6342B8502C63422142AB21426342BA85022142AC-16-328160000-16-3281621矩陣模型及MATLAB運(yùn)算在MATLAB中 矩陣的乘法* 矩陣的冪 矩陣的點(diǎn)乘.* 矩陣的點(diǎn)冪. 方陣的行列式的值det(A)22矩陣模型及MATLAB運(yùn)算逆矩陣定義7對n階方陣A，如果存在一個方陣B使 AB = BA = E則稱方陣A是可逆的，并把方陣B稱為方陣A的逆矩陣(簡稱A的逆陣或A的逆)。 A的逆矩陣記作A-1。即： AA-1 = A-1A = E方陣A可逆的充分必要條件是det(A)0。23矩陣

9、模型及MATLAB運(yùn)算在MATLAB中求方陣的逆：inv(A)111133014B121011322A24矩陣模型及MATLAB運(yùn)算用矩陣表示線性方程組mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111常數(shù)項(xiàng)矩陣mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211mbbbB21nxxxX21BAX 系數(shù)矩陣未知數(shù)矩陣25矩陣模型及MATLAB運(yùn)算mmnmmnnbbbaaaaaaaaaBAA21212222111211增廣矩陣則以上方程組可以寫為 BAX 于是 BAX1BAAXA1126矩陣模型及MATLAB運(yùn)算例2. 用逆矩陣解線性方程組

10、 02334432132121xxxxxxxx解將所給方程組寫成矩陣方程 ，其中 BAX 111133014A321xxxX024B15504421121011ABAX11010241550442112101所以 ， ， ，這即為所求的解。 11x02x13x27矩陣模型及MATLAB運(yùn)算例3已知 343122321A3512B130231C求矩陣X，使AXB=C成立。解:若A-1、B-1存在，則用A-1左乘上式， B-1右乘上式，有 即 1111CBAAXBBA11CBAX28矩陣模型及MATLAB運(yùn)算111253232311A25131B11CBAX25131302311112532323

11、125132020114104101229矩陣模型及MATLAB運(yùn)算 已知矩陣A、B、C為同階方陣。若 AX=B XA=B AXB=C 求矩陣X。解：等式兩邊同時左乘A-1：A-1AX=A-1B 于是：X=A-1B MATLAB中可用：X = AB 或 X = inv(A) * B 等式兩邊同時右乘A-1：XAA-1=BA-1 于是：X=BA-1 MATLAB中可用：X = B/A 或 X = B * inv(A) 等式兩邊同時左乘A-1右乘B-1： A-1AXBB-1=A-1CB-1 于是：X=A-1CB-1 MATLAB中：X = (AC)/B 或 X = inv(A) * C * inv

12、(B)30矩陣模型及MATLAB運(yùn)算作業(yè)：設(shè)3152A1264B1242C寫出用MATLAB解矩陣方程的語句：AX=B XA=B AXB=C31矩陣模型及MATLAB運(yùn)算矩陣的初等變換 引例用消元法解線性方程組 452312332321321321xxxxxxxxx解：我們把方程組消元的過程列在下表左欄，系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)對應(yīng)的矩陣(增廣矩陣)變換的過程列在右欄。 32矩陣模型及MATLAB運(yùn)算方程組消元的過程 增廣矩陣變換的過程 ) 3(45232(12) 1 (332321321321xxxxxxxxx(1)、(2)互換 21rr )3(45232(332) 1 (12321321321xxxx

13、xxxxx45231211313245233132121133矩陣模型及MATLAB運(yùn)算)3(45232(332) 1 (12321321321xxxxxxxxx(2)2(1)，(3)3(1) ,212rr 133rr )3(11152(555) 1 (123232321xxxxxxx 251251r)3(11152(1) 1 (123232321xxxxxxx4523313212111115011101211111505550121134矩陣模型及MATLAB運(yùn)算(3)5(2)235rr )3(662(1) 1 (12332321xxxxxx)3(11152(1) 1 (123232321x

14、xxxxxx 361)3(12(1) 1 (12332321xxxxxx361r111501110121166001110121111001110121135矩陣模型及MATLAB運(yùn)算(2)+(3)，(1)2(3) )3(12(2) 1 (33221xxxx,32rr 312rr (1)+(2) 21rr )3(12(2) 1 (1321xxx)3(12(1) 1 (12332321xxxxxx11001110121111002010100111002010301136矩陣模型及MATLAB運(yùn)算 在解方程組的過程中，我們對方程進(jìn)行了以下變換： 互換兩個方程的位置； 用一個非0數(shù)乘某個方程； 用

15、一個數(shù)乘某個方程，再加到另一個方程上?？梢宰C明：線性方程組經(jīng)過上述三種變換后，所得的方程組與原方程組同解。 37矩陣模型及MATLAB運(yùn)算定義 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：互換兩行(互換第i、j兩行，記作 )； 以數(shù)k0乘某一行中的所有元素(第i行乘以數(shù)k，記作 kri)； 用一個數(shù)乘某一行加到另一行上(數(shù)k乘第j行再加到第i行上，記作 ri+krj)。把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換 (所用的記號是把“ r ”換成“ c ”)。38矩陣模型及MATLAB運(yùn)算 矩陣的初等行變換和初等列變換，統(tǒng)稱初等變換。 如果矩陣A經(jīng)過了有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價，記作

16、AB。矩陣的秩 矩陣經(jīng)過初等行變換化為的階梯形矩陣，不全為零的行的行數(shù)稱為矩陣的秩。記為R(A)。39矩陣模型及MATLAB運(yùn)算例用初等行變換求下列矩陣的秩 43333320126624220121A解 00020121141312322rrrrrrA 260002369012230201214332rrrr0 0 6 -23 2 2 -19 6 3 -2rank(A)40矩陣模型及MATLAB運(yùn)算 00001223020121233rr 00000130001223020121342rr 3AR 0 -3 1 0 6 -226000236901223020121階梯型矩陣的特點(diǎn)：每一行第一個

17、非零數(shù)下面的所有數(shù)必須為0。41矩陣模型及MATLAB運(yùn)算MATLAB中，用rank(A)求矩陣A的秩 98764876537654254321C987654321A5666433332221111B42矩陣模型及MATLAB運(yùn)算例用初等行變換解線性方程組 4333235233362324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解 3331rrr41313321135233362312A413131869365233332113rref(Ab)43矩陣模型及MATLAB運(yùn)算 1413122rrrrrr 32rr 232rr1340022418001221110321134

18、131318693652333321131340012211102042032113134002042012211103211344矩陣模型及MATLAB運(yùn)算)351()41(43rr9243rr 34rr11000112900122111032113134002241800122111032113927360044836001221110321133535000448360012211103211345矩陣模型及MATLAB運(yùn)算 434241222rrrrrr323111rrrr )91(3r11000101001001020013110001129001221110321131100090900100111010113110001010010011101011346矩陣模型及MATLAB運(yùn)算)1(2r 21rr )31(1r故 x1=1，x2=