微元平衡法與通用微分方程組

1、第4章 微元平衡法與通用微分方程組何險峰2009年9月傳遞過程原理 2本章內(nèi)容1.連續(xù)方程質(zhì)量平衡方程2.運動方程動量平衡方程3.能量方程能量平衡方程4.狀態(tài)方程5.多組分系統(tǒng)的通用微分方程組6.小結(jié)3連續(xù)方程微元平衡法1.取長方體微元 微分方程分量2.分量式 矢量式3.對矢量式推導(dǎo) 用于于曲線正交坐標(biāo)系4連續(xù)方程流體質(zhì)量衡算率速質(zhì)量輸出率速質(zhì)量輸入率速質(zhì)量累積-5連續(xù)方程微元法推導(dǎo)連續(xù)方程xyvvzxvvzyvvzyxtzzzzzyyyyyxxxxx| )(| )(| )(| )(| )(| )(x y z取極限)()()(zyxvzvyvxt vt即6連續(xù)方程微元法推導(dǎo)連續(xù)方程vvvvtt

2、tdd)(即vt dd速度場散度的物理意義：t dd1 v對不可壓縮流體：0 v7連續(xù)方程空間不連續(xù)的點1.源點2.匯點8運動方程流體動量衡算元的總力作用于微率速動量輸出率速動量輸入率速動量累積-量綱分析9運動方程微元法推導(dǎo)運動方程zyxgxyzxzyzyxvtxzzzxzzxyyyxyyxxxxxxxxx| )(| )(| )(| )(| )(| )(x y z取極限xzxyxxxxgxxxvt)( x分量類似地：xzyyyxyygxxxvt)(xzzyzxzzgxxxvt)(10運動方程運動方程矢量式：矢量式：iiigvtgvt分量式：vvp對流通量壓力通量粘性力通量分子動量通量11運動方

3、程運動方程：gvvvpt代入得：ttttdd)(vvvvvvvvvvgvpt dd12運動方程柱坐標(biāo)系下的運動方程：rrzrrrzzrrrrgzrrrrrtpzvvrvvrvrvvtv1)(1(2r 分量：13運動方程的簡化納維-斯托克斯方程(Navier-Stokes)根據(jù)牛頓粘性定律：vvv)(32()()(T對不可壓縮流體：S2)(xvxvxxxx)(xvyvyxyx)(xvzvzxzx14運動方程的簡化納維-斯托克斯方程(Navier-Stokes)xxzxyxxxxvxvzyx22)()(vv2gvv2ddpt1822年提出15運動方程的簡化歐拉方程(Euler)gvpt dd忽略粘

4、性影響：1755年提出16運動方程的簡化貝努利方程（Bernoulli）vvvvtt dd對穩(wěn)態(tài)過程：)(21vvvvvvgvvpv )21()(21217運動方程的簡化 機(jī)械能方程2dd21ddvttvvddgvpvtv)()()()2(dd2gvvvpvt18運動方程的簡化 自然對流的非等溫運動方程gpgvpt dd)(TTavgv)(ddTTatv19熱力學(xué)關(guān)系式熱力學(xué)關(guān)系式pUpVUHTSHGTSUApTSGd1ddpSTHd1ddVpSTUdddPTTVTVpH20能量方程能量的對流傳遞SvUvxd)21(2x 面SvUvyd)21(2y 面SvUvzd)21(2z 面能量流率vUv

5、)21(2對流能量通量21能量方程分子運動產(chǎn)生的功x 面rFWddy 面xzxzyxyxxxxvvvvv z 面單位面積功率功通量vFtrFtWddddyzyzyyyxyxyvvvvv zzzzyzyxzxzvvvvv )()()(vvvvzzyyxx22能量方程聯(lián)合能量通量epqvv)21(2UveqvvvpUve)21(2qvv)21(2Hve23能量方程流體能量衡算速率熱源做功的速率外界對系統(tǒng)熱量凈輸入速率有傳導(dǎo)引入的動能凈輸入速率對流導(dǎo)致內(nèi)能和累積速率內(nèi)能和動能-24能量方程能量方程：SpvUvUt)()()()()2()2(22vgvvqvSpvUt)()()()()2(dd2vgv

6、vq25能量方程總能方程：SpvUt)()()()2(dd2vvqg令：SptE)()()(ddvvq22vUE令：tvvvvv)()()()()(g26能量方程內(nèi)能方程：)()()()2(dd2gvvvpvt動能方程相減得：SpvUt)()()()()2(dd2vgvvqSpUt):()()(ddvvq27能量方程用溫度 T 表示的能量方程：STpTtTcv):()()()(ddvvqSTpTTtTcvv)()()(ddv熱傳導(dǎo)膨脹效應(yīng)粘性耗散熱源28能量方程理想氣體：)(dd2vpTtTcv29能量方程恒壓流體能量方程：TcVpUpdddTtTcp2dd30能量方程不可壓縮流體能量方程：T

7、tTcp2dd31能量方程固體能量方程：TtTcp2dd32狀態(tài)方程通用微分方程組的封閉性：方程數(shù)：連續(xù)方程、運動方程（3個分量）、能量方程變量數(shù)：p、T、v（3個分量）、f(p，T，）=0參數(shù)：，Cp、Cv33狀態(tài)方程幾種常見狀態(tài)方程不可壓縮流體 = const1、水2、空氣.211)211 (21120aamm（馬赫數(shù)）cvma/（比熱容比）vpcc 當(dāng) v 48m/s， /0.0134狀態(tài)方程幾種常見狀態(tài)方程理想氣體理想氣體絕熱過程constRTpMvvvpcRccc35狀態(tài)方程幾種常見狀態(tài)方程指數(shù)型狀態(tài)方程不可壓縮流體：=0pmep0液體：m=0等溫膨脹： m = 1絕熱膨脹：pvcc

8、m136狀態(tài)方程連續(xù)方程狀態(tài)方程運動方程能量方程, 都為常數(shù)且無熱源的牛頓流體通用微分方程組37多組分系統(tǒng)的通用微分方程組質(zhì)量濃度：二元系連續(xù)方程AAArntBBBrnt0 v = const38多組分系統(tǒng)的通用微分方程組摩爾濃度：二元系連續(xù)方程AAARNtc)(1*BARRc vc = constBBBRNtc39多組分系統(tǒng)的通用微分方程組利用Fick定律：二元系連續(xù)方程AAABAArwDtvAAABAAArDt2vv ，DAB= constAAABArDt2dd除MAAAABARcDtc2dd40多組分系統(tǒng)的通用微分方程組質(zhì)量濃度：多元系連續(xù)方程nirntiii,.,2 , 1 vt0)(

9、vvv = const41多組分系統(tǒng)的通用微分方程組多元系運動方程niiipt1gvvv令：vvpMniiiMt1gv42多組分系統(tǒng)的通用微分方程組多元系能量方程niiiSpvUvUt122)2()2(gnvvqv令：vvqvepvU)2(2niiiSvUt12)2(gne43多組分系統(tǒng)的通用微分方程組存在濃度差時的自然對流運動方程.)()()()(,AAVVAAxTAxTxxTTaxxxTTTAA令：pVTa)(1TAVx)(1)()(ddAAVVxxTTatvgg運動方程：44用傳遞性質(zhì)表示的多組分通量速度梯度溫度梯度濃度梯度、壓力梯度、外力差速度通量牛頓定律能量通量傅立葉定律 迪富爾效應(yīng)質(zhì)量通量索雷效應(yīng)菲克定律45用傳遞性質(zhì)表示的多組分通量動量通量vvv)(32()()(T46用傳遞性質(zhì)表示的多組分通量熱量通量xqqqqqdrcTcqniiidH1JqniiiniiidcHTHvHTUvpe11NJvqq47用傳遞性質(zhì)表示的多組分通量質(zhì)量通量TigipixiijjjjjTDTiTilnjiijnijixixDMMc*12jnjijjiijiNxNxcDx1)(148本章小結(jié)連續(xù)方程運動方程能量方程狀態(tài)方程多組分系通量表達(dá)49本章小結(jié)（內(nèi)能+動能）方程 總能方程內(nèi)能方程 以H表示的能量方程連續(xù)方程 運動