函數(shù)的對稱性與周期性

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上函數(shù)的對稱性與周期性吳江市盛澤中學數(shù)學組徐建東對稱性：函數(shù)圖象存在的一種對稱關系，包括點對稱和線對稱。周期性：設函數(shù)的定義域是，若存在非零常數(shù)，使得對任何，都有且，則函數(shù)為周期函數(shù)，為的一個周期。對稱性和周期性是函數(shù)的兩大重要性質，他們之間是否存在著內在的聯(lián)系呢？本文就來研究一下它們之間的內在聯(lián)系，有不足之處望大家批評指正。一、一個函數(shù)關于兩個點對稱。命題1：如果函數(shù)的圖象關于點和點對稱，那么函數(shù)是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個周期。證明：函數(shù)的圖象關于點對稱，對定義域內的所有成立。又函數(shù)的圖象關于點對稱，對定義域內的所有成立。從而即：是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個周期。特例：當時

2、，為奇函數(shù)，即奇函數(shù)如果又關于點對稱，那么函數(shù)是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個周期。命題：如果函數(shù)的圖象關于兩點和對稱，那么：當，時，是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個周期。當，時，不是周期函數(shù)。證明：函數(shù)的圖象關于點對稱，對定義域內的所有成立。又函數(shù)的圖象關于點對稱，對定義域內的所有成立。從而當，時即：當，時，是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個周期。當，時當，時，不是周期函數(shù)。當，時（與條件矛盾，舍去）綜合得原命題成立。二、一個函數(shù)如果關于一個點和一條線對稱。命題2：如果函數(shù)的圖象關于點和直線對稱，那么函數(shù)是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個周期。證明：函數(shù)的圖象關于點對稱，對定義域內的所有成立。又函數(shù)的圖象關于直線對稱，對定義域

3、內的所有成立。從而即：即：是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個周期。特例：當時，為奇函數(shù)，即奇函數(shù)如果又關于直線對稱，那么函數(shù)是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個周期。命題：如果函數(shù)的圖象關于點和直線對稱，那么函數(shù)是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個周期。證明：函數(shù)的圖象關于點對稱，對定義域內的所有成立。又函數(shù)的圖象關于直線對稱，對定義域內的所有成立。從而即：即：是周期函數(shù)，為函數(shù)的一個周期。三、一個函數(shù)如果關于兩條線對稱。命題3：如果函數(shù)的圖象關于直線和直線對稱，那么函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)。證明：函數(shù)的圖象關于直線對稱，對定義域內的所有成立。又函數(shù)的圖象關于直線對稱，對定義域內的所有成立。從而即：是以為周期的周期函數(shù)。特例：當時