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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上函數(shù)的對稱性與周期性吳江市盛澤中學(xué)數(shù)學(xué)組徐建東對稱性:函數(shù)圖象存在的一種對稱關(guān)系,包括點對稱和線對稱。周期性:設(shè)函數(shù)的定義域是,若存在非零常數(shù),使得對任何,都有且,則函數(shù)為周期函數(shù),為的一個周期。對稱性和周期性是函數(shù)的兩大重要性質(zhì),他們之間是否存在著內(nèi)在的聯(lián)系呢?本文就來研究一下它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,有不足之處望大家批評指正。一、一個函數(shù)關(guān)于兩個點對稱。命題1:如果函數(shù)的圖象關(guān)于點和點對稱,那么函數(shù)是周期函數(shù),為函數(shù)的一個周期。證明:函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,對定義域內(nèi)的所有成立。又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,對定義域內(nèi)的所有成立。從而即:是周期函數(shù),為函數(shù)的一個周期。特例:當(dāng)時
2、,為奇函數(shù),即奇函數(shù)如果又關(guān)于點對稱,那么函數(shù)是周期函數(shù),為函數(shù)的一個周期。命題:如果函數(shù)的圖象關(guān)于兩點和對稱,那么:當(dāng),時,是周期函數(shù),為函數(shù)的一個周期。當(dāng),時,不是周期函數(shù)。證明:函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,對定義域內(nèi)的所有成立。又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,對定義域內(nèi)的所有成立。從而當(dāng),時即:當(dāng),時,是周期函數(shù),為函數(shù)的一個周期。當(dāng),時當(dāng),時,不是周期函數(shù)。當(dāng),時(與條件矛盾,舍去)綜合得原命題成立。二、一個函數(shù)如果關(guān)于一個點和一條線對稱。命題2:如果函數(shù)的圖象關(guān)于點和直線對稱,那么函數(shù)是周期函數(shù),為函數(shù)的一個周期。證明:函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,對定義域內(nèi)的所有成立。又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,對定義域
3、內(nèi)的所有成立。從而即:即:是周期函數(shù),為函數(shù)的一個周期。特例:當(dāng)時,為奇函數(shù),即奇函數(shù)如果又關(guān)于直線對稱,那么函數(shù)是周期函數(shù),為函數(shù)的一個周期。命題:如果函數(shù)的圖象關(guān)于點和直線對稱,那么函數(shù)是周期函數(shù),為函數(shù)的一個周期。證明:函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,對定義域內(nèi)的所有成立。又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,對定義域內(nèi)的所有成立。從而即:即:是周期函數(shù),為函數(shù)的一個周期。三、一個函數(shù)如果關(guān)于兩條線對稱。命題3:如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線和直線對稱,那么函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)。證明:函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,對定義域內(nèi)的所有成立。又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,對定義域內(nèi)的所有成立。從而即:是以為周期的周期函數(shù)。特例:當(dāng)時
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