女子體操隊(duì)最佳出場(chǎng)陣容問(wèn)題

1、女子體操隊(duì)最佳出場(chǎng)陣容問(wèn)題摘要本文旨在解決一個(gè)女子體操隊(duì)最佳出場(chǎng)陣容問(wèn)題，目的是通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)員以往各項(xiàng)目得分及概率分布進(jìn)行分析，在滿足參賽規(guī)則的條件下，排出一個(gè)出場(chǎng)陣容，使該隊(duì)取得最好的成績(jī)。我們想到這是一個(gè)實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中的分派問(wèn)題，于是我們用0-1變量表示一個(gè)運(yùn)動(dòng)員是否參加比賽，從而建立了問(wèn)題的0-1規(guī)劃模型。通過(guò)已給出的數(shù)據(jù)，借助數(shù)學(xué)軟件MATLAB進(jìn)行求解，分別給出了每個(gè)選手的各項(xiàng)得分按照最悲觀估算和按照均值估算的前提下的最佳出場(chǎng)陣容。我們靈活地通過(guò)改變問(wèn)題的約束條件與目標(biāo)函數(shù)，建立了要取得冠軍（就是總分大于236.2）且概率最大的模型。在模型無(wú)解的情況下，我們從新分析了問(wèn)題，給出了一個(gè)奪

2、冠出場(chǎng)陣容。在求解模型中，我們分析了預(yù)測(cè)誤差對(duì)決策結(jié)果的影響，即模型的靈敏度分析。由隨機(jī)變量的和的數(shù)學(xué)期望定理，我們得到以該陣容出戰(zhàn)的得分期望。我們并估算了以該陣容出戰(zhàn)有90%的把握戰(zhàn)勝怎樣水平的對(duì)手。為了讓決策更直觀，在本文中給出了各類(lèi)數(shù)據(jù)與出場(chǎng)陣容的圖表。關(guān)鍵詞：0-1線性規(guī)劃 MATLAB 得分期望一 問(wèn)題重述   有一場(chǎng)由四個(gè)項(xiàng)目（高低杠、平衡木、跳馬、自由體操）組成的女子體操團(tuán)體賽，賽程規(guī)定：每個(gè)隊(duì)至多允許 10 名運(yùn)動(dòng)員參賽，每一個(gè)項(xiàng)目可以有 6 名選手參加。每個(gè)選手參賽的成績(jī)?cè)u(píng)分從高到低依次為： 10 ； 9.9 ； 9.8 ； ； 0.1 ； 0

3、。每個(gè)代表隊(duì)的總分是參賽選手所得總分之和，總分最多的代表隊(duì)為優(yōu)勝者。此外，還規(guī)定每個(gè)運(yùn)動(dòng)員只能參加全能比賽（四項(xiàng)全參加）與單項(xiàng)比賽這兩類(lèi)中的一類(lèi)，參加單項(xiàng)比賽的每個(gè)運(yùn)動(dòng)員至多只能參加三項(xiàng)單項(xiàng)。每個(gè)隊(duì)?wèi)?yīng)有 4 人參加全能比賽，其余運(yùn)動(dòng)員參加單項(xiàng)比賽。問(wèn)題1：每個(gè)選手的各單項(xiàng)得分按最悲觀估算，在此前提下，請(qǐng)為該隊(duì)排出一個(gè)出場(chǎng)陣容，使該隊(duì)團(tuán)體總分盡可能高；個(gè)選手的各單項(xiàng)得分按均值估算，在此前提下，為該隊(duì)排出一個(gè)出場(chǎng)陣容，使該隊(duì)團(tuán)體總分盡可能高。問(wèn)題2：對(duì)以往的資料及近期各種信息進(jìn)行分析得到：本次奪冠的團(tuán)體總分估計(jì)為不少于 236.2 分，該隊(duì)奪冠應(yīng)排出怎樣的陣容？以該陣容出戰(zhàn)，其奪冠前景如何？得分前

4、景（即期望值）又如何？它有 90 的把握戰(zhàn)勝怎樣水平的對(duì)手？這是一個(gè)通過(guò)搭配選擇運(yùn)動(dòng)員來(lái)達(dá)到比賽時(shí)獲得最佳的戰(zhàn)績(jī)的問(wèn)題。題目給出了運(yùn)動(dòng)員各項(xiàng)目得分及概率分布表(見(jiàn)附錄)。二 模型假設(shè)1、單項(xiàng)比賽中，每個(gè)隊(duì)員至多參加3個(gè)項(xiàng)目；2、每一個(gè)項(xiàng)目有 6 名選手參加,參加全能比賽的有4名選手占用4個(gè)名額。三 符號(hào)說(shuō)明1.   其取值只能是1或0，并令 =1表示第i名運(yùn)動(dòng)員參加了全能比賽，反之 =0；2. 其取值只能是1或0，并令=1表示第j名運(yùn)動(dòng)員參加了編號(hào)為k的單項(xiàng)比賽，反之=0；3.表示第i名運(yùn)動(dòng)員參加了全能比賽的成績(jī)；4 .表示第j名運(yùn)動(dòng)

5、員參加了編號(hào)為k的單項(xiàng)比賽成績(jī)；5. 表示第i名參加了全能比賽的最好成績(jī)；6. 表示第j名運(yùn)動(dòng)員參加第k項(xiàng)單項(xiàng)比賽的最好成績(jī)； 四 問(wèn)題分析問(wèn)題中，賽程規(guī)定每個(gè)代表隊(duì)的總分是參賽選手所得總分之和，每個(gè)隊(duì)至多允許10個(gè)隊(duì)員參賽，為了使團(tuán)隊(duì)總分盡可能高，則10名運(yùn)動(dòng)員應(yīng)全部參加比賽。而每個(gè)項(xiàng)目可以有六個(gè)隊(duì)員參加，也就是說(shuō)每個(gè)單項(xiàng)最多只能有六個(gè)隊(duì)員參加（包括全能隊(duì)員與參加單個(gè)項(xiàng)目的隊(duì)員）。每個(gè)團(tuán)隊(duì)?wèi)?yīng)該有四個(gè)人參加全能項(xiàng)目，其余的參加單項(xiàng)比賽：每個(gè)運(yùn)動(dòng)員只能參加單項(xiàng)比賽與全能比賽中的一類(lèi)；參加單項(xiàng)比賽的運(yùn)動(dòng)員最多只能參加3個(gè)單項(xiàng)。這兩條就是說(shuō)參加全能與單項(xiàng)的運(yùn)動(dòng)員不允許出現(xiàn)沖突。這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，我們

6、要在滿足上述條件的情況下：1.規(guī)定每個(gè)隊(duì)員的得分按照最悲觀（即項(xiàng)目得分最低值）估算，為了達(dá)到總分最高的要求，我們?cè)摻⒁粋€(gè)怎樣的數(shù)學(xué)模型，為該隊(duì)排出一個(gè)最佳陣容；2.規(guī)定每個(gè)隊(duì)員的得分按照均值估算，為了達(dá)到總分最高的要求，我們?cè)摻⒁粋€(gè)怎樣的數(shù)學(xué)模型，為該隊(duì)排出一個(gè)最佳陣容；3.規(guī)定本次奪冠的團(tuán)體總分估計(jì)為不少于236.2分，為了使該隊(duì)奪冠，我們?cè)撆懦鲈趺礃拥年嚾?，并?jì)算以該陣容出戰(zhàn)的奪冠前景和得分期望，最后分析它有90%的把握戰(zhàn)勝怎么樣水平的對(duì)手。五 模型的建立和求解通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，這是一個(gè)實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中的分派問(wèn)題，我們建立0-1線性規(guī)劃模型。（1）要有4名運(yùn)動(dòng)員參加全能比賽，應(yīng)有=4 (

7、2)每一個(gè)比賽項(xiàng)目要有6名選手參加，參加全能比賽的有4名選手占用4個(gè)名額，則有=2 k=1,2,3,4（3）參加單項(xiàng)比賽項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)員最多只能參加3項(xiàng)單項(xiàng)項(xiàng)目，則 j=1,2,10（4）每個(gè)運(yùn)動(dòng)員只能參加全能比賽或者單項(xiàng)比賽中的一類(lèi)，則 i=j=1,2,10 k=1,2,3,4當(dāng)?shù)趈名運(yùn)動(dòng)員參加第k項(xiàng)單項(xiàng)比賽時(shí)，其成績(jī)?yōu)閱T成績(jī)?yōu)?當(dāng)?shù)趇運(yùn)動(dòng)員 參加全能比賽時(shí)，其成績(jī)?yōu)?#160;，于是全隊(duì)總分可以表示為 z=+這就是問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)。問(wèn)題一 我們針對(duì)問(wèn)題一的最佳陣容的最優(yōu)組合問(wèn)題建立下列01線性規(guī)劃模型：模型一1： Max z=（+)s.t. j=1,2,10 i=j=1,2,10，k=

8、1,2,3,4=4=2 k=1,2,3,4 ,i=1,2,10 ，j=1,2,10，k=1,，4基于問(wèn)題一的解，我們給出運(yùn)動(dòng)員各項(xiàng)目最悲觀得分分布表：表一 運(yùn)動(dòng)員各項(xiàng)目最悲觀得分分布表123456789101（高低杠）8.49.38.48.18.49.49.58.48.49.02（平衡術(shù)）8.48.48.18.79.08.78.48.88.48.13（跳馬）9.18.48.49.08.38.58.38.78.48.24（自由操）8.78.99.58.49.48.48.48.29.39.15（全能）34.63534.434.235.135.034.634.134.534.4由表一的數(shù)據(jù)

9、，我們借助數(shù)學(xué)軟件MATLAB對(duì)0-1線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解（程序命令見(jiàn)附錄2），由屏幕最后顯示結(jié)果得：，其他=0，Y71=Y101=Y42=Y82=Y13=Y43=Y34=Y104=1其他=0，z=212.3表二 最悲觀條件下團(tuán)體總分為212.3的最佳陣容分配表123456789101(高低杠)01001110112（平衡木）01011101103（跳馬）11011100104（自由操）01101100111代表參加比賽。由均值（即數(shù)學(xué)期望）的定義，從附錄1，我們得到各運(yùn)動(dòng)員各單項(xiàng)得分期望，如下表三：表三 各運(yùn)動(dòng)員各單項(xiàng)得分均值123456789101（高低杠）99.699.199.79.89

10、99.42（平衡術(shù)）999.19.19.49.199.89.29.13（跳馬）9.5999.58.98.98.99.199.24（自由操）9.19.39.899.799.29.39.79.55（全能）36.636.936.936.73736.736.937.236.937.2由上表的數(shù)據(jù)，借助數(shù)學(xué)軟件MATLAB對(duì)0-1線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解（程序命令見(jiàn)附錄2），由屏幕最后顯示結(jié)果得：X2=X8=X9=X10=1，其他=0, Y61=Y71=Y42=Y52=Y13=Y43=Y34=Y54=1,其他=0，Z=224.7表四 按均值估算下團(tuán)體總分為224.7分的最佳陣容分配表123456789101

11、(高低杠)01000111112（平衡木）01011001113（跳馬）11010001114（自由操）01101001111代表參加比賽。問(wèn)題二 我們分析了每個(gè)選手的各單項(xiàng)得分按均值估算為該隊(duì)排出的最佳陣容，該隊(duì)團(tuán)體總分最高為224.7分.而對(duì)以往的資料及近期的各種信息分析，得到本次奪冠總分估計(jì)為不少于236.2分，且這次女子體操團(tuán)體賽的總分為240分。經(jīng)分析，我們決定每個(gè)運(yùn)動(dòng)員得分按最樂(lè)觀估算，再次前提下，我們?yōu)樵撽?duì)排出一個(gè)出場(chǎng)陣容，使該團(tuán)隊(duì)在能奪冠的前提下，其概率最大，即期望值最大。于是，在問(wèn)題一的模型中再加入一個(gè)約束條件：+)236.2當(dāng)?shù)趈名運(yùn)動(dòng)員參加第k項(xiàng)單項(xiàng)比賽時(shí)，其成績(jī)?yōu)閱T成績(jī)

12、為,當(dāng)?shù)趇運(yùn)動(dòng)員 參加全能比賽時(shí)，其成績(jī)?yōu)?#160;，于是全隊(duì)期望總分可以表示為 z=+這就是問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)。我們針對(duì)問(wèn)題二的最佳陣容的最優(yōu)組合問(wèn)題建立下列01線性規(guī)劃模型：模型二1： Max z=+ s.t. j=1,2,，10 i=j=1,2,，10，k=1,2,3,4=4=2 k=1,2,3,4+)236.2 ,i=1,2,，10 ，j=1,2,，10，k=1,，4對(duì)模型求解，我們先給出各運(yùn)動(dòng)員參加各項(xiàng)目的得最樂(lè)觀分（見(jiàn)下表五）：表五 各運(yùn)動(dòng)員參加各項(xiàng)目的得最樂(lè)觀分表123456789101（高低杠）9.49.8109.59.49.910109.49.72（平衡術(shù)）

13、109.49.59.99.79.910109.89.53（跳馬）9.8109.49.79.39.19.39.9109.64（自由操）9.99.610109.99.49.89.89.99.85（全能）39.138.838.939.138.338.339.139.739.138.6根據(jù)表五的數(shù)據(jù)，我們借助MATLAB對(duì)模型二進(jìn)行求解，由屏幕最后顯示結(jié)果得： =0，=0，,i=1,2,，10 ，j=1,2,，10，k=1,，4 z=inf 由結(jié)果知，模型二無(wú)解，這說(shuō)明了該隊(duì)既要奪冠，又要使其概率最大，顯然不可能同時(shí)滿足。于是，我們不考慮奪冠的概率，只考慮如何為該隊(duì)排出一個(gè)奪冠的陣容。于是，

14、問(wèn)題歸結(jié)為，每個(gè)選手的得分按最樂(lè)觀計(jì)算，在此前提下，為該隊(duì)排出一個(gè)奪冠的陣容。 由表五的數(shù)據(jù)，用MATLAB求解模型一（解法如程序一），由屏幕最后顯示結(jié)果得： X1=X4=X7=X8=1，其他 =0,Y31=Y61=Y62=Y92=Y23=Y93=Y34=Y54=1,其他=0，z=236.5表六 按最樂(lè)觀估算下團(tuán)體總分為236.5分的最佳陣容分配表123456789101(高低杠)10110111002（平衡木）10010111103（跳馬）11010011104（自由操）1011101100 1代表參加比賽。下面我們給出按表六的陣容，各運(yùn)動(dòng)員得分最高時(shí)的概率分布表：12345678

15、9101(高低杠)0.10.10.10.20.20.12（平衡木）0.10.10.10.10.40.23（跳馬）0.20.10.30.20.10.14（自由操）0.10.20.10.20.20.1從表中可以看出，各個(gè)參賽運(yùn)動(dòng)員都有10%以上的機(jī)會(huì)拿到各自最好的成績(jī)。以該陣容出戰(zhàn)，該隊(duì)奪冠的前景是蠻樂(lè)觀的。由隨機(jī)變量的和的數(shù)學(xué)期望定理2：兩個(gè)隨機(jī)變量的和的數(shù)學(xué)期望對(duì)于它們數(shù)學(xué)期望之和。于是，該陣容的得分期望為參加隊(duì)員的得分期望之和,由參加比賽陣容和表三的數(shù)據(jù)得 E=221.9它有90%把握戰(zhàn)勝各個(gè)參賽運(yùn)動(dòng)員都取得各自最好成績(jī)且其概率小于等于9%的對(duì)手，對(duì)手的總分小于或等于236.5。六 模型的討

16、論(1)由此模型可以推廣到任何指派問(wèn)題，容易對(duì)約束條件和目標(biāo)函數(shù)的更改，可以轉(zhuǎn)變?yōu)槎嗄繕?biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃模型。(2) 在模型二無(wú)解的情況下，我們忽略了奪冠的穩(wěn)定性，只考慮排出陣容所得總分最高。（3）模型可以用數(shù)學(xué)軟件精確的求解。（4）MATLAB的求解不滿足線性規(guī)劃問(wèn)題的解的不唯一性，約束了原問(wèn)題的多種方案。七 參考文獻(xiàn)1 楊尚俊，數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)明教程，合肥：安徽大學(xué)出版社，2006年3月2劉劍平、陸元鴻，數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法與概率論，上海：華東理工大學(xué)出版社，2001年8月附錄一：運(yùn)動(dòng)員各項(xiàng)目得分及概率分布表 1 （高低杠）2 （平衡木）3 （跳馬）4 （自由體操）1 8.4 0.15 8.4 0.10

17、9.1 0.10 8.7 0.10 9.0 0.50 8.8 0.20 9.3 0.10 8.9 0.20 9.2 0.25 9.0 0.60 9.5 0.60 9.1 0.60 9.4 0.10 10 0.10 9.8 0.20 9.9 0.10 2 9.3 0.10 8.4 0.15 8.4 0.10 8.9 0.10 9.5 0.10 9.0 0.50 8.8 0.20 9.1 0.10 9.6 0.60 9.2 0.25 9.0 0.60 9.3 0.60 9.8 0.20 9.4 0.10 10 0.10 9.6 0.20 3 8.4 0.10 8.1 0.10 8.4 0.15 9

18、.5 0.10 8.8 0.20 9.1 0.50 9.0 0.50 9.7 0.10 9.0 0.60 9.3 0.30 9.2 0.25 9.8 0.60 10 0.10 9.5 0.10 9.4 0.10 10 0.20 4 8.1 0.10 8.7 0.10 9.0 0.10 8.4 0.10 9.1 0.50 8.9 0.20 9.4 0.10 8.8 0.20 9.3 0.30 9.1 0.60 9.5 0.50 9.0 0.60 9.5 0.10 9.9 0.10 9.7 0.30 10 0.10 5 8.4 0.15 9.0 0.10 8.3 0.10 9.4 0.10 9.0

19、 0.50 9.2 0.10 8.7 0.10 9.6 0.10 9.2 0.25 9.4 0.60 8.9 0.60 9.7 0.60 9.4 0.10 9.7 0.20 9.3 0.20 9.9 0.20 6 9.4 0.10 8.7 0.10 8.5 0.10 8.4 0.15 9.6 0.10 8.9 0.20 8.7 0.10 9.0 0.50 9.7 0.60 9.1 0.60 8.9 0.50 9.2 0.25 9.9 0.20 9.9 0.10 9.1 0.30 9.4 0.10 7 9.5 0.10 8.4 0.10 8.3 0.10 8.4 0.10 9.7 0.10 8.

20、8 0.20 8.7 0.10 8.8 0.10 9.8 0.60 9.0 0.60 8.9 0.60 9.2 0.60 10 0.20 10 0.10 9.3 0.20 9.8 0.20 8 8.4 0.10 8.8 0.05 8.7 0.10 8.2 0.10 8.8 0.20 9.2 0.05 8.9 0.20 9.3 0.50 9.0 0.60 9.8 0.50 9.1 0.60 9.5 0.30 10 0.10 10 0.40 9.9 0.10 9.8 0.10 9 8.4 0.15 8.4 0.10 8.4 0.10 9.3 0.10 9.0 0.50 8.8 0.10 8.8 0

21、.20 9.5 0.10 9.2 0.25 9.2 0.60 9.0 0.60 9.7 0.50 9.4 0.10 9.8 0.20 10 0.10 9.9 0.30 10 9.0 0.10 8.1 0.10 8.2 0.10 9.1 0.10 9.2 0.10 9.1 0.50 9.2 0.50 9.3 0.10 9.4 0.60 9.3 0.30 9.4 0.30 9.5 0.60 9.7 0.20 9.5 0.10 9.6 0.10 9.8 0.20 附錄二MATLAB的運(yùn)行程序：A=1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

22、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

23、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

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