信號與系統(tǒng)第九章 拉普拉斯變換

1、2022-4-15第第9章章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換THE LAPLACE TRANSFORM4. 雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)；雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)；1. 雙邊拉普拉斯變換；雙邊拉普拉斯變換；2. 雙邊拉普拉斯變換的收斂域；雙邊拉普拉斯變換的收斂域；5. 單邊拉普拉斯變換；單邊拉普拉斯變換；3. 零極點圖；零極點圖；29.0 9.0 引言引言傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例 和和 為基本分解為基本分解信號。對更一般的復(fù)指數(shù)函數(shù)信號。對更一般的復(fù)指數(shù)函數(shù) 和和 ，也能以此為基本，也能以此為基本信號對信號進行分解。信號對信號進行分解。jtejnestenz復(fù)指數(shù)函數(shù)是一

2、切復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切LTILTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。系統(tǒng)的特征函數(shù)。相當(dāng)廣泛的信號相當(dāng)廣泛的信號都可以表示成復(fù)指數(shù)信號的線性組合都可以表示成復(fù)指數(shù)信號的線性組合將連續(xù)時間傅里葉變換推廣到更一般的情況將連續(xù)時間傅里葉變換推廣到更一般的情況（拉普拉斯變（拉普拉斯變換）就是本章要討論的中心問題。換）就是本章要討論的中心問題。拉氏變換具有很多與傅氏變換相同的性質(zhì)，不僅能解決用拉氏變換具有很多與傅氏變換相同的性質(zhì)，不僅能解決用傅氏分析方法可以解決的信號與系統(tǒng)分析問題，還能用于傅氏分析方法可以解決的信號與系統(tǒng)分析問題，還能用于傅里葉分析方法不適用的許多方面。傅里葉分析方法不適用的許多方面。拉普拉斯分析是傅里拉普

3、拉斯分析是傅里葉分析的推廣，傅里葉分析是拉普拉斯分析的特例。葉分析的推廣，傅里葉分析是拉普拉斯分析的特例。3一一. .雙邊拉氏變換的定義：雙邊拉氏變換的定義：( )( )stX sx t edt其中其中sj若若 ， 則有則有: :0sj()( )j tXjx t edt 這就是這就是 的傅里葉變換。的傅里葉變換。( )x t連續(xù)時間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換連續(xù)時間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在在 (s (s平面的平面的 軸軸) )上的特例。上的特例。0jFT: FT: 實頻率，實頻率， 是振蕩頻率是振蕩頻率LT: LT: 復(fù)頻率復(fù)頻率 ， 是振蕩頻率，是振蕩頻率， 控制衰減速度控制衰減速度

4、js9.1 9.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 jS S平面平面4( )( ) ( )tj ttj tX sx t eedtx t eedt ( )tx t e F由于由于拉氏變換是對傅里葉變換的推廣拉氏變換是對傅里葉變換的推廣， 的拉氏變換就是的拉氏變換就是 的傅里葉變換。只要有合適的的傅里葉變換。只要有合適的 存在，就可以存在，就可以使本來不滿足狄里赫利條件的信號在引入使本來不滿足狄里赫利條件的信號在引入 后滿足該后滿足該條件。即有些信號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存條件。即有些信號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這表明在。這表明拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。拉氏變換比傅里葉變

5、換有更廣泛的適用性。( )x tte( )tx t e不滿足狄里赫利條件的信號 u(t) 增長信號( ),0ate u t a 乘一衰減因子 后收斂（滿足狄里赫利條件）te( ),0tu t e( ),atte eu ta5( )( )atx teu t例例1.()()000( )atsts a ta tj tX seedtedteedt當(dāng)當(dāng) 時，時， 的傅里葉變換存在的傅里葉變換存在: :( )x t0a 01()atj tX jeedtaj(0)a 顯然，在顯然，在 時，拉氏變換收斂的區(qū)域為時，拉氏變換收斂的區(qū)域為 ，包括了，包括了 （即（即 軸）。軸）。0aRe sa 0jRe sa 在

6、在 時，積分收斂：時，積分收斂：1( )X ssa比較比較 和和 , ,顯然有顯然有: : ()X j( )X s( )()sjX sX j6當(dāng)當(dāng) 時，時，( )( )( )atx teu tu t0a 1( )uts可知可知Re 0s 例例2.( )()atx teut 00()( )atsts a tX se e dtedt 與例與例1.比較，區(qū)別僅在于收斂域不同。比較，區(qū)別僅在于收斂域不同。不包含不包含 軸，所以不能得出軸，所以不能得出u(t)的傅里葉變換為的傅里葉變換為j1jjRe sa 在在 時，積分收斂：時，積分收斂：1( )X ssa7幾點結(jié)論：幾點結(jié)論：1. 1. 拉氏變換與傅

7、里葉變換一樣存在收斂問題。并非任拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。并非任何信號的拉氏變換都存在，也不是何信號的拉氏變換都存在，也不是 s s 平面上的任何復(fù)平面上的任何復(fù)數(shù)都能使拉氏變換收斂。數(shù)都能使拉氏變換收斂。2. 2. 使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù)使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù) s s的集合，稱為拉氏的集合，稱為拉氏變換的變換的收斂域收斂域 (ROC) (ROC) 。收斂域。收斂域 對拉氏變換是非常重要對拉氏變換是非常重要的概念。的概念。3. 3.不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達式，不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達式，只是它們的收斂域不同。只是它們的收斂域不同。只有拉氏

8、變換的表達式連同只有拉氏變換的表達式連同相應(yīng)的收斂域，才能和信號建立一一對應(yīng)的關(guān)系相應(yīng)的收斂域，才能和信號建立一一對應(yīng)的關(guān)系。()( )s jX jX s4. 4. 如果一個信號的拉氏變換的如果一個信號的拉氏變換的ROCROC包含包含 軸，則信軸，則信號的傅里葉變換也存在，并且：號的傅里葉變換也存在，并且：j8二二. . 拉氏變換的拉氏變換的ROCROC及零極點圖：及零極點圖：2( )( )( )ttx te u te u t例例3.200( )tsttstX se edteedt1( ),1te u tsRe 1s 21( ),2teu tsRe 2s 1j2jj21Re 1s 21123(

9、 ),1232sX sssss9可見：可見：拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。分。ROCROC總是以平行于總是以平行于 軸的直線作為邊界的，軸的直線作為邊界的，ROCROC的邊界總是與的邊界總是與 的分母的根的分母的根( (極點極點) )相對應(yīng)。相對應(yīng)。j( )X sRe 1s j21223( ),32sX sss極點極點零點零點10分子多項式的根稱為分子多項式的根稱為零點零點，分母多項式的根稱為，分母多項式的根稱為極點極點。將將 的全部零點和極點表示在的全部零點和極點表示在S S平面上，就構(gòu)成了平面上，就構(gòu)成了零極點圖零極點圖。零極點圖及其收斂域可以

10、表示一個。零極點圖及其收斂域可以表示一個 ，最多與真實的最多與真實的 相差一個常數(shù)因子相差一個常數(shù)因子 。( )X s( )X s( )X sM因此，因此，零極點圖是拉氏變換的圖示方法零極點圖是拉氏變換的圖示方法。若若 是有理函數(shù)是有理函數(shù)( )X s()( )( )( )()iiiisN sX sMD ss119.2 9.2 拉氏變換的收斂域拉氏變換的收斂域2. 2. 在在ROCROC內(nèi)無任何極點。內(nèi)無任何極點。j1. ROC1. ROC是是 s s 平面上平行于平面上平行于 軸的帶形區(qū)域。軸的帶形區(qū)域。j4. 4. 右邊信號的右邊信號的ROCROC位于位于s s平面內(nèi)一條平行于平面內(nèi)一條平

11、行于 軸的軸的直線的右邊。直線的右邊。 5. 5. 左邊信號的左邊信號的ROCROC位于位于s s平面內(nèi)一條平行于平面內(nèi)一條平行于 軸的軸的 直線的左邊。直線的左邊。j3. 3. 時限信號的時限信號的ROCROC是整個是整個 s s 平面。平面。6. 6. 雙邊信號的雙邊信號的ROCROC如果存在，一定是如果存在，一定是 s s 平面內(nèi)平行于平面內(nèi)平行于 軸的帶形區(qū)域。軸的帶形區(qū)域。j120( )tTx t edt 若若 ，則，則101( )tTx t edt010100()()( )( )ttTTtTx t eedtex t edt1表明表明 也在收斂域內(nèi)。也在收斂域內(nèi)。 若若 是右邊信號是

12、右邊信號, , , , 在在ROC內(nèi)內(nèi)，則有則有 絕對可積，即：絕對可積，即：00( )tx t e( )x tTt 性質(zhì)性質(zhì)4的證明：的證明：13()()001( )1TTatsts a ts a TX seedtedtesa例例1.,0( )0, atetTx t其它考查零點，令考查零點，令()1s a Te 有有極點極點sa ( )X s 顯然顯然 在在 也有一階零點，由于零極也有一階零點，由于零極點相抵消，致使在整個點相抵消，致使在整個S平面上無極點。平面上無極點。sa ( )X s2sajkT 得得（k為整數(shù)）為整數(shù)）當(dāng)當(dāng) 時，上述時，上述ROC有公共部分，有公共部分，0b11( )

13、X ssbsbRe bsb 當(dāng)當(dāng) 時，上述時，上述 ROC 無公共部分，表明無公共部分，表明 不存在。不存在。0b ( )X s1(),bte utsb Re sb 1( ),bteu tsbRe sbbjb例例2.( )b tx te( )( )()btbtx teu te ut15 當(dāng)當(dāng) 是有理函數(shù)時，其是有理函數(shù)時，其ROC總是由總是由 的的極點分割的。極點分割的。ROC必然滿足下列規(guī)律：必然滿足下列規(guī)律：( )X s( )X s3. 雙邊信號的雙邊信號的ROC可以是任意兩相鄰極點之間可以是任意兩相鄰極點之間的帶形區(qū)域。的帶形區(qū)域。( )X s2. 左邊信號的左邊信號的ROC一定位于一定

14、位于 最左邊極點最左邊極點的左邊。的左邊。( )X s1. 右邊信號的右邊信號的ROC一定位于一定位于 最右邊極點最右邊極點的右邊。的右邊。16例例3.21( )321112X sssss可以形成三種可以形成三種 ROC：1) ROC：2) ROC：3) ROC：Re 2s Re 1s 2Re 1s j12( )x t此時此時 是是右邊信號右邊信號。( )x t此時此時 是是左邊信號左邊信號。( )x t此時此時 是是雙邊信號雙邊信號。17對有理函數(shù)形式的對有理函數(shù)形式的 求反變換一般有兩種方求反變換一般有兩種方法法, ,即即部分分式展開法部分分式展開法和和留數(shù)法留數(shù)法。( )X s 1. 將

15、將 展開為部分分式。展開為部分分式。( )X sv 部分分式展開法：部分分式展開法：3. 利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質(zhì)利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質(zhì),對每一項進行反變換。對每一項進行反變換。( )X s2. 根據(jù)根據(jù) 的的ROC，確定每一項的，確定每一項的ROC 。9. 3 拉普拉斯反變換的求法拉普拉斯反變換的求法181,2ss 極點：極點：確定其可能的收斂域及所對應(yīng)信號的屬性。確定其可能的收斂域及所對應(yīng)信號的屬性。1( )(1)(2)X sss例例1.右邊信號右邊信號12j左邊信號左邊信號12j雙邊信號雙邊信號12j19例例2.1( )(1)(2)X sssROC: 2Re 1

16、s 11( )12Xsss2( )( )()ttx teu te ut 思考題：對于本例中的思考題：對于本例中的X(s),若收斂域分別為：若收斂域分別為：(a) Res-1;(b)Res-2,求這兩種情況下的求這兩種情況下的x(t)？1: Re 1()R1OCtse uts 1 121:Re 2ROC( )2tseu ts 2 2ROC1、ROC2必須各自包含必須各自包含ROC20可以用零極點圖表示可以用零極點圖表示 的特征的特征。當(dāng)。當(dāng)ROC包包括軸時，以括軸時，以 代入代入 ，就可以得，就可以得到到 。以此為基礎(chǔ)可以用幾何求值的方法。以此為基礎(chǔ)可以用幾何求值的方法從零極點圖求得從零極點圖求

17、得 的特性。這在定性分析的特性。這在定性分析系統(tǒng)頻率特性時有很大用處。系統(tǒng)頻率特性時有很大用處。( )X sjsj()X j()X j( )X s9.4 由零極點圖對傅里葉變換幾何求值由零極點圖對傅里葉變換幾何求值（一般了解即可）（一般了解即可）21( )X ssa1. 單零點情況：單零點情況： 矢量矢量 稱為稱為零點矢量零點矢量，它的長度，它的長度 表示表示 , ,其幅角即為其幅角即為 。1()X s1( )X s1sa 1|sa1sa0a1sj 零點零點 , , 要求出要求出 時的時的 ，可以，可以作兩個矢量作兩個矢量 和和 ，則，則 。1ss11( )()X ssa 1( )X s1sa

18、sa1sa 221( ),X ssa極點極點sa111()X ssa 11( )X ssa 直接由極點向直接由極點向 點作矢量（稱為點作矢量（稱為極點矢量極點矢量），），其長度的倒量為其長度的倒量為 , ,幅角的負值為幅角的負值為 。1s1( )X s1()X s2. 單極點情況：單極點情況：1sa0a1sj1sa 23對對s s平面任意一點平面任意一點s s1 1有有: :111( )iiiisX sMs ( )( )( )iiiisN sX sMD ss111( )iiiiX sss 3. 一般情況：一般情況：即：從所有零點向即：從所有零點向 點作點作零點矢量零點矢量，從所有極點向，從所有

19、極點向 點點作作極點矢量極點矢量。所有零點矢量的長度之積除以所有極點矢。所有零點矢量的長度之積除以所有極點矢量的長度之積即為量的長度之積即為 。所有零點矢量的幅角之和減。所有零點矢量的幅角之和減去所有極點矢量的幅角之和即為去所有極點矢量的幅角之和即為 。1s1( )X s1( )X s1s當(dāng)當(dāng) 取為取為 軸上的點時，即為傅里葉變換的幾何求值。軸上的點時，即為傅里葉變換的幾何求值?？疾榭疾?在在 軸上移動時所有零、極點矢量的長度和幅角軸上移動時所有零、極點矢量的長度和幅角的變化的變化，即可得出，即可得出 的幅頻特性和相頻特性。的幅頻特性和相頻特性。1s1sjj()X j24例例1. 畫出信號畫出

20、信號 的幅頻特性和相頻特性的幅頻特性和相頻特性1( )( ),0tx te u tj1/1/( ),(1/ )H ss1Re s 包含包含 軸軸j幅頻特性：幅頻特性：是是 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， 時，取最大值時，取最大值1 1，隨著隨著 ， 單調(diào)下降，單調(diào)下降， 時，時，下降到最大值的下降到最大值的()H j1120相頻特性：相頻特性：是是 的奇函數(shù)，的奇函數(shù)， 時，時，隨著隨著 ， 趨于趨于 ， ， 趨于趨于0()0H j()H j/2()H j/21/1/()H j1/(),(1/ )Hjj11/|()|H j121/251212( )( )( )( )ax tbx taXsbXs則則ROC

21、至少是至少是12RR9.5 拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質(zhì)。這拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質(zhì)。這里只著重于里只著重于ROC的討論。的討論。1. 線性：線性：11( )( ),x tXs1ROC : R22( )( ),x tXs2ROC: R若若26112( )1,11sX sss ROC:1 21( ),1XssROC:1 12( )( )1x tx tt而而ROC擴大為整個擴大為整個S平面。平面。 當(dāng)當(dāng) 與與 無交集時，表明無交集時，表明 不存在。不存在。1R2R( )X s例例. . 1( )tx tte u t 2( )tx te u t

22、 （原因是出現(xiàn)了零（原因是出現(xiàn)了零極點相抵消的現(xiàn)象）極點相抵消的現(xiàn)象）272. 時移性質(zhì)時移性質(zhì):( )( ),x tX sROC:R若若00()( ),stx ttX s eROC不變不變則則3. S域平移域平移:( )( ),x tX sROC:R若若則則00( )(),s tx t eX ss0ReROC:Rs 表明表明 的的ROC是將是將 的的ROC平移了平移了一個一個 。這里是指。這里是指ROC的邊界的邊界平移平移。0()X s s( )X s0Res28例例. . ( ),tx te u t1( ),1X ss1 顯然顯然ROC :3 31)2()()()()(32ssXsYtue

23、etxtytt29Re sa R 4. 時域尺度變換時域尺度變換:ROC:R( )( ),x tX s若若1()()sx atXaaROC : aR則則當(dāng)當(dāng) 時時 收斂，收斂， 時時 收斂收斂R( )sXaRRe sa( )X s30 可見：可見：若信號在時域尺度變換，其拉氏變換的若信號在時域尺度變換，其拉氏變換的ROC在在S平面上作相反的尺度變換。平面上作相反的尺度變換。()(),xtXsROC :R特例特例例例. . 1( )( ),1tx te u tX ss1 2( )2ttxe u t求求 的拉氏變換及的拉氏變換及ROC12( ),1212X sss1ROC:2 31如果如果 是實信

24、號，且是實信號，且 在在 有有極點（或零點），則極點（或零點），則 一定在一定在 也有極點（或零點）。這表明：也有極點（或零點）。這表明：實信號的拉氏變換其復(fù)數(shù)零、極點實信號的拉氏變換其復(fù)數(shù)零、極點必共軛成對出現(xiàn)。必共軛成對出現(xiàn)。( )x t( )X s0s( )X s0s當(dāng)當(dāng) 為實信號時，有：為實信號時，有：( )x t( )( )x tx t由此可得以下重要結(jié)論：由此可得以下重要結(jié)論：( )()X sXs( )()XsX s或或5. 共軛對稱共軛對稱性性（Conjugation）：）：( )(),x tXsROC:R( )( ),x tX sROC:R若若則則j32 6. 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì)

25、:（Convolution Property）1212( )( )( )( )x tx tX s XsROC:12RR包括包括11( )( ),x tXs1ROC : R22( )( ),x tXs2ROC:R若若則則121RR 顯然有顯然有:例例. .11( ),1X ss21( ),23sX sss1ROC:1R 2ROC:2R 121( )( ),23Xs Xsss2, ROC擴大擴大原因是原因是 與與 相乘時，發(fā)生了零極點相抵消的現(xiàn)象。相乘時，發(fā)生了零極點相抵消的現(xiàn)象。當(dāng)被抵消的極點恰好在當(dāng)被抵消的極點恰好在ROC的邊界上時，就會使收斂域擴大。的邊界上時，就會使收斂域擴大。2( )X

26、s1( )X s337. 時域微分時域微分: :（Differentiation in theTime Domain）( )( ),dx tsX sdt( )( ),x tX sROC: RROC包括包括R, ,有可能擴大。有可能擴大。若若則則 8. 時域積分時域積分:（Integration in the Time Domain ）( )( ),x tX sROC : R若若1( )( )txdX ssROC :包括包括(Re 0)Rs 則則( )( )( )txdx tu t1( )( )txdX ssROC :包括包括(Re 0)Rs 證明：證明：349.6 常用拉氏變換對常用拉氏變換對 1s( )ateu tas 1)(t1)(0tt 0ste( )u t35 單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是因果信號的雙邊拉氏變換。因果信號的雙邊拉氏變換。一一. .定義定義: :0( )( )stsx t edt 如果如果 是因果信號，對其做雙邊拉氏變換是因果信號，對其做雙邊拉氏變換和做單邊拉氏變換是完全相同的。