2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)3空間向量與立體幾何學(xué)案理

1、第 3 講空間向量與立體幾何考點(diǎn) 1 向量法證明平行與垂直設(shè)直線 l 的方向向量為 a=(ai,bi,ci).平面a,3的法向量分別為 u=(a2,b2,C2),v=(a3,b3,C3).(1)線面平行：l/a?au?au=0?aia2+bib2+ciC2=0.(2)線面垂直:lXa?au?a=ku?a=ka2,bi=也，ci=kC2.(3)面面平行：aII3?uv?u=kv?a2=ka3,b2=kb3,C2=kC3.(4)面面垂直：a(3?uv?u-v=0?a2a3+b2b3+C2c3=0.例 12019甘肅蘭州質(zhì)檢在直三棱柱ABG-ABG 中，/ABO90,BC=2,CG=4,點(diǎn)E在線段B

2、B上，且EB=1,D,F,G分別為CC,GB,GA的中點(diǎn).求證：(1)BDL 平面ABD(2)平面EGF/平面ABD【證明】(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BABCBB所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,如圖所示，則B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4)，設(shè)BA=a,則A：a,0,0),所以BA=(a,0,0),BD=(0,2,2),BD=(0,2,2),BD-BA=0,BD-BD=0+44=0,即BD，BABiDXBD又BAABD=B,BABD?平面ABD因此BD，平面ABDa._(2)由知，E(0,0,3),G、1,4,F(0,1,4),a一則EG=2，1，

3、1，EF=(0,1,1),BD-EG=0+22=0,BD-EF=0+22=0,即BiDXEGBiDXEF又EGHEF=E,EGEF?平面EGF因此BD，平面EGF結(jié)合(1)可知平面EGF/平面ABD(技法領(lǐng)悟-利用空間向量證明平行與垂直的步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系，建系時(shí)，要盡可能地利用載體中的垂直關(guān)系；(2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問題中所涉及的點(diǎn)、直線、平面中的要素；(3)通過空間向量的運(yùn)算研究平行、垂直關(guān)系；(4)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問題.對接訓(xùn)練1.2018山東聊城模擬如圖，在直三棱柱ADE-BCF中，面ABFE面ABCDTB是正方形且互相垂直，M為AB的中

4、點(diǎn)，O為DF的中點(diǎn)，運(yùn)用向量方法證明：(1)OMZ平面BCF(2)平面MDF平面EFCD證明：由題意，得ABADAE兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.1設(shè)正萬形邊長為 1,則A(0,0,0)，日 1,0,0),ai,1,0),D(0,1,0),F(1,0,1),M,0,0,111O222-二.八 11M,一、(1)OM=0,-2，BA=(1,0,0),所以O(shè)MBA=0,所以O(shè)M_BA.因?yàn)槔庵鵄D耳BCF是直三棱柱，所以ABL平面BCF所以B蝠平面BCF勺一個(gè)法向量，且OM平面BCF所以O(shè)MZ平面BCF(2)設(shè)平面吊口內(nèi)平面EFCD勺一個(gè)法向量分別為 m=(X1,

5、ybZ1),r)2=(X2,y2,Z2).1因?yàn)镈F=(1,1,1),DM=(,1,0),DC=(1,0,0),CF=(0,1,1),X1y1+Z1=0,由n1,DF=mDM=0,得12X1-y1=0,y1=2X1,z=5X1.同理可得n2=(0,1,1)因?yàn)閙n2=0,所以平面口已平面EFCD考點(diǎn) 2 向量法求空間角1.向量法求異面直線所成的角若異面直線a,b的方向向量分別為a,b,異面直線所成的角為 8,則 cos0=|cosa,Iab|=.Ia|b|.2.向量法求線面所成的角求出平面的法向量 n,直線的方向向量 a,設(shè)線面所成的角為 0,則 sin0=|cosn,a|n.a|解得令 X1

6、=1,則 m=1,2，2.|n|a|.3 .向量法求二面角求出二面角a-l-B的兩個(gè)半平面a與B的法向量ni,n2,若二面角a-l-B所成的角e為銳角，則 cose=gs|=-.1ni11n2|例 22019浙江卷如圖，已知三棱柱ABOABC,平面AiACC平面ABC/ABG=90,/BAG=30,AA=AC=AC,E,F分別是ACAiB的中點(diǎn).證明：EF!BC(2)求直線EF與平面ABC所成角的余弦值.【解析】本題主要考查空間直線與直線垂直的證明及直線與平面所成的角，考查考生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.解法一:(1)如圖，連接AE

7、,因?yàn)锳A=AiC,E是AC的中點(diǎn),所以AEAC又平面AACC平面ABCAE?平面AACC,平面AACCn平面ABC=AC所以，AiEL平面ABC則AiEBC又因?yàn)锳F/AB,/ABC=90,故BCLAF.所以BCL平面AEF.因止匕EFBC（2）取BC的中點(diǎn)G,連接EGGF則EGFA是平行四邊形.由于AE，平面ABC故AIE，EG所以平行四邊形EGFA為矩形.連接AG交EF于Q由（1）得BCL平面EGFA則平面ABCL平面EGFA所以EF在平面ABC上的射影在直線AG上.則/EO曳直線EF與平面ABC所成的角（或其補(bǔ)角）.不妨設(shè)AC=4,則在RHAEG中，AE=4,EG=m.AiG15由于O

8、為AiG的中點(diǎn)，故E0=OG=-=2-,E0+OG-EG3 一，八,一一一、3所以 cos/EOGCC=.因此，直線EF與平面AiBC所成角的余弦值是-.2E0,OG55解法二：（1）連接AE,因?yàn)锳A=ACE是AC的中點(diǎn)，所以AEAC又平面AACC1平面ABCAiE?平面AiACC,平面AACCA平面ABC=AC所以，AE，平面ABC如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線ECEA為v,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系xyz.不妨設(shè)AC=4,則A(0,0,2 位)，B(斕， 1,0),B(/3,3,25),F乎， 2 小,C(0,2,0)因此，EF=乎,32V3,BC=(一小，1,0).由EF-BC=

9、0 得EFBC(2)設(shè)直線EF與平面ABC所成角為 0.由(1)可得 BC=(-辱1,0),AC=(0,2,-2/).設(shè)平面ABC的法向量為 n=(x,y,z).2.2019湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考如圖，四棱錐PABCM底面ABC而平行四邊形,DA=DPBA=BP(1)求證：PALBD(2)若DALDP/ABP=60,BA=BP=BD=2,求二面角 D-PC-B的正弦值.BC-n=0,由AiCn=0,/口V3x+y”得y-y3z.=0.故 sin0=|cosERn|=JL=4.1一5|ER-|n|3因此，直線EF與平面AiBC所成角的余弦值為-.5f一技法領(lǐng)悟(1)利用空間向量求空間角的一般步驟建

10、立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出相交向量的坐標(biāo).結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算.轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.(2)警示求空間角注意：兩條異面直線所成的角 a 不一定是直線的方向向量的夾角 B,即 cosa=|cos3|.兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補(bǔ)角.直線和平面所成的角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對值，即注意函數(shù)名稱的變化.對接訓(xùn)練解析：證明：如圖，取AP的中點(diǎn)M連接DMBM.DA=DP,BA=BP,.PALDMPALBM.DMBM=M，PAL平面DMB又BD?平面DMBPALBD(2).DA=DPBA=BPDALDP/ABP=60,.D

11、A幅等腰直角三角形，AB%等邊三角形，.AB=PB=BD=2,.DM=1,BM=小.BD=MB+MD,MDLMB以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MPMB吊所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Mxyz,L 一一一則A(1,0,0),B(0,m，0),P(1,0,0),口 0,0,1),從而得DP=(1,0,1),DG=AB=(1,L 一 L 一一小,0),BP=(1,-乖,0),BC=AD=(1,0,1).設(shè)平面DPCC勺法向量為n1=(x1,y1,Z1), 取 n1=(-3,1,血,設(shè)平面PCB勺法向量為n2=(x2,y2,Z2),m-DP=0,則n1,DC=0,X1Z1=0,X1+J3y1=0,n

12、2-BC=0,由n2BP=0,X2+Z2=0,得X2也y2=0,取n2=(V3,1,一寸 3),設(shè)二面角D-PJB的平面角為a,cosn1,n2mn21|n“|n2|7.2 一.43.sin8=41cosm,ri2=7.例 32019湖北武昌質(zhì)檢如圖，在四棱錐P-ABCW,側(cè)面PADL底面ABCDPA=PD=12,PAIPD底面ABC泗直角梯形，其中BC/AD,ABLADAB=BC=1,O為AD的中點(diǎn).(1)求證：平面POCL平面PAD(2)線段PD上是否存在一點(diǎn) Q,使得二面角 Q-AC-D的余弦值為坐?若存在，求出3值；若不存在，請說明理由.【解析】(1)在PAm,PA=PDO為AD的中點(diǎn)

13、,POCAAD在八9，PALPDPA=PD=2,，AD=2.在直角梯形ABCDfr,O為AD的中點(diǎn)，OA=BC=1,.OCLAD又OCTP0=O,.ADL平面POC又AD?平面PAD平面POCL平面PAD(2)易知POOCOCK兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OCW在直線為x軸，OD所在直線為y軸，OP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖所示,考點(diǎn)3 探索性問題要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象(數(shù)值、圖形等)是否存在或某一結(jié)論是否成立.“是否存在”的問題的命題形式有兩種情況:如果存在，找出一個(gè)來；如果不存在，需要說明理由，這類問題常用定順推”的方法.則 Q0,0,0),P(0,0,1

14、),A(0,1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),假設(shè)存在，且設(shè)PQ=入PD0w入w1).連接OQPD=(0,1,1),.OQ-OP=PQ=(0,入，入)，OQ=(0,入，1入)，.Q0,入，1入).設(shè)平面CAQ勺法向量為 m=(xby1,Z1),m-AC=X1+y=0,nrAQ=入+1y+1入Z1=0.取 Z1=1+入,得 m=(1入，入-1,入+1).又平面CAD勺一個(gè)法向量為 n=(0,0,1),二面角Q-AC-D的余弦值為卓，3|nrn|I 入+1|郃|C0Smn上百為二行入1+1乂/整理化簡，得 3 入210 入+3=0,1,、人，解得入=不或入=3(舍去)，3一，4 一，P

15、Q1故線段PD上存在滿足題意的點(diǎn)C=7.QD2r一囿技法領(lǐng)悟1空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無須進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷；解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題對接訓(xùn)練3. 2019安徽江南名校聯(lián)考如圖，在四麴tPABCW,PDL平面ABCDAB/DCABIAQDG=6,AD=8,BC=10,ZPAD=45,E為PA的中點(diǎn).(1)求證：DE/平面BPC(2)線段AB上是否存在一點(diǎn)F,滿足CHDR若存在，請求出二

16、面角F-POD的余弦值；若不存在，請說明理由.解析：（1）證明：取PB的中點(diǎn)M連接EMfnCM過點(diǎn)C作CNLAB垂足為點(diǎn)N,如圖在四邊形ABC嘰.CNLAB,DALAB,.CN/DA又AB/CD，四邊形CDAM矩形，.CN=AD=8,DC=AN=6,在 RtABNOKBN=.BC-CN=/102-82=6,.AB=12,而E,M分別為PAPB的中點(diǎn)，.EM為PAB勺中位線，一一1一.EM/AB且EM=-AB=6.2又DC/AB.EM/CD且E陣CD四邊形CDE岫平行四邊形，DE/CM.C儲(chǔ)平面PBCD日平面PBC，DE/平面PBC(2)由題意可得DADCDP兩兩垂直，如圖，以D為原點(diǎn)，DADC

17、DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則A(8,0,0),B(8,12,0),Q0,6,0),P(0,0,8).假設(shè)AB上存在一點(diǎn)F,使CHBD設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(8,t,0)(0t|=*=與,|n|彘|,772.2019廣東五校第一次診斷如圖，在菱形ABCDKZABC=60,AC與BD交于點(diǎn)O,AE1平面ABCDCF/AEAB=AE=2.求證：BDL平面ACFE(2)當(dāng)直線FO與平面BED所成的角為 45時(shí)，求異面直線OF與BE所成角的余弦值.解析：(1)證明：.四邊形ABCDI菱形，BDLAC.AE1平面ABCDBD)平面ABCD.BDLAE又ACAAE=A,ACAE?平

18、面ACFE.BDL平面ACFE(2)連接OE以O(shè)為原點(diǎn)，OAOB所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz,則B(0,0),O(0,0,0),日 1,0,2),F(1,0,a)(a0),則OB=(0,小,0),OE=(1,0,2),OF=(1,0,a).設(shè)平面EBD勺法向量為 n=(x,y,z),設(shè)直線BC與平面ACD所成的角為e,貝 Usin故直線BC與平面ACD所成角的正弦值為卑.nOB=0,則有n,OE=0,得 y=0.令 z=1,貝Ux=2,n=(-2,0,1)是平面EB而一個(gè)法向量.由題意得1得a=3或ai=-3由a0,得a=3,OF=(1,0,3),B曰(1,-3

19、,2),一一一一OF-BEJ5cosOFBE=；4|OF|BE所以異面直線OF與BE所成角的余弦值為總43.2019廣東惠州一調(diào)如圖，直四棱柱ABCPABCD的底面是菱形，側(cè)面是正方形，/DAB=60,E是棱CB的延長線上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A,G,E的平面交棱BB于點(diǎn)F,BF=2BF.(1)求證：平面ACEL平面BCCB;(2)求二面角E-ACC的余弦值.解析：(1)證明：設(shè)四棱柱ABCDABCD的棱長為a,-_a.BiF=2BF,ABGFBEFBE=.由/DAB=60=ZABE得/ABC=120,由余弦定理得AE=-3a,AC=,3a.CE=BE+BC=3a,.A=+CE=AC,AElCE承=0,

20、x+2z=0,sin45=|cos二|OFn|OFn|=|OF|n|又ABCD-AiBGD是直四棱柱，.GCU平面ABCD又AE?平面ABCDGCLAE.CmCC=C,.AEL平面BCCB.AE?平面ACE,平面ACE，平面BCCB.(2)解法一過C作CGLAC于G,CHLCF于H,連接GH由平面ACE，平面BCCB,平面ACEA平面BCCBnCE,彳導(dǎo)CHL平面ACE.CHLAC,又CGLAC,C(TCH=C,AC，平面CGHAG1GH/CGK二面角EACC的平面角.在 RtACC中，AC=733,CC=a,AC=2a,CG=申a,在 RtECC中,CE=3a,CC=a,EG=2i3a,CH

21、=3pa,22i3八39/“GH13GH=G-CH=a,cosZCGH=CG=二面角E-ACC的余弦值為華.13解法二以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EQEA所在直線分別為x軸，y軸，平行于BB的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,則E(0,0,0),A0,與a,0八 3 八二舊,C-a，0,a,貝 UEA=0,a,;3cEC=5a,0,a.4.2019河南洛陽統(tǒng)一考試如圖 1,平面多邊形PABCD,P/=PDAD=2DC=2BC=4,AD/BCAPIPDADLDCE為PD的中點(diǎn)，現(xiàn)將APD&AD折起，如圖2,使PC=2V.(1)證明：CE/平面ABP(2)求直線AE與平面ABP所成角的正弦值.解

22、析：(1)證明：取PA的中點(diǎn)H,連接HEBH如圖.E為PD的中點(diǎn)，HE為APD勺中位線,-r1-.HE/AD,且HE=AD-1-又AD/BCBC=gADHE/BCHE=BC設(shè)平面EAC的法向量為 n=(p,q,r),則二Agnn,EA=aq=0,二3.八n-EC=?ap+ar=0,q=0,即3p+2r=0,不妨取 n=(-2,0,3)._1連接 BD,B2a,0,0Da,V3.十 n.生人、，白、，一2a,0,易知平面ACC的一個(gè)法向量為ni=BD=設(shè)二面角EACC的平面角為e,則|cose|=|ni-n|13，升八/J=氣，又由題圖知 8 為銳角，二面角E-ACC的余弦值為彎.，四邊形BCE

23、用平行四邊形，CE/BH.BH?平面ABPCE?平面ABP.CEE/平面ABP(2)由題意知PAD為等腰直角三角形，四邊形ABC師直角梯形.取AD的中點(diǎn)F,連接BF,PF.AD=2BC=4,.平面多邊形PABC中，P,F,B三點(diǎn)共線，且PF=BF=2,翻折后，PFADBFADPFHBF=F,DF，平面PBF.BCL平面PBF.PB?平面PBFBCLPB在直角三角形PBC,PC=2啦，BC=2,PB=2,.PBF為等邊三角形.取BF的中點(diǎn)ODC的中點(diǎn)M連接POOM貝UPCXBF,.DF1平面PBFDFLPO又DFnBF=F,POL平面ABCD以O(shè)為原點(diǎn)，OBOMOP勺方向分別為x,y,z軸的正方

24、向，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz,則B(1,0,0),a1,2,0),P(0,0,/)，A(-1,2,0),l1了/L1/3 工 c 仁、E5,1,2，AE=2，3,2,AB=(2,2,0),BP=(-1,0,也).設(shè)平面ABP勺法向量為n=(x,y,z),則2019天津卷如圖，AE,平面ABCDCF/AEAD/BCAD!ABAB=AD=1,AE=BC=2.求證：BF/平面ADE1，一，一(3)若二面角E-BD-F的余弦值為求線段CF的長.3解析：本題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.

25、n-AB=0,n-BP=0,x+y=0,x+/z=0,故可取 n=(3,3,43),二_nAE.cosn,AE=,7In|AEJ21035，直線AE與平面AB所成角的正弦值為,1210355.(2) 求直線CE與平面BD即成角的正弦值;依題意，可以建立以A為原點(diǎn)，分別以ABADAE勺方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向的空*一間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz(如圖),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),口 0,1,0),E(0,0,2).設(shè)C亡h(h0),則F(1,2,h).(1)依題意，AB=(1,0,0)是平面ADE勺法向量，又BF=(0,2,h),可得BF-A氏 0,又因?yàn)橹本€BF?平面ADE所以BF/平面ADE(2)依題意，BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2).nBD=0,設(shè)n=(x,y,z)為平面BDEW法向量，則n,BE=0,x+y=0,即不妨令 z=1,可得 n=(2,2,1)-x+2z=0,因此有 cosCECE-nn=|CE|n|49.4所以，直線CE與平面BDE成角的正弦值為-.9設(shè)mr(x,y,z)為平面BDF勺法向量,m-BD=0,則m-BF=0,-x+y=0,2y+hz=0,2不妨令 y=1,可得停 1,1一%.|m-n|由題忌，有|cosmn|=7Imin|解得 h=7.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.，一，8所以，