三角函數常用結論歸納

1、三角函數常用結論總結1、角的概念的推廣：平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所的圖形。按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉所形成的角叫負角，一條射線沒有作任何旋轉時，稱它形成一個零角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。2、象限角的概念：在直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合,角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限。3.終邊相同的角的表示：(1)終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上)2k(kZ),注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.如與角1825的終邊相同，

2、且絕對值最小的角的度數是,合.5弧度。(答：25;一)一36(2) 終邊與終邊共線(k(kZ).(3) 終邊與終邊關于x軸對稱(4) 終邊與終邊關于y軸對稱(5) 終邊與終邊關于原點對稱(6) 終邊在x軸上的角可表小為：示為：k,kZ;終邊在坐標軸2的終邊在終邊所在直線上)2k(kZ).2k(kZ).2k(kZ).k,kZ;終邊在y軸上的角可表.k.上的角可表小為：,kZ.如的2終邊與丁勺終邊關于直線yx對稱，則:。一答：2k?kZ)4 、與萬的終邊關系：由“兩等分各象限、一二三四”確定.如若是第二象限角，則一是第象限角(答：一、三)25 .弧長公式：|R,扇形面積公式：S1IR：|R2,1弧

3、度(1rad)57.3：.如已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。(答：2cm2)6、任意角的三角函數的定義：設是任意一個角，P(x,y)是的終邊上的任意一點(異于原點)，它與原點的距離是r&_y20,那么yxyxrsin,cos一，tan,x0,cot(y0),sec-x0,rrxyxcscy如(1)已知角7、門-)；(2)設13y0。三角函數值只與角的大小有關，而與終邊上點P的位置無關的終邊經過點P(5,12),則sincos的值為是第三、四象限角，sin2mf,則m的取值范圍是4m/3、f、廿|sin|cos(答：(1,);(3)若112sin|c

4、os|0,試判斷cot(sin)tan(cos)的符號(答:負)7.三角函數線的特征是:正弦線MP”站在x軸上(起點在x軸上)"、余弦線OM“躺在x軸上(起點是原點)”、正切線AT”站在點A(1,0)處(起點是A)”.三角函數線的重要應用是比較三角函數值的大小和解三角不等式。如(1)若8答：tan貝Usin,cos,tan的大小關系為義域是sin(答：sincos);(2)若tan)；(答：(2k,2k3(3)23為銳角,則,sin函數y.12cosx,tan的大小關系為lg(2sinxJ3)的定(kZ)(1)平方關系:(2)倒數關系:sinsin(3)商數關系:tan2/cos1,

5、1csc=1,cossin一,cotcos22tansecsec=1,tancossin,1cotcot22csc=1,8.特殊角的三角函數值：30045060°0°9001800270°15°750sin12旦2迎2010一1而亞4金近4cos包v2110一066226622222144tan31<30/0/2-v;32+V3cot芯1近30/02+«2-69.同角三角函數的基本關系式：同角三角函數的基本關系式的主要應用是，已知一個角的三角函數值，求此角的其它三角函數值。在運用平方關系解題時，要根據已知魚的范圍和三角函數的取值，盡可能地

6、壓縮角的范圍，以便進行定號；在具體求三角函數值時，一般不需用同角三角函數的基本關系式，而是先根據角的范圍確定三角函數值的符1H1H號，再利用解直角三角形求出此三角函數值的絕對值。如(1)函數ysin_嘰的值的符號為_(答：大于o)；(2)若02x2,則使coscotvisln351a2a.1a2，1a2生生B>.C、D、(答：B);(6)已知f(cosx)cos3x,1a2aa則f(sin30)的值為(答：1)。k10.三角函數誘導公式(-)的本質是：奇變偶不變對k而百，指k取2奇數或偶數)，符號看象限(看原函數，同時可把看成是銳角).誘導公式的應用是求任意角的三角函數值，其一般步驟：(

7、1)負角變正角，再寫成972k+,02;(2)轉化為銳角二角函數。如(1)costan(一)sin2146的值為(答：逅)；(2)已知sin(540)4,則235cos(270)，若為第二象限角，則sin(180)cos(360)43tan(180)(答：5；荷)11、正弦函數和余弦函數的圖象：正弦函數ysinx和余弦函數ycosx圖3一,一一，一象的作圖方法：五點法：先取橫坐標分別為0,-,2的五點，再用光滑22的曲線把這五點連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內的圖象。12、正弦函數ysinx(xR)、余弦函數ycosx(xR)的性質：(1)定義域：都是Ro(2)值域：都是1,1,

8、對ysinx,當x2kkZ時，y取最大值21;當x2k£kZ時，y取取小值-1;對ycosx，當x2kkZ時,2xcos2x成立的x的取值范圍是(答：0,U43,);(3)已知sinm,cosUm()，則tan=(答：4m5m525tansin3cos.2._一)；(4)已知1,貝1=sinsincos2=12tan1sincos513a(答：y取最大值1,當x2kkZ時，y取最小值1。如(1)若函數:13):(5)已知sin200a、則tan160等于A、,a3一1.一1yabsin(3x一)的取大值為一，取小值為一，則a,b(答：a-,b16222或b1);(2)函數f(x)si

9、nxJ3cosx(x,)的值域是(答：-1,2);(3)若2，則ycos6sin的最大值和最小值分別是、(答:7;5);(4)函數f(x)2cosxsin(x)V3sin28已知f(x)sin(x)依'cos(x)為偶函數，k-(kZ)6(5)單調性：ysinx在2k,2kk2xsinxcosx的3最小值是此時x=(答：2;k(kZ);(5)己知1211sincos-,求tsincos的變化氾圍(答：0,-);(6)右22sin22sin22cos,求ysin2sin2的最大、最小值(答：ymax1,ymin222)。特別提醒：在解含有正余弦函數的問題時，你深入挖掘正余弦函數的有界性了

10、嗎？(3)周期性：ysinx、ycosx的最小正周期都是2;2,f(x)Asin(x)和f(x)Acos(x)的取小正周期都是T。如(1)右|xf(x)sin,則f(1)f(2)f(3)f(2003)=(答：0);函數3f(x)cos4x2sinxcosxsin4x的最小正周期為(答：)；(3)設函數f(x)2sin(x),若對25任意xR都有f(x1)f(x)fd)成立，則|Xix2|的最小值為(答：2)(4)奇偶性與對稱性：正弦函數ysinx(xR)是奇函數，對稱中心是k,0kZ,對稱軸是直線xk-kZ;余弦函數ycosx(xR)是偶2函數，對稱中心是k2,0kZ,對稱軸是直線xkkZ(正

11、(余)弦型函數的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心為圖象與x軸5的父點)。如(1)函數ysin2x的奇偶性是(答：偶函數)；(2)已知函數f(x)axbsin3x1(a,b為常數)，且f(5)7,則f(5)(答:-(kZ);(4)的值。(答：5);(3)函數y2cosx(sinxcosx)的圖象的對稱中心和對稱軸分別是,2k上單調遞增，在、(答：(一一,1)(kZ)、x32k-,2kkZ單調遞減；ycosx在2k,2kkZ上單調遞22減，在2k,2k2kZ上單調遞增。特別提醒,別忘了kZ!13、形如yAsin(x)的函數：1.、(1)幾個物理量：A一振幅；f-頻率(周期的倒數

12、)；x相位；一初相；(2)函數yAsin(x由圖象上的f(x)Asin(x)(A0,則f(x)=(答：f(x)(3)函數yAsin(x)表達式的確定：A由最值確定；由周期確定;特殊點確定，如0,|)的圖象如圖所示，2152sin(x-);23)圖象的畫法：“五點法”談：x,令X3_=0'2,=,2求出相應的x值,計算得出五點的坐標,描點后得出圖象；圖象變換法：這是作函數簡圖常用方法。(4)函數yAsin(x)k的圖象與ysinx圖象間的關系：函數ysinx的圖象縱坐標不變，橫坐標向左(>0)或向右(<0)平移|個單位得ysinx的圖象；函數ysinx圖象的縱坐標不變，橫坐標

13、變?yōu)橐唬?原來的一，得到函數ysinx的圖象；函數ysinx圖象的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數yAsin(x)的圖象；函數yAsin(x)圖象的橫坐標不變，縱坐標向上(k0)或向下(k0),得到y(tǒng)Asinxk的圖象。要特別注意，若由ysinx得到y(tǒng)sinx的圖象，則向左或向右平移應平移|一|個單位，如(1)函數y2sin(2x)1的圖象經過怎樣的變換才能得到y(tǒng)sinx的圖象？(答：4y2sin(2x)1向上平移1個單位得y2sin(2x)的圖象，再向左平移一448個單位得y2sin2x的圖象，橫坐標擴大到原來的2倍得y2sinx的圖象，最11后將縱坐標縮小到原來的-即得ysin

14、x的圖象)；(2)要得到函數2ycos(x)的圖象，只需把函數ysin*的圖象向平移個單位(答：242.7左；一)；(3)將函數y2sin(2x一)1圖像，按向量a平移后得到的函數圖像23關于原點對稱，這樣的向量是否唯一？若唯一，求出a;若不唯一，求出模最小的向量(答：存在但不唯一，模最小的向量a(一，1)；(4)若函數6fxcosxsinxx0,2的圖象與直線yk有且僅有四個不同的交點，則k的取值范圍是(答：1,72)(5)研究函數yAsin(x)性質的方法：類比于研究ysinx的性質，只需將yAsin(x)中的x看成ysinx中的x,但在求yAsin(x)的單調區(qū)間時，要特別注意A和的符號

15、，通過誘導公式先將化正。如(1)5函數ysin(2x)的遞減區(qū)間是,k(kZ)；(2)31212x33ylog1cos(-一)的遞減區(qū)間是(答：6k,6k一(kZ)；23444(3)設函數f(x)Asin(x)(A0,0,)的圖象關于直線x2-對223.152.一稱，它的周期是，則A、f(x)的圖象過點(0,-)B、"*)在區(qū)間,上是2123減函數C、f(x)的圖象的一個對稱中心是(5-0)D、f(x)的最大值是A(答：12C);(4)對于函數fx2sin2x給出下列結論：圖象關于原點成中心3對稱；圖象關于直線x一成軸對稱；圖象可由函數y2sin2x的圖像向左12平移一個單位得到；圖

16、像向左平移一個單位，即得到函數y2cos2x的圖像。312其中正確結論是(答：)；(5)已知函數f(x)2sin(x)圖象與直線y1的交點中、距離最近兩點間的距離為一、那么此函數的周期是3(答：)14、正切函數Vtanx的圖象和性質：(1)定義域：x|xk,kZ。遇到有關正切函數問題時，你注意到2正切函數的定義域了嗎？(2)值域是R,在上面定義域上無最大值也無最小值；(3)周期性：是周期函數且周期是，它與直線ya的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期。絕對值或平方對三角函數周期性的影響：一般說來，某一周期函數解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數又是偶函數的函數自變量加絕對

17、值，其周期性不變，其它不定。如ysin2x,ysinx的周期都是，但ysinx一1，cosx的周期為一，而y12sin(3x)|,y12sin(3x-)2|,y|tanx|的2626周期不變;，一.,.,一.,一.一k(4)奇偶性與對稱性：是奇函數，對稱中心是,0kZ,特別提醒：2正(余)切型函數的對稱中心有兩類：一類是圖象與x軸的交點，另一類是漸近線與x軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數的不同之處。(5)單調性：正切函數在開區(qū)間一k,kkZ內都是增函數。2 2但要注意在整個定義域上不具有單調性。如下圖：y-小in(s+©無務對等中心.由產。4st無番對林物：由產A*丈V上阜

18、中心昆一工|=772,二中初歸r=772息力廿馳中由r由乎=0或了時森兒曜文,牛漸近需國汨卜丁*對理和傳總廣蚓4*的重篤片正切名戴圖象卻相丸JL茄隼兩成戈的罩力砧一個周期！15、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式sinsincoscossinsin22sincoscoscoscos不sinsincos22costantantan1不tantan2cos2cos1+cos2sin2112sin2tan22tan1tan2(1)下列各式中，值為的是.2sinA、2cos12.2sin一12C、tan22.51tan222.5D、P:tan(AB)0,充分不必要條件(3)已知sin(2_1c

19、os22«,sin15cos15B、1cos302(答：C);(2)命題命題Q:tanAtanB0,則P是Q的A、充要條件B、C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件(答：C);)coscos(3)sin一，那么cos2的值為5"看意”值是(答：4);(5)已知tan110°a,求tan50°的值（用a表示）甲求得的結果是得的結果的正確性你的判斷是73,乙求得的結果是1.3a（答：甲、乙都對）1a22a,對甲、乙求16.三角函數的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路構。即首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變式，數變換的核心！第二看函數名稱之間的

20、關系，通常“切化弦”的結構特點。基本的技巧有：是：一角二名三結角的變換是三角函；第三觀察代數式（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、角的變換、兩角與其和差角的變換.如已知角與目標角的變換、角與其倍)(),2()(),2-等），如（1）已知tan（2"I-'2,一，tan(5么tan(的值是3.答：一；2已知022cos(2)，sin（2）3,求cos（）的值（答：播）；（3）已知，3為銳角，sinx,cosy,cos()3,則y與x的函數關系為5x(x1)55三角函數名互化（切割化弦），如（1）求值sin50,（1百tan10"）（答：1）;(2)已知sin8s1,tan(1cos2(3)公式變形使用(tantan23，tan1求tan（2）的值（答：-）1+tantan。如（1）已知A、B為銳角,且滿足tanAtanBtanAtanB1,貝Ucos(AB)=.（答:季;由V3tanAtanB,sinAcosA1cos2一與2(，|)，化形是一三角形（答：等邊）（4）三角函數次數的降升（降幕公式：cos21cos2,sin22開幕公式：1cos22cos2,1cos22sin2）。如（1）若簡一cos2為2（答：sin）；