與平行四邊形有關(guān)地常用輔助線(xiàn)作法歸類(lèi)解析匯報(bào)

1、word與平行四邊形有關(guān)的常用輔助線(xiàn)作法歸類(lèi)解析本文結(jié)合例題歸納六類(lèi)與平行四邊形有關(guān)的常見(jiàn)輔助線(xiàn)，供同學(xué)們借鑒：第一類(lèi)：連結(jié)對(duì)角線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例1如左如下圖1,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F在對(duì)角線(xiàn)AC上，且AECF,請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線(xiàn)段，猜測(cè)并證明它和圖中已有的某一條線(xiàn)段相等只需證明一條線(xiàn)段即可連結(jié)BFBFDE證明：連結(jié)DB,DF,設(shè)DB,AC交于點(diǎn)O四邊形ABCD為平行四邊形AOOC,DOOB.AEFCAOAEOCFC即OEOF.四邊形EBFD為平行四邊形BFDE第二類(lèi)：平移對(duì)角線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右圖2,在平行

2、四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于點(diǎn)O,如果AC12,BD10,ABm,那么m的取值X圍是A1m11B2m22c10m12d5m6解：將線(xiàn)段DB沿DC方向平移，使得DBCE,DCBE,如此有四邊形CDBE為平行四邊形，.在A(yíng)CE中，AC12,CEBD10,AE2AB2m12102m1210,即22m22解得1m11應(yīng)當(dāng)選A第三類(lèi)：過(guò)一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問(wèn)題。例3:如左如下圖3,四邊形ABCD為平行四邊形求證：AC2BD2AB2BC2CD2DA2證明：過(guò)A,D分別作AEBC于點(diǎn)E,DFBC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F AC2AE2CE2AB2BE2(BCBE)2AB

3、2BC22BEBCBD2DF2BF2(CD2CF2)(BCCF)2CD2BC22BCCF如此AC2BD2AB2BC2CD2DA22BCCF2BCBE 四邊形ABCD為平行四邊形AB/CD且ABCD,ADBC1/13word ABCDCFAEBDFC900 ABEDCFBECF_22_222_2ACBDABBCCDDA第四類(lèi)：延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。BE與CF交例4：如右上圖4,在正方形ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點(diǎn),于P點(diǎn)，求證：APAB證明：延長(zhǎng)CF交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)K 四邊形ABCD為正方形AB/CD且ABCD,CDAD,BADBCDD90°1

4、K又.DDAK-_1_AKCDABCE-CDDF,290°,DFAFCDFKAF1.AD.CEDF2BCDD90°，BCECDF12390023900CPB900,如此KPB900APAB第五類(lèi)：延長(zhǎng)一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線(xiàn)型相似三角形。例5如左如下圖5,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上任一點(diǎn)，請(qǐng)你在該圖根底上，適當(dāng)添加輔助線(xiàn)找出兩對(duì)相似三角形。解：延長(zhǎng)AE與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于F,如此有AEDsFEC,FABsFEC,AEDsFAB2/13word第六類(lèi)：把對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線(xiàn)1例6：如右上圖6,在平行四邊形ABCD中，A

5、NBN,BEBCNE3，交BD于F,求BF:BD解：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)ONOAOC,OBOD-2BC.生及2ONFOBF2FO3四邊形ABCD為平行四邊形_,1ANBNON/-BC且ON212 BE1BC.BE:ON2:3/.3BF23 BF2.BF:BD1:5BO5綜上所述，平行四邊形中常添加輔助線(xiàn)是：連對(duì)角線(xiàn)，平移對(duì)角線(xiàn)，延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線(xiàn)等，這樣可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形或特殊三角形、矩形梯形等圖形,為證明解決問(wèn)題創(chuàng)造條件。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹涂?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線(xiàn)。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全

6、等造。證相似，比線(xiàn)段，添線(xiàn)平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線(xiàn)段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線(xiàn)，比例中項(xiàng)一大片梯形的輔助線(xiàn)口訣：梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹涂?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線(xiàn)。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。通常情況下，通過(guò)做輔助線(xiàn)，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問(wèn)題的根本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和條件。常見(jiàn)的幾種輔助線(xiàn)的作法如下：作法圖形3/13word一、平移1、平移一腰:例1.如下列圖，在直角梯形ABCLfr,/A=904 ,BO17.求CD的長(zhǎng).解：過(guò)點(diǎn)D作DE/BC交AB于點(diǎn)E.又AB/CD所以四

7、邊形BCDEI平行四邊形.所以DE=BO17,C5BE.在RtDAE中，由勾股定理，得aU=dEaD,即aU=172-152=64.所以A已8.所以B已AB-A已168=8.,AB/DCAD=15,AB=14/13word即C58.例2如圖，梯形ABCD勺上底AB=3下底CD=8月要AD=4求另一腰BC的取值X圍。解：過(guò)點(diǎn)B作BM/AD交CD于點(diǎn)M匚在BCW,BM=AD=4CM=CDDM=CDAB=8-3=5,所以BC的取值X圍是：54<BC<a4,即1<BC<92、平移兩腰：例3如圖，在梯形ABCD中,AD/BC,/B+/C=90°,AD=1BC=3E、F分

8、別是ADBC的中點(diǎn)，連接EF,求EF的長(zhǎng)。BCFHC解：過(guò)點(diǎn)E分別作ABCD的平行線(xiàn)，交BC于點(diǎn)GH,可得/EGHk/EHG=B+/C=90°如此EGK直角三角形因?yàn)镋、F分別是ADBC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn)，11,所以EF-GH(BCBGCH)221 _1_(BCAEDE)BC(AEDE)2 21 -1(BCAD)(31)12 23、平移對(duì)角線(xiàn)：例4、：梯形ABCLfr,AD/BC,AD=1,BC=4BD=3AC=4求梯形ABCD勺面積.解：如圖，作DE/AC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E點(diǎn).5/13word:AD/BC四邊形ACE北平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+,1=D

9、5E=AC=4.在DBEt,BD=3,DE=4BE=5BDEDBE作DHLBC于H,如止匕DHS梯形ABCD(ADBC)DH咤622例5如圖，在等腰梯形ABCLfr,ADZ/BC,AD=3BC=7BD",求證:C±BD丁./BDE=90.解：過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線(xiàn)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,易得四邊形BCE北平行四邊形，如止匕DE=BCCE=BD'2,所以AE=AD-DE=AD-BC=*7=10。在等腰梯形ABCD,AC=BD=2,所以在A(yíng)ACE,AC2CE2(5V2)2(5石)2100AE2從而ACLCE,于是ACLBD例6如圖，在梯形ABCDt,ABZ/CD,AC=15

10、cmBD=20cm高DH=12cm求梯形ABCD勺面積。解：過(guò)點(diǎn)D作DE/AC,交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,如此四邊形ACE北平行四邊形，即SABDSACDSDCE。6/13word所以S梯形abcdSDBE由勾股定理得ehde2DH2AC2DH2J1521229cHBHBD2DH220212216cmi-112SDBE-BEDH(916)12150(cm)所以22,即梯形ABCD勺面積是2150cm。二、延長(zhǎng)即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。,/C=80,AD=2BC=5例7如圖，在梯形ABCLfr,AD/BC,/B=50°求CD的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)BACD交于點(diǎn)E。在BCE,/B=

11、50°,/C=80°。所以/E=50°,從而B(niǎo)C=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=ECED=5-2=3例8.如下列圖，四邊形ABCDfr,AD不平行于四邊形ABCD勺形狀，并證明你的結(jié)論.解：四邊形ABCD1等腰梯形.證明：延長(zhǎng)ADBC相交于點(diǎn)E,如下列圖.,.AOBDAD=BCAB=BA,.DA皆ACBA.丁/DA四/CBA.BCAOBD,AD=BC.判斷7/13word.，EA=EB.又AD=BGaDE=CE/EDG=/ECD.而/E+/EA計(jì)/EB"/E+/EDU/EC氏180./EDC=/EAB-DC/AB.又AD不平行于BC一四邊形AB

12、C此等腰梯形.三、作對(duì)角線(xiàn)即通過(guò)作對(duì)角線(xiàn)，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如圖6,在直角梯形ABCm,ADZ/BC,AB±AD,BC=CDBE!CDT點(diǎn)E,求證：AD=DE解：連結(jié)BD由ADBC,得/ADBWDBE由BC=CD得/DBC4BDC所以/ADBNBDE又/BADWDEB=90,BD=BD所以RtABAtDRtABED得AD=DE四、作梯形的高1、作一條高例10如圖，在直角梯形ABCm,ABDC,/ABC=90,AB=2DC對(duì)角線(xiàn)AC±BD,垂足為F,過(guò)點(diǎn)F作EF/ZAB,交AD于點(diǎn)E,求證：四邊形ABFE是等腰梯形。8/13word證：過(guò)點(diǎn)D作DGLAB于點(diǎn)G,如此易知

13、四邊形DGBO矩形，所以DC=BGBEFC因?yàn)锳B=2DC所以AG=GB又EF/AB,所以四邊形ABF式等腰梯形。從而DA=DB于是/DAB=DBA2、作兩條高例11、在等腰梯形ABCD,AD/BC,AB=CD/ABC=60,AD=3crpBC=5c求：(1)腰AB的長(zhǎng)；梯形ABCD勺面積.解：作AE!BC于E,DF±BC于F,又AD/BC四邊形AEFC®矩形，EF=AD=3cm.AB=DC一1一BEFC(BCEF)1cm2BE=1cm3cm43cm2.在RtABE中，/B=60°,.AB=2BE=2cmAE3BE(ADBC)AES梯形ABCD2例12如圖，在梯形

14、ABCm,AD為上底，AB>CD求證：BD>AC證：作AE!BC于E,彳DF±BC于F,如此易知AE=DF在RtAABEffiRtDCF中，因?yàn)锳B>CDAE=DF所以由勾月£定理得BE>CF即BF>CE9/13word在RtABDFffiRtCAE中由勾股定理得BD>AC五、作中位線(xiàn)1、梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線(xiàn)。例13如圖，在梯形ABCm，ABZ/DC,O是BC的中點(diǎn)，/AOD=90,求證:AB+CD=ADDC證：取AD的中點(diǎn)E,連接OE如此易知OE是梯形ABCD勺中位線(xiàn)，從而OE1 -=-AB+CDJ2在A(yíng)ODK/AOD=90,A

15、E=DE1所以O(shè)EAD2由、得AB+CD=AD2、梯形兩條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線(xiàn)中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線(xiàn)。例14如圖，在梯形ABCDt,ADZ/BC,E、F分別是BDAC的中點(diǎn)，求證：1 一1EF/AD;2EF一（BCAD）2證：連接DF,并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G,易證4AF陰CFG如止匕AD=CGDF=GF由于DE=BE所以EF是BDG勺中位線(xiàn)1 一從而EF/BG,且EF-BG2因?yàn)锳D/BG,BGBCCGBCAD10/13word1，一、所以EF/ZAD,EF(BCAD)23、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。例15

16、、在梯形ABCDt,AD/BC/BAD=90）,E是DC上的中點(diǎn)，連接AE和BE,求/AEB=2CBE解：分別延長(zhǎng)AE與BC,并交于F點(diǎn)/BAD=90fiAD/BC./FBA=18&-/BAD=90又:AD/BC/DAEWF（兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等）/AEDWFEC對(duì)頂角相等DE=ECE點(diǎn)是CD的中點(diǎn).AD圖AFCEAASAE=FE在A(yíng)BF中/FBA=90且AE=FE.BE=FE直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半在FEB中/EBFWFEB/AEBWEBF+/FEB=2/CBE例16、：如圖，在梯形ABCLfr,AD/BC,AB!BCE是CD中點(diǎn)，試問(wèn)：線(xiàn)段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系

17、？解：AE=BE理由如下：延長(zhǎng)AE,與BC延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F.DE=CE/AED=CEF/DAE=F.AD陷AFCE.AE=EF,.AB±BC.BE=AE例17、：梯形ABCm，AD/BC,E為DC中點(diǎn)，EF±AB于F點(diǎn)，AB=3cmEF=5cm,求才$形ABCD勺面積.11/13word解：如圖，過(guò)E點(diǎn)作MNAB,分別交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于M點(diǎn)，交BC于N點(diǎn).vDE=ECAD/BC.DE陣AE四邊形ABNM1平行四邊形.EF，AB,2S梯形abc=&abnmtABXEF=15cm【模擬試題】答題時(shí)間：40分鐘1 .假如等腰梯形的銳角是60°,它的兩底分別為11cm,35cm,如此它的腰長(zhǎng)為cm2 .如下列圖，等腰梯形ABCLfr,AD/BC,/B=60°,AD=2,BO8,如此此等腰梯形的周長(zhǎng)為A.19B.20C.21D.223 .如下列圖，AB/CDAE1DCA已12,BD=20,AO15,如此梯形ABCD的面積為0A.130B.140C.150D.160ABCE*4.如卜列圖，在等腰梯形C,對(duì)角線(xiàn)AC