不動點定理及其應用高考

1、摘要本文首先介紹Banach空間中的不動點定理、在其他線性拓撲空間中不動點定理的一維推廣形式、在一般完備度量空間上的推廣形式.其次，通過分析近幾年全國各地高考數(shù)學卷中一些試題特點，總結(jié)了利用不動點定理求解有關數(shù)列的問題.其中包括數(shù)列通項、數(shù)列的有界性問題.最后介紹了不動點定理中的吸引不動點和排斥不動點在討論數(shù)列的單調(diào)性及收斂性方面的應用.關鍵詞：Banach不動點定理,數(shù)列通項，有界性，單調(diào)性，收斂性AbstractThisarticlefirstlyintroducedtheFixpointTheoreminBanachspace,theone-dimensionalextendedform

2、oftheFixpointTheoreminotherlineartopologicalspaceandtheextendedformingeneralcompletemetricspace.Then,wesummarizedtheproblemonsequenceofnumberusingFixpointTheorem,analyzingthecharacteristicsoftestsemergedonmathpapersofallpartsofourcountryrecentyears,includingtheproblemofgeneraltermandboundednessofase

3、quenceofnumber.Atlast,attractivefixpointandrejectionfixpointinFixpointTheoremwereintroducedwhichcansolvetheproblemaboutthemonotonicityandastringencyofsequenceofnumber.Keywords:Banachfixedpointtheorem,Sequence,Boundedness,MonotonicityConvergence.第1章緒論31.1 導論31.1.1 選題背景31.1.2 選題意義21.1.3 課題研究內(nèi)容41.2 研究現(xiàn)

4、狀21.3 本章小結(jié)3第2章不動點定理42.1 有關概念42.2 不動點定理和幾種推廣形式42.3 本章小結(jié)7第3章不動點定理在數(shù)列中的應用83.1 求數(shù)列的通項公式83.2 數(shù)列的有界性93.3 數(shù)列的單調(diào)性及收斂性113.3.1 數(shù)列的單調(diào)性、收斂性的重要結(jié)論113.3.2 數(shù)列的單調(diào)性、U斂性的證明143.4 本章小結(jié)17第6章結(jié)束語18參考文獻19第1章緒論1.1 導論不動點理論的研究興起于20世紀初，荷蘭數(shù)學家布勞維在1909年創(chuàng)立了不動點理論1.在此基礎上，不動點定理有了進一步的發(fā)展，并產(chǎn)生了用迭代法求不動點的迭代思想.美國數(shù)學家萊布尼茨在1923年發(fā)現(xiàn)了更為深刻的不動點理論，稱為

5、萊布尼茨不動點理論2.1927年，丹麥數(shù)學家尼爾森研究不動點個數(shù)問題，并提出了尼爾森數(shù)的概念3.我國數(shù)學家江澤涵、姜伯駒、石根華等人則大大推廣了可計算尼森數(shù)的情形，并得出了萊布尼茨不動點理論的逆定理4.不動點理論一個發(fā)展方向是只限于歐氏空間多面體上的映射，不動點理論的另一個發(fā)展方向是不限于歐氏空間中多面體上的映射，而考察一般的距離空間或線性拓撲空間上的不動點問題.最后給出結(jié)果的是波蘭數(shù)學家巴拿赫(Bananch產(chǎn)，他于1922年提出的壓縮映像原理發(fā)展了迭代思想，并給出了Banach不動點定理6.這一定理有著及其廣泛的應用，像代數(shù)方程、微分方程、積分方程、隱函數(shù)理論等中的許多存在性與唯一性問題均

6、可以歸結(jié)為此定理的推論.1.1.1 選題背景不動點定理在微分方程、函數(shù)方程、動力系統(tǒng)理論等中有極為廣泛的應用.函數(shù)的"不動點”理論雖然不是中學教材的必修內(nèi)容，但是它的存在確實使一些數(shù)學問題在無法想象中得到了解決.已知遞推公式求其數(shù)列通項，數(shù)列有界性、數(shù)列的單調(diào)性及收斂性等，歷來是高考的重點和熱點題型，對那些已知遞推關系但又難求通項的數(shù)列綜合問題，充分運用函數(shù)的相關性質(zhì)是解決這類問題的著手點和關鍵.因此，它就自然成為各類數(shù)學競賽和選擇性考試必選的內(nèi)容之一，尤其在近年的高考中對該定理的應用越來越頻繁.1.1.2 選題意義利用不動點”法巧解高考題，遞推公式求數(shù)列的通項，證明數(shù)列的有界性、數(shù)

7、列的單調(diào)性及收斂性等，歷來是高考的重點和熱點題型，那些已知遞推關系但又難求通項的數(shù)列綜合問題，充分運用函數(shù)的相關性質(zhì)是解決這類問題的著手點和關鍵.與遞推關系對應的函數(shù)的不動點”決定著遞推數(shù)列的增減情況，因此本文對函數(shù)不動點”問題的研究結(jié)果，來簡化求數(shù)列的通項公式、數(shù)列的有界性、數(shù)列的單調(diào)性及收斂性等問題具有指導意義和理論意義.iii1.1.3 課題研究內(nèi)容本文通過介紹不動點定理的證明，不動點定理的迭代思想和不動點定理的推論，研究了以下的內(nèi)容：利用不動點定理的迭代思想，簡化求遞推數(shù)列的通項問題.以不動點定理為指導思想，證明數(shù)列的有界性.利用不動點及特征函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的單調(diào)性及收斂性，并借此解

8、決一些高考題.1.2 研究現(xiàn)狀不動點理論一直是一個既比較古老的問題，又比較有新生命力的領域，它的歷史悠久，卻又是近現(xiàn)代一個發(fā)展較快的理論定理.自不動點理論問世以來，特別是最近的二三十年來，由于學術上的不斷發(fā)展和數(shù)學工作者的不懈努力，這門學科的理論及應用的研究已經(jīng)取得了重要的進展，不斷有新的不動點理論研究成果涌現(xiàn)，并日臻完善.不動點的有關理論是泛函分析中最重要的原理之一，它依據(jù)于著名的巴拿赫(Banach)壓縮映射定理，如今已廣泛應用于數(shù)學分析的各個方面.許多著名的數(shù)學家為不動點理論的證明及應用作出了貢獻.例如，荷蘭數(shù)學家布勞威爾在1910年發(fā)表的關于流形的映射2一文中就證明了經(jīng)典的不動點定理的

9、一維形式.即，設連續(xù)函數(shù)f(x)f(x)把單位閉區(qū)間0,1映到0,10,1中，則有小0,1,使f(%)=%.波利亞曾經(jīng)說過：“在問題解決中，如果你不能解答所提的問題，那么就去考慮一個適當?shù)呐c之相關聯(lián)的輔助問題”.“不動點”就是一個有效的可供選擇的輔助問題.近年來，有不少人研究中學數(shù)學中所涉及到的不動點問題，將拓撲學不動點定理的一些基本思想，采用通俗易懂的語言和形象生動的例子運用到初等數(shù)學中去，擴大中學生的知識領域，加深中學生對數(shù)學基礎知識的掌握.在中學中，不動點有關知識常常用來解決一些初等數(shù)學中的問題，例如以“不動點”為載體、將函數(shù)、數(shù)列、不等式、方程以及解析幾何等知識有機地交匯在一起的數(shù)學問

10、題，從而體現(xiàn)了用不動點有關知識來求解這些問題有時是非常簡單和巧妙的.1.3 本章小結(jié)本章介紹了選題的背景和意義，并對課題的要求和研究內(nèi)容作了分析，對不動點定理的現(xiàn)況作了概要性的說明，是不動點定理及其應用的前期研究基礎.第2章不動點定理2.1 有關概念函數(shù)的不動點，在數(shù)學中是指被這個函數(shù)映射到其自身的一個點，即函數(shù)f(x)的取值過程中，如果有Xo,使“乂)=%.就稱*0為f(x)的一個不動點.對此定義，有兩方面的理解：代數(shù)意義：若方程f(%)=Xo有實數(shù)根Xo,則f(Xo)=Xo有不動點Xo.幾何意義：若函數(shù)y=f(X)與y=X有交點(%,yo),則Xo為y=f(X)的不動點.為了介紹不動點的一

11、般概念，本文先介紹以下相關概念.定義1度量空間：設X是一個集合，P：XmXtR.如果對于任何x,y,zWX,有(正定性)P(x,y)*O,并且P(X,y)=O當且僅當X=y；(對稱性)：(x,y)=；(y,x)；(三角不等式)P(x,z)<P(x,y)十P(y,z),則稱P是集合X的一個度量，偶對(X,P型一個度量空間.定義27壓縮映射：給定(X,P珈果對于映射T:XtX存在常數(shù)K,O<K<1使得P(Tx,Ty)<KP(x,y),(Vx,ywX)則稱T是一個壓縮映射.定義37Cauchy列：給定(X,P),X,若對任取的£>O,有自然數(shù)N使對VmnANg

12、,都成立P(Xm,Xn)<8則稱序列xj是Cauchy列.定義47完備度量空間：給定(X,P),若X中任一Cauchy列都收斂，則稱它是完備的.定義58不動點：給定度量空間(T,P)及XtX的映射T如果存在x*wX使*.Tx=x則稱x為映射T的不動點.定義69凸集：設X是維歐式空間的一點集，若任意的兩點三x，x2X的連線上的所有的點領十(16)x2亡X,(0E6E1);則稱X為凸集.2.2 不動點定理和幾種推廣形式不動點理論是關于方程的一種一般理論.數(shù)學里到處要解方程，諸如代數(shù)方程、微分方程、函數(shù)方程等，種類繁多，形式各異，但是它們常能改寫成f(x)=x的形狀這里的X是iii某個適當?shù)目?/p>

13、間X中的點，f是X到X的一個映射，把每個x移到f(x).方程f(x)=x的解恰好就是在f這個映射下被留在原地不動的點，故稱不動點，于是解方程的問題就是化成了找不動點的這個幾何問題，不動點理論就是研究不動點的有無、個數(shù)性質(zhì)與方法.首先,本文介紹Banach不動點定理的證明定理l(Banach不動點定理一一壓縮映射原理10)設(X,P)是一個完備的度量空間T是(X,P)到其自身的一個壓縮映射，則T在X中存在惟一的不動點.證明首先，證明T存在不動點取定x0wX以遞推形式xn+=Txn確定一序列xn是Cauchy歹U.事實上，由(xm1,xm)=(Txm,TxmJ)-K(xm,xmJ)K(TxmJ,T

14、xm_2)三小心日"EK"'*。)任取自然數(shù)m,n,不妨設men那么：(xm，xn)”(xm，xm)：(天,七)三(KmKmKM)-。)1_KnRKm2"尸（"F：（xi,x。）從而知n>是一Canchy歹U,故存在x=X使xnTx且x是T的不動點，因為；(x*,Tx*)三：(x*,xn)：(xn，Tx*)=(x*,xn)K一,。)>(n-1)故P(x,Tx)=0,即Tx=x,所以x是T的不動點.其次,下證不動點的惟一性設T有兩個不動點x,x1,那么由Tx=x及Tx1=x1有-、I*.*.,，八、一設x=x1,則P(x,x)>0

15、,得到矛盾，從而x=xi,唯一性證畢.作為Brouwer不動點定理從有限維到無窮維空間的推廣，1927年Schauder證明了下面不動點定理，我們稱其為Sehauder不動點定理I：定理2設E是Banach空間，X為E中非空緊凸集，f:XTX是連續(xù)自映射，則f在X中必有不動點Sehauder不動點定理的另一表述形式是將映射的條件加強為緊映射(即對任意x=X,f(x遑緊的)，這時映射的定義域可不必是緊集，甚至不必是閉集，有下面定理，我們稱其c*(x,xi)=：(Tx,Txi)-K：(x,xi)為Schauder不動點定理II:定理3設弱Banach空間，X為E中非空凸集，f:XtX是緊的連續(xù)自映

16、射，則f在X中必有不動點.定義6設E是線性拓撲空間，如果E中存在由凸集組成的零鄰域基，則稱E是局部凸的線性拓撲空間，簡稱局部凸空間.1935年，Tyehonoff進一步將Sehauder不動點定理I推廣到局部凸線性拓撲空間，得到了下面的不動點定理，我們稱其為Tyehonoff不動點定理：定理4設E是局部凸線性拓撲空間，X是其中的非空緊凸集，f:XtX是連續(xù)自映射，則f必有不動點，即存在x0wX,使得f(x0)=x0.1950年，Hukuhara將Schauder不動點定理II與Tyehonoff不動點定理結(jié)合起來得到下面的定理，我們稱其為Sehauder-Tychonoff不動點定理：定理5設

17、E是局部凸線性拓撲空間，X是其中的非空凸集，f:XtX是緊連續(xù)自映射，則f必有不動點，即存在x0wX,使得f(x0)=x0.從20世紀30年代起，人們開始關注集值映射的不動點問題.所謂集值映射的不動點，定義如下：定義7設X是拓撲空間，T:Xt2X是集值映射，其中2X表示X的所有非空子集的集合.若存在x°wX,使x0wT(x0),則稱Xo是T的不動點.1941年，kllcIltani把Bmuwe不動點定理推廣到集值映射的情形，得到下面的不動點定理，我們稱其為Kakutani不動點定理：定理6設XtRm是凸緊集，且T:Xt2X是具閉凸值的上半連續(xù)集值映射，則T必有不動點.1950年，Bo

18、tmenblust,Karlin把Sehauder不動點定理I推廣到集值映射的情形：定理7設E是Banach空間，X是E中的非空緊凸集，T:X->2X是具有閉凸值的上半連續(xù)集值映射，則T必有不動點.1952年，F(xiàn)an,Glicksberg分別把Tyehonoff不動點定理推廣到集值映射的情形，成為Kakutani-Fan-Glicksberg不動點定理或K-F6動點定理.即：定理8設E是局部凸的Hausdorff線性拓撲空間，X是E中的非空緊凸集，T:Xt2X是具有閉凸值的上半連續(xù)集值映射，則T必有不動點.iii1968年，Browder又證明了另一種形式的關于集值映射的不動點定理，本文

19、稱此定理為Fan-Browder不動點定理：定理9設X是Hausdorff線性拓撲空間E中的非空凸緊子集，集值映射S:Xt2X滿足：(1)對任意xwX,S(x)是X中的非空凸集(2)對任意ywX,S,(y)=xwX:ywS(x)是Z中的開集則存在x0wX,使x0wS(x0).本章小結(jié)本章詳細介紹了Banach不動點定理及其證明，概況了對不動點定理的幾種推廣形式.第3章不動點定理在數(shù)列中的應用在高考試題中，數(shù)列向所對應函數(shù)的不動點收斂的問題，常可以用單調(diào)性結(jié)合數(shù)學歸納法的方法來解決.“不動點”問題雖不是高考大綱的要求，但在函數(shù)迭代、力程、數(shù)列、解析幾何中都有重要的價值和應用，在歷年的高考中也經(jīng)常

20、看到“不動點”的影子以全國卷I為例，2007年，2008年、2010年高考的壓軸題都是可以用“不動點”的方法比較容易地去解決.用“不動點”的方法在學生平時解題中主要是求數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性、有界性及收斂性等.3.1求數(shù)列的通項公式定理10已知數(shù)列&滿足4=")“*)=»，其中c#0,adbc=0,設cxdp是f(x)唯一的不動點，則數(shù)列-是一一個等差數(shù)列.xn-Paxb證明因為p是f(x)唯一的不動點，所以P是方程x=qxb,亦即p是一元二次方cxd程cx2+(daxb=0的唯一解.得所以a-dp=-2c2,b-pd=cp-ap2axnJLba-pcxnjb

21、-pda-pcxnJcp-apXn一p=一p=cxndcxndcxn_id_a-pcXnj-pcxnidL二cxmd二Lcxn-pdcpxn-pa-pcxnJ-pa-pcxnj-pdcpa-d把p=代入上式，得2cL2cL=+xn-padxn-p令k=-,可得數(shù)列1)是一個等差數(shù)列.a+dNn-p在初等數(shù)學中經(jīng)常會遇到求這類問題，已知數(shù)列xn的首項，數(shù)列的遞推關系，求數(shù)列的通項，這類問題往往難度很大，通過不定點定理，大大降低了此類問題的難度.例1若aL=-L,an=-L-（nwN*,且n之2）求數(shù)列GJ的通項公式2"an4LL解根據(jù)迭代數(shù)列an=L一，構(gòu)造函數(shù)f(x)=易知f(x)有

22、唯一的不動點2一an2-xp=L,根據(jù)定理可知a=0,b=L,c=L,d=2,則二-LanLL.、”一L即數(shù)列是以首項-一，公差為-L的等差數(shù)列.則對應的通項公式為昌7,2iii111=_n_1一1=nan-122解得an3-2n1-2n一.:33-2n又a=-1也滿足上式.所以Ln的通項公式為an=.1-2n對于此類形式的數(shù)列，已知數(shù)列Q滿足xn=f(xn)f(x)=竺小，其中'cxd一一一、,1口c#0,ad-bc00,求其通項.運用不動點定理，可以簡單快捷地解答.即數(shù)列是目-1,2c以首項a1,公差為的等差數(shù)列.ad推論已知數(shù)列滿足xn=f(xn,)f(x)=ax+b,其中a#0

23、,設p是f(x)唯一的不動點，則數(shù)列板口-p是一個公比為a等比數(shù)列例2若a1=2an+3,(nwN*,且n2),求數(shù)列Ln)的通項公式.解根據(jù)迭代數(shù)列an=2an+3,構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+3,易知f(x)有唯一的不動點p=-3,根據(jù)推論可知a=2,b=3,an-3-2anj-3所以an3=2an43所以On+3)是以a+3=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則當n22時，有an+3=2n,故an=2n-3又a1=-1也滿足上式.所以I的通項公式為an=2n-3.在高中階段，學生在學習了數(shù)列之后，經(jīng)常會遇到已知心及遞推公式，求數(shù)列an十二f(an)的通項公式的問題，很多的題目令人感到非常棘手.而

24、不動點定理給出了一個“公式”性的方法一一不動點法，應用此法可巧妙地處理此類問題.3.2數(shù)列的有界性在高考中會經(jīng)常出現(xiàn)證明數(shù)列有界性的問題，不等式問題是高考中的一個難點，數(shù)列與不等式結(jié)合，使得這類問題更加的棘手了，而不動點定理卻給了我們思想上的一個指導，即解決這類問題，我們可以先求出不動點，然后用數(shù)學歸納法證明.例3(2008年全國II)函數(shù)f(x)=xxlnx.數(shù)列滿足0<ai<1,a=f(an).證明：anOn+C1.分析函數(shù)f(x)=x-xInx的不動點是x=1顯然此題就是要證明數(shù)列向不動點x=1收斂證明當xu(0,1)時，f(x)=lnxA0,所以f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)是

25、增函數(shù)；又0<a1<1,所以a1ca2=f(a1)=a1一a1Ina1Mf(1)=1;假設n=k時有ak<ak*<1,因為f(x)是增函數(shù)xJ0,1),所以f(ak)<fGk書f(1)=1,即ak書<ak<1，當n=k+1時結(jié)論也成立.故原不等式成立這類問題可以以各種類型的函數(shù)與數(shù)列為載體.考查導數(shù)、單調(diào)性、方程的根等問題.對學生綜合能力有較高的要求，在2010年的高考中此類問題進一步拓展，又有了一些新變化：利用數(shù)列的有界性求含參數(shù)列中參數(shù)的取值范圍.例4(2010年全國I)已知數(shù)列aj中，a1=1,an4=c-1，求使不等式an<an書<

26、3an成立的c的取值范圍.解：該數(shù)列應該是向其某個不動點收斂.不妨設該不動點為x0,則有1<x0E3,即方程f(x)=x在(1,3有一個實根.我們繼續(xù)用不動點的思路方法解決該問題因為an<烝+<3對任意自然數(shù)都成立，所以首先應有a1<a2<3,可得2<c<4.-1_設f(x)=c-，則f(x)是增函數(shù)，x七(0,收x1令f(x)=x,即c一一=x,xcx+1=0.當c>2時，該萬程有2個不等的實數(shù)根.設x為x1,x2,x1<x2,由韋達定理x1x2=1,可知x1<1<x2只要讓x2£3即可.iii人210令gx=x-c

27、x1,g3,0=c三2410一一即當CW時，fx沛1,3上存在不動點X0(X0就是X2)所以c的取取范圍是3再用數(shù)學歸納法證明結(jié)論的正確性:1_.一10因為1刈W3且f(x)=c在(0,+8)是增函數(shù)，所以當2cW時,x3有a1二1：二a2=f1：二x0=f址.m10c的取值范圍是2,101時,3J假設n=k時，有ak<ak4<x0W3.因為f(x用增函數(shù)，故f(akf(ak書)<f(x0),即ak平ak也x0,當n=k+1時結(jié)論也成立，所以當1f(x)=c-有在區(qū)間(1,3】內(nèi)的不動點xO,數(shù)列an單調(diào)遞增向該不動點收斂x3.3數(shù)列的單調(diào)性及收斂性近幾年一些地區(qū)高考試題對利

28、用不動點解決遞推數(shù)列的問題比較青睞，如求數(shù)列的通項公式，利用不動點研究數(shù)列的單調(diào)性等等.下文利用不動點及特征函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的單調(diào)性及收斂性，并借此解決一些高考題.3.3.1 關于數(shù)列單調(diào)性、收斂性的重要結(jié)論定義8設f:lTR,其中I是R的一個區(qū)間，數(shù)列由a=a和遞推關系xn+=f"n怵定義.則數(shù)列&n稱為遞推數(shù)列.f(x)稱為數(shù)列口的特征函數(shù)，x=f(x)稱為數(shù)列xn的特征方程，x1=a稱為初始值.若設f是連續(xù)的，若Q收斂而且有極限x0,x0=limxn+=limf(xn)=f(x0).因此問題就變?yōu)閷ふ曳匠蘹=f(x)解(即f的不動點)，并驗證數(shù)列是不是收斂于數(shù)x0.定

29、理11設f是定義在I上的一個壓縮映射，則由任何初始值xwb,b】和遞推數(shù)列xn+=f(xn),nWN生成的數(shù)列&n收斂.證明：由于f是a,b上的一個壓縮映射，故f(la,bl)chb】，則xneJa,b】，且二k=(0,1),使彳導Vn,pcN，有xnxn甲Ek2xn/-xn“<Ek'f(xnj.f(xn4pd.)kxn_1_xn4p_1<kna-b于是，Vs>0(不妨設s<b-a),只要取N=iln/lnk',Vn,p=N*,都有b-axn-xn4p<名根據(jù)Cauchy收斂準則，收斂.證畢定義9在不動點xo處，若f(x0k1,則稱xo為y

30、=f(x)的吸引不動點；若if(x0|)>1,則稱xO為y=f(x)的排斥不動點.定理12若y=f(x)是定義在I上的連續(xù)可導函數(shù)，x0是吸引不動點，則存在x0的鄰域區(qū)間U,對一切xwU,都有f(xj<1且limfn(x)=x0.這里的記號n_icfn(x)=f(fn,、(x).證明：因為f(x)連續(xù)可導，又f'(x0)<1,則這樣的區(qū)間顯然存在.對任意一點xWU,在x,x0為端點的閉區(qū)間上，由拉格朗日中值定理得f(x卜x0=|f(xf(x0b=f色|x-x0<x-x°所以，f(x)wu由定理1可得數(shù)列fn(x，收斂，且limfn(x)=x0.證畢n二

31、定理表明吸引不動點在迭代過程中，可以吸引周邊的點.下面研究數(shù)列xn將以何種方式收斂于x0.定理13若y=f(x)是定義在I上的連續(xù)可導函數(shù)，只有一個不動點x0,且為吸引不動點，初始值x1#x0,遞推數(shù)列xn+=f(xn)nWN*,則(1)當f在I上遞增時，則數(shù)歹|*0單調(diào)且收斂于x0;(2)當f在I上遞減時，則xn的兩個子列的x2k=和x2k一遞增一遞減，且收斂于x0.證明：(1)當f在I上遞增時，若f(x1)=x2Ax1,則由數(shù)學歸納法可證明xn«=f(xn)>f(xn=)=xn,&n遞增；若f(x1)=X2<x1,則由數(shù)學歸納法可證明噂=f(xn)<f(

32、xnG=xn，n)遞減(2)當f在I上遞減時，此時復合函數(shù)fIf(xN遞增，而子數(shù)列x2k=和k2中有一個遞增，另一個遞減.若x3>x1,用數(shù)學歸納法可證明a2k<單調(diào)遞增.事實上，若x2k1<x2k+，則x2k=f僅2卜1)>f(x2k由)=x2k七，x2k由=f僅2卜)<f(x2k七)=x2k為，iii由此可得x2k單調(diào)遞減；若x3cX1,證明類似.證畢定理14若y=f(x)是定義在I上的連續(xù)可導函數(shù)，有且只有兩個不動點"代工B)且f3田,f鄧)#1，異于口，P的初始值Xi,遞推數(shù)列Xn中=f(Xn)nwN*.則兩個不動點a,P至多只有一個吸引不動點

33、.證明：設函數(shù)g(x)=f(x)X,則g(x)=f(X)1.假設兩個不動點0(,P同為吸引不動點，則f'G)<1,f'(P)<1從而g'(a)<0,g'(P)<0.又g(ot)=g(P)=0,可得V®>0,三U口，8)，使得g(x)<0,則3aU°J(a,a,g(a)<g(a)=0,同理三bw(Pw,P),使得g(b)>0.由g(x)連續(xù)及零點存在定理，得g(x)在區(qū)間(a,b)上必有一個零點.這與g(x)僅有兩個零點矛盾.因此假設不成立，則兩個不動點支，P,至多一個為吸引不動點.證畢定理15若

34、y=f(x)是定義在I上的連續(xù)可導的凸函數(shù)，有且只有兩個不動點%<P)，且P,中有一個吸引不動點，f'(«)*1,f'(P產(chǎn)1.異于的初始值”,遞推數(shù)列xn書=f(xn)nwN*,則口為吸引不動點，P為排斥不動點，且當x1<«<o時，xn單調(diào)遞增且收斂于京；當支<X1<P時，&n單調(diào)遞減且收斂于a；當X1AP時，xn單調(diào)遞增且不收斂；證明：由y=f(x)為凸函數(shù)，可得f'(x)為增函數(shù).由a,<P且中有一個吸引不動點及定理4得f'(a)<1<f'(P),即“為吸引不動點，P為排斥

35、不動點.構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-x,則g(x)=f(x)1為增函數(shù)且g®)<0,g(B)>0,于是三Xe(«,P),使得g'(x)=0,于是g(x)在(-嗎X)上遞減，在(X,P)上遞增.下面分四種情況進行說明：當X1<口時，g(x1)>g(口)=0即f(x1)>x1,所以X2>X1,結(jié)合數(shù)學歸納法易證4單調(diào)遞增且收斂于«(2)當ct<不<x時，g(%Ag(a)=0即f(x)<x1,所以x2<x1，結(jié)合數(shù)學歸納法易證&n單調(diào)遞減且收斂于口；(3)當X<P時，g(X1)<g(

36、P)=0即f%所以X2<x1,結(jié)合數(shù)學歸納法易證&n單調(diào)遞減且收斂于a;(4)當X1AP時，g(x1)>g(p)=0即f(x1)>X1,所以X2ax1，結(jié)合數(shù)學歸納法易證&n單調(diào)遞增且不收斂.綜上，當X1AP時，&n單調(diào)遞增且不收斂；當口<X1<P時，Xn單調(diào)遞減且收斂于口；當X1<“時，&n單調(diào)遞增且收斂于«證畢定理表明初始值也將影響數(shù)列xn)收斂與否、以何種方式收斂于«.3.3.2 數(shù)列的單調(diào)性、收斂性的證明主要判斷特征函數(shù)的單調(diào)性，及不動點是否為吸當初始值與特征函數(shù)都確定的情況下，引不動點，借助定理1

37、3可以解決.例5(2007廣東理)已知函數(shù)f(x)=x2+x1,a,P是方程f(x)=0的兩個根(a>P),f'(x您f(x)的導數(shù).設&=1,ay=an-5=1,2,).(1)求ot,P的fan值；(2)證明：對任意的正整數(shù)n，都有an>a；(3)略.解：(1)易得.a=±i!p=±x!2'2(2)aa一1a1x1f(x)=2x+1,貝Uan=an=,特征函數(shù)g(x)=,特2an12an12x1征方程x=-1,即x2+x1=0,于是不動點a=一色，P=-1-gx=2_2L=S2x122x122x122g,(«)=2f依；=0,

38、g'(P)=2f(口)2=0,可2：122-12均為吸引不動點.又a=1>«,a2=g(a)='<1,當x包，z)g(x)>0,由定理13可得數(shù)列Qn單3調(diào)遞減，且Jiman=a,an+、工.本題的背景是牛頓切線法求方程fx=0的近似解.本題特征函數(shù)g(x)=-在定2x1義域上不連續(xù)，有兩個吸引不動點.由于初始值a1=1且不動點的導數(shù)值恰為0,使得x=(%)時恒有g(x)>0,使問題簡單化.例6(2009陜西22)已知數(shù)列xn滿足，x1=-,xn+=,nwN*.21xn猜想數(shù)列4n的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(2)略.iii“11，一一1，、，解

39、：由xn+=得特征函數(shù)f(x)=1,在(-8,-1)、(1,收)上分別單調(diào)遞-1-51Xn1X減.由特征方程x=1得不動點a=-1x2可得京為排斥不動點，P為吸引不動點.,1,1、，、一1由f(x)=在(1,")上單倜遞減，又x=且1x21%_x12x111x3-x1="-x1=;一K1x2111 x12 2.1x1-2x1-x1-x1-K102x12x1由定理13得數(shù)列xn的兩個子列x2k單調(diào)遞增，x2k)單調(diào)遞減.,1一，由于特征函數(shù)f(x)=在(-1,依)上單調(diào)遞減，結(jié)合定理13,可得如下結(jié)論：1x當x1W(-1,«時，可得x3>x1,數(shù)列&2

40、k1單調(diào)遞增，&2k單調(diào)遞減；當x1=M時,數(shù)列&0為常數(shù)列；當'亡,F»寸，可得x3<整，數(shù)列x2k單調(diào)遞減，&21單調(diào)遞增.當初始值或特征函數(shù)中出現(xiàn)未知量或參數(shù)時，難度有所增加，考慮降低難度要求的需要，高考題給出的特征函數(shù)一般為凹或凸函數(shù)，此時主要結(jié)合定理15進行判斷即可.例7(2009安徽21)首項為正數(shù)的數(shù)列Gn滿足an*=1(an2+3)nwN*4(I)略；(II)若對一切nCN,都有an卡an，求a1的取值范圍121_"1一斛：(II)記f(x)=-(x+3),則f(x)=-x,f(x)=，于是f(x)為凸函數(shù).令422x=

41、1&2+3%導不動點1-=1,B=3.由對一切nWN*,都有an書>an,得數(shù)列%門)為遞增，4根據(jù)定理15得，a1或a1Ap，又a1A0,所以a1的取值范圍0ca1<1或a1A3本題已知數(shù)列的單調(diào)性，求首項的取值范圍，利用不動點定理可以證明數(shù)列的單調(diào)性及收斂性，所以此題是對數(shù)列單調(diào)性及收斂性的逆向考查，是高考中的難題，繼續(xù)采用不動點定理的思想，根據(jù)定理15可以很簡單快捷地求出首項的取值范圍，有別出心裁的效果.3.4本章小結(jié)本章詳細研究了利用不動點定理解決求數(shù)列通項，數(shù)列有界性，數(shù)列的單調(diào)性及收斂性問題，對這類問題的解決方法做了簡單的概括第6章結(jié)束語本次的畢業(yè)論文創(chuàng)作過程是對大學四年學習的一個總結(jié).在歷時將近半年的時間里，我通過到圖書館翻閱資料，上網(wǎng)，質(zhì)詢指導老師，收集了足夠的質(zhì)料，按照指導老師提供的要求按時完成了我的論文.通過撰寫畢業(yè)論文，對不動點定理有了自己的認識和進一步的理解.不動點定理雖然是拓撲學中的一個著名的定理，但